Juin 2017
Première année : mathématiques
Contrôle terminal – 2h
Tout document interdit ; calculatrice autorisée Questions de cours
Donner les composantes du produit vectoriel A^B, avec les vecteurs A et B de composantes cartésiennes (Ax, Ay, Az) et (Bx, By, Bz). Un troisième vecteur C est de composantes (Cx, Cy, Cz) ; calculer (A^B).C que l’on comparera à C.(A^B).
Champ magnétique
Une particule de charge q et de masse m est soumise à un champ magnétique constant B(0, 0, B). Elle subit alors la force de Lorentz F = qv ∧ B, et son mouvement est décrit par l’équation ma = F ; v désigne la vitesse de la particule et a = dv / dt son accélération.
Ecrire en fonction des coordonnées (vx, vy, vz) de v les équations correspondantes. Les résoudre.
A quoi ressemble la trajectoire de la particule ? Différentielle
Si on pose pour x > 0, y = x2, déterminer la différentielle dy en fonction de x et dx, puis dx en fonction de y et de dy. Même question pour y = tanx pour –π/2 < x < π/2.
Loi normale
Une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres µ et σ2 si et seulement si, pour tout x réel :
( )
( )
. 2
1 2
2
∫
2∞
−
− −
=
<
x t
dt e
x X
p σ
µ
π
σ On admet que l’intégrale de Gauss +∞
∫
∞
−
− dr
e r2 vaut π.
1. Calculer l’espérance définie par l’intégrale
( )
( )
∫
∞ +
∞
−
− −
= te dt
X E
t
2 2
2
2
1 σµ
π
σ ainsi que la
variance
( ) ( )
( )
∫
∞ +
∞
−
− −
−
= t E X e dt
X Var
t
2 2
2 2
) ( 2
1 σµ
π
σ de cette loi.
2. Si k est un réel fixé quelconque, montrer que Y = X/k suit une loi normale de paramètres µ/k et σ2/k2.
