D368. Distances à la queue leu-leu
Montrer qu’il existe un ensemble de points dans l’espace à trois dimensions tels que les carrés de toutes distances qui séparent
les points pris deux à deux permettent d’obtenir exclusivement au moins une fois les valeurs entières de 1 à 10.
Solution. Considerons les points de coordonees { (a+k , a +l , a+m) a ∈ℝ , 0≤k ,l , m≤2 } ∪( a , a+ √ 2, a+2 ) . On
obtient 1=1
2=(a −a )
2+(a −a )
2+[ a−(a +1 )]
2 , 2=(a −a )
2+[ a−(a +1)]
2+[a −(a +1)]
2 , 3=[ a −( a+1 )]
2+[ a −( a+1)]
2+[ a−(a +1 )]
2 , 4=(a −a)
2+(a −a)
2+[a −( a+2)]
2 ,
5=(a −a )
2+[ a −( a+1)]
2+[a −(a +2)]
2 , 6=[ a −( a+1)]
2+[a −(a +1)]
2+[ a −( a+2)]
2 ,
7=[ a −( a+1 )]
2+[ a −( a+ √ 2 )]
2+[ a −( a+2)]
2=1 +2+4 , 8=(a −a)
2+[ a −( a+2)]
2+[a −(a +2)]
2 ,
9=[ a −( a+1 )]
2+[ a −( a+2)]
2+[a −(a +2 )]
2=1+4+4 et
10=[a −(a + √ 2)]
2+[a −(a +2)]
2+[ a−(a +2)]
2=2+4+4