Enonc´e noG.217 (Diophante, juin 2005) Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Il y a A = 15420295 bulletins non, B = 12686057 bulletins oui. L’al´ea est l’ordre d’apparition des bulletins lors du d´epouillement. Il se r´esume, au regard de l’´ev´enement ´etudi´e, au choix des B rangs d’apparition des bulletins oui parmi les entiers de 1 `a A+B. Cela donneCA+BB ´eventualit´es
´equiprobables.
Chacune de ces ´eventualit´es peut se d´ecrire par un parcours en escalier dans un rectangle de dimensionsA×B. A un stade quelconque du d´epouillement (a+bbulletins d´epouill´es), on constateabulletins non etbbulletins oui. Le point repr´esentatif (a, b) va de l’origine O (0,0) en d´ebut de d´epouillement au pointF (A, B) en fin de d´epouillement.
La probabilit´e demand´ee (“le non a constamment devanc´e le oui”) est celle des parcours o`u l’on a constamment b < a`a partir du premier bulletin. Son compl´ement `a 1 est celle des parcours o`u, en excluant l’origine, on a b≥a
`
a un moment ou `a un autre. Ces parcours touchent ou coupent hors de O la premi`ere bissectriceL d’´equation b=adu plan (a, b), qui joint les points (0,0) et (B, B).
Consid´erons un de ces derniers parcours. Deux cas sont `a distinguer.
1) Le premier bulletin d´epouill´e est un oui. Le parcours commence par le point D0 (0,1). Le nombre des parcours correspondants est CA+B−1B−1 , car il reste B−1 rangs de sortie des oui `a choisir parmi lesA+B −1 bulletins restants.
2) Le premier bulletin d´epouill´e est un non. Le parcours commence par le pointD (1,0), mais par la suite le parcours touche ou coupe L.
Parmi ses points sur L, soit M celui de plus grande abscisse et ordonn´ee.
Dans la s´equence de oui et non de ce parcours entre D et M, j’´echange les oui et les non ; j’obtiens, en compl´etant par la partie M F du parcours d’origine, une suite de A non et B−1 oui. Il lui correspond un parcours D0F. Le parcoursD0M est le sym´etrique, par rapport `aL, du parcoursDM d’origine.
R´eciproquement, tout parcours D0F rencontre L, puisque L s´epare F de D0. L’´echange des oui et des non dans la partie D0M permet d’obtenir un parcours DM bien d´etermin´e touchant ou coupant L. Il y a donc bijection entre ces deux types de parcours, et leur nombre estCA+B−1B−1 .
Cette correspondance est connue comme le “principe du miroir de D´esir´e Andr´e”.
La probabilit´e demand´ee est ainsi
1−2CA+B−1B−1
CA+BB = A−B A+B
1
soit, avec les valeurs num´eriques donn´ees, 2734238
28106352 = 0,09728185. . .
Nota 1. Si l’´ev´enement consid´er´e ´etait “le oui n’a jamais d´epass´e le non”, la droite limite L aurait pour ´equation b = a+ 1, et le principe du miroir permet d’´etablir une bijection entre les parcours touchant ou coupantL et les parcoursO0F o`uO0 a pour coordonn´ees (−1,1).
La probabilit´e consid´er´ee ici est alors
1−CA+BB−1
CA+BB = A−B+ 1 A+ 1 soit, avec les valeurs num´eriques donn´ees,
2734239
15420296 = 0,1773143. . .
Nota 2. D´esir´e Andr´e n’est pas un math´ematicien c´el`ebre. Une recherche sur Internet m’a permis de l’identifier comme ancien ´el`eve de l’Ecole normale sup´erieure, auteur de “L’arithm´etique des ´ecoles primaires” (publi´e en 1864 chez Belin), d’articles (1883, 1884) dans les Annales Scientifiques de l’ENS, et d’une contribution (1888) pour le centenaire de la Soci´et´e Philomathique de Paris.
J’aimerais en savoir plus sur lui. Tout renseignement (dates, autres contri- butions aux math´ematiques, . . .) serait le bienvenu.
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