Méthodes Level-Set et pénalisation pour le calcul d'interactions fluide-structure

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Submitted on 24 Nov 2008

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d’interactions fluide-structure

Claire Bost

To cite this version:

Claire Bost. Méthodes Level-Set et pénalisation pour le calcul d’interactions fluide-structure. Mod- élisation et simulation. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2008. Français. �tel-00341209�

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THÈSE

pour obtenirle grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER

Spéialité: "Mathématiques Appliquées"

préparée au LaboratoireJean Kuntzmann, Equipe EDP

dans leadre de l'Éole Dotorale

"Mathématiques, Sienes et Tehnologies de l'Information, Informatique"

présentée par

CLAIRE BOST

Méthodes Level-Set et pénalisation pour le alul

d'interations uide-struture

Soutenue le16 Otobre 2008 devantle jury

M. PhilippeANGOT PR, Universitéde Provene Rapporteur

M. Marius TUCSNAK PR, UniversitéHenri Poinarré Rapporteur

M. Matthieu HILLAIRET MCF, Université Paul Sabatier Examinateur

M. Stéphane LABBÉ PR, UniversitéJoseph Fourier Président

M. Georges-Henri COTTET PR, UniversitéJoseph Fourier Direteurde thèse

M. EmmanuelMAITRE MCF, Université Joseph Fourier Direteurde thèse

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(4)

Tout d'abord je tiens à remerier mes rapporteurs sur le manusrit, Marius Tusnak,

Professeur à l'Université de Nany, et Philippe Angot, Professeur à l'Université de Mar-

seille.Leurexpertisesurlessujets traitésdansettethèse,tantsurlesaspetsnumériques

que théoriques, ainsi que lesnombreuses remarques dont ils m'ont faitpart avant lasou-

tenane, m'ont permis d'approfondir maompréhension de ertains points déliatsde e

travail. Je lesremerie de leur ordialitéet de l'intérêt qu'ils ont porté à mon travail. Je

souhaite remerier aussi Matthieu Hillairet, Maitre de Conférene àl'Université de Tou-

louse,d'avoirpartiiperaujury,etStéphaneLabbé,Professeuràl'UniversitédeGrenoble,

d'en avoiraepté lahargede président.

Au terme de es quatre années de thèse, je voudrais exprimer ma profonde gratitude

envers mes deux direteurs de thèse, Emmanuel Maitre et Georges-Henri Cottet. Je les

remerie de m'avoir fait onane en aeptant de travaillerave moi. L'ahèvement de

ette thèse tient en grande partie à leur patiene, leur expertise sientique permettant

d'aller toujours dans le bon sens, et leurs qualités humaines qui m'ont donné et redonné

la motivation néessaire pour mener es travaux.

Mon passage au LJK a été pour moi l'oasion de nombreux bons moments, dans le

bureau 56, ave Claire d'abord, puis ave Florian et Innoent, lors des onférenes et

éoles ave Thomas et Elie notamment, ou enore ave Elise, Monika, Emilie, Carine,

Morgan,Mathieu,Ibrahim, Mar. Jelesremerie deleur amitié,leurs enouragements et

leurs onseils. Jesouhaite d'autrepart remerier ii Cathy, Juana, etClaudine pour leur

grande disponibilité, jusqu'au matin même du jour de ma soutenane, et pour leur aide

dans mes démarhes administratives.

Ensuite je veux remerier ma famille et mes amis d'avoir aepter me voir les délais-

ser parfois pour ette thèse dont le titre reste pour la plupart d'entre eux une suite de

mots étranges. Leur soutien, leur attention, m'ont permis de rester (je l'espère) presque

équilibrée durant e parours. Je pense partiulièrement à mon grand-père que j'aurais

tellement aimé inviterà masoutenane.

Ces années grenobloises me laisseront de nombreux très bons souvenirs, à partager ave

Emilie, Samuel, Evelyne, Tony, Niolas, Hélène et Jean Lourmi notamment.

Enn, mes pensées vont à Simon, dont la présene à mes otés a onstitué la soure

d'énergie néessaire à l'aomplissementde e travail.

(5)

(6)

Grandeurs physiques et géométriques

u

^Champ^de ^vitesse ^eulérien

ρ

^Densité

p

^Pression

µ

^Visosité ^dynamique

Σ

^Tênseur ûide^des ôntraintes

g

^Gravité

E

^Energie

e

^Etirement

E

_e ^Fontionnelled'énergie élastique

T

e ^T^ension ^élastique

ν

e ^Coeient ^de ^raideur

F

_e ^F^ore ^élastique

λ

e ^Densité ^linéique ^de ^masse

x

G ^Centre ^de ^gravité

ω

^Vitesse ^angulaire

r

^Veteur^position ^par ^rapport^au^entre ^de ^gravité

J

^Matrie ^d'inertie

M

^Masse

Ω

^,

Ω

f

(t)

^,

Ω

s

(t)

^Domaines ^de ^alul

Γ

e

(t)

^Membrane ^élastique

γ

Paramétrage

n

^,

τ

^Veteurs ^normal ^et^tangent

κ

^Courbure

φ

^F^ontion^level-set

Paramètres numériques

∆x

^,

∆t

^Pas ^de disrétisation spatialet temporel

ε

^Largeur^d'interfae

η

^Paramètre ^de pénalisation

σ

^Largeur^de ^voisinage

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Espaes fontionnels, opérateurs

D

^′ ^Espae ^des distributions

L

^p

(Ω)

^,

1 ≤ p < ∞

^Espae^des^fontions

f : Ω → R

tellesque

k f k

^L^p

:=

Z

Ω

| f (x) |

^p

dx

1/p

< + ∞

L

^∞

(Ω)

^Espae ^des ^fontions

f : Ω → R

mesurables telles qu'il existe une onstante

C

^telle ^que

| f(x) | ≤ C

p.p. sur

Ω

H

^m^,

H

₀¹ ^Espaes ^de ^Sobolev

C (0, T )

^Espae ^des ^fontions

f :]0, T [ → R

ontinues

H { u ∈ L

²

(Ω), div u = 0, u.n

|∂Ω

= 0 }

V

^r

{ v ∈ H

^r

(Ω), div v = 0, v = 0

^sur

∂Ω }

^, ^pour

r > 0 K (t) { u ∈ V , D(u(t)) = 0

^dans

D

^′

(Ω

s

(t)) }

Ω

s,σ

(t) { x ∈ Ω,

^dist

(x, Ω

s

(t)) < σ }

K

^rσ

(t) { v(t) ∈ V

^r

, D(v(t)) = 0

^dans

D

^′

(Ω

s,σ

(t)) } P

_σ^r

(t)

^Projetion orthogonale de

V

^r ^sur

K

^rσ

(t) h ., . i

^Produit ^salaire

k . k

^Norme

div(u)

^Divergene ^de

u

D(u)

^T^enseur ^des ^vitesses ^de déformation

∇

^,

∆

^Gradient ^et^Laplaien

×

^,

⊗

^Produits ^vetoriel^et ^tensoriel

Divers

χ

Ω ^F^ontionaratéristique de

Ω

H

^F^ontion^de ^Heaviside

δ

^Masse ^de ^Dira

ζ

^Masse ^de ^Dirarégularisée

dist Fontiondistane

Supp Fontionsupport

I

_d Matrie identité dans

R

^d

(8)

Table des matières 5

Introdution 7

1 Modèles mathématiques de ouplage uide-struture 13

1.1 Modèles mathématiques en formulation lassique. . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.1 Coordonnées lagrangienneset eulériennes . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.2 Equations de Navier Stokes inompressiblepour un uide newtonien 20 1.1.3 Equations pour une ourbeélastique 1D . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.4 Equations pour un solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.1.5 Vers un milieu ontinumultiphysique . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2 Modèle eulériende ouplage uide-membraneélastique en 2D . . . . . . . 27

1.2.1 Méthode de Frontière Immergée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.2 Méthode levelset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2.3 Expression de lafore élastique en formulation level-set . . . . . . . 35

1.2.4 Formulationlevel-set de laméthode de frontière immergée . . . . . 36

1.3 Résolutionde NavierStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.4 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Stabilité numérique du ouplage eulérien uide-membrane élastique 45 2.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1 Modèle eulérien de ouplage uide-membraneélastique . . . . . . . 47

2.2.2 Relaxationd'une membraneélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.3 Calul numériquede lafore élastique . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3 Caluld'une ondition de stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3.1 Conditions de stabilité existantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.2 Etude de stabilité de VonNeumann sur un modèle 1D linéarisé . . 56

2.3.3 Etude numérique du shéma semi-impliite . . . . . . . . . . . . . . 70

2.4 Conservation de l'énergiedisrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.4.1 Shéma de ouplage en temps onservatif . . . . . . . . . . . . . . . 80

(9)

2.5 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3 Méthode de pénalisation pour le ouplage uide-solide rigide 87 3.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2 Formulationfaibleet méthode de pénalisation

L

² ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁸⁸

3.2.1 Formulationfaible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.2.2 Méthode de pénalisation

L

² ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁰⁰

3.3 Analyse numérique de la méthode de pénalisation

L

² ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹⁰⁵

3.3.1 Lemme de projetion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.3.2 Estimations sur les équationsde transportet de Navier-Stokes . . . 107

3.3.3 Passage à lalimite dans la vitesse rigide . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.3.4 Convergene fortede

u

_η ^dans

L

²

((0, T ) × Ω)

^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹¹⁴

3.3.5 Passage à lalimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.4 Extension: méthode de pénalisation

H

¹ ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹³⁶

3.5 Résultatsnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.5.1 Miseen ÷uvre numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.5.2 Lien ave laméthode de projetion de [59℄ et [69℄ . . . . . . . . . . 141

3.5.3 Test 2D: ylindre rigide en sédimentation . . . . . . . . . . . . . . 141

3.5.4 Test 3D: sphère rigide en sédimentation . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.6 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Conlusion 153

Bibliographie 160

Table des gures 161

(10)

La simulation numérique représente une alternative de plus en plus importante aux

tests expérimentaux pour l'étudede systèmes physiquesmettant en jeudes uides etdes

strutures.

Cessystèmesprésententdesaratéristiquesphysiquestrèsvariéesetonernentdesappli-

ationsdansdesdomainestelsquel'aéronautique,lamédeine,oul'étudedesphénomènes

environnementaux.

En e qui onerne la médeine par exemple, la simulation numérique permet d'obtenir

ertains diagnostis sans faireappel àdes méthodes invasives, etonstitue une approhe

omplémentaire auxexpérienes in vivo ou in vitro.Dans d'autres appliations,lesoûts

importants assoiés aux tests expérimentaux peuvent être onsidérablement réduits par

une étude numérique préalable, 'est leas notamment en aéronautique.

En pratique, la simulation numérique d'un problème de ouplage uide-struture or-

respond à la résolution d'un problème triple : en plus de la résolution de haun des

omposants (uide et struture) on se doit en eet de traiter le ouplage entre les deux,

e quiomporte des aspets très diérents selon lesappliations onsidérées.

Pour la simulation numérique de l'éoulement du sang dans une artère on ne peut pas

négliger ladéformation de l'artère dûe à l'éoulement etl'inuene de ette déformation

sur l'éoulement lui-même, dès lors que l'on souhaite obtenir des résultats numériques

réalistes. Par ailleurs la simulation de l'éoulement de l'air autour d'une aile d'avion

doit quant à elle tenir ompte de la géométrie éventuellement omplexe de l'aile et du

omportement fortement turbulent de l'éoulement d'air dû à la vitesse importante de

déplaement d'un avion.

Enn, ertains phénomènes qui peuvent être traités de manière ontinue à ertaines

éhelles peuvent aussi entrer dans le adre de l'interation uide-struture. C'est le as

parexempledel'étudedel'éoulementdesboues,pourlaquelleilfautsimulerletransport

par un uided'un grand nombre de partiules, entrant éventuellement en ollision.

Lesattentesvis-à-visdelasimulationnumériquedeproblèmesdeouplageuide-struture

peuvent elles aussi être très variables.Dans l'idéal on espère proposer un ode de alul

à lafois peu oûteux en temps, préis, simple à implémenter etouvert an de permettre

l'utilisation de odes existants pour ertains aluls intermédiaires. Cependant en pra-

(11)

tique un ompromis entre toutes es propriétés et une représentation satisfaisante des

aratéristiquesphysiques du problème doit souvent être adopté.On hoisit ainsi d'utili-

ser parfois des modèles simpliésnégligeant ertains eets, de modier la rhéologied'un

éoulement, ou enorede déoupler au maximum leproblème.

Lesméthodesnumériquesdédiéesàlasimulationdeproblèmesdeouplageuide-struture

peuvent alors être lassées selon trois ritères: laformulationeulérienne oulagrangienne

de l'éoulement,laloalisationde lastruture par suiviouapture d'interfae,etlaprise

en ompte des interations entre le uide et la struture. De es ritères dépend notam-

mentle hoix du ou des maillagesutilisés, xes ou adaptatifs.

Les deux modèles de ouplage uide-struture que nous onsidérons sont eux d'une

membrane (struture ne) élastique et d'un solide rigide immergés dans un uide vis-

queux inompressible.

Nous nous plaçons dans le adre d'une formulation eulérienne du uide, ave dénition

d'un maillage xe artésien sur lequel les diérenes nies sont utiliséespour la disréti-

sationspatiale.Cehoixjustié parunsoui desimpliitépermetentreautrel'utilisation

d'unsolveurdelalibrairieFISHPACKpourlealuldelapression.Onrésoutleséquations

de Navier-Stokes inompressible dérivant la onservation de la quantité de mouvement

et laonservation de lamasse du uide, de manière àprendre en ompte exatement les

fores hydrodynamiquesmisesen jeu.Lesinterfaesuide-struture sontapturéespar la

méthode level-set introduite dans les travaux de S. Osher et J.A. Sethian en 1988 [58℄ :

on représente l'interfae impliitement en utilisant une fontion dont la ligne de niveau

0

^orrespond ^à ^haque ^instant ^à l'interfae. Enn l'ation de la struture est prise en ompte en modiant leséquations du uide. Dans leas de lamembrane, on exprime la

fore élastique à l'aide d'une loide omportementreliant laontrainte àla déformation.

Cette foreloaliséesur lamembraneest inluse dans leséquations du uideave lamé-

thode de frontière immergée proposée par C.S. Peskin en 1977 [62℄, dont nous utilisons

laformulationeulérienneintroduitepar E. Maitre etG.H. Cottetdans ([20℄, [21℄).En e

qui onerne leouplage ave le solide rigide, on se plae dans le adre des méthodes de

domainetif quipermettent deonsidérer un domainedealul globalomprenant àla

foisleuide etlastruture.Lerespet de laontraintede rigiditédans lesolidean qu'il

ne se déforme pas est ensuite obtenu en ajoutant dans les équations du uide un terme

de pénalisation.

Dans e ontexte, nous nous intéressons à deux problématiques.

La méthode de frontière immergée permet de prendre en ompte lafore élastiqued'une

(12)

membrane dans les équations du uide, e qui produit un système d'équations ouplant

lesvariablesrelativesauuide età lastruture. Pour larésolution de e système ouplé,

si onutilise à haque pas de temps lavaleur au pas de temps préédent des variables du

uide (resp.de lastruture) pour alulerla nouvelle valeur des variablesde lastruture

(resp.du uide),onrésoutleséquationsde manièredéalée,etonparlealorsde ouplage

faibleou expliite.Inversement sil'on souhaiteà haque pas de temps forer le ouplage

de manière àvérier à haque instant lesonditions d'interfae, alors il fautrésoudre les

équationsde manièresimultanée, etonobtient un ouplage fortouimpliite.L'approhe

intermédiaire onsistant à ne oupler fortement que ertains eets produit des shémas

semi-impliites.

Lehoix d'unouplage expliite,semi-impliiteouimpliiteentre le uideetlastruture

estruialarilonditionnefortementlastabilitédesaluls.Eneetplusleouplageest

impliitepluslesalulsserontstables.Maislastratégiedeouplageaaussiuneréperus-

sion sur le oût des aluls.Si l'utilisationd'un shéma expliite néessite de prendre de

petits pas de tempsan de minimiserledéalage entre le aluldes diérentes variables,

leouplage impliitesuppose de résoudre àhaque pas de temps un système ouplénon-

linéairepar une méthode itérative,dontletemps de onvergene peut amoindrirl'intérêt

de prendre de grands pas de temps.

La stabilité des aluls dépend aussi fortement des paramètres physiques (raideur de la

membrane, visosité du uide, rapport des densités,...) et des aratéristiques géomé-

triques de l'appliation onsidérée. L'hypothèse d'un uide très visqueux permettra par

exemple d'améliorerla stabilité.

L'étude de la stabilité des aluls représente don une part importante des reherhes

menées au sujet de la méthode de frontière immergée. De nombreux shémas impliites

ont été développésmais leur oût semblerédhibitoire en pratique. Lerepli vers des shé-

mas semi-impliites a fourni ependant des méthodes plus réalistes du point de vue de

leur mise en ÷uvre. An de déterminer quels sont les eets à traiter de manière impli-

ite dans es méthodes ilest avanttout néessaire de omprendrequelles sontles soures

de l'instabilité, i.e.identier l'inuene des paramètresphysiques ou géométriques sur le

omportement de shémas expliites, semi-impliitesouimpliites.

Dans leas du ouplage uide-solide rigide,la dénition d'un domainetif omprenant

le uide et le solide permet la dénition d'un maillage struturé sur lequel des solveurs

existantspeuvent être employéspour larésolution du uide par exemple.

Ene quionerne laontrainterigidedans lesolide,laméthode de pénalisation onsiste

àajouter un termedans leséquations du uide,dont lepoids peut être ajustépar un o-

eientquinumériquementdoitêtre hoisisusammentgrandand'obtenirlapréision

souhaitée.

Préalablementàl'utilisationnumériqued'uneméthodede pénalisation ilest néessairede

vérier quele problème ainsi déni modélise bien lemodèlede ouplage onsidéré, 'est-

à-dire que lorsque le oeient de pénalisation devient grand les solutions du problème