Étude de la loi Gamma

Étude de la loi Gamma

2013 – 2014

Soita >0 etλ >0. SoitX une variable aléatoire de loi Γ(a, λ), de densité

f(x) = λ^a

Γ(a)e^−λxx^a−11_[0,+∞[(x).

Calcul deE[X].

E[X] = λ^a Γ(a)

Z +∞

0

e^−λxx^adx

= λ^a Γ(a)

Z +∞

0

e^−uu^a λ^a

du λ

= Γ(a+ 1) λΓ(a)

= a λ.

Calcul deVar(X).

Le même calcul donne Var(X) = _λ^a2.

Calcul de la transformée de Laplace LX de X.

LX(t) =E[e^tX] = λ^a Γ(a)

Z +∞

0

e^(t−λ)xx^a−1dx

lorsque cette intégrale existe. L’intégrande est intégrable en 0 care^(t−λ)xx^a−1∼ x^a−1 aveca−1>−1.

En +∞, l’intégrande n’est intégrable que pourt−λ <0, doncL_Xest définie sur ]−∞, λ[. On a alors, pourt < λ, en effectuant le changement de variables x= _λ−t^u ,

L_X(t) = λ^a Γ(a)

Z +∞

0

e^u u^a−1 (λ−t)^a−1

du λ−t =

λ λ−t

^a .

1

Calcul de la fonction caractéristiqueϕX de X.

ϕX(t) =E[e^itX] = λ^a Γ(a)

Z +∞

0

e^(it−λ)xx^a−1dx.

Montrons que LX peut se prolonger en une fonction holomorphe F sur D :=

{z∈C| <(z)< λ}et que F(it) =ϕX(t) pourt∈R. Pourz∈D, on pose

F(z) := λ^a Γ(a)

Z +∞

0

e^(z−λ)xx^a−1dx.

Appliquons le théorème d’holomorphie sous l’intégrale pour montrer queF est bien définie et holomorphe surD. On poseg(x, z) :=e^(z−λ)xx^a−1, on a alors

– pour toutz∈D, g(·, z) est mesurable ;

– pour toutx >0, g(x,·) est holomorphe surD;

– soitε >0, pourx >0 etz∈D tel que <(z)< λ−ε, on a

|g(x, z)|=e(<(z)−λ)xx^a−1≤e^−εxx^a−1∈L¹(R+).

On en déduit queF est bien définie et holomorphe surD. On a bien par ailleurs F(it) =ϕX(t).

D’autre part, pour toutz∈D,<(λ−z)>0, donc on peut écrire (λ−z)^a = e^alog(λ−z) avec log la détermination principale du logarithme sur C\R−. La fonctionGdéfinie surD par

G(z) = λ

λ−z a

est ainsi holomorphe et prolonge également la fonctionLX surD.

Finalement, F et Gcoïncident sur ]−∞, λ[ donc, par le principe de prolon- gement analytique,F =GsurD, d’où

∀t∈R, ϕ_X(t) =F(it) = λ

λ−it ^a

.

Références

[1] Marie Cottrell, Valentin Genon-Catalot, Christian Duhamel, Thierry Meyre, Exercices de probabilités, Cassini.

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