Une approche milieu poreux pour la modélisation de l'interaction fluide-structure des assemblages combustibles dans un coeur de réacteur à eau pressurisée : simulation et expérimentation

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l’interaction fluide-structure des assemblages

combustibles dans un coeur de réacteur à eau

pressurisée : simulation et expérimentation

Guillaume Ricciardi

To cite this version:

Guillaume Ricciardi. Une approche milieu poreux pour la modélisation de l’interaction fluide-structure

des assemblages combustibles dans un coeur de réacteur à eau pressurisée : simulation et

expérimen-tation. Sciences de la Terre. Université de Provence - Aix-Marseille I, 2008. Français. �tel-00337181�

THESE

pour obtenirle grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITE AIX-MARSEILLE I

Dis ipline : MECANIQUE

Option : ENERGIE

présentée etsoutenue publiquement

par

Guillaume RICCIARDI

le 10O tobre 2008

UNE APPROCHE MILIEU POREUX POUR LA MODELISATION

DE L'INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE DES

ASSEMBLAGES COMBUSTIBLES DANS UN COEUR DE

REACTEUR A EAU PRESSURISEE : SIMULATION ET

EXPERIMENTATION

JURY

M. Emmanuel DE LANGRE Président

M. Mi hel J. PETTIGREW Rapporteur

M. Alain COMBESCURE Rapporteur

M. Sergio BELLIZZI Dire teur

M. Bruno COCHELIN Co-dire teur

M. Uwe EHRENSTEIN Examinateur

M. Bruno COLLARD Invité

I Introdu tion générale 7

II Synthèse bibliographique 9

II.1 Introdu tion . . . 11

II.2 Des riptiond'un oeur de réa teur REP . . . 11

II.2.1 Des riptiond'un assemblage ombustible . . . 11

II.2.2 Comportement d'un assemblage ombustible . . . 12

II.3 Modélisationdu oeur . . . 12

II.3.1 Modélisationdes assemblages ombustibles . . . 12

II.3.2 Modélisationdes a tionsdu uidesur lastru ture . . . 13

II.3.3 Modèle ouplé uide-stru ture . . . 13

II.4 Milieuxporeux . . . 13

II.4.1 Equations globales . . . 13

II.4.2 Modèles empiriques . . . 14

II.4.3 Modèles de turbulen ema ros opiques . . . 15

II.4.4 Modèle de Biot . . . 15

II.5 Intera tion uide stru ture . . . 15

II.5.1 Cylindre soumisà un é oulementvisqueux in ompressible. . . 15

II.5.2 Réseau de tubes soumisà un é oulementtransverse . . . 17

II.6 Modélisationde laturbulen e. . . 18

II.6.1 Large Eddy S ale . . . 18

II.6.2 Reynolds AveragedNavierStokes . . . 19

II.6.3 Compléments sur les modèles . . . 20

II.7 Méthodes de résolution numérique . . . 21

II.7.1 Dis rétisation spatiale . . . 21

II.7.2 Dis rétisation temporelledes équationsuides . . . 22

II.7.3 Dis rétisation temporelledes équationsstru tures. . . 22

II.7.4 Gestiondes onditions limitesse déformant, formulationALE . . . 23

II.8 Con lusion du hapitre . . . 23

IIIModélisation 25 III.1 Introdu tion . . . 27

III.2 Méthode . . . 28

III.3 Preliminaire: for es agissantsur un tube . . . 28

III.3.1 Modèle de Païdoussis . . . 28

III.4 Equations du modèle poreux . . . 30

III.4.1 Hypothèses . . . 30

III.4.2 Modélisationdu uide équivalent . . . 30

III.4.3 Modèle de stru ture équivalente . . . 35

III.4.4 Modèle ouplé. . . 42

III.4.5 Conditions limites . . . 44

III.4.6 Dis ussion sur lemodèle ouplé . . . 45

III.4.7 Formulation variationnelle . . . 46

III.5 Modèle numérique. . . 47

III.5.1 Dis rétisation spatiale . . . 47

III.5.2 Dis rétisation temporelle . . . 55

III.5.3 Mise en oeuvre . . . 56

III.5.4 Etude paramètrique . . . 56

III.6 Con lusion du hapitre . . . 62

IVValidation expérimentale sur essais antérieurs 63 IV.1 Introdu tion . . . 65

IV.2 DispositifexperimentalECHASSE. . . 65

IV.2.1 Conditions limites . . . 65

IV.2.2 Identi ation des onstantes . . . 66

IV.2.3 Comparaison expérien e théorie . . . 68

IV.3 DispositifexperimentalCADIX . . . 73

IV.3.1 Modèle de la for ede ouplage . . . 75

IV.3.2 Conditions limites . . . 76

IV.3.3 Identi ation des onstantes . . . 76

IV.3.4 Comparaison expérien e théorie . . . 77

IV.3.5 Comparaison modèle linéaireet non linéaire . . . 82

IV.4 Con lusion du hapitre . . . 83

V Réalisation des essais COUPLAGE et validation 85 V.1 Introdu tion . . . 87

V.2 Dispositifexpérimental. . . 87

V.3 Observations expérimentales . . . 90

V.4 Validation. . . 93

V.4.1 Conditions limites . . . 94

V.4.2 Identi ation des onstantes . . . 94

V.4.3 Comparaison expérien e/simulation . . . 96

V.5 Con lusion du hapitre . . . 102

VIAnalyse par Dé omposition sur Modes Propres 103 VI.1 Introdu tion . . . 105

VI.2 Dé ompositionsur Modes Propres . . . 105

VI.3 Analyse des résultatsnumériques . . . 106

VI.3.1 Essais ECHASSE . . . 106

VI.3.2 Essais CADIX. . . 111

VI.4 Rédu tion de modèle . . . 117

VI.4.2 Résultats . . . 119

VI.5 Con lusion . . . 123

VIICon lusion générale 125 Table des gures 127 Liste des tableaux 138 Bibliographie 141 A Matri es élémentaires relatives au modèle numérique 151 A.1 Matri esélémentaires stru utre. . . 151

A.2 Matri esélémentaires uide . . . 153

B Comparaison expérien e simulation du dispositif ECHASSE 155 B.1 Essai en air . . . 155

B.2 Essai en eau . . . 156

C Comparaison expérien e simulation du dispositif CADIX 165 C.1 Essai en air . . . 165

C.2 Essai en eau ave onnement à

2 mm

. . . 169

C.3 Essai en eau ave onnement à

1.5 mm

. . . 175

C.4 Maximum des for e d'impa t . . . 179

D COUPLAGE 183 D.1 Résultatsdes essais COUPLAGE . . . 183

D.2 Simulationsdes essais COUPLAGE . . . 188

D.2.1 Simulation3D. . . 188

D.2.2 Simulation3D ave raideuret masse ajoutée modiée . . . 191

D.2.3 Simulation2D. . . 193

D.2.4 Simulation2D ave raideuret masse ajoutée modiée . . . 195

E Rédu tion du modèle par analyse POD 197 E.1 Détaildes matri es . . . 197

Remer iements

Jetiensàremer ierdansunpremiertemps,lesmembresdujury,sansquiau unesoutenan e

n'estpossible.Mer iàmessieursPettigrew etCombes ure,pourlesrapports, onstru tifsqu'ils

ont fournis, ayant ainsi permis d'améliorer le présent mémoire. Mer i au Président du jury,

monsieur de Langre,pour avoirsoutenu e travailde thèse, toutaulong de es trois années, et

ainsi ontribuer à améliorer le modèle. Enn, mer i à messieurs Mureithi et Ehrenstein, pour

les questions pertinentes soulevées lorsde la soutenan e.

Dans un deuxième temps, je tiens à remer ier mes " hefs", qui ont su me laisser libre et

me re adrer aux moments opportuns. Mer i Bruno (Co helin), pour ton aide pré ieuse, et la

pertinen e de ton savoir de numéritien. Mer i Bruno (Collard), pour ton impli ation dans e

travail,et ton expertise du domaine nu léaire.Mer i Sergio, pour es nombreuses dis ussions,

etpourtarigueur.Vous êteslapreuvevivante,quel'onpeutalliertravails ientiquedequalité

et bonne humeur. J'aivraiment eu beau oup de plaisirà partager es trois années ave vous,

et je pense que vous me manquerez. Ce sont des personnes omme vous qui donne envie aux

jeunes her heurs de ontinuer dans ette voielà.

Jevoudraisensuiteremer iermeslaboratoiresd'a ueil.Mer iauLMA,ettoutlesgensquiy

travaillent,ouquiyonttravaillé,Alex,Maxime,Pierre,Cédri ,Ni o,Stéphane,Aurelie,Manu,

Pierre-Olvier, Philipe, Dominique, Manu, Marie, Mi helle, Alain, Murielle, Romain, Bastien,

mer i à tous pour es bons moments passé autour d'un afé. Mer i au LHC, Jean-Fran ois,

Jean-Pierre, Yves, Joelle, Serge,Olivier, Philipe,Eri , Fran is,Tony, Fabienne, Vallery.

Ilest de outume deremer ier ses amisetsafamille,pouravoirsupporter lethésarddurant

es trois longuesannées, n'ayant pas lesentimentsd'avoirété insupportable,je n'en ferairien.

Je remer ierai plutt ma famille et mes amis, d'avoir été là le jour de ma soutenan e, pour

partager e moment important dans la vie d'un her heur. Je remer ie aussi, eux qui n'était

pas làet qui leregrette, ou du moins qui onteu une pensée pour moi e jour là.

Enn je remer ie ma mère, pour ses rele tures, et sans qui, e mémoire n'aurait pas de

Introdu tion générale

La sûretédes entralesnu léaires, etplus parti ulièrementdu oeur, est une préo upation

majeuredesindustriels.Notreétudeportesurlerisquesismique.Lorsd'unséismelesstru tures

internes du oeur viennent s'entre hoquer. Un oeur est onstitué de rayons ombustibles

d'environ

1 cm

de diamètre pour

4 m

delong, oùsontlogéesdes pastillesd'uraniumenri hi, es

rayonssont regroupés parpaquets de

17

par

17

àl'aide de grilles, lespaquetsainsiformés sont

appelésassemblages ombustibles,onen ompteenviron

150

dansun oeur.L'énergie alorique

dégagée par la réa tion de ssion est ré upérée par un é oulement de

5 m/s

d'eau pressurisée,

150 Bar

à

300

o

_C

.Le oeurest onsidéréfon tionneltantquelesgrillesrestentinta tes,les ho s

provoquésparunséismepeuvententraînerleambagedesgrilles.Dansunetellesituation,deux

rayonspeuventveniren onta t,lepoint haudenrésultantpeutprovoquerlafontedelagaine

et libérer de l'uraniumdans le ir uitprimaire. Ainsiles ingénieurs, ont besoin d'outils d'aide

audimensionnement,pourpouvoirestimerlesfor esd'impa tentre lesgrilles,lorsd'unséisme.

Une modélisation ne à l'aide de odes industriels prenant en ompte tout les rayons

(environ

50 000

), les liaisons grilles- rayons, le uide et le ouplage uide-stru ture, donnerait

lieuàun nombre de degrés de libertébien trop élevé auxregardsdes puissan es informatiques

disponibles.Lesingénieursontdon besoindemodèlesdu oeursimpliés.Nousproposonsdans

e mémoire un modèle basé sur une appro he milieu poreux, elle- i nous permet de dégager

deséquationsglobalessimpliantlagéométrieduproblèmeetréduisantlenombrededegrésde

liberténé essaires.L'originalitédutravailproposé,résidedanslefaitqueleuideetlastru ture

sontmodélisés,eneetleséquationsdeladynamiquedel'unetdel'autresontmoyennéssurun

volumede ontrleséparément, ilenrésulteun système d'équationsrégissantle omportement

d'un uide équivalent et d'une stru ture équivalente o upant tout le domaine. Le ouplage

entre le uide et lastru ture équivalents, se traduitpar une for evolumique dontl'expression

est établie à partir de modèles empiriques des eorts s'exerç ant sur un rayon soumis à un

é oulement axial. Enn, haque assemblage ombustible équivalent est assimilé à une poutre,

dontlaloide omportementvis oélatiquenon linéairetient omptedes phénomènesde onta t

etde fri tiondes liaisons grilles- rayons.

Le mémoire est organisé de la façon suivante. Le premier Chapitre est onsa ré à l'étude

bibliographique, on y retrouve la des ription du oeur, les diérents modèles d'assemblages

ombustibles, et l'ensemble des domaines utilisés dans lemodèle proposé dans e mémoire.Le

se ondChapitredéveloppelemodèleanalytiquedansunpremiertempsetlemodèlenumérique

asso ié dans un se ond. Une validation à partir de séries d'essais réalisés antérieurement, est

soumis à un é oulement, tandis queles essais CADIX, présentent une ligne de six assemblages

ombustibles en eau stagnante, posés sur une table vibrante pouvant simuler les eet d'un

séisme. Le quatrième Chapitre est onsa ré à la réalisation des essais COUPLAGE à partir

desque ls une troisième validation du modèle est proposée, le dispositif COUPLAGE présente

un réseaude trois par trois assemblages ombustibles, onpeut alorsobserverle ouplage entre

lignes d'assemblages.Enn,ledernierChapitre propose uneanalysedes résultatsnumériquesà

l'aide d'une Dé omposition sur modes Propres Orthogonaux, une rédu tion de modèle sur es

Synthèse bibliographique

Ce hapitre est onsa ré à la synthèsebibliographique

uti-lisée dans e mémoire. Il n'a pas pour but de faire un état de

l'art exhaustif de haque domaine, il illustre plutt

l'interdis- iplinarité de notre étude. En eet de nombreuxthèmes sont

abordés, et quelquefois juste eeurés, la modélisation d'un

oeur de réa teur induit des problèmes de onta ts, de

tur-bulen e, d'intera tion uide-stru ture. Cha un de es thèmes

est abordé, on ajoute à es thématiques le as des milieux

po-reux qui servira de base au modèle proposé dans e mémoire,

ainsique la résolution numérique desystème d'équations non

Sommaire

II.1 Introdu tion . . . 11

II.2 Des ription d'un oeur de réa teur REP . . . 11

II.2.1 Des ription d'un assemblage ombustible. . . 11

II.2.2 Comportement d'un assemblage ombustible. . . 12

II.3 Modélisation du oeur . . . 12

II.3.1 Modélisationdesassemblages ombustibles . . . 12

II.3.1.a Modèles ave prise en ompte dufrottement grilles- rayons . 12 II.3.1.b Modèles sans frottement . . . 12

II.3.2 Modélisationdesa tionsdu uidesurla stru ture . . . 13

II.3.3 Modèle ouplé uide-stru ture. . . 13

II.4 Milieux poreux . . . 13

II.4.1 Equations globales . . . 13

II.4.2 Modèles empiriques. . . 14

II.4.3 Modèles deturbulen e ma ros opiques . . . 15

II.4.4 Modèlede Biot . . . 15

II.5 Intera tion uide stru ture. . . 15

II.5.1 Cylindre soumisà uné oulement visqueuxin ompressible . . . 15

II.5.2 Réseau detubessoumis àun é oulement transverse. . . 17

II.6 Modélisation de la turbulen e . . . 18

II.6.1 Large EddyS ale . . . 18

II.6.2 Reynolds Averaged NavierStokes . . . 19

II.6.3 Compléments surles modèles . . . 20

II.7 Méthodes de résolution numérique . . . 21

II.7.1 Dis rétisation spatiale . . . 21

II.7.2 Dis rétisation temporelledeséquations uides . . . 22

II.7.3 Dis rétisation temporelledeséquations stru tures. . . 22

II.7.4 Gestion des onditions limites sedéformant, formulation ALE . . . 23

II.1 Introdu tion

On présentei ilesthèmesabordésdanslemémoire.Onproposedansunpremiertempsune

des ription d'un oeur de réa teur à eau pressurisée. L'obje tif du mémoire étant de proposer

unmodèledu oeur,onrépertorieensuitel'essentieldesmodèlesdisponiblesdanslalittérature.

DansleChapitreIIInous proposonsde modéliserleréseaudetubes onstituantunassemblage

ombustibleparunmilieuporeux,ainsilatroisièmepartiedu hapitreest onsa réeauxmilieux

poreux.Laquatrièmepartie,traitedeseortssubitsparuntubesoumisàuné oulementuide,

l'expression des es for es uides sera utilisée dans le modèle, pour oupler les équations du

uide et elles de la stru ture. L'é oulement dans un oeur étant fortement turbulent, il nous

faudratraiterletermedeturbulen e,ainsila inquièmepartieest onsa réeàlamodélisationde

laturbulen e.Enn,ladernièrepartie,rappellebrièvementlesdiérentesméthodesnumériques

disponibles,pour résoudre les équationsde lamé anique.

II.2 Des ription d'un oeur de réa teur REP

Le oeur d'un réa teur nu léaire à eau pressurisée (R.E.P.), est le lieu, où les réa tions de

ssionnu léairedel'oxyded'uraniumontlieu.Lorsde etteréa tion,dela haleurestdégagée,

onré upère ette haleurgrâ eàun uide aloporteur,i idel'eau,dontl'énergieestré upérée

à l'aide de turbines, via un se ond ir uit d'eau. Le oeur est onstitué de

157

assemblages

ombustibles pour un R.E.P. de

900 M W

(

193

pour un R.E.P. de

1300 M W

) dans lesquels sont

onnéesdespastillesd'uranium,leuide ir uleautravers desassemblages ombustibles,pour

ré upérer la haleur.

II.2.1 Des ription d'un assemblage ombustible

Un assemblage ombustible est onstitué de

264

rayons ombustibles (disposés en rangées

de

17 ∗ 17

) maintenus entre eux par des grilles, il pèse environ

800 kg

, et fait environ

20 cm

de

té pour

4 m

de hauteur. Les rayons ombustibles font environ

1 cm

de diamètre, ils sont

en Zir aloy et ontiennent les pastilles d'oxyde d'uranium, qui sont omprimées à l'aide d'un

ressort. Les grilles sont reliées par l'intermédiaire de

24

tubes guides, les tubes guides sont

soudés auxgrilles.Les grillesau nombre de

8

pour un R.E.P. de

900 M W

, et

10

pour un R.E.P.

de

1300 M W

, permettent de maintenir les rayons, mais elles permettent aussi au uide de se

mélanger grâ eauxailettes de mélange. Laliaisongrilles- rayons est assuréepar des ressortsà

lamesqui viennentappuyerles rayons ontre des bossettes, les rayons sontalors maintenusà

lagrillepar adhéren e.Des rayonsabsorbantspeuvent oulisseràl'intérieurdes tubesguides,

ils jouent le rle de régulateur de la réa tion nu léaire, l'ensemble de es rayons absorbants

onstituent la grappe de ontrle. La grappe, est tenue en son extrémité supérieure, par le

bras d'une étoile multi-bran he, appelée araignée. La hute de la grappe entraîne l'arrêt de

la réa tion nu léaire. Les assemblages ombustibles sont maintenus à la plaque inférieure et à

laplaque supérieure du oeur par l'intermédiaire d'embouts. Les embouts sontxés auxtubes

guides,etsontper éspour queleuidepuisses'é ouler autravers.L'ensemble, embouts,grilles

et tubes guides, onstitue le squelette de l'assemblage ombustible. La liaison embout-plaque

est assurée par des pions de entrage, et par des ressorts à lame sur l'embout supérieur, qui

II.2.2 Comportement d'un assemblage ombustible

On observe expérimentalement, que l'assemblage ombustible a un omportement non

li-néaire, il présente une non linéarité de raideur, et une non linéarité d'amortissement. Ces non

linéaritéss'expliquentpar les liaisons grilles- rayons,d'une part par lesfrottements,et d'autre

part par le onta t entre le rayon et les bossettes qui peut, suivant l'importan e des

dépla- ements se faire sur une ou deux bossettes. La présen e du uide introduit un amortissement

supplémentaire qui augmenteave lavitesse du uide.

II.3 Modélis ation du oeur

Un oeur de réa teur, est onsidéré omme fon tionnel, tant que les grilles de maintient

des assemblages ombustibles ne sont pas endommagées, et plus pré isément, tant que es

grilles n'ont pas ambé. Ainsi le oeur, est dimensionné au séisme, si les for es d'impa t aux

niveau des grillesrestent inférieuresà l'eort de ambage. Pour estimer es for es d'impa t, il

faut pouvoir modéliser le oeur, il est admis, que le ouplage d'une ligne d'assemblages à une

autre est négligeable,ainsi,seul le al ul d'uneligne d'assemblages est né essaire. Le ara tère

aléatoire d'un séisme, né essite le al ul d'un grand nombre de simulations, pour obtenir une

bonne estimationde l'eort d'impa t maximal,que l'on peut ren ontrer. La modélisation ne

d'uneligned'assemblages ombustibles,danslaquelleonmodéliseraittouteslesstru tures,leurs

intera tions et le uide, est impossible ompte tenu des moyens informatiques a tuels. Il faut

don élaborer des modèlessimples de ligne d'assemblages.

II.3.1 Modélisation des assemblages ombustibles

De part sa stru ture élan ée, un assemblage ombustible est souvent modélisé par une

poutre d'Euler-Bernoulli. Certains auteurs, proposent des modèles à plusieurs poutres pour

tenir ompte des sous-stru tures d'un assemblage, rayons, squelette.

II.3.1.a Modèles ave prise en ompte du frottement grilles- rayons

Ben Jedida (1993), etFontaine etPolitopoulos(1999) proposent de modéliser les grilles et

les rayons pardespoutres,etdeprendreun modèlede frottementdetypeloideCoulombpour

les liaisonsgrilles- rayons. Ces modèles rendent bien omptedu omportementnon linéairede

la stru ture, de l'amortissement et du phénomène d'hystérésis, mais la résolution non linéaire

ave eets de seuilinduitpar laloideCoulomb,est di ilenumériquementetdonnelieuàdes

temps de al ulstrès longs.

II.3.1.b Modèles sans frottement

Uneappro heplussimple, onsisteànégligerleglissementdes rayonsdanslesgrilles.Ainsi

Viallet et al. (2003) proposent un modèle à deux poutres une pour le squelette, et une pour

l'ensembledes rayons,lesliaisonsgrilles- rayonsétantmodéliséespar desraideursderotation.

Rigaudeau (1997)propose unmodèle ave une poutre,in luantunmodèle d'impa tàplusieurs

ressorts (voir aussi Kim et Lee 2002, et Kim et al. 2005). Ces modèles né essitent des temps

de al ul ourts et sont don tout indiqués pour faire des al uls de lignes d'assemblages en

l'assemblage, une façon d'en tenir ompte à moindre frais est d'introduire une rigidité et un

amortissement non linéaires. Pisapia et al. (2003, 2004) proposent une rigidité et un

amortis-sement quadratiques, pour un modèle àun degré de liberté quiest en a ord ave lesdonnées

expérimentales.

II.3.2 Modélisation des a tions du uide sur la stru ture

Dans la plupart des modèles, l'a tion du uide est modélisée par l'ajout d'un terme de

masse et d'un terme d'amortissement.Les expérien es montrent que la masse ajoutée dépend

fortement du onnement,etquel'amortissementaugmenteave la vitessed'é oulement, ainsi

e type de modèle né essite d'ajuster les oe ients de masse et d'amortissement selon les

onditions d'é oulement et de onnement. Beaud (1997) et Pomîrleanu (2005) proposent des

modèles de for es uidesplus omplexesqui tiennent ompte de la vitesse d'é oulement, etde

l'in linaison de la stru ture, es modèles sont basés sur lathéorie de Païdoussis(1966).

II.3.3 Modèle ouplé uide-stru ture

Lesmodèlesprésentés jusqu'i inemodélisentleuidequeparun eortajouté,s'appliquant

àlastru ture,etsontdon in apablesdereproduirele ouplageentreassemblages ombustibles

sans onta t, onpourraisiter lestravauxde Gibert (1988),de Langreetal.(1991,1992,1995),

Bro hard(1993),Axisa(2001).Bro etal.(2003)proposentun modèleàdeuxdegrésde liberté

par assemblage,oùle ouplage entre assemblages adja entsest pris en omptepar un bilansur

un volume de ontrle. Zhang (1998) proposent un modèle d'homogénéisation du oeur où la

stru tureetleuidesontmodélisés,leuideesti isupposéparfait,nonvisqueuxetirrotationnel

(voir aussi Zhang et al. 2001, 2002, Plan hard 1985 et Benner 1985). Ja quelin et al. (1996,

1998),Hinderksetal.(2000),MoreiraetAntunes(2002),etStabeletRen (2002)proposentdes

modèles homogénéisés de ompartiments de sto kage d'assemblages ave , intera tions

uide-stru ture, es ompartimentsontunestru ture plus simplequelesassemblages,puisqu'ilssont

fermés.

II.4 Milieux poreux

L'étude des milieux poreux intéresse de nombreux domaines s ientiques de l'ingénierie

(l'industriedu pétrole,étudesenvironnementales dessols, bio-mé anique).Unmilieuporeuxse

ara tériseparunedis ontinuitéde lamatière,ainsilemilieuprésentedesespa es danslesquels

un uidepeut ir uler.On s'intéressei iau omportementd'un uidevisqueuxin ompressible

qui s'é oule dans un milieu poreux. Un al ul déterministe modélisantla stru ture interne du

milieu seraitdi ile àmettre en oeuvre, d'unepart à ause de la stru ture souvent irrégulière

du milieu,et d'autrepart par ladimension des porositésqui est très inférieureaux dimensions

des volumes étudiés, le maillagené essaire demanderait des temps de al ul trop longs. On se

tourne alors vers des modèles globaux.

II.4.1 Equations globales

Il a deux méthodes pour dégager les équations globales d'un milieu poreux, la méthode

Lapremièreproposeun bilandeséquationssurunvolumeélémentairereprésentatif(v.e.r) xe,

puis les équationsglobalessont dégagées par un développement asymptotique en faisant

inter-venir lerapport entre la dimension ara téristique du v.e.r etla dimensiondu domaineétudié.

La deuxième propose un bilan des équations sur un volume de ontrle mobile, les équations

globales sont é rites dire tement sur tout le domaine, sans faire intervenir de développement

asymptotique. Banerjee et Chan (1980), et Delhaye (1981) ont proposé les équations

moyen-nées instantanées pour lesé oulements di-phasiques, Robbe et Bliard (2001) ont adapté ette

méthode auxmilieuxporeux.Quelleque soitlaméthode employée,onobtientune équationde

la forme:

∂v

∂t

+ v.∇v = −

1

ρ

P + ν∇

2

_v

_{− D}

p

,

(II.1)

∇.v = 0,

(II.2)

où

v

est la vitesse du uide, et

P

est la pression. On retrouve les équations de Navier Stokes

ave un terme supplémentaire

D

p

qui orrespond au eorts volumiques de la stru ture sur le

uide.

II.4.2 Modèles empiriques

De nombreux modèles sont dé rits dans la littérature pour exprimer

D

p

, ependant les

modèlesles plus répandus sont eux de Dar y etFor heimer.

Loi de Dar y (voirHaldar etal. 1999, Nassehi et al. 2004, Das et al.2001 et Damak et al.

2003) :

D

_p

=

µ

ρK

d

v.

(II.3)

Loide For heimer(voirAllanet Hamdan 2002,Avramenko et al.2005) :

D

p

=

√

F

K

d

√

v

2

v,

(II.4)

où

K

d

est le tenseur de perméabilité.C'est un tenseur d'ordretrois, e qui permet d'introduire

une anisotropiede perméabilité.

LaloideDar yestvériéeexpérimentalementpourlesfaiblesnombresdeReynolds(

R

e

< 1

),

pour des valeurs plus élevées du nombre de Reynolds, on rajoute au terme de Dar y le terme

de For heimer. On trouve d'autres modèles ave des termes en puissan e de la vitesse (voir

Costa etal.2004, Fouraretal.2004).Tous esmodèles supposentquelemilieuporeuxest non

déformable, etqu'il ne se dépla epas. Unemanière simplede tenir omptede e dépla ement

dans l'évolution du uide est de rempla er la vitesse du uide dans les termes rajoutés (

D

p

)

par la vitesse relative du uide par rapport aux milieu poreux, e qui donne pour une loi de

type Dar y (Zhanget al.2003) :

∂V

∂t

+ V.∇V = −

1

ρ

P + ν∇

2

_V

₋

µ

ρK

d



V

₋

∂U

∂t



,

(II.5)

où

U

est le dépla ement du milieu poreux. L'eet du uide sur la stru ture est alors pris en

omptedans laloide omportementdu milieuporeux déformable, en rajoutantàla ontrainte

II.4.3 Modèles de turbulen e ma ros opiques

Pour des nombres de Reynolds très grands (

R

e

> 300

), les modèles i-dessus ne sont plus

valables, les eets des petites é helles ne sont pas prises en ompte, on a alors re ours aux

méthodes de moyennes temporelles ou spatiales sur les équations de Navier Stokes modiées.

On retrouvelesmodèles lassiques

k − ε

de turbulen eave des termessupplémentairesdus aux

eets du milieu poreux. Pour plus de détails sur es modèles voirChan et Lien (2004),Pedras

etLemos (2000), Bragaet Lemos (2004)et Antohe et Lage (1996).

II.4.4 Modèle de Biot

Biot propose un modèle gouvernant ladynamiquedu uide (dépla ement noté

U

f

) etde la

stru ture (dépla ement noté

U

s

):

divσ

=

(1 − φ)ρ

s

∂

2

_U

s

∂t

2

+ φρ

f

∂

2

U

_f

∂t

2

,

(II.6)

−∇P =

_K

φ

 ∂U

_∂t

f

−

∂U

_∂t

s



+ ρ

f

(a − 1)

∂

2

_U

s

∂t

2

− aρ

f

∂

2

U

_f

∂t

2

,

(II.7)

où

ρ

f

et

ρ

s

sontrespe tivementladensitédu uideetde lastru ture,

φ

est laporosité,

K

est le

oe ient de perméabilité et

a

est le fa teur de tortuosité. Le tenseur des ontraintes globales

σ

, etla pression

P

du uide sontdonnés par les équations:

σ

=

2µE + λdivU

s

I

d

− βP I

d

,

(II.8)

P

= M div (U

s

− U

f

) − MβdivU

s

,

(II.9)

où

E

est le tenseur des déformations,

µ

et

λ

sont les oe ients de Lame,

M

et

β

sont les

oe ients de Biot et

I

d

est la matri e identité.

L'équation (II.6) résultedes équationsde ladynamique du système uide-stru ture ouplé,

(II.7)rend omptedeladi ultéqu'aleuideàs'é oulerdonnantlieuàungradientdepression.

La relationde omportement(II.8)tient omptede l'élasti itéde la stru ture mais aussi de la

vis ositédu uide par (II.8).Pour plusde pré isions sur lemodèle de Biotonpourrase référer

à RadietLoret (2008), Mesgouez et Lefeuve-Mesgouez (2008)ou en oreLu etal (2008)

II.5 Intera tion uide stru ture

L'intera tionuide-stru ture intervientdansde nombreux domaines,labio-mé anique,

l'in-dustrie pétrolière, la produ tion d'énergie, l'aéronautique. Elle peut aussi se présenter sous

diverses formes, é oulement di-phasique, parois poreuses souples, parois mobiles rigides. On

trouve une littérature abondante pour le as des tubes onvoyant un uide, et pour le as

de tubes immergés. Nous nous intéressons i i au as parti ulier de tubes et réseaux de tubes

immergés dans un uidevisqueux in ompressible.

II.5.1 Cylindre soumis à un é oulement visqueux in ompressible

Un ylindre immergé soumis à un ux radial non stationnaire subit une for e dite for e

terme de masse ajoutée :

dF =



C

M



ρ

πD

2

4

 ∂u

∂t

± C

Dm

ρD

2

u

2



_dx,

(II.10)

où

dF

est la for e uide s'exerç ant sur un tronçon de ylindre de longueur

dx

,

ρ

est la masse

volumiquedu uide,

D

est lediamètredu ylindre,

C

M

est le oe ientde masse ajoutée,

C

Dm

est le oe ientde traînée,et

u

est la vitesse du uide.

Taylor (1952) s'intéresse à un é oulement stationnaire ayant une omposante radiale et

axiale par rapport au ylindre rugueux, etpropose une expression pour le terme de traînée:

F

N

=

ρD

2

u

2



_C

Dp

sin

2

i + C

f

sin i



,

(II.11)

F

L

=

ρD

₂

u

2

C

f

cos i,

(II.12)

où

F

N

est la omposanteradiale de lafor epar unité de longueur,

F

L

est la omposanteaxiale

de lafor eparunitéde longueur.

i

estl'anglequefaitlavitesse duuideave l'axedu ylindre,

ainsi pour

i = 0

on a un é oulement axial, et pour

i = π/2

on retrouve l'é oulement radial.

C

_Dp

et

C

f

sont des oe ients de traînée,

C

f

dépend de la rugosité et lorsque elle- i devient

prépondérantedevant lediamètre,

C

Dp

sin

2

_i

devientnégligeable.Dans le as d'un ylindre lisse

la for ede traînéedevient :

F

_N

=

ρD

2

u

2



C

_Dp

sin

2

i + 4R

−

1

2

sin

3

2

i



,

(II.13)

F

L

=

ρD

₂

u

2

5.4R

−

1

2

cos i sin

1

2

i,

(II.14) ave

R

=

ρDu

2

µ

,

(II.15)

où

µ

est la vis osité du uide.

Lighthill (1960, 1986) s'intéresse aux for es uide pour un é oulement radial sur un

y-lindre en mouvement, etexprime lavitesse relatived'une se tiondu ylindre

S

x

par rapport à

l'é oulement:

v(x, t) =

∂h

∂t

+ u

∂h

∂x

,

(II.16)

où

u

estlavitesse duuide,

h

est ledépla ementdu ylindre,et

v

lavitesserelativedu ylindre

par rapport à l'é oulement. La for e résultante d'un ux non visqueux, est don égale à la

quantité d'a élération relative du uide, par rapport à la stru ture multipliée par une masse

virtuelle (par unité de longueur)

m

f

, e qui donnela formule :

F

I

= −m

f

 ∂

∂t

+ u

∂

∂x



v(x, t).

(II.17)

Païdoussis (1966, 1972, 2006) propose un modèle basé sur les théories de Lighthill (1960),

et Taylor (1952) des for es s'exerç ant sur un ylindre soumis à un é oulement axial. Pour un

é oulement axial de vitesse

u

très grand devant la vitesse de la stru ture, l'angle

i

d'in iden e

du uide est très faible

i << 1

,on peut alors simplier laformule de Taylor (1952) :

F

N

=

ρD

₂

u

2

C

N

sin i,

(II.18)

Païdoussis introduit deux nouveaux oe ients

C

N

et

C

T

. L'angle

i

peut être relié aux

omposantes, radialeetaxiale, de la vitesses du uide par rapport au ylindre :

i = sin

−

1



v

u



.

(II.20)

Ce quidonne nalement:

F

N

=

ρD

₂

u

 ∂h

∂t

+ u

∂h

∂x



.

(II.21)

Le modèle de Païdoussis rend ompte de l'eet de la vitesse d'é oulement sur

l'amortisse-mentde lastru ture,en eet, dansun premiertempsl'amortissementaugmenteave lavitesse

d'é oulement,puisildiminuejusqu'àl'instabilitédu système, e i apuêtre observé par

l'expé-rien e(Païdoussis2001).L'instabilitédetubessoumisàuné oulementfaitl'objetdebeau oup

d'études, des modèles empiriques ont été proposés pour prédirel'amplitude des os illationsen

fon tion de la vitesse d'é oulement et de la géométrie, on pourra se référer aux auteurs

Petti-grew, Weaver, ouen oreChen. De nombreuses étudessontbasées sur lemodèle de Païdoussis,

on pourra iter Modarres-Sadeghi etal. (2005),Vendhan etal. (1997), Lopeset al. (2001),ou

en ore Semleret al. (2001).Certains auteursproposent des modèles sto hastiques pour

déter-minerlesu tuationsdelapressionsurlaparoid'un ylindre(ChenetWambsganss19701972,

et Reavis 1969), Martí Moreno (2000) propose une investigation numérique par volumes nis

de es u tuations.

Letermedemasseajoutée,dépendfortementdu onnementdu ylindre,etdoitêtre al ulé

à l'aide de modélisations nes. Con a et al. (1996) ont montré par des méthodes numériques

que la masse ajoutée ne dépendait pas de la vis osité et qu'elle pouvait don être al ulée à

partirde al uls onsidérantunuideparfaitnonvisqueux; ependantSarpkaya(2000)montre

que sous ertaines onditions, le terme non visqueux de masse ajoutée et le terme de traînée

proposépar Morison(1950)ne sontplusindépendantsetqu'ilss'inuen entl'un etl'autre.On

pourraaussi iterZhouetGraham(2000)quiproposentdevérierlemodèledeMorison(1950)

par une étude numérique, ave des ombinaisons os illantes et quasi-statiques d'é oulements

transverses.

II.5.2 Réseau de tubes soumis à un é oulement transverse

Nehari et al. (2004) montrent par le al ul que pour les faibles nombres de Reynolds les

termesdemasseajoutéeetd'amortissement,augmententave l'espa ementdestubesduréseau.

Païdoussis(1969)montre par l'expérien equel'amplitudede dépla ementlorsd'instabilitéest

bien plus importante pour un réseau que pour un tube seul. Mureithi et al. (2005) montrent

parl'expérien e, quel'instabilitéd'untubedans unréseaudépendfortementdu omportement

des tubes voisins, ainsi l'instabilité d'un tube exible dans un réseau xe sera atteinte pour

des vitesses bien plus importantes que dansun réseauexible. Ilsmontrentaussi que leréseau

est plus stablepour un é oulementdi-phasique. Pour plus de détailssur le omportementd'un

réseau en é oulement di-phasique on pourra se reporter à Pettigrew et al. (2005). Hassan et

Barsamian (2004) valident l'appro he LES (voir paragraphe II.6.1) pour les al uls de réseau

de tubes, et montrent l'inuen e de la fréquen e d'é oulement sur les termes de traînée et de

masseajoutée,eneetpour desfréquen e ssupérieuresà

1000Hz

, es eortsdiminuentquandla

fréquen eaugmente.S hneideretFarge(2005)étudient,unréseau arrédetubespardes al uls

des al uls 3D à des al uls 2D, et montrent que, même pour un é oulement transverse, les

eets de la troisièmedimension ne sont pas négligeables.

II.6 Modélis ation de la turbulen e

Uné oulementturbulentprésentedes phénomènesàplusieursé helles,lapluspetiteé helle

dite de Kolmogorov est de l'ordre de

l/Re

9/4

(

l

est la grandeur ara téristique de l'é oulement,

et

R

e

est le nombre de Reynolds), une simulation numérique dire te (DNS) né essite don un

maillage très n pour les grands nombre de Reynolds. Une solutionpour réduire les temps de

al ul, estde modéliserleseets de laturbulen edes é hellesnon représentées parlemaillage;

on trouve dans la littérature deux prin ipales appro hes, la Reynolds Average Navier Stokes

(RANS) et la Large Eddy S ale (LES). Ces deux appro hes sont basées sur un modèle de

vis osité turbulente proposé par Smagorinsky(1963).

II.6.1 Large Eddy S ale

Laméthode LESouSimulationdes GrandesE helles onsisteà al ulerles ara téristiques

de l'é oulement liées aux grandes é helles, en modélisant les eets turbulents des sous-mailles

supposée s isotropes. On appliqueun opérateurde moyenne spatiale,ltré pour isoler les

gran-deurs liées auxgrandes é helles.

V (x, t) =

ZZZ

G

_∆

(x, x

′

)V (x

′

, t)dx

3

,

(II.22)

où

V

est lavitessedu uide,et

G

∆

estl'opérateurdeltrage,en pratiquel'opérationde ltrage

est réaliséepar lemaillageet

∆

est lataillede la maille.

Onpeutalorsdé omposerles ara téristiquesduuideenuntermemoyenetuneu tuation

de sous-maille:

V = V + v.

(II.23)

Enappliquant etopérateurauxéquationsdeNavierStokesetde onservationde lamasse,

on trouve:

∂V

∂t

+ V .∇V

= −

1

ρ

P + ν∇

2

_{V −}

∂v

i

v

j

∂x

j

,

(II.24)

∇.V

=

0,

(II.25)

R

ij

= v

i

v

j

,

(II.26)

où

P

est la pression du uide,

ρ

est la densité du uide, et

ν

est la vis osité inétique du

uide, l'indi e

i

faitréféren e àla omposantesuivantladire tion

x

i

.Letenseur

R

ij

dittenseur

de Reynolds ara térise les eets de la turbulen e de sous-maille. Smagorinsky suppose que

la produ tion et la dissipation de l'énergie des sous-é helles s'annulent, et propose le modèle

suivant en introduisant une vis osité turbulente

ν

t

:

R

ij

= −2ν

t

S

ij

+

1

₃

R

kk

δ

ij

,

(II.27)

S

ij

=

1

2

∂V

i

∂x

j

+

∂V

j

∂x

i

!

,

(II.28)

ave l'équationde fermeture :

ν

t

=

(C

s

∆)

2

q

2S

ij

S

ij

.

(II.29)

Ce modèle présente l'avantage de ne faire intervenir qu'une seule onstante

C

s

, ependant

ette méthode né essite des maillages ns. Pour plus d'information sur la méthode LES on

pourraseréféreràBarsamianetHassan(1997),Chatelain(2004),Lartigue(2004),Selle(2004),

Legier (2001).

II.6.2 Reynolds Averaged Navier Stokes

Cette méthode onsisteà al ulerexpli itement le hampde vitesse moyen (moyenne

tem-porelle)entenant omptede l'inuen edesu tuations.Ondé omposelesgrandeursphysiques

enunevaleurmoyenne(parrapportautemps)etuneu tuation.Onpeutalorsé rirelavitesse

sous la forme:

V

= V + v,

(II.30)

V

=

1

∆t

Z

t+∆t

t

V dt,

(II.31)

où

v

est la u tuation de vitesse, et

∆t

est le pas de temps de ladis rétisation temporelle.On

prend alors lavaleur moyenne de l'équationde NavierStokes, pour un uide in ompressible:

∂V

∂t

+ V .

∇V

= −

1

ρ

P + ν

∇

2

_{V −}

∂v

i

v

j

∂x

j

,

(II.32)

∇.V

=

0.

(II.33)

Ces équations introduisent de nouvelles in onnues

v

i

v

j

qui forment le tenseur de Reynolds

T

,ave

T

ij

= ρv

i

v

j

.Pour résoudre lesystème ilfautintroduire des équationsditesde fermeture.

Pour elaon onsidèredeuxgrandeurss alaires:l'énergie inétiqueturbulente

k

etladissipation

turbulente

ε

.

k

=

1

2

v

2

_,

(II.34)

ε

= ν

X

i

 ∂v

_i

∂x

i



2

.

(II.35)

IlexisteunerelationdefermetureentreletenseurdeReynolds,l'énergie inétiqueturbulente

et le tenseur des ontraintes déviatoriques

D

, déduite d'une analyse dimensionnelle qui fait

intervenir une nouvellegrandeur; lavis osité inétique turbulente

µ

t

:

−ρv

i

v

j

= µ

t

∂V

i

∂x

j

+

∂V

j

∂x

i

!

−

2

₃

kδ

ij

.

(II.36)

Et onétablit leséquations de transport de

k

et

ε

àpartir des équationsde Navier Stokes:

∂k

∂t

+ V .

∇k = −

∂

∂x

j

 1

ρ

P v

j

+

1

2

(v

i

v

i

)v

j



− v

j

v

i

∂V

i

∂x

j

+ ν

∂

2

k

∂x

j

∂x

j

− ε,

(II.37)

∂ε

∂t

+ V .

∇ε = ν

∂

2

ε

∂x

j

∂x

j

+

∂

∂x

j



−

2ν

_ρ

_∂x

∂P

r

∂v

i

∂x

r

− νv

i

∂v

j

∂x

r

∂v

j

∂x

r



,

(II.38)

− 2ν

2



_∂

∂x

j

 ∂v

i

∂x

r



2

− 2ν

∂V

i

∂x

j

∂v

j

∂x

r

∂v

i

∂x

r

+

∂v

r

∂x

j

∂v

r

∂x

i

!

,

(II.39)

− 2νv

j

_∂x

∂v

i

r

∂

2

V

i

∂x

j

∂x

r

− 2ν

∂v

i

∂x

r

∂v

j

∂x

r

∂v

i

∂x

j

.

(II.40)

Les termes de orrélation d'ordre trois, sont de nouvelles in onnues qu'on ne peut pas

al uler, onutilisedon des modèles exprimant es termes,en fon tiondes autresgrandeurs à

al uler. Le modèle le plus répandu dans les odes industriels et le plus simple est le modèle

k − ε

, tous lestermes in onnus sontexprimés en fon tion de

k

etde

ε

.

1

ρ

P v

j

+

1

2

(v

i

v

i

)v

j

=

ν

t

σ

_k

∂k

∂x

j

,

(II.41)

∂

∂x

j



−

2ν

_ρ

_∂x

∂P

r

∂v

i

∂x

r

− νv

i

∂v

j

∂x

r

∂v

j

∂x

r



=

∂

∂x

i

 ν

t

σ

ε

∂ε

∂x

i



,

(II.42)

2ν

2



∂

∂x

j

 ∂v

_i

∂x

r



2

= C

ε2

ε

2

k

,

(II.43)

C

ε1

ε

k

ν

t

∂V

j

∂x

i

∂V

i

∂x

j

+

∂V

j

∂x

i

!

= −2ν

_∂x

∂V

i

j

∂v

j

∂x

r

∂v

i

∂x

r

+

∂v

r

∂x

j

∂v

r

∂x

i

!

−2νv

j

_∂x

∂v

i

r

∂

2

V

i

∂x

j

∂x

r

− 2ν

∂v

i

∂x

r

∂v

j

∂x

r

∂v

i

∂x

j

,

(II.44)

ν

t

= C

µ

k

2

ε

.

(II.45)

Ces modèles font intervenir des onstantes qu'il faudra déterminer par l'expérien e ou par

un al ul DNS. On seretrouve nalement ave lesystème d'équation suivant :

∂V

∂t

+ V .∇V

= −

1

ρ

P + (ν + ν

t

)∇

2

_{V −}

2

3

∇.kI,

(II.46)

∇.V

=

0,

(II.47)

∂k

∂t

+ V .∇k =

1

ρ

∇



µ +

µ

t

σ

_k



∇k



+

2

ρ

µ

t

tr



D

2



− ε,

(II.48)

∂ε

∂t

+ V .

∇ε =

1

ρ

∇



µ +

µ

t

σ

ε



∇ε



+ 2C

ε1

ε

k

µ

t

tr



D

2



− C

ε2

ε

2

k

,

(II.49)

D

=

1

2



∇V + ∇V

T



.

(II.50)

Lemodèle

k −ε

présentel'avantaged'êtresimple,puisqueparrapport àl'équationdeNavier

Stokesseulement deux in onnues s alaires ontété rajoutées, ependant e modèle soufre de sa

simpli ité pour des problèmes ave des géométries omplexes faisant intervenir des ourbures.

Certainsmodèlesplus omplexesetplusperformantsfontintervenird'autresin onnues

( ompo-santes du tenseurde Reynolds)etd'autre onstantesde fermeture. Pourplus d'informationsur

lesméthodesRANSonpourraseréféreràBagliettoetNinokata(2004),Vermorel(2003),Ilin a

et al. (1997),Colin et al. (2005), Randriamampianina et al. (2004), Zaidi et al. (1995), Ferrey

(2004).

II.6.3 Compléments sur les modèles

Laturbulen eprès des parois présentedes phénomènes omplexes(anisotropiede la

turbu-len e, rédu tion des é helles de longueur, ara tère non homogène) que les modèles présentés

i i ne reproduisent pas. Ainsi, il existe des modèles qui tiennent ompte de es phénomènes

pro hes des parois. Pour plus de détails sur les modèles de parois etsur les autres modèles de

turbulen e on pourra se référer à Hinze (1975), Lessieur (1993), S heistel (1998), et Lévêque

II.7 Méthodes de résolution numérique

La modélisation mé anique d'un uide ou d'une stru ture donne lieu à des équations aux

dérivéespartiellesdontonne onnaîtpaslessolutionsanalytiques,onutilisealorsdesméthodes

numériques pour appro her es solutions.

II.7.1 Dis rétisation spatiale

Les méthodes de dis rétisation spatiale les plus répandues sont la méthode des éléments

nis, la méthode des volumes nis et laméthode des diéren es nies.

Méthode des éléments nis

Ledomaineestdiviséenéléments(voirZienkiewi z 2000).Onappro hele hampà al uler

par une fon tion ontinue qui s'exprime ommela sommede fon tionsde formes :

V

approx

(x, y, z) =

n

X

k=1

V

k

φ

k

(x, y, z),

(II.51)

où les

φ

k

(x, y, z)

sont les fon tions de formes qui sont égales à

1

au noeud

k

et à

0

sur tous les

autres noeuds de l'élément, et les

V

k

orrespondent aux valeurs de

V

approx

(x, y, z)

aux noeuds.

Ainsi

V

approx

(x, y, z)

s'expriment en fon tion des in onnues dis retes

V

k

. Pour des raisons de

stabilité,le degré des polynmesd'interpolationde la vitesse, doit être d'un degré supérieur à

elui utilisépour la pression.

Méthode des volumes nis

Le domaine est divisé en volumes de ontrle dans lesquels la pression est onstante. La

vitesse est onsidérée onstante sur haque surfa e et perpendi ulaire à ette même surfa e

(Sharmaet al.2004).

Méthode des diéren es nies

Les in onnues sont dénies sur une grille, et les dérivées spatiales sont dénies par des

s hémas d'ordre élevés, du type entrés d'ordre un ou deux. Cette méthode ne s'applique pas

pour des géométries omplexes(Langtangen etal. 2002).

Pour les problèmes stru tures, la méthode des éléments nis est très largement répandue

aussi bien dans la littérature que dans les odes de al uls industriels, on peut trouver des

modélisations par volumes nis mais l'appli ation de ette méthode pour les problèmes de

stru turesresterare.Pourlesproblèmesuideslesdeuxméthodessontemployées.Larésolution

des équations de Navier Stokes présente deux di ultés, la première on erne le terme non

linéaire de onve tion, et la deuxième on erne la ontrainte d'in ompressibilité. La méthode

desvolumesniss'aran hitde esproblèmesené rivantleséquationsduuidesurdesvolumes

de ontrlesdé entrés.Pourlaméthodedesélémentsnisilexistedenombreusesméthodespour

pallierà esproblèmes,onpourra iterlaméthodedespénalités,lesméthodesdeproje tions,ou

en ore lessplittingmethods. Une fois leséquations de Navier stokes dis rétisées spatialement,

onobtientl'équation matri ielle :

M

_{˙v + K(v)v = −Qp + Av + f,}

(II.52)

Q

T

v

= 0,

(II.53)

où

M

est lamatri e masse,

K

(v)

la matri e de onve tion,

A

est la matri e de diusion,

Q

est

lamatri e gradient,

f

leve teur deseorts exterieurs,

v

est leve teurin onnue vitesse, et

p

est

II.7.2 Dis rétisation temporelle des équations uides

S hémas lassiques

Les hémad'intégration pour lesuides le plus employéest les héma d'Uzawa :



M

+ θ∆t



K(v

k+1

) − A



v

k+1

+ ∆tQp

k+1

=



M

_{− (1 − θ)∆t}



K(v

k

) − A



v

k

+ ∆tf

k+1

(II.54)

,

Q

T

v

k+1

=

0.

(II.55)

Pour

θ = 0

onretrouve les hémad'Eulerexpli ite,pour

θ = 1

onretrouveles hémad'Euler

impli ite, et pour

θ = 1/2

on retrouve le s héma de Crank Ni olson. Ainsi les s hémas

impli- ites ou semi-impli ites né essitent la résolution d'un système non linéaire par des méthodes

itératives. Les s hémas expli ites né essitent des pas de temps réduit, les s hémas impli ites

eux permettentdespas de tempsplus grands.Quelquesoitles hémailfaudrarésoudre un (ou

plusieurs dans le as impli ite)système linéairede laforme:

N

Q

Q

T

0

!

v

p

!

=

q

0

!

.

(II.56)

La présen e du blo nul peut induire un mauvais onditionnement de la matri e et peut

ainsi rendrelarésolutiondu systèmedi ile.Onpeut alorsutiliserdes pré onditionneurspour

résoudre lesystème (voirBramble etPas iak 1997, Kobelkov etOlshanskii 2000).

Te hniques de stabilisation

Une façon d'éviter le mauvais onditionnement est de rempla er le blo de zéros par une

matri e non nulle. On itera les méthodes de stabilisation de la pression (voir Jansen et al.

2000), de pression arti ielle ou en ore la méthode des pénalités (Carey et Krishnan 1985,

Soulaimaniet al.1987).

Split méthodes

Les méthodes split (voir Bristeau et al. 1985) onsistent à faire des al uls intermédiaires

mieux onditionnés. Ainsi une première estimation de la vitesse est al ulée en négligeant

l'in ompressibilitédu uide, en suite la vitesse est orrigée par proje tion de la vitesse sur un

espa e ve toriel à divergen e nulle. Il existe de nombreuses façons de "splitter" en alternant

étapeimpli iteetétapeexpli ite (voirCaughey 2001,No hetto etPyo 2005,Olshanskii1999),

ave diverses méthodes de proje tions (voirTurek 1997), ave des te hniques de stabilisations

(voirNi et al.2003).

II.7.3 Dis rétisation temporelle des équations stru tures

Le traitement de la stru ture est plus simple, les s hémas les plus répandus sont eux du

type Newmark (voirKrenk 2006) :

U

k+1

= U

k

+ ∆tV

k

+

∆t

2

2

[(1 − 2β) A

k

+ 2βA

k+1

] ,

V

k+1

= V

k

+ ∆t [(1 − γ) A

k

+ γA

k+1

] ,

où

U

est le dépla ement

U

k

= U (k∆t)

,

V

est la vitesse et

A

est l'a élération, il sut alors

de rempla er le dépla ement et la vitesse dans les équations dis rétisées. La variable devient

A

_k+1

, une fois le système résolu on peut retrouver le dépla ement. Pour assurer la stabilité

in onditionnelledu s héma ilfaut hoisir les onstantes

γ

et

β

telles que

1

II.7.4 Gestion des onditions limites se déformant, formulation ALE

Classiquement,leséquationsde lastru ture sont é ritespar uneformulationLagrangienne,

haque parti ule de la stru ture est suivie dans son mouvement, et les équations du uide

par une formulation Eulerienne, leuide est observé autravers d'une fenêtre xe. Dans le as

d'un uide qui voit une de ses onditions limites se déformer ou se dépla er dans le temps, la

formulationEuleriennen'estplusvalablepuisqu'ellenetientpas omptede ettedéformation.Il

fautalorsutiliseruneappro heALE(ArbitraryLagrangianEulerian),leuideestalorsobservé

au travers d'une fenêtre se déformant et se déplaçant au ours du temps ave les onditions

limites. Ladérivée parti ulaires'é rit alors :

Du

Dt

=

∂v

∂t

+ (v − w) .∇v,

(II.57)

où

v

est la vitesse du uide, et

w

est la vitesse du point d'observation. On remarquera que

pour

w

= 0

onretrouve laformulationEulerienneet quepour

w

= v

onretrouve laformulation

Lagrangienne.Ainsi

w

seraégaleàlavitessedes onditionslimitessurlesbords.Cetteméthode

est employée dans le as de surfa es libres(Donéa 1983,Onate etal.2004,Duarte etal.2004),

ave desintera tionuide-solide(S hulzetKallinderis1998,Demkowi zetal.1985),ouen ore

dans le as d'intera tion d'un uideave une stru ture déformable(Tezduyar2004, Casadeiet

Halleux1994, Hubner et al.2004, Zhanget Hisada 2001)

II.8 Con lusion du hapitre

La synthès e bibliographique proposée i i n'est pas exhaustive, elle aborde les diérents

domaines utilisés dans lemodèle établi auChapitre III, ommela modélisationd'un oeur de

réa teur à eau pressurisée,les milieuxporeux, l'intera tionuide-stru ture, lamodélisationde

Modélisation

Ce hapitre est onsa ré à la modélisation d'un oeur de

REP.Nous proposons un modèleglobal du oeur basé sur une

appro he milieu poreux.Dans un premier temps leséquations

uide é rites ave une formulation ALE sont moyennées sur

unvolumede ontrle,desorteà réerunuideéquivalent

dé-nisurtoutledomainedu oeur.Lespetitesé hellesdela

tur-bulen e sontmodélisées par une vis osité turbulente. Dans un

deuxièmetemps les équations de la stru ture sont moyennées

surle volume de ontrle, et on rée alors une stru ture

équi-valenteelleaussidéniesurtoutlevolumedu oeur.Les

équa-tionsglobalesainsiobtenuessontréduitesàl'aide d'unmodèle

poutre de type Timoshenko, en onservant les non linéarités

géométriques.Uneloide omportementnonlinéaire

vis oélas-tique est appliquée de façon empirique pour tenir ompte des

frottements lo aux aux onta ts grilles- rayons. Les impa ts

entre assemblages ombustibles sont gérés par une raideur

li-néairelo aliséeau niveau des grilles, si le onta t est déte té.

Enn le ouplage entre le modèle uide et le modèle

stru -ture est assuré par une for e volumique de ouplage identiée

à partir des eorts uides s'exerçant sur un rayon soumisà

un é oulement axial. Les équations ainsi obtenues sont

Sommaire

III.1 Introdu tion . . . 27

III.2 Méthode . . . 28

III.3 Preliminaire : for es agissant sur un tube . . . 28

III.3.1 Modèlede Païdoussis. . . 28

III.3.2 Modèlede Païdoussismodié . . . 29

III.4 Equations du modèle poreux. . . 30

III.4.1 Hypothèses . . . 30

III.4.2 Modélisationdu uideéquivalent . . . 30

III.4.2.a ArbitraryLagrangian Eulerian . . . 31

III.4.2.b Moyenne spatiale. . . 31

III.4.2. Modélisation dela turbulen e. . . 34

III.4.2.d Fluideéquivalent . . . 35

III.4.3 Modèlede stru ture équivalente . . . 35

III.4.3.a Moyenne spatiale. . . 36

III.4.3.b Cinématiqued'un assemblage ombustible. . . 37

III.4.3. Rédu tion deséquations aumodèlepoutre . . . 37

III.4.3.d Comportement d'un assemblage ombustible . . . 40

III.4.3.e Modèle d'impa t . . . 41

III.4.4 Modèle ouplé . . . 42

III.4.4.a For e de ouplage uidestru ture . . . 42

III.4.4.b Equations ouplées. . . 43

III.4.5 Conditions limites . . . 44

III.4.6 Dis ussion surlemodèle ouplé . . . 45

III.4.7 Formulation variationnelle . . . 46

III.5 Modèle numérique . . . 47

III.5.1 Dis rétisation spatiale . . . 47

III.5.1.a Eléments . . . 47

III.5.1.b E rituredes matri esélémentaire s stru tures . . . 49

III.5.1. E rituredes matri esélémentaire s uides . . . 51

III.5.1.d Assemblage desmatri esélémentaire s . . . 52

III.5.1.e E ritureréduite . . . 53

III.5.2 Dis rétisation temporelle. . . 55

III.5.3 Mise enoeuvre . . . 56

III.5.4 Etude paramètrique . . . 56

III.5.4.a Paramètre s dedis rétisation . . . 57

III.5.4.b Simulation 3D . . . 57

III.5.4. Paramètre s physiques . . . 58

III.5.4.d Instabilité . . . 61

III.1 Introdu tion

Ce hapitreest onsa réàl'é rituredeséquationsdumodèleproposé.Unemodélisationpar

élémentsnisdetoutelastru ture etduuidedonneraitlieuàuntropgrandnombrededegrés

de liberté;nous proposons don de modéliser le oeur par un milieu poreux de façon àobtenir

des équations globales du omportement du oeur. Cette appro he est d'autant plus motivée,

par le fait que nous souhaitons estimer les for es d'impa t entre assemblages lors d'un séisme,

etnon e quisepasselo alement;ainsinous tâ heronsd'établirladynamiqued'unassemblage

ombustibleàdéfautd'établir elled'un rayon.Commeilestfait lassiquementenmodélisation

par milieu poreux nous moyennons les équations de Navier Stokes sur un volume de ontrle.

Leséquationsduuidesonté ritesave uneformulationALEandepermettrele ouplageave

lastru ture, dontleséquationssonté ritesave uneformulationlagrangienne.L'expressiondes

eorts de ouplage est établie à partir des eorts uide qui s'exer ent sur un ylindre soumis

à un é oulement axial. Chaque assemblage ombustible est modélisé par une poutre de type

Timoshenko,etleseets du uidesont prisen omptepar l'intégrationde lafor ede ouplage

sur une se tion droite. Pour tenir ompte de façon globale des phénomènes de onta t et de

frottement aux interfa es rayons-grilles, on applique une loi de omportement vis oélastique

non linéaire.Les équations ainsi obtenues sont résolues par laméthode des élémentsnis.

III.2 Méthode

LagureIII.2illustrelaméthode employée pourétablirleséquationsdumouvement.Cette

méthodeestbaséesuruneappro hemilieuporeux,in luantunuideéquivalentetunestru ture

équivalente.Dansunpremiertemps,leséquationsduuideetdelastru ture,sontétablies

sépa-rément.Pourlapartieuide:leséquationsdu omportementglobalde l'é oulementd'unuide

autravers d'un réseaude tubes, sontobtenues par une moyenne spatialedes équationslo ales,

é ritesave uneformulationALE.Leuideéquivalentestdénisurtoutledomainespatial.Les

eets de lastru ture (

F

structure→fluide

)sontpris en ompteparune for evolumique, ellemême

déniesurtoutledomainespatial.Pourlapartiestru ture: haqueassemblage ombustibleest

assimiléàune poutre poreuse soumiseaux eorts volumiques du uide

F

fluide→structure

qui est

l'opposéde

F

structure→fluide

.Leseortsde ouplagesontidentiésàpartirdeseortss'exerç ant

sur un tube soumisà un é oulement axial.

Fig. III.2 Méthode de modélisationpar milieu poreux

III.3 Preliminaire : for es agissant sur un tube

Lamodélisationparmilieuxporeuxintroduitlafor ede ouplage

F

fluide→structure

,

l'expres-sion de ette for e, est basée sur leseorts uides,s'exerç ant sur un tube.

III.3.1 Modèle de Païdoussis

Unestru ture élan éeimmergéedans un uide,est soumiseà une for edue àl'é oulement

transverse du uide, Morison(1950) dé ompose ettefor een un terme de traînéeetun terme

d'inertie, de nombreux travaux sont basés sur e modèle, (Zhou et al. 2000, Sarpkaya 2001);

ette théorie, rend bien ompte de la réalité des expérien es, pour un é oulement du uide

transverse. Dansle as d'un é oulement axial,Païdoussis a proposé une expression de la for e

largement utilisée (Chen et al. 1970 1972, Lopes et al. 2002, Con a et al. 1997). Païdoussis

propose une dé ompositionde lafor euide, en un termevisqueux etun terme non visqueux.

F

_I

_{= −m}

_f

 ∂

∂t

+ V

x

∂

∂x



2

U

y

e

2

− m

f

 ∂

∂t

+ V

x

∂

∂x



2

U

z

e

3

,

(III.1)

où

U

y

(respe tivement

U

z

) est le dépla ement du tube suivant la dire tion

e

y

(respe tivement

e

z

),

V

x

est la vitesse du uide suivant la dire tion

e

x

, et

m

f

est une masse virtuelle par unité

de longueur.

Letermevisqueuxsedé omposeendeux omposantesradiales

F

N

et

F

D

,etune omposante

axiale

F

L

:

F

_N

_{= −}

1

2

ρDC

N

V

x

 ∂U

y

∂t

+ V

x

∂U

y

∂x



e

₂

₋

1

2

ρDC

N

V

x

 ∂U

z

∂t

+ V

x

∂U

z

∂x



e

₃

,

(III.2)

F

_L

_{= −}

1

2

ρDC

T

V

2

x

e

1

,

(III.3)

F

_D

_{= − C}

_D

∂U

y

∂t

e

2

− C

D

∂U

z

∂t

e

3

,

(III.4)

où

ρ

est ladensité du uide,

D

est le diamètre du tube,et

C

D

,

C

T

et

C

N

sontdes oe ients à

déterminer, es oe ientsdépendentde lavis osité duuide,de lagéométrieetdelarugosité

de la stru ture, etdu onnement.

Fig. III.3  Crayon soumis àun é oulement prin ipalementaxial

III.3.2 Modèle de Païdoussis modié

LemodèledePaïdoussis onsidèreun é oulementaxialmaisnotremodèledoittenir ompte

de la omposante radiale de l'é oulement (FIG III.3). Nous proposons don un modèle de

Païdoussis, modiéen remplaçantlavitessede lastru ture

∂Uy

∂t

parla omposanteradialedela

vitesse relativede lastru ture,par rapportauuide



_∂Uy

∂t

− V

y



.Nousré rivons d'abord (III.1)

en séparant les dérivées spatiale ettemporelle:

F

_I

_{= − m}

_f

 ∂

∂t

 ∂U

y

∂t



+ V

_x

2

∂

2

_U

y

∂x

2

+ 2V

x

∂

∂x

 ∂U

y

∂t



e

₂

− m

f

 ∂

∂t

 ∂U

z

∂t



+ V

_x

2

∂

2

_U

z

∂x

2

+ 2V

x

∂

∂x

 ∂U

z

∂t



e

3

,

(III.5)