Équations différentielles d’ordre 2

Fiche n^◦18 (S18-7b)

Équations différentielles d’ordre 2

Exercice1 (Équation du type y^′′+ωy = 0)

Résoudre les équations différentielles suivantes dans lesquellesy est une fonction de la variablet définie et deux fois dérivable surR

1. y^′′+ 16y= 0 2. 25y^′′+y= 0

3. 4y^′′=−25y 4. 169y+ 4y^′′= 0

Exercice2 (Équations du type y^′′+ωy= 0 avec conditions initiales) 1. Résoudre l’équation différentielle 9y^′′+y= 0.

2. Déterminer la solution particulièref vérifiant les deux conditions f(0) =−√

3 etf

3π

2

= 1.

3. Montrer que pour toutxdeR: f(x) = 2 cos

x

3 −5π 6

. 4. Résoudre dans Rl’équation f(x) = 0.

Exercice3 (Équations du type y^′′+ωy= 0 avec conditions initiales) 1. Résoudre l’équation différentielle 4y^′′+ 9y= 0.

2. Déterminer la solution particulièref de l’équation (E) vérifiant fπ

3

=√

3 etf^′(π) = 0.

3. Donner la solution sur l’intervalle [ 0 ; 2π[ de l’équationf(x) =√ 3.

Exercice4 (Bac STI2D Divers QCM)

1. Soitf la fonction définie surRparf(x) = 2 cos

4

3x−π 6

. La fonctionf est une solution de l’équation différentielle :

a. y^′′+y= 0 b. 16y^′′−9y= 0 c. 9y^′′+16y= 0 d. 9y^′′−16y= 0 2. On considère l’équation différentielle y^′−3y = 2, oùy désigne une fonction

dérivable sur l’ensemble des réels. Une solution f de cette équation est la fonction de la variablexvérifiant pour tout réelx:

a. f(x) = 2e^−3x b.f(x) = e^3x+2

3 c. f(x) = e^23x d.f(x) = e^3x− 2 3 3. f est définie par :f(t) = 3 cos

5t−π 2

est solution de

a. y^′+ 3y= 0 b. y^′′+ 25y= 0 c. y^′′−5y= 0

4. L’équation différentielley^′′+ 4y= 0 admet pour solution la fonctionf définie, pour tout réelx, par :

a. f(x) = 2 sin x+π

2

b. f(x) = 5 sin

2x+π 3

c. f(x) = 4 sin x+π

4

d. f(x) = sin

4x+π 2

5. La solutionf de l’équation différentielley^′′+ 4π²y = 0 qui vérifief(0) =−1 et f^′(0) = 0 admet comme représentation graphique :

a. b.

1

−1

−1 1

−2 0

1

−1

−1 1

−2 0

c. d.

1

−1

−1 1

−2 0

1

−1

−1 1

−2 0

6. Les solutions de l’équationy^′−2y= 0 sont les fonctions du type :

a. x7→ke^2x, k∈R b. x7→ke^−2x, k∈R c. x7→ke^2x+k, k∈R 7. On considère l’équation différentielle y^′′+ 9y= 0, où y désigne une fonction

deux fois dérivable sur l’ensemble des réels. Une solution f de cette équation est la fonction de la variable xvérifiant pour tout réelx:

a. f(x) = 4e^9x b. f(x) =−0,2e^−9x c. f(x) = 7 cos(9x)−0,2 sin(9x) d. f(x) = 0,7 sin(3x)

8. On considère l’équation différentielle y^′+ 7y = 0, oùy désigne une fonction dérivable sur l’ensemble des réels. La solution f de cette équation telle que f(0) = 9 est la fonction de la variablexvérifiant pour tout réelx:

a. f(x) = 9e^7x b. f(x) = 9e^−7x

c. f(x) =−9e^7x d. f(x) =−9e^−7x

N. DAVAL 1/1 Lycée Georges Brassens