A R K I V F O R M A T E M A T I K Band 5 nr 33
1 . 6 4 11 1 C o m m u n i q u 6 le 9 S e p t e m b r e 1964
Sur les repr6sentations de l'unit~ par les formes binaires biquadratiques du premier rang
Par TRYGVE NAGELL
TABLE DES MATIERES
w 1. L o s f o r m e s b i n a i r e s ~ c o e f f i c i e n t s e n t i e r s . . . 4 7 8 1. ] ~ q u i v a l e n c e . . . 4 7 8 2. R e p r 6 s e n t a t i o n s . . . 4 7 8 3. ] ~ q u i v a l e n c e d e d e u x f o r m o s d o n n 6 e s . . . 4 7 9 4. L e s f o r m e s b i n a i r e s b i q u a d r a t i q u e s d u p r e m i e r r a n g . . . 4 8 0 w 2. C l a s s i f i c a t i o n d e s c o r p s b i q u a d r a t i q u e s d u p r e m i e r r a n g . . . 4 8 2 5. R 6 s u m 6 d e c e r t a i n s r 6 s u l t a t s a n t 6 r i e u r s . . . 4 8 2 w 3. L o s u n i t 6 s b i n a i r e s d a n s l e s c o r p s b i q u a d r a t i q u e s d u p r e m i e r r a n g . . . 4 8 4 6. I n t r o d u c t i o n . . . 4 8 4 7. L e s 6 q u a t i o n s (16), ( 1 6 ' ) , (17) e t (18) p o u r v # 0 . . . 4 8 6 8. L e s 6 q u a t i o n s ( I 7 ) e t (18) p o u r v = 0 . . . 4 9 0 w 4. S u r l a r 6 s o l u b i l i t 6 s i m u l t a n 6 e d e c e r t a i n e s 6 q u a t i o n s d u p a r a g r a p h e
p r 6 c 6 d e n t . . . 4 9 2 9. L e c a s A = 1 . . . 4 9 2 10. L e c a s A = 3 . . . 4 9 4 w 5. L e n o m b r o d e r e p r 6 s e n t a t i o n s d e l ' u n i t 6 d a n s l e s d i f f 6 r e n t s c a s . . . 4 9 8 11. R 6 s u m 6 d e s r 6 s u l t a t s 6 t a b l i s d a n s l e s n u m 6 r o s 7 - 1 0 . . . 4 9 8 12. L e s f o r m e s d e s c a t 6 g o r i e s 2, 8, 9, 10, 11, 12 e t 13 . . . 5 0 4 13. L o s f o r m e s d e s c a t 6 g o r i e s 3 e t 14 . . . 5 0 4 14. L e s f o r m e s d e l a c a t 6 g o r i e 4 . . . 5 0 4 15. L e s f o r m e s d e s c a t 6 g o r i e s 5 e t 7 . . . 5 0 4 16. L e s f o r m e s d o l a c a t 6 g o r i e 6 . . . 5 0 5 17. R o m a r q u e s s u r l e s r 6 s u l t a t s o b t o n u s d a n s l e s n u m 6 r o s 1 1 - 1 6 . . . . 5 0 9 18. L o s f o r m e s e n g e n d r 6 e s p a r u n o u n i t 6 . . . 5 1 1 19. L e c a l c u l n u m 6 r i q u e . . . 5 1 3 2 0 . L o n o m b r o d e r e p r 6 s e n t a t i o n s d e l ' u n i t 6 a p r ~ s r o l e t r a n s f o r m a t i o n
l i n 6 a i r e . . . 5 1 5 w 6. S u r l a p o s s i b i l i t 6 d e g 6 n 6 r a l i s o r l e s r 6 s u l t a t s p r 6 c 6 d e n t s . . . 5 1 6 21. L e s f o r m o s b i n a i r e s c y c l o t o m i q u e s . . . 5 1 6 2 2 . C a s g 6 n 6 r a l d e s f o r m e s b i n a i r e s d e d e g r 6 s u p 6 r i e u r . . . 5 2 0 I n d e x b i b l i o g r a p h i q u e . . . 5 2 1
3 3 : 6 4 7 7
T. ~ACELL, Les reprdsentations de l'unitg par les formes binaires biquadratiques w 1. Les formes binaires h coefficients entiers
1. ]~quivalenee. Soit donn@e la f o r m e b i n a i r e d u degr6 n( >~ 3)
F(x, y) = a o x n + a i x n- ly +... + an yn, (1) coefficients e n t i e r s a0, al, ..., an, e t i r r d d u c t i b l e d a n s le d o m a i n e r a t i o n n e l . N o u s ddsignerons c e t t e f o r m e p a r le s y m b o l e ((a 0, a 1 .. . . . an)). P a r la t r a n s f o r m a t i o n lindaire
x = e u + ]v, y = g u + hv, (2)
off e, /, 9, h s o n t des n o m b r e s e n t i e r s tels que eh # / g , la f o r m e (1) sera t r a n s f o r m d e d a n s la f o r m e
G(u, v) = aou n § a~u n iv - ~ . , . 4- a'nv n, (3) qui sera d g a l e m e n t i r r d d u c t i b l e e t a u r a les coefficients entiers. On a @videmment a o = F ( e , g) e t a'~=F(/, h). Si ~7 est u n e r a c i n e de l ' d q u a t i o n F(x, - 1 ) = 0 , il e x i s t e u n e r a c i n e ~1 de F d q u a t i o n G(u, - 1 ) = 0 telle q u ' o n air
/ + hn (4)
~h - e + g~"
E n t r e les d i s c r i m i n a n t s D ( F ) et D(G) des d e u x f o r m e s (1) et (3) on a la r e l a t i o n
D( G) = (eh -/g)n(~-l)D(F). (5)
Les f o r m e s (1) e t (3) s o n t d i t c s ~quivalentes ou de re@me classe q u a n d la t r a n s f o r m a - t i o n (2) est u n i m o d u l a i r e , c'est-&-dirc l o r s q u e eh /g = _+ 1. D e u x f o r m e s @quivalentes o n t le m ~ m e d i s c r i m i n a n t . C e p e n d a n t , d e u x f o r m e s a y a n t le m@me d i s c r i m i n a n t n ' a p p a r t i e n n e n t p a s n d c e s s a i r e m e n t ~ la m@me classe. Or, on a l e r@sultat f o n d a m e n - t a l de H e r m i t e (voir [1] 1, p. 191-216) :
I1 n' y a qu' un nombre /ini de classes de/ormes binaires du n-i@me degrd dt discriminant donnd.
P o u r les f o r m e s c u b i q u e s A r n d t (voir [2], p. 309-321) a ddvdlopp@ une m d t h o d e effective p o u r d d t e r m i n e r les classes b, d i s c r i m i n a n t positif donnd. B e r w i c k et M a t h e w s o n t r6solu le probl@me c o r r e s p o n d a n t p o u r les classes & d i s c r i m i n a n t n d g a t i f donn6 {voir [3], p. 48-53, e t [4], p. 128-138). P o u r les f o r m c s d ' u n degrd >~4 il n ' e x i s t e p a s encore de m d t h o d e p r a t i q u e p o u r d 6 t e r m i n e r les classes.
2. R e p r e s e n t a t i o n s . D ' a p r ~ s u n thdor~me b i e n connu d ' A x c l T h u e on a l e r d s u l t a t : Le nombre de reprdsentations d ' u n nombre entier donnd par une /orme binaire, irrd- ductible, de degr@ >i 3; est limitd.
C e p e n d a n t , la m d t h o d e de T h u e n e d o n n e a u c u n procdd6 gdndral p o u r effective- m e n t d d t e r m i n e r t o u t e s les r e p r d s e n t a t i o n s 6ventuelles d ' u n n o m b r e e n t i e r d o n n 6 p a r u n e f o r m e donnde; elle ne d o n n e n o n p l u s a u c u n m o y e n p o u r r e c o n n a l t r e si u n e n t i e r e s t repr@sentable p a r la f o r m e ou non. Cela e s t une cons@quence d ' u n e c e r t a i n e s u p p o s i t i o n qui e s t ndcessaire d a n s la d 6 m o n s t r a t i o n de T h u e .
1 Les num6ros figurant entre crochets renvoient ~ la bibliographie plac~e ~ la fin de ce mdmoire.
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ARKIV FOR MATEMATIK. B d 5 n r 33 I1 est 6vident que les formes 6quivalentes repr6sentent les m~mes nombres; et le n o m b r e des repr6sentations est le m4me p o u r routes le formes de la m~me classe.
L a g r a n g e a m o n t r 6 q u ' o n p e u t se borner ~ 6tudier la repr6sentation de l'unit6 p a r les formes binaires (voir [5], p. 265).
Consid6rons ]'6quation
IF(x, y) = 1, (6)
off la forme est donnde p a r l'~quation (1). Supposons que cette ~quation poss~de la solution en n o m b r e s entiers x =x0, y =Y0. Alors, p a r la t r a n s f o r m a t i o n unimodulaire
X - X o U + ] V , y = y o u + h v ,
avec x o h - y o / = • 1, h et / 6tant des entiers convenables, la forme sera transform~e dans une forme G(u, v), off le coefficient de u ~ est 4gal s 1. Ainsi on p e u t supposer que le coefficient de x ~ dans (6) est ~gal s 1. Alors t o u t e racine U de l'dquation F(x, - 1) = 0 est u n n o m b r e alg~brique entier du n-i~me degr~. Le probl~me de rdsoudre l'dquation diophantienne (6) en entiers x et y reviendra d o n c s ddterminer toutes les unitds de la forme x + y U a p p a r t e n a n t ~ l ' a n n e a u R(U ) du corps algdbrique engendrd p a r 7.
Seulement dans des cas particuliers on a pu rdsoudre ce probl~me complbtement. I1 s'agit alors s u r t o u t de certains cas off la forme est cubique ou biquadratique.
Les unitds x § U seront appeldes unitds binaires de l ' a n n e a u R(~]), m6me si xy=O.
Lorsque toutes les racines de l ' d q u a t i o n IF(x, - 1) - 0 sont imaginaires, il est dvident q u ' o n p e u t toujours ddterminer toutes les solutions de (6), ou, dventucllement, m o n t r e r qu'il n ' y a a u c u n e solution. P o u r cela on n ' a pas besoin du thdor~me de Thue.
Soit ~ u n n o m b r e algdbrique entier du n-i~me degrd, et ddsignons p a r _N(~) la n o r m e du n o m b r e ~ a p p a r t e n a n t au corps K(~). Alors, nous e n t e n d o n s p a r l a / o r m e binaire correspondant ~t ~ la forme N ( x - ~ y ) du n-i6me degr6.
3. ]~quivalenee de deux Iormes donn~es, Soient donndes les d e u x formes binaires irr6ductibles du n-i6me degr5 F(x, y) et G(u, v). C o m m e n t reconnaltre si celles-ci sont dquivalentes ou 'non? D ' a b o r d il f a u t ddterminer si les dquations F(x, - 1 ) - 0 et G(u, - 1) = 0 ddfinissent les m6mes corps alg6briques ou non. Cela p e u t 8tre effectual p a r une m d t h o d e ddveloppde dans Nagell [6], p. 183. Soient m a i n t e n a n t ~ une racine de l'dquation F(x, - 1 ) = 0 et ~ une racine de l'dquation G(u, - 1 ) = 0 , et supposons que ~ et U a p p a r t i e n n e n t au m~me corps. Soit de plus
U = r0 + rl~ -k... q- r~_l~ ~-1
et ~n = s o + s 1 $ +... + s~_l ~ - i ,
off les coefficients ro,:rl, ..., rn_lo So, sl, ..., 8n_ 1 sont rationnels. Le probl~me revient alors h ddterminer des n o m b r e s entiers a, b, d et d tels que a d - b c = _+ 1, et tels q u ' o n air
b + d ~
~ - a + c~" (7)
E n c o m p a r a n t tes coefficients de ~h dans la relation
v(a +c~) = (ro +rl~ + ...) (a +c~) =b +d~
on aura alors le syst~me suivant d'~quations lindaires dans les inconnues a, b, c et d : 479
T. :NAGELL, Les representations de l'unitg par les formes binaires biquadratiques rn_l SoC § roff,= b,
rn_lSlC § r l a + roC =d,
r ~ _ l % c § , etc.
I l est 6 v i d e n t que le p r o b l 6 m e d ' 6 q u i v a l e n c e p e u t ~tre rgsolu p a r c e t t e m 6 t h o d e . C e p e n d a n t , il f a u t o b s e r v e r que ~] d o i t p a r e o u r i r t o u s l e s eonjugu6s qui e n g e n d r e n t le m ~ m e corps que ~. P o u r l ' 6 q u i v a l e n c e il f a u t n a t u r e l l e m e n t que les d i s c r i m i n a n t s des f o r m e s s o i e n t 6gaux; or cela n ' e s t p a s suffisant.
S u p p o s o n s q u ' o n c o n n a l t t o u t e s les r e p r 6 s e n t a t i o n s d ' u n n o m b r e e n t i e r d o n n 6 /V, =4=0, de c h a c u n e des d e u x formes. S o i e n t p. ex. x = x ~ , Y ~ Y i , ( i = l , 2 . . . m) les s o l u t i o n s en n o m b r e s e n t i e r s de
F ( x , y ) = N
et u = u j , v = v j ( j = l , 2 . . . ~) les s o l u t i o n s en n o m b r e s e n t i e r s de G(u, v ) = N .
Si les f o r m e s s o n t 6 q u i v a l e n t e s il f a u t que/~ = m , a t q u ' o n a i t u j = a x ~ + b y i, v j = c x ~ + d y i ,
oh a, b, c et d s o n t des n o m b r e s e n t i e r s tels qua a d bc = _+ 1. P o u r d 6 t e r m i n e r a, b, c e t d il f a u t , b i e n e n t e n d u , v a r i e r les indices i e t j de r o u t e s les m a n i 6 r e s possibles.
D ' a i l l e u r s , l ' e x i s t e n c e de ces q u a t r e n o m b r e s n ' a s s u r e p a s l ' 6 q u i v a l e n c e des formes.
E n g6n6ral, on p e u t , p a r la m 6 t h o d e envisag6e, s e u l e m e n t c o n s t a t e r que les f o r m e s ne s o n t p a s 6quivalentes.
Si, d a n s F ( x , y) e t G(u, v), les coefficients de x n e t do u n s o n t t o u s l e s d e u x = 1, e t si les f o r m e s s o n t reli6es p a r la t r a n s f o r m a t i o n u = a x +by, v = c x +dy, il est 6 v i d e n t que le n o m b r e a + c~ est une unit6.
4. Les formes binaires b i q u a d r a t i q u e s du p r e m i e r r a n g . Soit donn6e la f o r m e b i n a i r e b i q u a d r a t i q u e
aox ~ + al xay + apx~y 2 § a3xy3 + a4y 4,
coefficients e n t i e r s r a t i o n n e l s , e t i r r d d u c t i b l e d a n s le d o m a i n e r a t i o n n e l . Si r o u t e s les q u a t r e r a c i n e s do l ' 6 q u a t i o n
ao x4 § a l x a § a 2 x 2 § aax + a a = 0
s o n t i m a g i n a i r e s , n o u s d i r o n s qua les corps b i q u a d r a t i q u e s engendr6s p a r celles-ci s o n t d u premier rang. D e m~me, nous d i r o n s que la f o r m e b i q u a d r a t i q u e est d u p r e m i e r rang.
D a n s le p r 6 s e n t t r a v a i l n o u s allons n o u s o c c u p e r des r e p r 6 s e n t a t i o n s de l ' u n i t 6 p a r une f o r m e pareille. N o u s n o u s p r o p o s o n s de d 6 t e r m i n e r les solutions en n o m b r e s e n t i e r s x e t y de l ' 6 q u a t i o n d i o p h a n t i e n n e
x 4 - p x a y + qxPy 2 - r x y 3 + sy ~ = 1,
oh p , q, r e t s s o n t des n o m b r e s entiers. Si 0 est une r a c i n e de l ' 6 q u a t i o n b i q u a d r a t i q u e i r r 6 d u c t i b l e
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ARKIV FOR MATEMATIK. B d 5 n r 33
x 4 - p x a + q x 2 - r x +8 = 0 ,
ce probl~me revient s ddterminer les unitds binaires x - O y dans l ' a n n e a u R ( 0 ) = R(1, 0, 02, 0 a) a p p a r t e n a n t au corps K(0). Le n o m b r e de celles-ci est d v i d e m m e n t fini, et dans u n cas n u m d r i q u e m e n t donnd elles p e u v e n t 6tre ddtermindes p a r u n procddd dldmentaire d ' d v a l u a t i o n numdrique. Or, cette m d t h o d e cst, bien entcndu, sans intdr~t scientifique, ne d o n n a n t a u c u n e idde du caract~re arithmdtique des solutions.
Le problbme doit ~tre trait6 p a r les mdthodes de la thdorie des n o m b r e s algdbriques.
U n b u t principal, entre autres, est d'dtablir le
Thfior~me 1. Dgsignons p a r M le nombre des reprdsentations de l'unitd par une /orme binaire biquadraiique du premier rang qui n' est pas de la catdgorie 1; vgir le ~ 2. Alors, M est au p l u s dgal h 8. Ce nombre m a x i m u m n'est atteint que pour deux classes de /ormes. I1 y a une in/init~ de classes d e / o r m e s pour lesquelles M - 6.
Le premier rdsultat sur lc n o m b r e de reprdsentations de l'unitd est dh s Adolf af E k e n s t a m qui a ddmontrd le thdorbme suivant :
Soient p, q et r des hombres entiers tels que rdquation x 4 - p x 3 + q x 2 - r x + 1 - 0
ait quatre racines imaginaires du quatri~me degrd, et soit le discriminant de lYquatiou
> 1024. Les corps biquadratiques engendr~s p a r cette dquation doivent satis/aire a u x conditions suivantes : L ' unitd /ondamentale est du quatri~me degr6. Les corps ne contien- nent aucune racine de l'unitd en dehors de + 1.
Cela posd, lYquation diophantienne
x 4 _ p x a y +qx2y2 _ r x y 3 +y4 = 1
admet au p l u s deux solutions en nombres entiers x et y outre les quatre solutions triviales x = + 1 , y = 0 et x = O , y = +_1.
La ddmonstration, qui n ' a pas dtd publidc, repose sur une m d t h o d e que j'ai ddvdlop- pde dans mes t r a v a u x sur les formes cubiqucs ~ discriminant ndgatif.
D a n s la s u i t e / o r m e signifiera toujours, saul dans le w 6, une forme binaire biquadra- tique, ((a0, al, a2, a3, a4)), ~ coefficients enticrs rationnels, du premier rang; les coeffi- cients a 0 e t a a sont supposds positifs.
D a n s le chapitre suivant nous allons d o n n e r u n e classification des corps biquadrati- ques du premier rang.
Remarque 1. Nous a u r o n s s o u v e n t besoin de calculer les discriminants des formes.
P o u r cela, n o t o n s que le discriminant de la forme ((%, al, a2, aa, a4) ) a p o u r expression
~ 1 _2,3 _ ~(24aoa2a4 + 3ala2a 3 _ ~a~ -- 9aoa~ -- 9a~a,) 2, 4(4a0a 4 - a l a 3 T ~(,2!
formule qui est valable p o u r toutes les valeurs des coefficients ao, al, a2, a a et at, i n d d p e n d a m m e n t du rang de la forme.
Remarque 2. U n e autre expression p o u r le discriminant s ' o b t i e n d r a de la manibre suivante : Soient
O - a + b i , O ' = a - b i , O " = c + d i , O ' " - c - d i
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T. NAGELL, Les representations de l'unitd par les formes binaires biquadratiques
les quatre racines d'une dquation biquadratique, les nombres a, b, c et d dtant rdels, bd # 0 . Alors on a
O - O ' = 2 b i , O " - O ' " = 2 d i ,
O - O " = a - c + ( b - d ) i , O ' - O ' " = a - c - ( b - d ) i , O - O " ' = a - c + ( b + d ) i , O ' - O " = a - c - ( b + d ) i . I1 en rdsulte que le discriminant du polynome
(z -0) (x -0')(x -0") (x -0'")
sera exprimd en fonction des nombres a, b, c et d ainsi qu'il suit 16b~d~[(a - c ) ~ + (b -d)2] 2- [(a - c ) 2 + (b +d)2] 2.
I1 est dvident que cette formule est valable seulement lorsque routes les racines du polynome sont imaginaires. Dans ce cas le discriminant est toujours positif, pourvu que les racines soient diffdrentes entre elles.
Remarque 3. On doit ~ W. Ljunggren un grand nombre de rdsultats sur la reprd- sentation d ' u n nombre entier par une forme binaire biquadratique de second rang;
rang d'une forme binaire irrdduetible=rang des corps algdbriques engendrds par les zdros de la forme. Parmi ces r~sultats, notons surtout la proposition suivante :
Soit donnde la /orme irrdductible dt coe//icients entiers p e t q F(x, y) = x 4 - pxay + qx2y 2 - p x y 3 + y4,
oit F(x, 1) a deux racines rdelles et deux racines imaginaires. D6signons p a r M le nombre de solutions de l'dquation
F(x, y) = 1
en nombres entiers x et y. Alors, si q # 2 [ p [ - 3 , on a M<~8. S i q = 2 [ p [ - 3 , on a M~<10.
Pour la d~monstration voir Ljunggren [12], p. 51-59. D'ailleurs, Ljunggren a aussi dtabli un grand nombre de rdsultats sur les dquations diophantiennes du type
Ax 4 - By 4 = C,
off A et B sont des nombres naturels, et oh C = 1, 2, 4 ou 8. Chacune de ces dquations admet au plus une solution en nombres entiers positifs x et y. La mdthode de ddmon- stration permet de reconnaitre s'il y a une solution ou non, et, dans le cas affirmatif,
de ddterminer la solution; voir Ljunggren [13].
w 2. Classification des corps biquadratiques du premier rang
5. R~sum~ de certains r~sultats ant~rieurs. Soit K un corps biquadratique du rang 1, c'est-A-dire t o u s l e s quatre corps conjuguds sont imaginaires. I1 est dvident que l'unitd fondamentale ~ de K peut ~tre choisie de fagon qu'on air [~[ > 1. I1 peut arriver que K admet un sous-corps U quadratique rdel. Dans ce cas nous ddsignons 482
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 5 n r 3 3
p a r s l'unitd fondamcntale de U; celle-ci sera choisie > 1. Pour indiquer le t y p e des corps nous employons les raccourcissements suivants : # signifie le nombre des sous- corps quadratiques rdels, v signifie le nombre des sous-corps quadratiques imagi- naires. N signifie que le corps n'est pus un corps de Galois. A signifie que le corps est abdlien, non-cyclique. (3 signifie que le corps est cyclique. K~ signifie que le corps est engendrd p a r une racine primitive n-ibme de l'unit6. S signifie que le sous-corps r~el n'est pas engendrd par 1/3, R(x m= 1) signific que les racines de l'unitd du corps sont les racines de l'dquation x " - 1 = 0 . N(a) signifie la norme de :r darts K.
Les corps en question se r~partissent en quatorze classes caractdrisdes de la fa~on suivante :
1 ~ # = v = 0 . R ( x 2 = l ) . N.
2 ~ ) # = 0 ; v = l . R ( x 2 = l ) . N.
3 ~ ) # = 0 ; v = l . R ( x 4 = l ) , N.
4 ~ ) # = 0 ; v = l . R ( x e = l ) . N.
5 ~ ) # = 1 ; v = 0 . R ( x 2 = l ) . N. ~ = s .
6 ~ ) t t = l ; v = 0 . R ( x l ~ K 5. C. ~ ] = s = 8 9 7 ~ ) # = 1 ; v = 2 . R ( x 2 = l ) . A . ~ = s .
8 ~ ~=1; v=2. R(x2 =l). A. ~ = V - ~ . ~>~2 +l/3. N(~) >0.
9 ~ ) # = 1 ; v = 2 . R ( x a = l ) . A. ~ = ~ . S.
10 ~ # = 1 ; v = 2 . R ( x 4 = l ) . A. ~=1/~= 89162 +i), off a est un nombre du sous-corps
K(~). e>~5+2V6. N(E)>0. S.
11 ~ ) # = 1 ; v = 2 . R ( x 6 = l ) . A . ~ = ~ . S.
12 o) ~=1; ~=2. R(x~=l). A. ~ = V ~ . s. ~>4+V1~. N(~) >0.
13 ~ ) # = 1 ; v = 2 . R ( x S = l ) . K s . A. ~ = e = l + V 2 .
14 ~ # = 1 ; v = 2 . R(x12 =1). KI~. A. ~ = U ~ = 8 9 +1/3) (1 +i).
A propos de la ddmonstration des rdsultats prdsentds dans ce tableau nous ren- voyons s Nagell [7], p. 351-361 et Nagell [8], p. 345. La classification que nous venons de donner ici, est la mSme que dans le travail [8]. Les classes 6, 13 et 14 ne contien- nent q u ' u n seul corps chacune. I1 y a dvidemment une infinit4 de corps dans chacune des autres classes. L'unitd fondamentale ~ est choisie de la mani~re la plus simple et la plus pratique. Duns la classe 6 il est possible de choisir ~ de vingt mani6res diffdrentes; en effet, il y a l e s possibilit~s suivantes :
+~, +~-1, + ~ , +~-1,
off ~ est une racine primitive cinqui~me de l'unit~, et off e = 8 9 Dans les classes 1, 2, 5, 7 et 8 il y a quatre possibilitds. Dans les classes 3, 9 et 10 il y a huit possibilitds. Dans les classes 4, 11, 12, 13 et 14 il y a douze possibilit6s.
Lorsque les corps biquadratiques du premier rang engendrds p a r l'dquation irrS- ductible
a o x 4 § a l x a + a ~ x 2 § a a X + a a = 0
483
T . NAGELL, Les reprgsentations de l'unitd p a r les f o r m e s binaires biquadratiques a p p a r t i e n n e n t ~ la elasse Z nous dirons que la forme ((ao, a~, a~, as, aa) ) a p p a r t i e n t la catggorie Z .
Le rdsultat de E k e n s t a m est d v i d e m m c n t limitd ~ certaines formes particuli6res a p p a r t e n a n t a u x catdgories 1, 2 et 8.
D a n s les chapitres suivants nous allons examiner les formes des catdgories 2-14.
I1 f a u t varier les mdthodes selon la catdgorie s laquelle a p p a r t i e n t la forme.
Correction a u travail [8]. P a g e 351, la ligne 7 ~ partir d ' e n bas doit ~tre 1 + ~ - 1 -- ~ 2 ~ - 1 = O, 1 -- ~2~] _ ~ - 2 ~ = O, 1 + ~ -- ~-2~]-1 = O.
w 3. Les unit6s b i n a i r e s d a n s l e s c o r p s b i q u a d r a t i q u e s d u p r e m i e r r a n g 6. Introduction. Soit donnde l'6quation
x 4 - p x 3 + qx 2 - rx + s = 0, (8)
irrdductible dans K(1), o~ p, q, r et s sont des n o m b r e s entiers rationnels. Les q u a t r e racines 0, 0', 0" et 0 ' " de (8) sont supposdes imaginaires. Nous nous proposons de ddterminer le n o m b r e exact et le caract~re arithmdtique des solutions de l'dquation d i o p h a n t i e n n e
N ( x - y O ) = x 4 p x a y § qx2y ~ - r x y a + s y 4 = 1 (9) en n o m b r e s entiers rationnels x et y, c'est-~-dire les propridtds des unit6s binaires x - O y .
Si x = x o, Y = Y o est une solution, l'6quation (9) est aussi satisfaite p a r x = - x 0 , Y = -Y0- On a toujours les deux solutions triviales y = 0 , x = • 1. E n ndgligeant ces solutions nous p o u v o n s supposer que y > 0. Il f a u t que (Xo, Y o ) = 1.
E n gdndral, dans nos recherches, une forme donnde p e u t 6tre remplacde p a r une forme dquivalente. P a r unc t r a n s f o r m a t i o n lindaire unimodulaire de la forme dans (9), le coefficient p p e u t ~tre rdduit modulo 4. Ainsi il suffit de supposer que p a l'une des valeurs 0, § 1 ou + 2 . L a valeur - 1 p e n t 6tre supprimde; en effet, si p - - 1 (mod 4) on p e u t remplacer 0 p a r - 0 . Le n o m b r e s est toujours positif.
N o u s nous bornerons a u x cas off K(O) contient un sous-corps q u a d r a t i q u e If. Ainsi les cas a p p a r t e n a n t & la classe 1 ne seront pas traitds dans ce travail. Supposons d ' a b o r d qu'il y a un sous-corps q u a d r a t i q u e If engendrd p a r le h o m b r e ] / ~ , off A est un n o m b r e entier rationnel > 0 qui n ' e s t divisible p a r a u c u n carrd > 1.
0 est du second degrd r e l a t i v e m e n t ~ U. Ainsi 0 est racine d ' u n e ~qua, tion quadrati- que x 2 - a x + b = O , irrdductible dans U, off les coefficients a et b sont des n o m b r e s entiers dans U. Soit 0" l ' a u t r e racine de cette dquation. Si - A n'est pas ~ 1 (mod 4) nous a v o n s alors
O+O"=u+vV--~, } (lO)
00'" = u 1 + v 1 V ~ ,
oh u, v, u I et v 1 sont des h o m b r e s entiers rationnels. P o u r les autres n o m b r e s conjuguds on a l e s relations
O' + O ' " = u - v V ~ ' I (11)
0 ' 0 " ' = u l - v~ t / - - ~ . J 484
ARKIV FOR MATEMATIK. Bd 5 n r 33 Ainsi, il est 6 v i d e n t q u ' o n p e u t supposer v >~0. E n effet, si v e s t ndgatif o n p e u t passer d u corps K(O) a u corps K(O').
De l ' i d e n t i t 6
(x - 0) (x - 0') (x - 0") (x - 0'")
= [X 2 - - (U @ V ~ - - A ) Z § 7s 1 § V l ~ / -- A ] [X 2 - - (U - - V V = A ) Z @ U 1 -- V l / - - A ] o n o b t i e n t les relations
p = 2 u , (12)
q = u 2 + A v 2 + 2 u l , (13)
r = 2 u u 1 + 2 A V V l , (14)
s =u~ +AVl ~. (15)
D ' a p r ~ s ce que n o u s v e n o n s de dir~ sur le coefficient p, il suffit de supposer que u = 0 ou = 1 l o r s q u ' o n n e d i s t i n g u e pas e n t r e les formes de la m~me classe.
Lorsque - - A - - 1 (mod 4) les formules (10)-(15) s e r o n t remplacdes p a r les f o r m u l e s
o + o"=~(u + ~,V:Z),
0 0 H = 1 (,/t 1 § Vl V ~ ) ,
o'+o'"=~(u-vV-A),
o ' o " ' = ~ ( u l - v l
~/~),
1o = u ,
1 2 1 2
q = ~ u + ~ A v + u l , r = l u u l + 8 9
- - 1 2 1 2
s - - ~ u l § ~ A v l ,
(lO')
(11')
(12') (13')
(14')
(15') off u, v, u 1 et Vl s o n t des n o m b r e s e n t i e r s r a t i o n n e l s tels q u e u = - v (mod 2) et u 1 ~ v 1 (mod 2). I1 suffit d v i d e m m e n t de supposer que u a l ' u n e des v a l e u r s 0, + 1 0u § MSme ici o n p e u t supposer v ~> 0.
N o u s ddsignerons la forme b i q u a d r a t i q u e ddfinie p a r les r e l a t i o n s (10), (11) ou p a r les r e l a t i o n s (10'), (11') p a r le s y m b o l e
[~, v, ul, vl; V ~ J .
A l ' a i d e de ces relations o n t r o u v e r a a i s d m e n t le d i s c r i m i n a n t D d u n o m b r e 0 et de la forme. Si - A n ' e s t pas ~ 1 (rood 4) o n a u r a
D = 16A2D1D2,
off D1 = (u 2 - Av 2 - 4ut) ~ + A(2uv - 4vl) 2
et D 2 = ( u v v 1 - v~ - u l v2) 2.
485
T. I'qAGELL, Les reprdsentations de l'unitd p a r les formes binaires biquadratiques
1 1 1
S i - A = 1 (rood 4) il f a u t , d a n s c e t t e formule, r e m p l a e e r u, v, u 1 et v 1 p a r ~u, ev, ~u 1 e t ~ v r
I1 est 6 v i d e n t que c e t t e f o r m u l e est v a l a b l e m 6 m e p o u r u n s o u s - c o r p s r6el, c'est-~- d i r e p o u r A < 0 . A u s s i les f o r m u l e s (10)-(15) e t (10')-(15') s u b s i s t e n t p o u r A < 0 .
P o u r t o u t e s les v a l e u r s d e A, il est 6 v i d e n t que les n o m b r e s v e t v 1 ne p e u v e n t p a s = 0 en m 6 m e t e m p s .
L ' d q u a t i o n (9) e n t r a i n e
x - O y = E , x - O ' y = E', x - O " y = E " , x - O ' " y = E ' " , off E , E ' , E " e t E " ' s o n t des u n i t 6 s conjugudes. N o u s a u r o n s d o n c
( x - Oy) ( x - O" y ) = x ~ - (0 + 0 " ) x y + O 0 " y 2 = E E " ,
off E E " est une u n i t d d a n s U. E x a m i n o n s d ' a b o r d le cas E E " = • l , d a n s lequel on a u r a
x 2 - ( u + v V - A ) x y + ( u I + V l V ~ ) y 2 = ~- 1, (16) l o r s q u e A + 1 n ' e s t p a s d i v i s i b l e p a r 4, e t
x 2 - ~ (u + v V ~ A) x y + 1 (u 1 + vl V - h ) y ~ = +_ 1 (16') l o r s q u e A + 1 est d i v i s i b l e p a r 4.
L o r s q u e A = 1 il f a u t a u s s i e x a m i n e r le cas E E " = +_i = h i , c ' e s t - s l ' d q u a t i o n x ~ - (u + v i ) x y + (u 1 + v l i ) y ~ = h i . (17) L o r s q u e A = 3 on a u r a d e p l u s s e x a m i n e r le cas E E " = _ ~ ( - 1 _+ 1 / - 3 ) , c ' e s t - m-dire l ' d q u a t i o n
x ~ - ~(u + v V - 3 ) x u + ~(u 1 + v l V - 3 ) U ~ = ~(hl + h 2 V - 3), (18) off h I e t h2, i n d ~ p e n d a m m e n t F u n d e l ' a u t r e , p r e n n e n t les v a l e u r s + 1 ou - 1.
7. Les ~quations (16), (16'), 0 7 ) e t (18) p o u r v # 0 . D e l ' d q u a t i o n (16) on o b t i e n t les d e u x r e l a t i o n s
x 2 - u x y + u l y ~ = _ 1, (19)
x v = yv 1. (20)
D ' a p r b s les s u p p o s i t i o n s f a i t e s p l u s h a u t n o u s a v o n s y > 0 e t v > 0 . On a (x, y ) = 1 . Si n o u s p o s o n s d = (v, Vl) n o u s a u r o n s de (20)
v (21)
X = d l ' Y = d "
P o u r que ces v a l e u r s d e x e t y s a t i s f a s s e n t A l ' d q u a t i o n (9) il f a u t e t il s u f f i t que eelles- ci s a t i s f a s s e n t ~ l ' d q u a t i o n (19) p o u r l ' u n ou l ' a u t r e des signes • 1.
L o r s q u e - A - 1 ( m o d 4) on o b t i e n t de (16'), a u lieu de (19), la r e l a t i o n 486
ARKIV F6R MATEMATIK. B d 5 nr 33
x 2 - l u x y + ~ u l y 2 = + 1, (19')
e t les s o l u t i o n s 6 v e n t u e l l e s s e r o n t t o u j o u r s d o n n d e s p a r les f o r m u l e s (21).
S o i t e n s u i t e A = 1. A l o r s o n a u r a d e (17)
x 2 - u x y + U l y 2 = O, (22)
- v x y + V l y 2 = h . (23)
O n e n c o n c l u t q u e y = + 1. A i n s i les v a l e u r s c o r r 6 s p o n d a n t e s d e x s e r o n t d 6 t e r m i n 6 e s p a r
1
x = - (v 1 - h). (24)
C e p e n d a n t , ces v a l e u r s d e x d o i v e n t s a t i s f a i r e ~ l ' d q u a t i o n (22), c ' e s t - h - d i r e s l ' ~ q u a - t i o n
x ~ - u x + u l = 0 (25)
E n g6n6ral, o n n ' a u r a q u ' u n e seule v a l e u r e n t i ~ r e d e x q u i s a t i s f a i t ~ la l o i s s (24) e t (25). S e u l e m e n t l o r s q u e o u 0 o u 0 - 1 e s t u n e r a c i n e p r i m i t i v e d o u z i 6 m e d e l ' u n i t 6 o n o b t i e n d r a d e u x v a l e u r s e n t i ~ r e s d e x q u i s a t i s f o n t ~ ces c o n d i t i o n s . E n effet, s u p p o s o n s q u e t o u s les d e u x h o m b r e s
1 1
XI = V ( v l -~ 1) e t x~ = v (vl - 1)
s o n t e n t i e r s . A l o r s il f a u t 6 v i d e m m e n t q u e v = 1 o u = 2. Si u = 0 o n a u r a n 6 c e s s a i r e m e n t
1 1
Xl = V (Vl-~-1)= V ~ I , X 2 = v ( V I - - 1 ) = - - ~ U 1 .
D o n c V l = 0 , v = l , u t = - 1 , X l = + 1 , x 2 = - 1 . P a r c o n s d q u e n t 0 e s t u n e r a c i n e d e l ' ~ q u a t i o n x a - x 2 + 1 = 0 , e t le c o r p s K(0) a p p a r t i e n t ~0 la classe 14. I1 e n r 6 s u l t e q u e l ' 6 q u a t i o n
x a _ x 2 y 2 + y 4 = 1
a d m e t les 8 s o l u t i o n s s u i v a n t e s : x = _ l , y = 0 ; x = 0 , y = + 1 ( s o l u t i o n p r o v e n a n t d e (21) e t (19)); x = 0 , y = - 1 ; x = 1 , y = + 1 ; x = + 1 , y = - 1 (les d e r n i ~ r e s q u a t r e s o l u t i o n s d 6 r i v e n t d e (24) e t (25)). I1 n ' y a p a s d ' a u t r e s s o l u t i o n s .
S o i t e n s u i t e u = 1. A l o r s o n a u r a
2x 1 + 1 = ~ (v I + 1) - 1 = V1 - 4 u 1,
2x 2 - 1 = _2 (vt _ 1) - 1 = - ]/1 - 4u~.
V
D o n c v = 2 , v a = l , u l = 0 , x 1 = 1 , x 2 = 0 . O n e n c o n c l u t q u e 0 e s t u n e r a c i n e d e l ' 6 q u a - t i o n
x 4 - 2x a + 5x 2 -- 4x + 1 = 0.
E n y r e m p l a ~ a n t x p a r (z + 1) -1 o n a u r a z a - z ~ + 1 = 0 . C e l a d d m o n t r e l ' a s s e r t i o n . 4 8 7
T. NAGELL, Les representations de l'unitg p a r les formes binaires biquadratiques Soit en[in A = 3 . A l o r s o n o b t i e n d r a d e (18)
X 2 -- l u x y § l U l y 2 = l h l , - 8 9 § ~ v i y e = ! h 2 2~
(26) ( 2 7 ) off h 1 = ~ 1 e t h 2 - • 1. O n e n c o n c l u t q u o y = § 1. A i n s i les v a l o u r s c o r r e s p o n d a n t e s d e x s e r o n t d 6 t e r m i n 6 e s p a r
x = 1 (v~ - h2). (28)
V
Ces v a l e u r s d e x d o i v e n t s a t i s f a i r e ~ la r e l a t i o n
x 2 - 89 § ~u 1 = ~h 1. (29)
S e u l e m e n t d a n s d e s cas p a r t i c u l i e r s la f o r m u l e (28) r e n d d e u x v a l e u r s e n t i 6 r e s d e x q u i s a t i s f o n t ~ l ' 6 q u a t i o n (29). S u p p o s o n s m a i n t e n a n t q u e t o u s los d e u x n o m b r e s
X l = v ( V l § ) e t x 2 =
(Vl--1)
(30)s o n t e n t i e r s . C e t t e h y p o t h 6 s e e n t r a l n e 6 v i d e m m e n t ou v = 1 o u v = 2. Si u = 0 il f a u t q u e v - 2 , v u q u e u - v ( m o d 2). D a n s ce cas les q u a t r e v a l o u r s de x s a t i s f a i s a n t (29) s o n t
-- 2 1 - - - - ~ ~ U i "
V u q u e x 1 + x 2 = 21 (v I + 1) + 89 1 - 1) = v 1 n e p e u t p a s ~tre = 0, o n o b t i e n d r a x 2 1 = 1 h i - 1 U l e t x 2 = - l h i - l - u 2 1~
d o n ~ = h i = + 1 e t + = u .
O n e n c o n c l u t q u ' o n a u r a l ' u n d e s d e u x cas : 1 ~ x 1 - 1, xe = 0, c o r r e s p o n d a n t s v 1 = 1, e t 2 ~ X l = 0 , x 2 = - 1 , c o r r e s p o n d a n t s v l = - 1 . D a n s t o u s les d e u x cas o n a u r a u 1 = - 1 . P o u r v 1 = 1 le h o m b r e 0 e s t u n e r a c i n e d e l ' 6 q u a t i o n
x 4 + 2x ~ - 3x + 1 = 0. (31)
Si v z = - 1 o n a u r a s e u l e m e n t s r e m p l a c e r - 3x p a r + 3x. I1 r d s u l t e d e ce q u i p r d c 6 d e q u e l ' d q u a t i o n
x 4 + 2xey2 _ 3xya + ya = 1 (32)
a d m e t les 8 s o l u t i o n s s u i v a n t e s : x = _+ 1, y = O; x - 1 , y = 2 ( s o l u t i o n p r o v e n a n t d e (21) e t (19')); x = - 1 , y = - 2 ; x = l , y = l ; x = - 1 , y = - 1 ; x = 0 , y = ! l (les d e r n i 6 r e s q u a t r e s o l u t i o n s d d r i v o n t d e (28) e t (29)). I1 n ' y a p a s d ' a u t r e s s o l u t i o n s .
L e c o r p s K(O) a p p a r t i e n t ~ la classe 4. E n e f f e t la r 6 s o l v a n t e c u b i q u e d e (31) d o n n d e p a r
z 3 §
n ' a d m e t p a s d ' a u t r e s r a c i n e s r a t i o n n e l l e s q u e z = - 3 .
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 5 n r 33 Consid~rons ensuite le cas u = 2 , v = 2 . A l o r s les q u a t r e v a l e u r s d e x s a t i s f a i s a n t (29) s o n t
I_+V~ ~u 1 ( p o u r h l = l ) (33)
e t _1 + V ~ 2 - - 4 _ 89 ( p o u r h i = - l ) . (34)
Si n o u s p o s o n s
~ ( v l + l ) = l + ~ / ~ ~u 1, ~ ( v l - 1 ) = 8 9 1,
n o u s a u r o n s 1 = 3 - 2 U l , d ' o f i u 1 = 1, v 1 = 1, x 1 = 1 e t x 2 = 0 . L e n o m b r e 0 s e r a u n e r a c i n e d e l ' ~ q u a t i o n
x 4 - 2x a + 5x 2 - 4x + 1 = 0.
Or, n o u s v e n o n s de v o i r q u e , d a n s ce cas, 0 - 1 - 1 e s t u n e r a c i n e d e l'dquation d - z 2 § l = 0 .
I1 f a u t aussi e x a m i n e r la p o s s i b i l i t 6
~ ( v l + l ) = ~ + ] / - 1 - ! u 2 1, l ( v l - 1 ) = 8 9 1 8 8 I1 e n r 6 s u l t e q u e u l = - 1 , v l = l . D o n c 0 = 89 + l / ~ ) .
I1 r e s t e e n c o r e t~ c o n s i d d r e r la p o s s i b i l i t d q u e t o u s l e s q u a t r e h o m b r e s (33) e t (34) s o i e n t e n t i e r s s la lois. D a n s ce cas o n a u r a i t
3 - 2 u 1 = t ~, - 1 - 2u 1 = t~,
off t e t t 1 s o n t e n t i e r s . Or, c e l a e n t r a i n e t 1 = 0, ce q u i e s t 6 v i d e m m e n t i m p o s s i b l e . Considgrons finalement le cas u = v = 1. A l o r s les q u a t r e v a l e u r s d e x s a t i s f a i s a n t (29) s o n t
e t 88 ~u 1 ( p o u r h 1 = 1 ) (35)
--+ ~/-- i~ 7 - s u I ' ( p o u r h 1 = - 1). (36)
I1 e s t d v i d e n t q u e les d e u x n o m b r e s (35) n e p e u v e n t p a s 6 t r e e n t i e r s e n m 6 m e t e m p s , v u q u e l e u r s o m m e e s t = ~. M ~ m e c h o s e p o u r les d e u x n o m b r e s (36). E s t - i l p o s s i b l e q u e l ' u n d e s n o m b r e s (35) s o i t e n t i e r e n m 6 m e t e m p s q u e l ' u n d e s n o m b r e s (36)?
P o u r cela il f a u t q u ' o n a i r
9 - 8 u l = t 2 e t - 7 - 8 u l = t ~
off t e t t 1 s o n t d e s n o m b r e s n a t u r e l s . Ce s y s t b m e e s t s a t i s f a i t s e u l e m e n t p o u r t = 5 , t 1 = 3 e t u 1 = - 2 . A l o r s , e n p o s a n t
x 1 = v 1 - 1 = } (1 - ] / 9 - 8ul),
x ~ : vl + 1 : ~(1 + V = 7 - sul),
o n a u r a X l = - 1 , x 2 = § c o r r e s p o n d a n t s y = + 1 , e t e n c o r e v l = 0 . ~Dans ce cas le h o m b r e 0 e s t u n e r a c i n e d e l ' 6 q u a t i o n
x 4 - x a - x 2 + x § = 0 .
4 8 9
T. NAGELL, Les reprgsentations de l'unitg par les formes binaires biquadratiques P a r c o n s d q u e n t , l ' d q u a t i o n
x4 _ x3y _ x2y2 § xy3 ~_ y4 = 1
a d m e t les 8 s o l u t i o n s s u i v a n t e s : x = • y = 0 ; x = O , y = • x = l , y = • x = - 1 , y = • 1. I1 n ' y a p a s d ' a u t r e s s o l u t i o n s .
L e c o r p s K(0) a p p a r t i e n t & la classe 4. E n effet, o n a
o= i(1+ V )+_iV14 + 2 ( - 3 .
L e c o r p s K(0) e s t d v i d e m m e n t e n g e n d r 6 p a r le n o m b r e
= 20 - 1 (1 + V - 3 ) , q u i e s t u n e r a c i n e d e l ' d q u a t i o n
x 4 - 7 x 2 §
L a r d s o l v a n t e c u b i q u e d e celle-ci e s t d o n n d e p a r l ' ~ q u a t i o n z 3 - 14z 2 - 3z = 0,
q u i n ' a d m e t a u c u n e s o l u t i o n r a t i o n n e l l e a u t r e q u e z = 0 .
8. Les ~quations (17) et (18) pour v = 0 . S u p p o s o n s q u e v = 0 . A l o r s les d q u a t i o n s (16), (16') e t (20) c o n d u i s e n t a u x s o l u t i o n s y = 0 , x = • 1. A i n s i , e n f a i s a n t a b s t r a c t i o n d e ces s o l u t i o n s t r i v i a l e s , o n p e u t se b o r n e r s c o n s i d d r e r les d q u a t i o n s (17) e t (18).
S o i t A = 1 e t c o n s i d d r o n s l ' d q u a t i o n (17). Celle-ci d o n d u i t s (22) e t (23). D e la d e r - n i t r e r e l a t i o n o n a u r a p o u r v = 0 , y = + 1 e t v l = _+ 1. L e s v a l e u r s de x s ' o b t i e n d r o n t d e l ' d q u a t i o n
x 2 - u x + u 1 = 0 . (37)
L a c o n d i t i o n n d c e s s a i r e e t s u f f i s a n t e p o u r u n e s o l u t i o n r a t i o n n e l l e d e celle-ci e s t q u e ~u 2 - u 1 s o i t le c a r r d d ' u n n o m b r e r a t i o n n e l . Si c e t t e c o n d i t i o n c s t r e m p l i e il y a d e u x v a l e u r s e n t i ~ r e s d e x q u i c o r r e s p o n d e n t h y = + 1.
S o i t d ' a b o r d u = 0. A l o r s - u 1 d o l t ~tre u n carrd. E n p o s a n t u 1 = - t 2 o n v o i t q u e 0 e s t u n e r a c i n e d e l ' d q u a t i o n
x 4 - 2t2x 2 + 1 + t a = 0.
S i t = 0 le c o r p s K(O) a p p a r t i e n t s la classe 13, e t l ' d q u a t i o n x a + y 4 = 1
a d m e t les q u a t r e s o l u t i o n s x - _+ 1, y - 0 ; x = 0 , y = • 1. S i t # 0 le c o r p s K(O) a p p a r t i e n t d v i d e m m e n t s la classe 3, e t l ' d q u a t i o n
x 4 - 2 t 2 x 2 y 2 § (1 +t4)y 4 = 1
a d m e t les six s o l u t i o n s x = +_1, y = 0 ; x = i t , y = 4 1 ; x = i t , y = - 1 . I1 n ' y a p a s d ' a u t r e s s o l u t i o n s .
S o i t e n s u i t e u = 1. E n p o s a n t 1 - 4u 1 = t 2, O~l t e s t u n n o m b r e n a t u r e l i m p a i r , o n a u r a , v u q u e v l = • p = 2 , q = ~ ( a - t 2 ) , r = ~ ( 1 - t 2) e t s = ~ ( 1 - t 2 ) 2 § L e s n o m - b r e s O, 0', 0" e t 0'" s e r o n t d o n n d s p a r
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 5 nr 33
1 1 V ~ + 4 i e t
O n v d r i f i e a i s d m e n t q u e le c o r p s K(0) a p p a r t i e n t ~ la classe 3. L a s o l u t i o n c o m p l e t e d e l ' 6 q u a t i o n
x ~ - 2 x a y + 89 (3 - t 2) x 2 y 2 - 1(1 - t ~) x y a + [ ~ ( 1 - t~) 2 + 1]y 4 = 1 e s t d o n n 6 e p a r le t a b l e a u s u i v a n t :
x = + _ l , y = 0 ; x = ~ ( l _ + t ) , y = + l ; x = - 8 9 1 7 7 y = - l . A i n s i , il y a e x a c t e m e n t six s o l u t i o n s .
S o i t m a i n t e n a n t A = 3 e t c o n s i d 6 r o n s l ' d q u a t i o n (18). Celle-ci c o n d u i t ~ (22') e t (23'). D e la d e r n i ~ r e r e l a t i o n o n a u r a p o u r v = 0 , y = + 1 e t V l = h 2. L e s v a l e u r s d e x s ' o b t i e n d r o n t d e l ' d q u a t i o n
2 1 1 1
x -- ~UX § ~U 1 = ~h 1. (38)
u e s t p a i r v u q u e v = 0 , d o n c u = 0 o u u = 2 ; u 1 e s t i m p a i r v u q u e v 1 e s t i m p a i r . L a c o n d i t i o n n 6 c e s s a i r e e t s u f f i s a n t e p o u r u n e s o l u t i o n r a t i o n n e l l e d e (38) e s t q u e le h o m b r e 1~,2_ 1~, ~_ 1~ s o i t le c a r r d d ' u n n o m b r e r a t i o n n e l . Si c e t t e c o n d i t i o n e s t r e m p l i e p o u r u n e v a l e u r d o n n 6 e d e hi, il y a d e u x v a l e u r s e n t i ~ r e s d e x q u i corres- p o n d e n t ~ y = § 1. O n p e u t se d e m a n d e r s ' i l est p o s s i b l e d ' a v o i r ~ la l o i s
u e - 8 u l § 8 = 4 t 2 ( p o u r h l = §
e t u s - 8u 1 - 8 = 4t~ ( p o u r h I = - 1),
off t e t t 1 s o n t d e s n o m b r e s e n t i e r s . Cela e n t r a l n e t = 2 e t t l = 0 , d o n c , p o u r u - 0 , o n a u r a u 1 = - 1, t a n d i s q u e u = 2 d o n n e r a la v a l e u r i m p o s s i b l e u 1 = - 89 L o r s q u e u = v = 0, u 1 - - 1, v 1 = h ~ = • 1, le n o m b r e 0 s e r a u n e r a c i n e p r i m i t i v e d o u z i ~ m c d e l ' u n i t d . Or, n o u s a v o n s d 6 j a t r a i t 6 ce cas d a n s le n u m d r o p r ~ c 6 d e n t . E x c e p t i o n I a i t e d e ce eas, l ' 6 q u a t i o n (38) r e n d d e u x v a l e u r s e n t i ~ r e s d e x c o r r c s p o n d a n t ~ y = + 1 s e u l e m e n t p o u r l ' u n e d e s d e u x v a l e u r s d e h 1 l o r s q u e 0 e s t d o n n d .
S o i t d ' a b o r d u = 0 . S u p p o s o n s q u e U l = h l - 2 t 2, off t e s t u n n o m b r e e n t i e r . A l o r s 0 c s t u n e r a c i n e d e l ' d q u a t i o n
x 4 § (h i - 2 t 2 ) x 2 § ~ [ ( h 1 - 2 t 2 ) 2 § 3] = 0.
C e t t e ~ q u a t i o n e s t i r r ~ d u c t i b l e s a u f p o u r h 1 - 1 , t = 0 . D a n s les t r o i s cas h 1 = - 1 , t = 0 e t h 1 = § 1, t = • 1, l ' 6 q u a t i o n d e v i e n d r a x a - x 2 + 1 = 0 q u e n o u s p o u v o n s n 6 g l i g e r ici. D a n s les a u t r e s cas o n v d r i f i e a i s d m e n t q u e le c o r p s K(0) a p p a r t i e n t ~ la classe 4.
E n effet, la r d s o l v a n t e c u b i q u e d e l ' 6 q u a t i o n b i q u a d r a t i q u e a u r a la f o r m e z a + (2h 1 - 4t 2) z 2 - 3z = 0,
e t il e s t d v i d e n t q u e l ' d q u a t i o n
z e § (2h I - 4t ~) z - 3 = 0
e s t i r r d d u c t i b l e s a u l d a n s les cas d ' e x c e p t i o n e n v i s a g d s p l u s h a u t . L a s o l u t i o n c o m - p l e t e de l ' 6 q u a t i o n
x 4 + ( h 1 - 2 t 2 ) x e y 2 + 88 [(h I - 2t2) 2 + 3]y 4 = 1
4 9 1
T. I~AGELL, Les representations de l'unitd p a r les formes binaires biquadratiques est donnde p a r le t a b l e a u s u i v a n t :
x • y = 0 ; x = t , y = _+1; x = - t , y = _ + l .
Ainsi, il y a e x a c t e m e n t six solutions, a b s t r a c t i o n faite des q u a t r e cas d ' e x c e p t i o n . Soit e n s u i t e u - 2. Supposons que
1 + 2h 1 - 2 u 1 = t 2,
off t e s t u n h o m b r e e n t i e r i m p a i r . Alors 0 est u n e racine de l ' d q u a t i o n x 4 - 2x a + ~ (a + 2h 1 - t~)x ~ - ~ (1 + 2h I - t 2) x + ~ [(1 + 2h 1 - t2) 2 + 12] = 0.
Cette d q u a t i o n est t o u j o u r s irrdductible, v u q n e le h o m b r e 1 - 2 u l + 2 ] / - 3 = t 2 - 2 h i § 2 ~ / - - 3
n e p e u t pas ~tre u n carrd d a n s le corps K(~/--3). On vdrifie a i s d m e n t que le corps K(O) a p p a r t i e n t A la classe 4. E n effet, le corps est engendr6 p a r l ' u n ou l ' a u t r e des d e u x n o m b r e s
/
= ~' t 2 - 2 h 1 • ~ / ~ 3.
L a r d s o l v a n t e c u b i q u e de l ' d q u a t i o n b i q u a d r a t i q u e de laquelle c~ est u n e racine, a la forme
z 3 + 4(2hi - t2)z 2 - 48z = 0,
et o n v o l t sans peine que celle-ci n ' a d m e t pas d ' a u t r e s racines r a t i o n n e l l e s que z = 0 . D o n c le corps K(0) a p p a r t i e n t ~ la classe 4.
L a solution complete de l ' d q u a t i o n
x 4 - 2xay + ~ (3 + 2h 1 - t2)x2y 2 - ~ (1 + 2h~ - tU)xy 8 zF 1 [(1 + 2h~ - t2) ~ + 12]y 4 = 1 est d o n n 6 e p a r le t a b l e a u s u i v a n t :
x = • y = 0 ; x = l ( l + _ t ) , y = + l ; x = l ( - l + t ) , y = - l . Ainsi, il y a e x a c t e m e n t six solutions.
w 4 . S u r l a r ~ s o l u b i l i t ~ s i m u l t a n ~ e d e c e r t a i n e s ~ q u a f i o n s d u p a r a g r a p h e p r e c e d e n t D a n s la prdsente section n o u s c o n t i n u o n s les recherches sur les u n i t d s b i n a i r e s commencdes d a n s le w 3. Les c o n d i t i o n s imposdes sur r d q u a t i o n (8) et sur les racines O, 0', 0" e t 0 " ' r e s t e n t les m6mes. Ainsi le coefficient p a u n e des v a l e u r s 0, + 1 ou + 2 avec les consdquences pour le n o m b r e u. Le n o m b r e v e s t supposd positif. Nous ne considdrons que les solutions positives y de l ' d q u a t i o n (9), sauf s'il s ' a g i t de r e n d r e c o m p t e d u n o m b r e t o t a l de solutions de cette dquation.
Nous a u r o n s A t r a i t e r les cas A - 1 et A = 3.
9. Le cas A = 1. Nous a v o n s besoin de d d t e r m i n e r les cas d a n s lesquels le syst~me (19), (20), (21) est rdsoluble, avec v # 0 , e n mgme t e m p s que le systdme (24), (25);
492
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 5 n r 3 3 b i e n e n t e n d u , p o u r des v a l e u r s diffdrentes de x , y . Si nous e x c l u o n s les f o r m e s dquiva- l e n t e s ~ x 4 - x 2 y 2 + y 4 , il rdsulte d u n u m d r o 7 que lc s y s t ~ m c (24), (25) ne p e u t a d m e t t r e q u ' u n c seule s o l u t i o n x = ~, y = + 1 (pour y positif). Ce s y s t b m e sera alors
1 (V 1 __ h ) , ( 3 7 )
~ = v
~2 - - U~ -~- U 1 = 0. (38)
I1 en rdsulte que (v, vl) = d = 1. L e s y s t ~ m e (19), (20), (21) d e v i e n d r a
v~ - u v l v + u l v 2 = _+ 1. (39)
E n 61iminant ~ e n t r e les d q u a t i o n s (37) et (38) on o b t i e n t
v~ -- 2 h v 1-4- 1 - u v v 1 + h u v + Ul v2 = 0. (40)
Des d q u a t i o n s (39) e t (40) on a u r a p a r s o u s t r a c t i o n
- 2 h v l + 1 + h u v = T 1. (41)
S u p p o s o n s d ' a b o r d u - 0 . Alors, le signe infdrieur d a n s le m e m b r e b, d r o i t e e n t r a i n e V l = 0 . Donc, on o b t i e n t de (37) ~ = - h e t de (38) u 1 = - 1 . P a r consdquent, le n o m b r e 0 est une r a c i n e de l ' d q u a t i o n x a - x 2 + 1 = 0 . Or, n o u s a v o n s e x c l u ce cas.
S u p p o s o n s t o u j o u r s u = 0 et p r e n o n s le signe s u p d r i e u r d a n s (41). A l o r s o n a u r a v 1 = h . D o n c ~ = 0 et U l = 0 . P a r consdquent, le n o m b r e 0 est une r a c i n e d e l ' 6 q u a t i o n
x4 + v 2 x 2 T - 2 v x + l = 0 .
L e corps K(0) a p p a r t i e n t s la classe 3, v u quc la r d s o l v a n t e c u b i q u e z a + 2v2z ~ + (v 4 - 4) z - 4v ~ = 0
n ' a d m e t a u c u n e r a c i n e r a t i o n n e l l e a u t r e que z = - v 2. L a s o l u t i o n c o m p l 6 t e d e l ' d q u a - t i o n
x 4 + v2x~y2 _ 2 v x y 3 § y4 = 1 (42)
est donnde p a r le t a b l e a u
x = + _ l , y = 0 ; x = 0 , y = _ I ; x = l , y = v ; x = - l , y = - v . Vu que v # 0 il y a six solutions d a n s ce cas-ci.
S u p p o s o n s e n s u i t c que u = 1, e t p r e n o n s le signe inf6rieur d a n s (41). Alors, on a u r a 2v 1 - v , et, v u que (v, vl) = 1 et v > O , v = 2 e t V l = ] . Donc, il rdsulte de (39) que u 1 = 0 . P a r cons6quent, le n o m b r e 0 est u n e r a c i n e d e l ' 6 q u a t i o n
x 4 - 2 x 3 + 5 x ~ - 4 x + 1 = 0 , et la f o r m e c o r r c s p o n d a n t e est 6 q u i v a l e n t e ~ x 4 - x 2 y 2 + y4.
S u p p o s o n s enfin u = 1, e t p r e n o n s le signe sup6rieur d a n s (41). Alors, de c e t t e rela- t i o n on o b t i e n t
v = 2 ( V l - h ) . Or, cela e n t r a i n e ~ = 89 impossible.
34:6 493
T, NAGELL, Les reprgsentations de l'unitg p a r les formes binaires biquadratiques
10. Le eas A = 3. Nous a v o n s besoin de d d t e r m i n e r les eas d a n s lesquels le s y s t ~ m e (19'), (20), (21) est rdsoluble, avec v :#0, e n m6me t e m p s que le syst~mc (28), (29);
b i e n e n t e n d u , p o u r des valeurs diffdrentes de x, y. Si n o u s excluons les formes dquiva- lentes s u n e q u e l c o n q u e des formes
x 4 _ x:y2 + y4, ]
x a + 2xZy2 _ 3xy3 + y4, x 4 _ x3y _ x2y~ + xya + y4,
(43)
il rdsulte d u n u m d r o 7 que le syst~me (28), (29) n e p e u t a d m e t t r e q u ' u n e seule solu- t i o n x = ~ , y = + 1. Ce syst~me sera alors
1
= v (vl - h2)' ( 4 4 )
~2 - - ~ u ~ § 1 1 -- 1 1. ( 4 5 )
I1 e n rdsulte que (v, v l ) = d - 1 . Le syst~me ( 1 9 ' ) , ( 2 0 ) , ( 2 1 ) d e v i c n d r a
V2--1UVlv-~ lUl v2= ! t.
(46)E n d l i m i n a n t ~ e n t r e les 6 q u a t i o n s (44) et (45) on o b t i e n t v 2 _ 2h2vi + l _ l u v v i _ ] _ l u v h 2 +~Ul 2 = ~ h l 2.
Des d q u a t i o n s (46) et (47) on a u r a p a r s o u s t r a c t i o n - 2h 2 v 1 + 1 + 89 uvh~ = i ha v ~ ~ 1.
(47)
(48) I. u = 0 . D a n s ce cas le n o m b r e v est pair, et les n o m b r e s u 1 et v 1 s o n t impairs. Le n o m b r e v e s t , c o m m e t o u j o u r s d a n s ce n u m d r o , supposd positif. D a n s ce cas-ci o n p e u t m~me supposer que Vl>~0. E n effet, si V l < 0 on p e u t r e m p l a c e r 0 p a r - 0 ' , 0"
p a r - 0 ' " , 0' p a r - 0 et 0'" p a r - 0 " .
Le signe infdrieur d a n s (48) d o n n e la r e l a t i o n - 2 h 2 v l = ~ h l v2.
Cela e n t r a l n e v = 2 et v 1 - - h l h 2 = + 1. De (46) on o b t i e n t u 1 - - 1. P a r consdquent, le n o m b r e 0 est u n e racine de l ' 6 q u a t i o n
x ~ + 2x 3 - 3x + 1 = 0.
Or, n o u s a v o n s exclu la forme c o r r e s p o n d a n t e . Le signe supdrieur d a n s (48) d o n n e la r e l a t i o n
v 1 - h 2 = _ h l h 2.~v s.
v 1 d t a n t ~>0 il e n rdsulte que h l h 2 = - 1. De plus il est d v i d e n t que v e s t divisible p a r 4, et n o u s posons t = Iv. Donc, n o u s o b t e n o n s
494
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 5 n r 33 u = O , v = 4 t , U l = h l - 2 t 2, v l = - h l + 4 t 2, ~ : t .
P a r c o n s 6 q u e n t , 0 est u n e r a c i n e de l ' d q u a t i o n
x 4 + x2(hl § 10t s) - x(24t a - 6 h i t ) + 1 - 7 h i t 2 + 13t 4 = 0 .
O n v6rifie a i s d m e n t q u e c e t t e g q u a t i o n e s t i r r 6 d u c t i b l e v u q u e t 4 0 . Le corps K(O) a p p a r t i e n t ~ la classe 4. E n effet, si o n pose ~ = 0 - t~ / - 3 , le n o m b r e ~ e n g e n d r e le corps K(0) e t e s t u n e r a c i n e de l ' d q u a t i o n
x 4 -~ (4t 2 § hi) x 2 + (2t 2 ~- 89 2 § ~ (4t 2 - h~) 2 = 0.
L a r ~ s o l v a n t e c u b i q u e de celle-ci est
z 3 + (8t 2 + 2hl) z ~ - 3(4t 2 - hl)2z = O.
O n v o i t a i s 6 m e n t q u e c e t t e d q u a t i o n , p o u r t :#0, n ' a d m e t a u c u n e r a c i n e r a t i o n n e l l e a u t r e q u e z = 0 . L a s o l u t i o n c o m p l e t e d e l ' 6 q u a t i o n
x 4 + (h 1 + 10t 2) x2y 2 - (24t 3 - 6h 1 t) x y 3 + (1 - 7h 1 t 2 + 13t a) ya = 1 est d o n n 6 e p a r le t a b l e a u s u i v a n t , off t > 0 :
x = +_ 1, y = 0 ; x - 4 t 2 - h I , y = 4 t ; x = - 4 t 2 • h l , y = - 4 t ; x = t , y = § x = - t , y = - l .
A i n s i il y a six s o l u t i o n s d a n s ce cas-ci.
H . u = 2 . D a n s ce cas le n o m b r e v e s t p a i r , et les n o m b r e s u I e t v 1 s o n t i m p a i r s . L e s i g n e i n f 6 r i e u r d a n s (48) d o n n e la r e l a t i o n
- 2h2v 1 + h2v = ~ h l v 2.
I1 e n r 6 s u l t e q u e v = 2 . ] ) o n c - h 2 v l + h ~ - h l , ce q u i est i m p o s s i b l e v I ~ t a n t i m p a i r .
Le s i g n e s u p 6 r i e u r d a n s (48) d o n n e la r e l a t i o n
_ _ , 1 - - 1 2
1 h ~ v l ~ - ~ v h 2 - ~ h i v , d'ofi e n p o s a n t v = 2t, t nombre naturel,
v l = h 2 - h l h 2 t 2 + t .
D o n c ~ = v (vl - h2) = 89 1 ( - hi h~ t § 1).
I1 e n r 6 s u l t e clue t e s t i m p a i r . D e p l u s , n o u s a u r o n s d e (46) u l = hi _ 1 (t2 _ 1).
P a r c o n t d q u e n t , 0 e s t u n e r a c i n e d e l ' 5 q u a t i o n
4 9 5
T. ~I'AGELL, Les representations de l'unitd par les formes binaires bi~uadratiques
x 4 - 2x 3 + ~ (2h I + 3 + 5t ~) x 2 |
- ~(2h a + 1 + 6h2t + 5t 2 - 6hah~ta)x
+ ia~ (4ha + 17 + 24h2t + 1 0 f - 28hal - 24hah2t a + 13P) = 0 .
(49)
O n v d r i f i e a i s d m e n t q u e c e t t e d q u a t i o n e s t i r r d d u c t i b l e p o u r t o u t e s les v a l e u r s d e t.
E n effet, o n a u r a
0 = 1 + 1 t ~ / ~ 3 + ~ ,
o4 ~ = ~ / - ~t 2 - ~ha + (~hlh~t ~ - i h ~ ) V - 3.
S u p p o s o n s d ' a b o r d q u e ~hah2t~-lh2=O. A l o r s o n o b t i e n t t 2 = l e t h t = l . D o n e
= i , e t K(0) a p p a r t i e n t ~ la classe 14. Si t = Jr 1, 0 e s t u n e r a c i n e d e l ' d q u a t i o n x ~ - 2x a + 5x ~ - 4x + 1 = 0.
Or, n o u s a v o n s m o n t r d p l u s h a u t q u e la f o r m e c o r r e s p o n d a n t e e s t d q u i v a l e n t e
xa_x2y2 § S u p p o s o n s e n s u i t e q u e t 2 + 1 . A l o r s , o n p e u t m o n t r e r q u c ~ e n g e n d r e le c o r p s K(0). E n effet, o n v d r i f i e r a q u ' u n e r e l a t i o n de la f o r m e
- ~ t 2 - ~ h ~ +~(h~h2t~-h2)l/~3= [A + B ] / - 3 ] ~
p o u r d e s v a l e u r s e n t i ~ r e s de A e t B e s t i m p o s s i b l e . Celle-ci e n t r a l n e r a i t A ~ - 3 B ~ = - 2t ~ - 2h 1, A B = h 1 h~ t 2 - h 2.
D o n c , A e t B s o n t p a i r s e t hi= + 1 . E n p o s a n t A - 2 A 1 e t B=2Blh2, o h A 1 e t B 1 s o n t d e s e n t i e r s , o n a u r a l ' d q u a t i o n
A~ - 3B~ + 2 A I B a = (A a § 3 B 1 ) ( A a - Ba) = - 1,
ce q u i e s t i m p o s s i b l e . D o n e K ( z r L e c o r p s K(0) a p p a r t i e n t ~, la classe 4. E n effet, le h o m b r e a e s t u n e r a c i n e d e l ' d q u a t i o n
(X2 ~_ lt2 § 21 ha)2 § 3(~hat 2 _ 1)3 = O,
d o n t la r d s o l v a n t e c u b i q u c a l ' d q u a t i o n
z a + (2t 2 + 2hl) z 2 - 3(h a t 2 - 1)2z = 0, q u i n ' a d m e n t p a s d ' a u t r e s r a c i n e s r a t i o n e l l e s q u e z = 0.
S i / ( x , y) ddsigne la f o r m e b i q u a d r a t i q u e c o r r e s p o n d a n t ~ l ' d q u a t i o n (49), l ' d q u a t i o n / ( x , y) = 1
a d m e t les s o l u t i o n s s u i v a n t e s ( p o u r t 2 + 1 ) :
x = + l , y = 0 ; x=h~ +t-hah2t 2, y = 2 t ; x = - h ~ - t +h~h2t ~, y = - 2 t ;
x= 89 y = + l ; x = - 8 9 y = - 1 .
A R K I V FOR M A T E M A T I K . B d 5 n r 3 3 A i n s i il y a e x a c t e m e n t six s o l u t i o n s . I1 f a u t o b s e r v e r q u e t e s t u n n o m b r e impair > 1.
I1 e s t f a c i l e d e v o i r q u ' o n p e u t m e t t r e h~ = 1 d a n s (49) e t d a n s les a u t r e s f o r m u l e s ci-dessus, si o n p e r m e t q u e t p r e n n e d e s v a l e u r s e n t i ~ r e s n ~ g a t i v e s , i m p a i r e s < l ; d a n s ce cas v e s t n ~ g a t i f .
I I L u = 1. D a n s ce cas v e s t aussi i m p a i r . L e s i g n e i n f d r i e u r d a n s (48) d o n n e la r e l a t i o n
- 2h2v 1 + ~vh~ = ~hlv 2.
I I e n r d s u l t e q u e v = 1. D o n c
- 4 h ~ v I + h 2 = h a-
C e l a e n t r a l n e h i = h 2 e t v 1 = 0. A l o r s , n o u s a u r o n s d e (46) u I = - 2 . D a n s ce cas 0 e s t u n e r a c i n e d e l ' d q u a t i o n
x a - x a - x ~ + x + l = 0 .
Or, n o u s a v o n s e x c l u la f o r m e b i q u a d r a t i q u e c o r r e s p o n d a n t e . L e s i g n e s u p d r i e u r d a n s (48) d o n n e la r e l a t i o n
v I = ~ (v - hih2v 2 + 4h2).
I l e n r d s u l t e q u e v ~ h l h ~ ( m o d 4), e t d e p l u s u 1 -- ~ (1 + 8h~ - v~),
= ~ (1 - hlh2V ).
P a r c o n s S q u e n t , 0 e s t u n e r a c i n e d e l ' d q u a t i o n
x a - x a § ~ (3 + 8h 1 + 5v 2) x 2 - 1~(1 + 8h 1 + 24h2v + 5v ~ - 6h I h 2 v 3) x
%
(50)
J
+ 1 (257 + 16h I + 96h 2 v + 10v2 _ 112hl v 2 - 24h lh~ v 3 + 13v 4) = 0.
O n v d r i f i e a i s d m e n t q u e c e t t e d q u a t i o n e s t i r r d d u c t i b l e p o u r r o u t e s les v a l e u r s d e v.
E n e f f e t , o n a u r a
0=l+~v~=3+~,
O~1 ~ = ~ / - - ~V 2 - - 2 h I -}- + ( ~ h l h 2 V 2 - 2 h u ) V - 3.
L e n o m b r e v d t a n t i m p a i r o n a d v i d e m m e n t h 1 h2v ~ - 2h~ :4: O.
A l o r s , o n p e u t m o n t r e r q u e ~ e n g e n d r e le c o r p s K(0). E n effet, si o n a v a i t u n e r e l a t i o n d e la f o r m e
- ~v2- 2hl + (~hih~v2- 2 h 2 ) ~ / ~ = [A + B V - ~ ] 2, p o u r d e s v a l e u r s e n t i ~ r e s d e A e t B , o n a u r a i t
A e - 3 B ~ = - 2 v 2 - 8 h l , A B = h l h 2 v 2 - 4 h ~ .
4 9 7
T. r~AGELL, Les representations de l'unitd p a r les formes binaires biquadratiques E n d l i m i n a n t v 2 on c o n c l u t de 1s que
A 2 _ 3 B 2 + 2h 1 h2 A B - - 16h r Donc, A et B s o n t i m p a i r s . Si h 1 = h e on o b t i e n t
( B - A ) ( a B + A ) = § 1, r e l a t i o n impossible. Si h 1 = - h 2 on a u r a la r e l a t i o n
( B § A ) ( 3 B - A ) = ,4,16hl, qui est d g a l e m e n t impossible. Donc, on a K ( ~ ) = K ( 0 ) .
Le corps K(0) a p p a r t i e n t ~ la classe 4. E n effet, le h o m b r e ~ est u n e r a c i n e d e l ' d q u a t i o n
(x 2 -4- ~v 2 -4- 2h1) 2 -4- 3(1hlv 2 - 2) 2 = 0, d o n t la r d s o l v a n t e c u b i q u e a l ' d q u a t i o n
z 3 § 2 + 4hl)z 2 - 3(hlv e - 4 ) ~ z - 0 , qui n ' a d m e t a u c u n e r a c i n e r a t i o n n e l l e o u t r e z - 0 .
S i / ( x , y) ddsigne la f o r m e b i q u a d r a t i q u e c o r r e s p o n d a n t ~ r d q u a t i o n (50), l'dqua- t i o n
/(x, y) - 1 a d m e t les s o l u t i o n s s u i v a n t e s :
x = + _ l , y = 0 ; x = l ( v - h l h 2 v 2 + 4 h 2 ) , y = v ;
x = - ~ ( v - h ~ h ~ v 2 . § y = - v ; x = ~ ( 1 - h l h z v ), y = + 1 ;
x - - 8 8 y = - l .
Ainsi il y a e x a c t e m e n t six solutions. I1 f a u t o b s e r v e r que v e s t u n n o m b r e i m p a i r p o s i t i / c o n g r u ~ h l h 2 ( m o d 4). I1 est facile de v o i r q u ' o n p e u t m e t t r e h~ = 1 d a n s (50) et d a n s les a u t r e s f o r m u l e s ci-dessus, si on p e r m e t que v p r e n n e des v a l e u r s enti~res ndgatives, congrues s h 1 (rood 4).
w 5. Le n o m b r e de reprdsentations de l'unit~ dans les diff~rents cas 11. R6sum6 des r6sultats 6tablis dans les n u m 6 r o s 7-10. I1 f a u t o b s e r v e r que ces r d s u l t a t s s o n t o b t e n u s sous la c o n d i t i o n q u ' i l y a i t u n sous-corps q u a d r a t i q u e imagi- naire. N o t o n s p o u r c o m m e n c e r que le n o m b r e de r e p r d s e n t a t i o n s de r u n i t 6 est a u p l u s dgal ~ 8. Ce n o m b r e m a x i m u m est a t t e i n t s e u l e m e n t q u a n d la f o r m e est dquiva- l e n t e ~ l ' u n e des trois f o r m e s s u i v a n t e s
((1, 0, - 1 , 0, 1)), ((1, 0, 2, - 3 , 1)), ((1, - 1 , - 1 , 1, 1)).
D ' a i l l e u r s , on p e u t m o n t r e r que les d e u x dernibres f o r m e s s o n t d q u i v a l e n t e s . E n effet, soit z] une r a c i n e de r d q u a t i o n
X4 -- X 3 X 2 § 2 4 7 498
