Loi du temps de franchissement d'un seuil par un processus gamma

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Submitted on 22 May 2009

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Loi du temps de franchissement d’un seuil par un processus gamma

Christian Paroissin, Ali Salami

To cite this version:

Christian Paroissin, Ali Salami. Loi du temps de franchissement d’un seuil par un processus gamma.

41èmes Journées de Statistique, SFdS, Bordeaux, 2009, Bordeaux, France, France. �inria-00386747�

(2)

proessus gamma

Ch. Paroissin

1

& A. Salami

2

1

Université de Pau et des Pays de l'Adour, Laboratoire de Mathématiques et de leurs Appliations -

UMRCNRS 5142,Avenuede l'Université, 64013 Pauedex, Frane, paroissuniv-pau.fr

2

Université de Pau et des Pays de l'Adour, Laboratoire de Mathématiques et de leurs Appliations -

UMRCNRS 5142,Avenuede l'Université, 64013 Pauedex, Frane,ali.salamiuniv-pau.fr

Mots-lés : Fiabilité- qualité

Résumé. On onsidère le proessus gamma omme modèle de dégradation. Le temps

de franhissement d'un seuil déterministe ou aléatoireest étudié.Dans le premieras, la

loiest aratérisée de manièreexate. Dans le seond as, on propose d'approher le as

généralpareluioùleseuilest aléatoiresdelaloidonnéeparun mélangedeloisd'Erlang.

Abstrat. We onsider the gamma proess as a degradation model. The hitting time

ofadeterministiorrandomlevelis onsidered.Inthe rst ase,the distributionisgiven

expliitely.In theseondase,wepropose toapproximatethegeneralase byonsidering

mixturesof Erlang distributions.

1 Introdution et modèle

Le proessus gamma est un des proessus stohastiques les plus utilisés en abilité

pour modéliserladégradationd'unsystème. On rappelleladénitionde e proessus [6℄.

Soit

ξ ∈ R

⁺ ^et

η = (η

t

)

t≥0 ûne ^fontion ^réelle ^stritement ^roissanteêt ^nulle ên ^zéro. Ôn

ditque

(D

t

)

êstûn^proessus^gamma^siêt^seulement^si^:⁽¹⁾

D

0

= 0

^;⁽²⁾^sesaroissements sontindépendants;(3)sesaroissementssontdeloigamma.Pluspréisément,pourtout

t

^et

δ

^,

D

t+δ

− D

têst ûne ^variableâléatoire^de ^loi^gamma^de ^paramètres

(ξ, η

t+δ

− η

t

)

^.^Cei

implique que toutes les marginales de e proessus sont aussi de loi gamma : pour tout

t ≥ 0

^, ^la^densité ^de

D

_t ^est ^:

f

Dt

(x) = 1 ξΓ(η

t

)

x ξ

ηt−1

e

^−x/ξ

1

_R⁺

(x) ,

où

Γ(·)

êst ^la^fontion ^gamma. ^Le âs ôù

η

^est ^linéaire,

η

t

= αt

^, ^est ^elui ^le ^plus ^souvent

onsidéré dans lalittérature. Eneet, dans e as, le proessus

(D

t

)

^est ^àaroissements stationnaires:pourtout

t

^et

δ

^,

D

t+δ

− D

t ^et

D

δ ^ont^même^loi.^Alors

(D

t

)

^est ^un^proessus

(3)

linéaires sont également onsidérés. Le plus fréquent des as non-linéaires est elui où

η

êst ûne ^fontion ^puissane, î.e. ^de ^la ^forme

η

t

= αt

^β^. ^Pour ^e ^modèle,

β

^est ^souvent

onsidéré ommeonnu lorsde l'estimationdes paramètres. Lawless and Crowder [4℄ont

parailleursonsidéréuneautreasnon-linéaireenhoisissantlaourbede Paris-Erdogan

pour

η

t ^modélisant^lapropagation d'une ssure.

2 Temps de franhissement

La panne d'un système est souvent onsidérée à travers le proessus de dégradation.

Dans e as, on suppose en général que le système est en panne dès que le niveau de

dégradationdépasse un ertainseuil.On onsidère iideux as :lepremieroùleseuil est

déterministeet leseond oùle seuil est aléatoire.

3 Cas d'un seuil déterministe

Soit

c

ûneônstante^stritement^positiveâu^seuil^ritique^dedégradation.Ononsidère alors lavariablealéatoire

T

c ^dénie^par ^:

T

_c

= inf {t ≥ 0 ; D

_t

≥ c} .

Puisque le proessus

(D

t

)

^est ^à trajetoires roissantes, on a:

∀t ≥ 0 , P [T

c

> t] = P [D

t

< c] .

Le résultati-dessous généralise eluide Park etPadgett [5℄:

Proposition 1 Supposons que la fontion

η

^est ^dérivable. ^Alors, ^la^densité ^de

T

c ^est ^:

f

Tc

(t) = η

^′_t

Ψ(η

t

) − log c

ξ 1 − Γ(η

t

, c/ξ) Γ(η

t

)

+ η

_t^′

η

_t²

Γ(η

t

) c

ξ

ηt

2

F

2

(η

t

, η

t

; η

t

+1, η

t

+1; −c/ξ) ,

où

Ψ

^est ^la ^fontion ^digamma,

Γ(·, ·)

^la ^fontion ^gamma înomplète ^supérieurê êt 2

F

2 ^la

fontion hypergéométriquegénéralisée d'ordre

(2, 2)

^.

3.1 Cas d'un seuil aléatoire

Depuis l'artile d'Abdel-Hameed [1℄, plusieurs auteurs ont onsidéré le problème du

tempsd'atteinte d'un seuil aléatoire

C

^.^Partant ^de ^la proposition préédente, ilest faile de aluler la fontion de répartition de

T

C ^lorsque

C

êst ûne ^variable âléatoire ^de ^loi

exponentielle de paramètres

ρ

^:

(4)

Proposition 2 La densité de

T

C ^est ^:

f

TC

(t) = η

_t^′

(1 + ρξ)

^−η^t

log(1 + ρξ) .

Ce résultat a été démontré par Frenk and Niolai [3℄ par une autre tehnique. Les

alulsne sontpasaussisimplesdansleasgénéral.Cependantilestpossibled'approher

la loi de

C

^par ûne ^loi ^de ^type ^phase, ^par êxemple ^par ûn ^mélange ^de ^lois ^d'Erlang. Ôn

rappelle que l'ensembledes mélanges de lois d'Erlang est dense dans l'ensemble des lois

à valeurs dans

R

⁺ ^[2℄. Îl êst âlors ^faile ^de ^montrer ^la ônvergene ên ^loi ^des ^temps ^de

franhissement.On ale résultatsuivant pour le mélangede lois d'Erlang:

Proposition 3 Supposons que la loi de

C

^est ^elle ^d'un ^mélange ^de ^lois ^d'Erlang ^de ^la

forme :

∀x ∈ R

⁺

, f

C

(x) =

n

X

i=1

p

i

ρ

^kⁱ

x

^kⁱ⁻¹

(k

i

− 1)! e

^−ρx

,

ave

(p

1

, . . . , p

n

)

^tel ^que

p

1

+ · · · + p

n

= 1

^et

p

i

> 0

^,

ρ > 0

^et

k

1

, . . . , k

n

> 0

^. ^Alors ^la

fontion de répartition de

T

C ^est ^:

F

TC

(t) =

n

X

i=1

p

i

k

i

! (η

t

)

ki

ρξ 1 + ρξ

ki

(1 + ρξ)

^−η^t2

F

1

1, η

t

+ k

i

; k

i

; ρξ 1 + ρξ

.

Bibliographie

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