A571 ‒ A la recherche du gogol
Q₁ Déterminer la plus grande puissance de 10 obtenue en multipliant des entiers distincts ≤ 2016.
Donner une liste de ces entiers aussi courte que possible.
Q₂ Déterminer le plus petit entier n₀ tel qu'on sait trouver des entiers distincts ≤ n₀ dont le produit est égal à un gogol = 10¹⁰⁰.
Solution par Patrick Gordon Q₁
Les nombres à multiplier sont de la forme 2a 5b. Ceux ≤ 2016 sont au nombre de 33. Pour chacun, on définit c = a – b (excès de 2 sur les 5). Il faut que la somme des c soit nulle. On dénombre :
8 c<0, pour un total de – 17, 22 c>0, pour un total de 94, 3 c=0, pour un total de 0.
On ne peut donc espérer trouver une solution qu'avec c (c positif) ≤ 17
On prend donc tous les nombres à c négatif et l'on tente de maximiser le produit en tâtonnant parmi les plus grands nombres à c positif tout en gardant c (c positif) = 17.
Enfin, on ajoute à la liste les "nombres neutres" (c = 0), c’est-à-dire les puissances de 10 : 10, 100, 1000.
Au total, on arrive à 1042, avec la liste de 19 multiplicateurs :
2000 1600 1250 1000 800 625 500 400 250 200 125 100 80 50 40 25 20 10 5
