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Déterminez la somme des angles (marqués en rouge) des treize sommets et justifiez votre réponse

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Academic year: 2022

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Enoncé D206 (Diophante) L’étoile porte-bonheur

Dans cette étoile à treize branches, trois droites ou plus ne sont jamais concourantes.

Déterminez la somme des angles (marqués en rouge) des treize sommets et justifiez votre réponse.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

J’étiquette les 13 sommetsA, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M dans l’ordre où ils se présentent devant Diophante qui s’est placé au centre de l’étoile et tourne sur lui-même.

Les segments joignant ces sommets forment la polygonale AGM F LEKDJ CIBHA.

Les angles à ajouter sont tous de même sens, les deux segments adjacents à un même segment étant du même côté de ce segment. Soit en angles orientés

enA, (AH, AG) ;

enG, (GA, GM) = (AG, M G), et (AH, M G)< π; enM, (M G, M F),

enF, (F M, F L) = (M F, LF), et (AH, LF)< π; enL, (LF, LE),

enE, (EL, EK) = (LE, KE), et (AH, KE)< π; enK, (KE, KD),

enD, (DK, DJ) = (KD, J D), et (AH, J D)< π; enJ, (J D, J C),

enC, (CJ, CI) = (J C, IC), et (AH, IC)< π; enI, (IC, IB),

enB, (BI, BH) = (IB, HB), et (AH, HB)< π; enH, (HB, HA).

La somme de ces 13 angles est donc (AH, HA) =πà 2πprès, mais aucune somme partielle ne dépassantπ, la somme cherchée est π exactement.

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