E345-L'énigme d'Andy

E345-L'énigme d'Andy

Source : Andy Liu – Maths Horizons Février 2004 Zig a rendu visite à Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C), les trois spécialistes du calcul des décimales du nombre π (voir D1846). Il a inscrit sur le front de chacun d’eux un entier positif en leur signalant que l’un des trois entiers est la somme des deux autres.

Le dialogue suivant s’établit entre les trois amis : Alice : Je ne connais pas mon nombre.

Benjamin : Je ne connais pas mon nombre.

Cunégonde : Je ne connais pas mon nombre.

Alice : Je connais mon nombre qui est 95.

Déterminez les deux autres nombres.

Solution

Proposée par Fabien GIGANTE

Problème général

Considérons le problème plus général suivant. Les trois amis sont assis autour d’une table ronde et prennent la parole à tour de rôle dans le sens anti-horaire. Le dialogue se déroule de la façon qui suit. Lors des 𝑛 − 1 premières prises de parole, chacun affirme qu’il ne connait pas son nombre. A la 𝑛^ième prise de parole, celui dont c’est le tour affirme qu’il connait son nombre et l’énonce.

Théorème :

Si 𝑛 > 2, le nombre énoncé par le dernier à prendre la parole est de la forme 𝑘𝐹𝑛+1, l’ami à sa gauche a le nombre 𝑘𝐹𝑛 et celui à sa droite le nombre 𝑘𝐹𝑛−1 où 𝐹𝑛 est le 𝑛^ième terme de la suite de Fibonacci.

Démonstration :

Rang 𝑛 = 1. Alice voit le nombre 𝑏 de Benjamin et le nombre 𝑐 de Cunégonde. Elle sait alors que son propre nombre 𝑎 est 𝑎 = 𝑏 + 𝑐 ou 𝑎 = |𝑏 − 𝑐|. La seule configuration lui permettant d’énoncer son nombre est celle qui égalise ces deux quantités. On a alors nécessairement 𝑏 = 0 ou 𝑐 = 0. C’est à dire (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑘, 𝑘, 0) 𝑜𝑢 (𝑘, 0, 𝑘).

Rang 𝑛 = 2. Benjamin voit le nombre 𝑎 d’Alice et le nombre 𝑐 de Cunégonde. Il sait alors que son propre nombre 𝑏 est 𝑏 = 𝑐 + 𝑎 ou 𝑏 = |𝑐 − 𝑎|. Il sait que 𝑏 ≠ 0 et 𝑐 ≠ 0 puisqu’Alice n’a rien énoncé. Comme précédemment, le cas 𝑎 = 0 permet à Benjamin de conclure. Le seul autre cas où il peut conclure est quand 𝑎 = 𝑐, en effet il élimine alors l’hypothèse 𝑏 = |𝑐 − 𝑎| = 0 qui contredit 𝑏 ≠ 0, et affirme alors que 𝑏 = 𝑐 + 𝑎 = 2𝑎. C’est à dire (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (0, 𝑘, 𝑘) 𝑜𝑢 (𝑘, 2𝑘, 𝑘).

Rang 𝑛 = 3. Cunégonde voit le nombre 𝑎 d’Alice et le nombre 𝑏 de Benjamin. Elle sait alors que son propre nombre 𝑐 est 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 ou 𝑐 = |𝑎 − 𝑏|. Elle sait aussi que 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑎 ≠ 𝑐 car ces cas auraient permis à Alice ou Benjamin d’énoncer leurs nombres. Toutefois, elle peut encore conclure si et seulement si 𝑏 = 2𝑎. En effet, dans ce cas de figure, elle élime l’hypothèse 𝑐 = |𝑎 − 𝑏| = 𝑎 qui contredit 𝑎 ≠ 𝑐, et affirme que 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 = 3𝑎. C'est-à-dire (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑘, 2𝑘, 3𝑘) = (𝑘𝐹2, 𝑘𝐹₃, 𝑘𝐹₄).

Supposons le théorème vrai jusqu’au rang 𝑛 − 1, et plaçons-nous au rang 𝑛. Celui dont c’est le tour de parler voit les nombres 𝑎𝑛−1 et 𝑎𝑛−2 de ses amis de gauche et droite respectivement. Il sait que son propre nombre 𝑎𝑛 est 𝑎𝑛= 𝑎_𝑛−1+ 𝑎_𝑛−2 ou 𝑎𝑛= |𝑎_𝑛−1− 𝑎_𝑛−2|. Et il sait aussi que (𝑎𝑛, 𝑎_𝑛−2, 𝑎_𝑛−1) ≠

(𝑘𝐹_𝑛−2, 𝑘𝐹_𝑛−1, 𝑘𝐹_𝑛) qui aurait permis à son prédécesseur d’énoncer son nombre. Il peut donc conclure si et seulement si (𝑎𝑛−2, 𝑎_𝑛−1) = (𝑘𝐹_𝑛−1, 𝑘𝐹_𝑛), en éliminant l’hypothèse contradictoire 𝑎𝑛= |𝑎_𝑛−1− 𝑎_𝑛−2| = 𝑘𝐹_𝑛− 𝑘𝐹_𝑛−1= 𝑘𝐹_𝑛−2 et en affirmant que 𝑎𝑛= 𝑎_𝑛−1+ 𝑎_𝑛−2= 𝑘𝐹_𝑛−1+ 𝑘𝐹_𝑛= 𝑘𝐹_𝑛+1. C'est-à-dire (𝑎_𝑛−2, 𝑎_𝑛−1, 𝑎_𝑛) = (𝑘𝐹_𝑛−1, 𝑘𝐹_𝑛, 𝑘𝐹_𝑛+1). Le théorème est vrai au rang 𝑛.

Retour au cas de l’énoncé

Si 𝑛 = 4 et 𝑎 = 95, alors (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑘𝐹5, 𝑘𝐹3, 𝑘𝐹4) = (5𝑘, 2𝑘, 3𝑘) = (95, 38, 57).

Alice, Benjamin et Cunégonde ont respectivement les nombres 95, 38 et 57.