CHAPITRE 8 : LES ÉQUATIONS

(1)

CHAPITRE 8 : LES ÉQUATIONS

Objectifs

3.226 [–] Mettre en équation un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.

3.227 [–] Résoudre une équation produit de deux expressions du premier degré.

3.233 [–] Résoudre l'équation x²=a avec a>0 sur des exemples numériques.

I. ÉQUATIONS

Une équation est une égalité de deux expressions littérales appelés les membres de l’équation. Cette égalité est

« presque toujours fausse », c’est à dire qu’en donnant des valeurs « au hasard » aux variables (les lettres des expressions) on trouvera presque toujours des valeurs différentes pour les deux membres.

Pour la résoudre, il faut trouver la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie.

Exemple :

5x – 6 = 4 + 3x On va d’abord regrouper les constantes dans un seul membre :

5x – 6 + 6 = 4 + 3x + 6 5x = 3x + 10 On va ensuite regrouper les inconnues dans l’autre membre :

5x – 3x = 3x + 10 – 3x 2x = 10

On divise par « le nombre de x » pour « isoler x » : 2x

2 =10 2

x = 5 La solution de l’équation est 5 Preuve :

Si x = 5, on a :

5x – 6 = 5 × 5 – 6 = 25 – 6 = 19 4 + 3x = 4 + 3 × 5 = 4 + 15 = 19

II.- EQUATIONS PRODUITS

Lorsqu’un produit est nul, cela signifie qu’au moins l’un des deux facteurs est nul.

On appelle équation produit le produit de deux équations du premier degré à une inconnue, de la forme : (ax + b)(cx + d) = 0

Les solutions de cette équation sont les solutions des équations : ax + b = 0 et cx + d = 0 Exemple :

Résoudre l’équation : (2x + 1)(3x – 5) = 0

Signifie que 2x + 1 = 0 ou 3x – 5 = 0

2x = 1 ou 3x = 5 x=−1

2 ou x=5 3 Les solutions de cette équation sont −1

2 et 5 3

III.- EQUATIONS DU TYPE x²=a

Règle : Soit a un nombre relatif donné :

- Si a < 0 alors l'équation

x²=a

n'a pas de solution.

- Si a = 0 alors l'équation

x²=a

a une seule solution 0.

- Si a > 0 alors l'équation

x²=a

a deux solutions : l'une positive 

^a

, l'autre négative − 

^a.

Exemples :

L'équation

x²=7

a pour solutions x = 

⁷

^{et x =}

⁻



⁷

^.

L'équation x²=−1 n'a pas de solution car il n'existe pas de nombre dont le carré est –1.

(2)

IV.- RÉSOLUTION DE PROBLÈMES Exemple :

Cinq personnes se partagent 1075 F. Trouve la part de chacune sachant que la seconde a 27 F de plus que la première ; que la troisième a 27 F de plus que la seconde et ainsi de suite jusqu’à la cinquième.

On ne connaît la part d’aucune des personnes. Mais dès qu’on connaît la part d’une personne, on peut trouver la part des autres.

1. Choix de l’inconnue On appelle x la part de la première personne.

2. Mise en équation du problème On traduit l’énoncé :

· part de la première personne : x

· part de la deuxième personne : x + 27

· part de la troisième personne : x + 27 + 27 soit x + 54

· part de la quatrième personne : x + 54 + 27 soit x + 81

· part de la cinquième personne : x + 81 + 27 soit x + 108 On a donc :

part 1 + part 2 + part 3 + part 4 + part 5 = 1075 x + x+27 + x+54 + x+81 + x+108 = 1075

x + x + x + x + x + 27 + 54 + 81 + 108 = 1075 5 x + 270 = 1075

3. Résolution de l’équation 5 x + 270 = 1075

5 x + 270 - 270 = 1075 - 270 5 x = 805

5x 5 =805

5

CHAPITRE 8 : LES ÉQUATIONS