Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
Faculté des sciences L2 Théorie des Graphes
Feuille d'exercices 4.
Exercice 1 Pour chacun des graphes suivants :
- indiquer un sous-graphe complet ayant le plus grand nombre possible de sommets, - calculer d+ 1, où d est le plus grand degré des sommets,
- trouver le nombre chromatique.
a b
e c
d
b c
a h d
g e
f
e f
a b g
d c h
i
b f
a c e g
d
Exercice 2 Une université doit organiser des examens. On suppose qu'il y a 7 épreuves de même durée à planier, correspondant aux cours numérotés de 1 à 7, et que les paires de cours suivantes ont des étudiants en commun : 1 et 2, 1 et 3, 1 et 4, 1 et 7, 2 et 3, 2 et 4, 2 et 5, 2 et 7, 3 et 4, 3 et 6, 3 et 7, 4 et 5, 4 et 6, 5 et 6, 5 et 7 et 6 et 7.
Comment organiser ces épreuves de façon à ce qu'aucun étudiant n'ait à passer deux épreuves en même temps, et cela sur une durée minimale ?
Exercice 3 A, B, C, D, E, F, G et H désignent huit poissons ; dans le tableau ci-dessous, une croix signie que les poissons ne peuvent cohabiter dans un même aquarium. Quel nombre minimum d'aquariums faut-il ?
A B C D E F G H
A × × × × ×
B × × × ×
C × × × × ×
D × × × ×
E × × × ×
F × × ×
G × × × ×
H × × ×
1
Exercice 4 Tout graphe contenant un triangle K3 ne peut être coloré en moins de trois couleurs.
- Construire un graphe sans triangle qui nécessite également 3 couleurs.
- Comment, à partir du graphe précédent, construire un graphe sans K4 nécessitant 4 couleurs ?
- Un graphe sans K5 nécessitant 5 couleurs ? Exercice 5 Prouver le théorème des 2 couleurs :
Les graphesG tels queχ(G) = 2 sont les graphes qui ont au moins une arête et qui n'ont pas de cycles impairs.
Exercice 6 Pour tout graphe G, on note χ(G)le nombre chromatique de G.
SiG= (V, E)est un graphe. On note Gle complémentaire de G, ie, le graphe qui a pour ensemble de sommets V et pour lequel deux sommets sont adjacents si et seulement si ils ne le sont pas dans G.
a) Donner le complémentaire du graphe Gsuivant :
1 2
3 4
5 6
b) Soit G= (V, E) un graphe àn sommets.
i) On pose χ(G) =r. Soit c: V → {1, ..., r} une coloration optimale des sommets de G. Pour tout i ∈ {1, ..., r}, on note Ai l'ensemble des sommets de couleur i. Montrer que χ(G)≥Card(Ai) pour touti∈ {1, ..., r} (où Card(Ai)est le cardinal de l'ensemble Ai).
ii) Montrer que χ(G)×χ(G)≥n.
c) Trouver un graphe G tel que χ(G)×χ(G) = n.
Exercice 7 1) Montrer qu'un graphe dont tous les sommets sont de degré au moins 2 contient au moins un cycle.
2) Soit Gun arbre à n sommets, montrer quePG(k) =k(k−1)n−1. Exercice 8 Calculer les polynômes chromatiques des graphes suivants :
a b
d c
a
b
c d
2
Exercice 9 Montrer que le polynôme chromatique du cycle Cn est PCn(k) = (k−1)n+ (−1)n(k−1).
Exercice 10 Utiliser l'algorithme glouton pour colorier les graphes suivants :
a
e b
f
d c
a
e f b c
d
a
f b c
e d
Exercice 11 1. Quel est le nombre chromatique du graphe C4? Montrer que le poly- nôme chromatique PC4(k) du graphe C4 est égal à k(k−1)(k2−3k+ 3).
1 2
4 3
C4
2. Quel est le nombre chromatique et quel est le polynôme chromatique du graphe S ci dessous :
1 2
4 3 5
S
De façon générale, comment modie-t-on le polynôme chromatique d'un graphe en lui ajoutant un sommet isolé ?
3. SoitGun graphe qui contient un triangle (cycle de longueur 3)(u, v, w, u), où v est un sommet de degré 2, et soit H le graphe obtenu en supprimant v dans G et les arêtes qui lui sont incidentes.
Montrer que l'on a PG(k) = (k−2)PH(k), où PG(k) est le polynôme chromatique de Get PH(k)celui de H.
4. Quel est le nombre chromatique et quel est le polynôme chromatique du graphe G ci-dessous :
3
1 2
5
4 3
6 7
8
Exercice 12 Pour tout graphe G, on note χ(G) son nombre chromatique.
1. SoitG un graphe simple. Montrer que pour tout sommet v de G, χ(G\v) est égal à χ(G) ou à χ(G)−1 (G\v est le graphe obtenu en supprimant le sommetv dans G ainsi que les arêtes qui ont pour extrémitév).
On dit qu'un graphe G est critique si χ(H)< χ(G) pour tout sous-graphe H de G diérent de G.
2. Donner un exemple de graphe critiqueG1 tel que χ(G1) = 2. 3. Donner un exemple de graphe critiqueG2 tel que χ(G2) = 3.
4. Montrer qu'un graphe simpleG contient un sous-graphe critique H tel queχ(H) = χ(G).
5. Montrer que si G est un graphe critique de nombre chromatique égal à 4, alors le degré de tout sommet de G est supérieur ou égal à 3.
6. Montrer que si G est un graphe critique, alors le degré de tout sommet de G est supérieur ou égal à χ(G)−1.
7. SoitG= (V, E)un graphe critique à n sommets et à k arêtes. Montrer que : (χ(G)−1)×n ≤2k
Exercice 13 1. Donner le polynôme chromatique du graphe suivant : 2
1 3
5 4
2. Le polynôme P(X) = X4 −3X3 + 3X2 −X est-il un polynôme chromatique ? Si c'est le cas donner un graphe simple qui ait pour polynôme chromatique P(X). 3. Même question avec Q(X) = X4−2X3+X2.
4
