Vous devez réparer une vasque située au centre d’un bassin d’eau circulaire de 15 mètres de diamètre.
Vous disposez de quatre planches de 10 mètres de long chacune. Pouvez vous accéder au centre du bassin sans mettre un doigt de pied dans l’eau ?
Déterminer le nombre minimum de planches de 10 mètres de long qui vous permettent d’accéder au centre d’un bassin circulaire de 16 mètres de diamètre.
Nota : par commodité, on assimilera le contour du bassin à un cercle, la vasque à un point et les planches à des segments de droite.
Prenons l’origine au centre O du cercle et soit AB une corde de longueur 10 parallèle à l’axe des ordonnées : son milieu M a pour abscisse -√(152-102)/2=-5√5/2 ; le point N de coordonnées (5(2-√5/2, 0) est tel que le segment MN passe par O et a pour longueur 10. La parallèle à AB en N coupe le cercle en C d’ordonnée -√(152-(5(4-√5))2)/2=-10√(2√5-3).
Le point D situé sur cette parallèle, tel que CD ait pour longueur 10 a donc pour abscisse 5(2-√5/2) et pour ordonnée
10(1-√(2√5-3)) : on vérifie que OD<OM, donc qu’il existe une corde de longueur 10 passant par D, ce qui assure la possibilité de la construction.
Dans le cas d’un cercle de rayon 8, une corde de longueur 10 est à une distance b du centre où b=√(82-52)=√39 ; soit M(x, y) distant de 10 du milieu N(b, 0) de cette corde et situé sur une tangente en H au cercle de centre O de rayon 5 ; on a y/
10=5/b donc y=50/√39>8 : le point M est extérieur au cercle.
En recommençant la même construction avec la corde symétrique on obtiendra de même le point H’ symétrique de H par rapport à O et HH’=10.
On peut donc atteindre le centre du cercle avec 5 planches
![A=2×[50 – 5 2×10 15 – 5] B =− 2 −8 −1−− 76 − 3 − − 31](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)