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Solution. Considerons les points de coordonees

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Academic year: 2022

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D368. Distances à la queue leu-leu

Montrer qu’il existe un ensemble de points dans l’espace à trois dimensions tels que les carrés de toutes distances qui séparent les points pris deux à deux permettent d’obtenir exclusivement au moins une fois les valeurs entières de 1 à 10.

Solution. Considerons les points de coordonees { (a+k , a +l , a+m) a ∈ℝ , 0≤k ,l , m≤2 } ∪( a , a+2, a+2 ) . On

obtient 1=1

2

=(a −a )

2

+(a −a )

2

+[ a−(a +1 )]

2

, 2=(a −a )

2

+[ a−(a +1)]

2

+[a −(a +1)]

2

, 3=[ a −( a+1 )]

2

+[ a −( a+1)]

2

+[ a−(a +1 )]

2

, 4=(a −a)

2

+(a −a)

2

+[a −( a+2)]

2

,

5=(a −a )

2

+[ a −( a+1)]

2

+[a −(a +2)]

2

, 6=[ a −( a+1)]

2

+[a −(a +1)]

2

+[ a −( a+2)]

2

,

7=[ a −( a+1 )]

2

+[ a −( a+2 )]

2

+[ a −( a+2)]

2

=1 +2+4 , 8=(a −a)

2

+[ a −( a+2)]

2

+[a −(a +2)]

2

,

9=[ a −( a+1 )]

2

+[ a −( a+2)]

2

+[a −(a +2 )]

2

=1+4+4 et

10=[a −(a + √ 2)]

2

+[a −(a +2)]

2

+[ a−(a +2)]

2

=2+4+4

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