Approche thermodynamique de l'analyse statistique de l'énergie

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Approche thermodynamique de l’analyse statistique de l’énergie

Alain Le Bot

To cite this version:

Alain Le Bot. Approche thermodynamique de l’analyse statistique de l’énergie. 10ème Congrès Français d’Acoustique, Apr 2010, Lyon, France. �hal-00550549�

10`eme Congr`es Fran¸cais d’Acoustique

Lyon, 12-16 Avril 2010

Approche thermodynamique de l’analyse statistique de l’´energie

Alain Le Bot¹

1Laboratoire de tribologie et dynamique des syst`emes, CNRS - Ecole centrale de Lyon 69134 Ecully, alain.le-bot@ec-lyon.fr

Statistical Energy Analysis (SEA) is the most popular method intended to high frequency vibrations in structures and acoustics. Based on an energy approach, SEA is a simple application of energy balance under the diffuse field asumption. In this study, a thermodynamical approach of SEA is proposed. Consi- dering that the exact repartition of vibrational energy on modes is not known, an appropriate definition of the structure function of SEA is introduced. Then, the related relationships of vibrational tempe- rature and vibrational entropy are derived. Similarities and differences with classical temperature and entropy of gases are discussed. In particular, the meaning and consequences of the second principle of thermodynamics are clarified within the context of SEA.

1 Introduction

L’id´ee principale de la vibroacoustique statistique et en particulier de l’analyse statistique de l’´energie (SEA), est que lorsque les syst`emes vibratoires deviennent trop complexes, soit que le nombre de modes est tr`es grand (hautes fr´equences), soit que les incertitudes sont impor- tantes (ensemble de syst`emes similaires), il est pr´ef´erable de renoncer `a une description d´eterministe et d’adop- ter des outils statistiques [1]. Cette remarque si natu- relle dans le contexte de la physique statistique o`u le nombre de particules est de l’ordre du nombre d’Avoga- dro∼10<sup>23</sup>, rel`eve ici d’un choix plus que d’une n´ecessit´e car le nombre d’individus reste relativement faible, de l’ordre de plusieurs millions dans le meilleur des cas [2] ; pas assez ´elev´e pour disqualifier totalement l’approche d´eterministe.

Cependant, l’approche statistique est int´eressante conceptuellement. Elle permet d’´economiser du temps de calcul et/ou de mod´eliser des syst`emes plus gros ou `a plus haute fr´equence. Mais elle permet surtout d’acc´eder directement `a des grandeurs macroscopiques (´energie modale, puissance moyenne ´echang´ee) plus robustes aux fluctuations des syst`emes, sans avoir `a calculer les va- riables microscopiques que sont les fr´equences propres, modes propres et amplitudes modales. La description des syst`emes `a partir de ces grandeurs macroscopiques est de nature diff´erente de la vision classique. En SEA, on s’int´eressera aux sources vibratoires, aux chemins de propagation de l’´energie ainsi qu’aux r´egions de dissipa- tion. C’est bien une approche originale de la vibroacous- tique qui est propos´ee.

Jusqu’`a pr´esent, l’analyse statistique de l’´energie re- pose enti`erement sur un bilan d’´energie des syst`emes vibroacoustiques. La relation principale de la SEA qui

´etablit la proportionalit´e de la puissance ´echang´ee avec la diff´erence des ´energies modales, permet d’assoir cette vision purement ´energ´etique des syst`emes vibrants et d’´etablir une analogie avec la thermodynamique dans la- quelle l’´energie modale jouerait le rˆole de temp´erature.

Pourtant cette description reste incompl`ete car rien

n’est dit sur le second principe de la thermodynamique [3] de mˆeme que l’analogie entre ´energie modale et temp´erature reste fortuite. Dans ce papier, nous mon- trons que l’analyse statistique de l’´energie r´esulte des principes g´en´eraux de la m´ecanique statistique et en particulier qu’il est possible d’introduire une notion d’entropie vibratoire permettant `a la fois de d´efinir la temp´erature vibratoire comme l’´energie modale et de compl´eter la pr´esentation thermodynamique de la SEA.

2 Concepts g´ en´ eraux

Les syst`emes vibratoires doivent tout d’abord ˆetre divis´es en sous-syst`emes. Il n’existe pas de r`egle g´en´erale permettant d’´etablir cette subdivision, mais elle doit ˆetre r´ealis´ee de sorte que les hypoth`eses g´en´erales de la SEA, ´enonc´ees ci-dessous, sont v´erifi´ees. En g´en´eral, les sous-syst`emes sont des constituants structuraux tels que des plaques, poutres, cavit´es acoustiques. Mais on peut aussi vouloir s´eparer des groupes de modes tr`es dis- tints comme les modes longitudinaux ou transverses des ondes structurales.

L’analyse des syst`emes est effectu´ee dans une bande de fr´equences [ω−∆ω/2, ω+ ∆ω/2]. Celle-ci doit ˆetre assez large pour que le nombreNde modes dans chaque sous-syst`eme soit suffisamment grand. L’´energie vibra- toire de chaque sous-syst`eme contenue dans cette bande d’analyse est not´ee E. Elle est suppos´ee ou consid´er´ee comme d´esordonn´ee. C’est elle qui joue le rˆole de chaleur et dont le comportement statistique est simple.

Les hypoth`eses g´en´erales de l’analyse statistique de l’´energie sont les suivantes :

– Les sources de vibration sont al´eatoires station- naires large bande et mutuellement d´ecorr´el´ees, – Les sous-syst`emes sont `a l’´equilibre i.e.

´

equipartition modale ou champs diffus, – Les couplages sont faibles et conservatifs.

Ces hypoth`eses ont ´et´e largement discut´ees dans la litt´erature [4, 5, 6, 7].

Pour cerner le domaine de validit´e de la SEA, quatre nombres sans dimension sont utiles par sous-syst`eme [8].

Il s’agit du nombre de modesN, du recouvrement mo- dalM =ηωN/∆ω o`u N/∆ω est la densit´e modale, du facteur d’att´enuation m = ηω¯l/c o`u ¯l est le libre par- court moyen et c la vitesse de groupe des ondes et le facteur de couplageγ=ηij/ηj qui doit ˆetre d´efini pour chaque sous-syst`eme voisin. Le domaine de validit´e est cern´e par les conditions suivantesN >1,M >1,m <1 etγ <1.

3 Bilan d’´ energie

Les sous-syst`emes re¸coivent de l’´energie vibratoire par les sources externes m´ecaniques ou acoustiques.

La puissance vibratoire inject´ee dans le sous-syst`emei est not´ee Pi. Une part de cette puissance est dissip´ee par les processus internes d’amortissement des vibra- tions, d’absorption sonoreetc.On noteP_i^diss cette puis- sance dissip´ee. Enfin, de l’´energie vibratoire peut ˆetre

´echang´ee avec les sous-sys`emes voisins. La puissance to- tale ´echang´ee entre les sous-syst`emes i et j est not´ee P_ij. En condition stationnaire, le bilan de puissance du sous-syst`emeiest,

P_i^diss+X

j6=i

P_ij=P_i. (1) o`u la somme est r´ealis´ee sur l’ensemble des sous- syst`emesj connect´es `a i(voir figure 3).

La puissance perdue par l’ensemble des processus de dissipation peut ˆetre r´esum´ee par la relation globale sui- vante,

P_i^diss=ωη_iE_i, (2) o`u η<sub>i</sub> est le facteur de perte par amortissement. Celui- ci englobe tous les processus de dissipation sans dis- tinction entre ceux qui agissent sur l’´energie cin´etique (forces visqueuses) ou sur l’´energie ´elastique (hyst´er´esie des mat´eriaux), ni ceux qui op`erent dans le volume (att´enuation atmosph´erique du son) ou sur la surface (absorption acoustique des surfaces).

Enfin, la puissance ´echang´ee entre deux sous- syst`emesietjest une combinaison lin´eaire des ´energies vibratoires [9, 10, 11, 12],

Pij =ω(ηijEi−ηjiEj), (3) o`u η<sub>ij</sub> est le facteur de perte par couplage. Les facteurs de perte par couplage sont des constantes ph´enom´enologiques attach´ees au couplage entre deux sous-syst`emes. Leur valeur doit ˆetre d´etermin´ee au cas par cas soit par mesure soit par des formules analytiques.

Energy balance source

exchange dissipaton E₁

E₂

E₃

Figure 1 – Bilan d’´energie en SEA. Les sources fournissent l’´energie aux sous-syst`emes qui est soit dissip´ee soit ´echang´ee avec les sous-syst`emes voisins.

mode 1 energy e1

mode 2 energy e₂

… …

+ mode N energy eN

sub-system energy E f₁ f₂ f₃ … f_N

…

Figure2 – Un sous-syst`eme SEA est constitu´e d’un ensemble deN r´esonateurs se partageant l’´energie

vibratoire totaleE.

Un grand nombre de cas sont connus dans la litt´erature, couplage de plaques, de cavit´es acoustiques, rayonne- ment sonore, r´eponse structurale etc. Ces facteurs de perte par couplage ne peuvent pas prendre des valeurs arbitraires. Ils sont li´es par la relation de r´eciprocit´e,

Niηij =Njηji. (4) o`uN<sub>i</sub>est le nombre de modes du sous-syst`emei. La rela- tion de r´eciprocit´e permet de mettre en lumi`ere l’impor- tance de l’´energie modaleE_i/N_i. En effet, la puissance

´echang´ee prend la forme, Pij =ωηijNi

Ei

N_i −Ei

N_i

. (5)

Elle est proportionnelle `a la diff´erence des ´energies mo- dales.

En substituant les ´equations (2) et (3) dans le bilan (1), on obtient l’expression du premier principe de la thermodynamique en SEA,

P_i=ωη_iE_i+X

j6=i

ωη_ijE_i−ωη_jiE_j. (6) Ce syst`eme d’´equations lin´eaires permet de pr´edire les valeurs deE_i siP_i est connu ou r´eciproquement.

4 Entropie vibratoire

L’analyse statistique de l’´energie, tout comme la physique statistique, est un processus d’approximation appliqu´e aux ´equations du mouvement [13]. Par l’adop- tion des variables macroscopiques que sont l’´energie mo- dale et la puissance moyenne ´echang´ee, une partie de l’information contenue dans les ´equations du mouve- ment a ´et´e n´eglig´ee. En retour, il en r´esulte une loi sta- tistique simple exprim´ee par l’´equation (5).

L’approximation r´ealis´ee en SEA est que la r´epartition exacte de l’´energie vibratoire sur les modes est ignor´ee [14]. Les excitations sont de nature al´eatoire de sorte que l’´energie de chaque mode est fluctuante.

Mˆeme en condition stationnaire o`u l’´energie totale est constante, sa r´epartition sur les modes est changeante.

On peut donc id´ealiser la situation de la mani`ere sui- vante. Un sous-syst`eme est constitu´e d’un groupe de modes dont les fr´equences sontω1,ω2, ...ωn. L’´energie E peut ˆetre r´epartie sur ces modes de mani`ere quel- conque (voir figure 2). Le hamiltonien d’un tel syst`eme dynamique est,

H(q1, . . . , qN, p1, . . . , pN) =

N

X

i=1

miω_i²

2 q_i²+ 1

2m_ip²_i. (7)

Il exprime la somme des ´energies cin´etiques et ´elastiques desN r´esonateurs,p_ietq_i´etant respectivement l’impul- sion et la position de chaque masse mobile. Le syst`eme parcourt une trajectoire d’´energie constante. Dans l’es- pace des phasespi,qi,i= 1...N, la position du syst`eme reste sur une hyper-surfaceH(q1, . . . , qN, p1, . . . , pN) = E. Si l’´energie vibratoireE est impos´ee avec une incer- titudeδE, le nombre de micro-´etats, c’est `a dire de posi- tions accessibles, est proportionnel au volume accessible dans l’espace des phases. Ce dernier vaut dV /dE×δE o`u V(E) est le volume compris dans la surface ferm´ee H = E. On introduit donc la fonction de structure Ω(E) = dV /dE dont on peut calculer analytiquement la valeur pour le hamiltonien (7),

Ω(E) =dV dE =

2π ω

N

E^N−1

N−1!. (8) Le nombre de micro-´etatsW est donc,

W = Ω(E)

h^N δE, (9)

o`u h<sup>N</sup> est le volume ´el´ementaire d’un micro-´etat dans l’espace des phases. En physique statistique, tout syst`eme ´etant quantique de mani`ere utlime, ce volume

´el´ementaire est impos´e par la relation d’incertitude de Heisenberg ethest la constante de Planck. Mais en vi- broacoustique, on peut consid´ere queh est choisi arbi- trairement. L’entropie selon Boltzmann estS =klogW. En n´egligeant le terme d´ependant de δE/E, l’entropie d’un sous-syst`eme SEA est,

S(E, N) =kN

1 + log 2πE

hωN

. (10) La temp´erature est d´efinie en thermodynamique par,

1 T =

∂S

∂E

N

. (11)

En appliquant cette d´efinition `a l’expression (10) de l’en- tropie vibratoire, il vient,

T = E

kN, (12)

et l’on obtient cette fois une justification du rapport entre temp´erature vibratoire et ´energie modale.

5 Entropie de m´ elange

L’expression (10) obtenue pour l’entropie vibratoire poss`ede les propri´et´es habituelles de l’entropie thermo- dynamique. C’est une fonction d’´etat car elle ne d´epend que de E et N. C’est aussi une fonction extensive car S(2E,2N) = 2S(E, N). Si maintenant on consid`ere deux syst`emes d’´energiesE<sub>1</sub>etE<sub>2</sub>et ayant pour nombre de modes N<sub>1</sub> et N<sub>2</sub>. Les ´energies, nombres de modes et ´energies modales sont a priori distincts. La question pos´ee par le second principe de thermodynamique est la suivante. Que se passe-t-il lorsque les deux syst`emes vibratoires sont mis en contact ?

Lorsque les deux sous-syst`emes sont assembl´es, leur

´energie totale estE1+E2 et le nombre total de modes

est N₁ +N₂. Ainsi l’entropie vibratoire `a l’´equilibre est S(E₁+E₂, N₁+N₂). L’entropie cr´eee au cours du m´elange est donc la diff´erence entre cette entropie finale et la somme des entropies initiales,

∆S=S(E1+E2, N1+N2)−S(E1, N1)−S(E2, N2).

(13) Un simple calcul montre que,

∆S=k(N1+N2) log E1+E2

N₁+N₂−kN1logE1

N₁−kN2logE2

N₂. (14) La propri´et´e de convexit´e de la fonction (x, y) 7→

ylog(y/x) permet de conclure que ∆S > 0. Ceci est l’expression du second principe de la thermodynamique dans le contexte de la SEA.

Cette expression permet aussi d’´etablir la condi- tion d’´equilibre entre deux sous-syst`emes. Deux sous- syst`emes sont en ´equilibre si leur entropie de m´elange est nulle soit ∆S = 0. Un examen de la relation (14) montre que cet ´equilibre est atteint lorsque les ´energies modales sont ´egales,

E1

N1

= E2

N2

. (15)

Cette condition d’´equilibre permet de comprendre la re- lation fondamentale (3). La puissance ´echang´eePij doit ˆetre nulle `a l’´equilibre c’est `a dire lorsqueTi =Tj. Les premiers termes du d´eveloppement limit´e de la relation Pij =f(Ti, Tj) sont donc nuls. Le premier terme non nul est de la forme T_i−T_j, ce qui correspond `a l’approxi- mation classique de la thermodynamique lin´eaire pour laquelle les flux sont proportionels aux affinit´es [15].

6 Bilan d’entropie

Le paragraphe pr´ec´edent a d´ecrit l’´evolution de sous- syst`emes isol´es c’est dire `a dire sans excitation ni dissi- pation. C’est un cas limite permettant d’´etablir les pro- pri´etes de l’entropie. Cependant, ce n’est pas la situa- tion la plus ordinaire en SEA. Il convient donc de d´ecrire les ´echanges entropiques entre sous-syst`emes en contact, l’ensemble ´etant maintenu hors ´equilibre par les sources vibratoires.

L’expression la plus utile pour ´etablir un bilan en- tropique est la d´efinition de l’entropie de Clausius,

dS= δQ

T . (16)

Nous avons montr´e que la temp´erature vibratoire est proportionnelle `a l’´energie modale, T = E/kN. Par ailleurs, la chaleurδQapport´ee au sous-syst`eme doit ici ˆetre interpr´et´ee comme l’´energie vibratoire apport´ee car il n’existe pas ici de distinction entre chaleur et travail comme en thermodynamique.

Les sources vibratoires fournissent la puissance Pi

au sous-syst`eme i. Ainsi, au cours d’une dur´ee infi- nit´esimale dt, la chaleur apport´ee vaut δQ = P_idt.

Il s’ensuit une augmentation de l’entropie du sous- syst`eme,

dSi

dt =kPiNi

E_i . (17)

C’est l’expression du d´ebit entropique de la source.

Les dissipations internes des vibrations ont pour cons´equence une diminution de l’´energie vibratoire des sous-syst`emes. Contrairement `a la thermodynamique classique, les processus de dissipation vont extraire de la chaleur (au sens d’´energie vibratoire) et sont donc responsable d’une diminution de l’entropie du sous- syst`eme. CommeδQ=−ωηiEi, il vient,

dS_i^diss

dt =−kωηiNi. (18) Le flux entropique des processus d’amortissement est donc constant.

Enfin, les ´echanges entre sous-syst`emes voisins vont cr´eer de l’entropie de m´elange en vertu de ce qui vient d’ˆetre vu au paragraphe pr´ec´edent. Si Pij est la puis- sance ´echang´ee entreietj, alors le sous-syst`emeiaccu- sera une perte d’entropie dePijdt/Ti pendant la dur´ee dt. Mais dans le mˆeme temps, le sous-syst`emejre¸coit de la chaleur et donc de l’entropie. Son gain estPijdt/Tj. Du point de vue du syst`eme global, l’accroissement d’en- tropie par irr´eversibilit´e est donc,

dS_ij^irr dt =Pij

1 T_j − 1

T_i

. (19)

En substituant dans cette epression, les ´equations (3) et (12), on obtient,

dS_ij^irr

dt =kηijωNi

NiNj

E_iE_j EI

N_I −EJ

N_j ²

, (20) expression dont on voit sans peine que l’entropie de m´elange est toujours positive.

Le syst`eme global est en r´egime stationnaire. On peut s’attendre `a ce que le bilan entropique global soit

´equilibr´e. C’est ce qu’on peut v´erifier sans peine en cal- culant,

n

X

i=1

dSi

dt −dS_i^diss dt

+X

i>j

dS_ij^irr

dt = 0. (21)

7 Conclusion

L’entropie est une notion tout aussi essentielle en SEA que l’est l’´energie. Elle permet de justifier rigoureu- sement la d´efinition de la temp´erature vibratoire et d’in- terpr´eter la SEA en termes de thermodynamique lin´eaire

Entropy balance

source dissipaton

mixing S₁

S₃ S₂

Figure3 – Bilan d’entropie en SEA. Les sources fournissent de l’entropie aux sous-syst`emes. Ceux-ci en

perde par les processus de dissipation. Enfin l’´echange avec les sous-syst`emes voisins g´en`ere une entropie de

m´elange.

hors ´equilibre. Les expressions de l’entropie d’un sous- syst`eme et de l’entropie cr´eee par m´elange aux interfaces apporte un ´eclairage suppl´ementaire. Les syst`emes SEA peuvent ˆetre analys´es en termes de flux d’´energie tout autant qu’en termes de flux d’entropie qui mesurent les d´es´equilibres entre sous-syst`emes.

R´ ef´ erences

[1] Lyon, R.H. Fluctuation theory and (very) early sta- tistical energy analysis (SEA).J. Acoust. Soc. Am., 2003,113, 2401-2403.

[2] Shorter, P. Modeling noise and vibration transmis- sion in complex systems, IUTAM symposium on The Vibration Analysis of Structures with Uncer- tainties, St Petersbourg, Russia, July 2009.

[3] Carcaterra, A. An entropy formulation for the ana- lysis of energy flow between mechanical resonators.

Mechanical Systems and Signal Processing, 2002, 16, 905-920.

[4] Smith, P.W. Statistical models of coupled dynami- cal systems and the transition from weak to strong coupling.J. Acoust. Soc. Am.,1979,65, 695-698.

[5] Fahy, F.J. ; De-Yuan, Y. Power flow between non- conservatively coupled oscillators. J. Sound Vib., 1987,114, 1-11.

[6] Fahy, F.J. Statistical energy analysis : a criti- cal overview. In Statistical Energy Analysis : an overview, with applications in structural dynamics; Keane, A.J., Price, W.G., Eds. ; Cambridge Univer- sity Press : Cambridge, 1997 ; pp. 1-17.

[7] Le Bot, A. Derivation of statistical energy analysis from radiative exchanges.J. Sound Vib.,2007,300, 763-779.

[8] Le Bot, A. ; Cotoni, V. Validity diagrams of Sta- tistical Energy Analysis.J. Sound Vib.,2010,329, 221-235.

[9] Lyon, R.H. ; Maidanik, G. Power flow between li- nearly coupled oscillators. J. Acoust. Soc. Am., 1962,34, 623-639.

[10] Newland, D.E. Calculation of power flow between coupled oscillators. J. Sound Vib., 1966, 3, 262- 276.

[11] Scharton, T. ; Lyon, R.H. Power flow and energy sharing in random vibration. J. Acoust. Soc. Am., 1968,43, 1332-1343.

[12] Newland, D.E. Power flow between a class of cou- pled oscillators.J. Acoust. Soc. Am.,1968,43, 553- 559.

[13] Jaynes, E.T. Information theory and statistical me- chanics. Phys. Rev.,1957,106, 620-630.

[14] Le Bot, A. Entropy in Statistical Energy Analysis.

J. Acoust. Soc. Am.,2009, 125, 1473-1478.

[15] Prigogine, I. Introduction to thermodynamics of irreversible processes. John Wiley and Sons Inc., New-York1962.