I Comparaison des deux modèles et influence de la tige I.1 Expérience

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Partie VI : Mécanique TP

TP 23 : Étude du pendule pesant

Matériel (par groupe) : pendule interfacé avec Latis Pro, avec l’ailette en plastique jaune, règle de 50 cm. Pour la classe : un niveau à bulle et une balance (0,1 g et jusqu’à 200 g).

Objectifs :Comparer deux modélisations du pendule, et mettre en évidence leurs limites.

Les sciences physiques consistent à effectuer des modèles de la réalité afin d’en déduire des prédictions. Ces modèles peuvent être plus ou moins simples. Nous allons comparer deux modèles du pendule, décrits ci-dessous.

Modèle du pendule simple (ponctuel) Hypothèses du modèle :

I Toute la masse m est concentrée en un unique point M, situé à une distance L de l’axe de rotation Oz. En particulier la masse de la tige est négligée.

I Oscillations de faible amplitude pour avoir sinθ ' θ.

Prédictions théoriques du modèle (cf chapitre 2) : I Période T des oscillations donnée par T² = 4π²L

g. I Période T indépendante de l’amplitude des oscillations.

Modèle du pendule pesant (prise en compte de la tige) Hypothèses :

I On noteJ_t le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe Oz. On prend donc bien en compte le rôle de la tige.

On fait en sorte que la tige soit équilibrée, c’est-à-dire que son centre de masse soit sur l’axe de rotation Oz (si bien qu’elle ne tourne pas lorsqu’elle est lâchée dans n’importe quelle position).

I On suppose que la masse métallique m est d’extension négligeable. On note L sa distance à l’axe Oz.

I Oscillations de faible amplitude pour avoir sinθ ' θ.

On prend donc en compte la tige (contrairement au modèle précédent), mais on suppose tout de même que la masse M est ponctuelle au bout de la tige

Prédictions théoriques du modèle (chapitre de mécanique du solide, EC2) : I Période T des oscillations donnée par T² = 4π²Jt +M L²

M gL .

Le dénominateur est en fait le moment d’inertie total, J_tot = J_t +M L². I Période T indépendante de l’amplitude des oscillations.

TP 23 1 / 3 Raoul Follereau | PTSI | 2020-2021

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I Comparaison des deux modèles et influence de la tige I.1 Expérience

– Commencer par enlever la masse métallique et par équilibrer la tige. Pour cela placer l’ailette en plastique jaune tout au bout en haut, et ajuster la position de la tige pour qu’elle ne tourne pas quelle que soit la position d’où on la lâche.

Ce qu’on note Jt est donc en fait le moment d’inertie de l’ensemble {tige+ailette}.

– Remettre la masse. Puis mesurer la période des oscillations pour plusieurs valeurs de la distance L (la faire varier entre 10 cm et le maximum). On utilisera Latis Pro.

– On se place dans le cadre des oscillations de faible amplitude : ne pas lâcher le pendule avec une amplitude trop importante.

– Utiliser Regressi pour entrer les données. On entrera aussi l’incertitude sur la mesure de L (celle sur la mesure de T est normalement négligeable).

1 - Réaliser le protocole décrit ci-dessus.

I.2 Test du modèle du pendule simple (ponctuel)

2 - Écrire la relation entre T et L prédite par la théorie.

Avec les données expérimentales, que faut-il tracer en fonction de quoi pour se ramener à une loi linéaire ?

Le faire, et conclure : les données sont-elles en accord avec le modèle du pendule ponctuel ?

I.3 Test du modèle du pendule pesant (prise en compte tige)

3 - D’après le second encadré page précédente, la relation entre T et L prédite par la théorie est

T² = 4π² J_tot

M gL avec Jtot = Jt +M L². (1) Pour tester si cette relation est compatible avec les données, nous allons procéder ainsi :

– Pour chaque valeur de L, calculer la valeur expérimentale du moment d’inertie total à l’aide de la relation J_tot = T²M gL

4π² .

– Puis tracer J_tot en fonction de L² : si le modèle est correct, d’après la relation 1 ceci devrait donner une droite.

Le faire, et conclure : les données sont-elles en accord avec le modèle du pendule ponctuel ? (on vérifiera si la pente est compatible avec la valeur attendue, qui est ?) Si oui, en déduire la valeur du moment d’inertie de l’ensemble {tige+ailette} (atten- tion à l’unité).

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II Étude de l’hypothèse des petites oscillations

On prend ici le modèle du pendule simple (ponctuel). On placera la masse métallique à une distance L la plus grande possible de l’axe Oz. On enlève l’ailette en plastique.

On souhaite étudier l’influence de l’hypothèse “petites oscillations”.

I Avec cette hypothèse, on fait le développement sinθ 'θ et la période s’écrit

T = 2π s

L g.

I Sans cette hypothèse le calcul de la période est plus compliqué.

Une méthode consiste à aller plus loin dans le développement limité : sinθ 'θ−θ³/6, et on obtient alors la formule de Borda pour la période (démontrée dans le DS 4) :

T = T₀

1 + θ₀² 16

, avec T₀ = 2π s

L g.

Il s’agit encore d’une approximation, mais elle est plus précise. Ici θ₀ est l’amplitude des oscillations (en radian).

Ci-dessous un tracé de T /T₀ en fonction de θ₀.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

amplitude de l'oscillation (rad) 1.0

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

T/T0

formule de Borda

(1 rad = 57°)

Nous allons tester ces prédictions théoriques sur T.

4 - Mesurer la période des oscillations pour différentes amplitudes initiales θ0.

Tracer T en fonction de θ₀ et discuter de la validité des deux formules théoriques ci-dessus.