Devoirs surveillé n°3 Proposition 3 1

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Devoirs surveillé n°3 Proposition 3 1^er Semestre

2éme Bac Sc.Maths

Problème

Soit nIN et soit f la fonction définie sur _n



^0;



^{par :} n

 

^{x 1 ln}

f x e n x

x

   . Partie I

1- a- Montrer que :  t IR ; e^t  t 1 .

b- En déduire que :  x IR; e^x  x 1 0 et que :  x IR ; ^1



^x1



^ex0

2- Déterminer : lim 0

 

x f x

 et 0

 

0

lim

x _ f x

 .

3- a- Montrer que : ^{ x}



^0;



^;

   

0 2

1 1

ex x f x

x

   

b- En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation. ₀ Partie II

Soit

 

Cn la courbe représentative de f dans un repère orthonormé_n



^{O i j; ;}



1- Etudier les variations de f sur l'intervalle _n



^0;



^.

2- Déterminer

 

0

lim _n

x

f x

 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

3- Déterminer les positions relatives de

 

Cn et



Cn_1



.

4- Montrer que toutes les courbes

 

Cn passent par un point fixe que l'on déterminera.

5- Montrer que l'équation fn

 

x ⁰admet une solution unique xn

 

^0;1 .

6- Montrer que :



^{ n IIN}



^; f_n1

^{ }

x_n ln

^{ }

x_n et en déduire que :



^{ n IIN}



^; xn xn_1

En déduire que la suite

 

xn est convergente.

7- a- En utilisant la partie I, Montrer que : ^{ x}

 

^{0;1 ; ex 1 e 1}

x

   .

b- En déduire que :



^{ n IIN}



^{; ln}

 

n ¹

x  ne c- En déduire que :



^{ n IIN}



^{;xn e1ne}

d- Calculer lim _n

n x



8- Construire

 

C1 et

 

C2 . Solution

Partie I

1- a- Considérons la fonction h définie sur IR par : ^{h t}

 

^{  et}



^{t 1}



^.

Les fonctions x e et^{x x}



^x1



sont dérivables sur IR ; donc la fonction h est dérivable sur IR comme somme de fonctions dérivables sur IRet



^{ t IR}



^{; h t}

 

^{ et 1.}

On a :



^{ t}



^0;

 

^{; et 1 d'où}



^{ t}



^0;

 

^{: h t}

 

^{0 ; et}



^{  t}



^{; 0}

 

^{; et 1 d'où}

 



^{  t ; 0}



^{: h t}

 

^0

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Tableau de variation de h

x  1 

 

h x  0  h

 

0

D'après le tableau de variation de la fonction h on a : ^h

 

^{IR }



^0;



^d'où



^{ t IR}



^{;h t}

 

^0.

Donc



^{ t IR}



^{; et  }



^{t 1}



^.

b- On a :



^{ x IR}



^{,  x IR   }



^{x IR ;}



^{ex   x 1}

  



x IR ;



e^x  x 1 0 D’où ;



^{ x IR ;}



^{ex  x 1 0}

De plus: ^ex



^{ex    x 1}



^{0 1 xexex0 ( car :}

^

^{ x IR}

^

^{; ex 0 )}

 1



x1



e^x 0. D’où ;



^{ x IR ; 1}



^



^x1



^ex0

2- On a :

∎ 0

 

1 1

lim lim lim

x x

x x x

e e

f x

x x x

  

 

    

 

  (car lim

x x

e

 x   et 1

lim 0

x^x  )

∎ 0

 

0 0

lim lim 1 1

x

x x

f x e

  x

 

 



3- a- f est dérivable sur ₀



^0;



comme quotient et somme de fonctions dérivables sur



^0;



et pour tout

^x



^0;



^{; on a :}

     

0 2 2

1 1 1

1 ^{x x x}

x e x e x e

f x e

x x x

     

  

    

 

D’où :



^{ x}



^0;

 

^;

   

0 2

1 x 1 e^x f x

x

 

 

b- D’après la question précédente f0

 

x est du signe de ^1



^x1



^ex

Or



^{ x}



^0;

 

^;1



^x1



^{ex 0} (d’après partie I question 1) ).

Donc :



^{ x}



^0;

 

^; f0

 

x 0

Par conséquent f est strictement croissante sur ₀



^0;



^.

x  

0

 

f x  f 0



0 Partie II

1- Etude des variations de f _n

f est dérivable sur n



^0;



comme quotient et somme de fonctions dérivables sur



^0;



et pour tout

^x



^0;



^{; on a :}

     

2 2

1 1 1

1 ln

x x x

x n

e x e x e nx

e n

f x n x

x x x x

      

  

      

 

D’où :



^{ x}



^0;

 

^;

   

2

1 1 ^x

n

x e nx

f x

x

  

 

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

^{ x}



^0;

 

^;1



^x1



^ex0 (d’après partie I question 1) ) et



^{ x}



^0;

 

^{; nx0}

Donc :



^{ x}



^0;

 

^; fn

^{ }

x ⁰

Donc f est strictement croissante sur _n



^0;



^.

2- Calculons

 

0

lim _n

x

f x



On a :

 

0 0

lim lim 1 ln

x

x n x

f x e n x

  x

 

  

  

 

 

 (car

0

lim 1 1

x x

e

 x



  

 

  et

0

lim ln

x

n x

   )

Interprétation graphique:

l'axe des ordonnées est une asymptote à la courbe

 

Cn . 3- Positions relatives de

 

Cn et



Cn_1



.

Pour tout ^x



^0;



^{on a :}

   

1

x 1

n n

f x f x e

   x



^{n 1 ln}



^{x ex 1}

x

    ln

ln

n x

x





D’où : ∎ pour ^x

 

^{0;1 ;} f_n1

 

x  f_n

 

x 0 ; alors



Cn_1



est au-dessous de

 

Cn

∎ pour ^{x }



^1;



^; f_n1

 

x  f_n

 

x 0 ; alors



Cn_1



est au-dessus de

 

Cn

4- Montrons que tout entier n les courbes

 

Cn passent par un point fixe Soit A x y



0; 0



ce point du plan.

A appartient à toutes les courbes

 

Cn ; donc : pour tout nIN on a :

 

1

 

0

 

0 0

0

IN ; ln 0

1

n n 0

n f x f x x

x

   



 





Et



IN ;

  

1 0 0 1 0

1 1

n fn e

y y  y

   

  

Donc le point d’intersection des courbes

 

Cn est ^A



^1;e1



5- Montrons que l'équation fn

 

x ⁰ admet une solution unique xn

 

^0;1

la fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle _n

 

^{0;1 donc} f est une bijection de n

 

^0;1

vers fn

  

^0;1



  



^;e ¹



. Comme ^{0  }



^{;e 1}



^{alors :} ^!xn

 

^{0;1 /} fn

 

xn ⁰ . Donc l'équation fn

 

x ⁰admet une solution unique xn

 

^0;1 .

6- Montrons que :



 ^{n IIN}



^{; fn}¹

^{ }

^xn ^lnxnet déduisons que :



 ^{n IIN}



^{; xn} ^xn¹ x . _n On a pour tout nIN^ ; 1

   

1 1 ln

xn

n n

n

n x x

x

f _  e   n

  ⁰

ln ln

ln 1

xn

n n

n

n xn fn

e x

n x

x x

 

   

 Donc:



^{ n IIN}



^{; fn1}

^{ }

^{xn lnxn}

On a pour tout nIN^ ;f_n1

 

x_n lnx_n et xn

 

^0;1 ; donc fn_1

 

xn   De plus ; f_n1



x_n1



0

Alors : fn_1

 

xn  fn_1



xn_1



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1

fn_ est une bijection croissante de xn

 

^0;1 vers



^{ ;e 1}



; par suite :



^{ n IIN}



^;xn xn_1. Convergence de la suite

 

xn

La suite

 

xn est croissante (d’après la question précédente) et majorée par 1 donc

 

xn est convergente.

7- a- Montrons que :



^{ x}

 

^0;1



^{; ex 1 e 1}

x

  

Comme la fonction f est strictement croissante sur ₀



^0;



(d’après partie I ) ; Donc :



^{ x}

 

^0;1



^;

   

0 0

1 1 1

ex

f x f e

x

     .

b- On a :



^IIN



^;

^{ }

^{n 0}



^IIN



^{; xn 1 ln n 0}

n n

n f x n e x

x n

  

       



^IIN



^{; ln n xn 1}

n

x

n x

n ^ e 



   

Or on sait que : xn

 

^0;1 et d’après la question 7-a) ¹ 1

xn

xn

e   e ; par suite :

 

 

IIN ; 1 1

IIN 1

n

; l ln

xn

n

n

n

x x

n n e

e x n

e n





    

    

  

c- On a



^{n IIN}



^{;ln n e 1}



^{n IIN}



^{;elnxn een1}

x n

   

      

^{  }



^{n IIN}



^{; xn een1}

d- On a :



^{ n IIN}



^{;xn een1et xn 1} ; de plus

1

lim 1

e n

n e



  (car 1

lim 0

n

e

 n

  ) ; par suite : lim _n 1

n x

 

8- Construction de

 

C1 et

 

C2 .