Opérateurs de multiplication ponctuelle entre espace de Sobolev

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Opérateurs de multiplication ponctuelle entre espace de Sobolev

Sadek Gala

To cite this version:

Sadek Gala. Opérateurs de multiplication ponctuelle entre espace de Sobolev. Mathématiques [math].

Université d’Evry-Val d’Essonne, 2005. Français. �tel-00009577�

Table des Matières

0.1 Introduction . . . . 4

1 Caractérisation des espaces de multiplicateurs singuliers X_s=M¡ H^s→L²¢ 12 1.1 L’espace H^s¡ R^d¢ Structure hilbertienne et dualité . . . 12

1.2 Les espaces de multiplicateurs singuliersX_r . . . 15

1.2.1 Propriétés de la capacité et du potentiel capacitaire . . . 18

1.2.2 Problème d’équilibre. . . 24

1.2.3 Théorème de Maz’ya et Adams . . . 28

1.3 Continuité des opérateurs d’intégrales singulières dans les espaces X_r. . . . 35

1.3.1 Poids de Muckenhoupt : Quelques notions et résultats préliminaires . . . 35

1.3.2 Poids à croissance lente. . . 37

1.3.3 Continuité de l’opérateur d’intégrale singulière . . . 40

1.3.4 Continuité de l’opérateur maximal sur l’espaceX_r. . . . 45

2 Les multiplicateurs ponctuels de H^r→H^s 48 2.1 L’espace M¡ H^r¡ R^d¢ →H^s¡ R^d¢¢ pour r≥s >0. . . 48

2.1.1 Normes équivalentes . . . 51

2.1.2 Le procédé de régularisation . . . 52

2.2 Propriété de l’espaceM(H^r→H^s) . . . 53

2.2.1 Propriété d’interpolation . . . 53

2.2.2 Injection deM(H^r →H^s) dansM¡ H^r−s→L²¢ . . . 56

2.3 Théorème principal . . . 61

2.3.1 Condition nécéssaire. . . 61

2.3.2 Condition suffisante . . . 69

2.4 Existence de solutions globale pour l’équation de Ricatti . . . 76

3 Opérateurs de Schrödinger agissant de H¹² sur H⁻¹² 84 3.1 Critère de Continuité. . . 85

3.1.1 Les opérateurs pseudo-différentiels opérant sur les espaces de Sobolev d’exposant non-entier. . . 91

3.1.2 La continuité des opérateurs d’intégrales singulières . . . 99

3.2 Les espaces de Morrey-Campanato . . . 108

4 Décomposition de Littlewood - Paley et espace de Sobolev 114 4.1 Espace de Sobolev adapté à la décomposition de Littelwood-Paley. . . 114

4.1.1 Définitions et propriétés . . . 115

4.2 Décomposition atomique . . . 128

4.3 Inégalité Capacitaire. . . 138

5 L’espace BM O^−r et ses applications 145 5.1 L’espace BM O . . . 145

5.2 L’espace BM O^−r . . . 146

5.2.1 Définition et Propriétés . . . 146

5.3 Application à des inégalités du type Schechter . . . 153

6 Généralisation du théorème de Maz’ya - Verbitsky 173 6.1 Espaces de Besov et paraproduits . . . 173

6.1.1 Opérateur de paraproduit . . . 175

6.2 Espaces de Lorentz . . . 178

6.2.1 Dualité, loi de multiplication et de convolution . . . 180

6.2.2 Injections de Sobolev . . . 184

6.3 L’espace M(H^.r(R^d) →H^.s(R^d))et son prédualZr,−s. . . 185

6.3.1 Produit de deux distributions . . . 185

6.3.2 Les opérateurs différentiels et intégales fractionnaires . . . 191

6.4 Paramultiplicateurs et multiplicateurs ponctuels . . . 200 6.5 L’espace Q^._r . . . 203

0.1 Introduction

L’objectif de cette thèse est de donner les outils fondamentaux de la théorie des opérateurs de multiplication ponctuelle basés principalement sur la théorie de la distribution et l’analyse de Fourier, et d’en donner des applications aux équations aux dérivées partielles. Notre propos était étudier quelques aspects de l’analyse harmonique sur certains espaces. En particulier, nous développons une théorie des opérateurs de multiplication ponctuelle qui permet de mon- trer que sur ces espaces, certains opérateurs associés à des multiplicateurs sont bornés. Le lecteur qui désire appronfondir ses connaissances sur ces multiplicateurs consultera avec fruit le remarquable ouvrage de Maz’ya-Schaposnikova [MS]. A l’origine de cette thèse se trouve le désire de généraliser le théorème de Maz’ya et Verbitsky qui est exposé dans le dernier chapitre, ainsi les résultats fondamentaux concernant l’analyse harmonique qui donnent lieu à diverses applications aux développements de la théorie spéctral, la théorie de diffusion pour l’opérateur de Schrödinger, EDP... En 1964, Maz’ya débuta son étude sur des inégalités capacitaires du type strong (CSI) en s’intéressant à l’opérateur de Schrödinger−∆+V défini surL²¡

R^d¢ , avec V un potentiel positif deL¹_loc¡

R^d¢

,d≥3. En effet, si u=u(x)∈H¹¡ R^d¢

est une solution de l’équation

Hu=f sur R^d, f ∈L²

³ R^d

´ , alorsudoit satisfaire à l’égalité suivante :

Z

R^d∇g.∇φdx− Z

R^d

gφV(x)dx= Z

R^d

h.φdx, φ∈L²³ R^d´

La première question qui se pose sur V(x)est que l’intégrale suivante Z

R^d

gφV(x)dx ait un sens.

Par ailleurs, V. Maz’ya a établi une condition nécessaire et suffisante sur V(x) afin d’avoir l’inégalité suivante

Z

R^d

g²V(x)dx≤C Z

R^d|∇g|²dx, g∈H¹³ R^d´

oùC est une constante indépendante deg. L’étude des opérateurs de multiplication ponctuelle examine à quelles conditions on a des inégalités du type

kf gk_E ≤Ckgk_F

Elle intervient dans l’étude des opérateurs différentiels à coefficients irréguliers. Un cas intéres- sant est le cas oùE =L² et F =H^r où 0≤r <1: on cherche à établir l’inégalité

Z

|f(x)|²|g(x)|²dx≤CµZ ¯¯¯(1−∆)^r2g

¯¯

¯²dx

¶

Cela permet de donner des critères d’unicité pour des solutions faibles des équations de Navier - Stokes, grâce à l’inégalité

¯¯

¯¯ Z −→

f(x)³

−

→g(x).−→

∇´−→ h(x)dx

¯¯

¯¯≤CµZ ¯¯¯(1−∆)^r2 −→

∇g

¯¯

¯²dx

¶¹₂

×µZ ¯¯¯−→

∇ ⊗−→ h

¯¯

¯²dx

¶¹₂

Des inégalités du typeFefferman - Phongont été démontrées en 1998 parLemarié-Rieusset à l’aide de la théorie des ondelettes [Lem3]. Un autre cas important est le cas où E =H^.1et F =H^{. −1}: on cherche à établir l’inégalité

¯¯

¯¯ Z

f(x)g(x)h(x)dx

¯¯

¯¯≤CµZ ¯¯¯−→

∇g

¯¯

¯²dx

¶¹₂

×µZ ¯¯¯−→

∇h

¯¯

¯²dx

¶¹₂

Cette inégalité intervient dans l’étude de l’opérateur de Schrödinger g→∆g+f g

donc le cas où f est une fonction positive a été étudié des 1964 par Maz’ya [Maz]. A côté de la caratérisation de Maz’ya ( condition nécessaire et suffisante pour avoir l’inégalité), des critères plus simples mais seulement suffisants ont été donnés en 1983 par Fefferman et Phong [Fef]dans l’étude du principe d’incertitude. Le cas oùf n’est pas de signe constant vient tout récemment d’être résolu par Maz’ya et Verbitsky [MV2]. Le but principal de cet thèse est de généraliser le résultat de Maz’ya-Verbitsky dans le cas oùE =H^.ret F =H^.savec0≤r < ^d₂ et

|s|< r.

Nous donnons au chapitre 1 des résultats fondamentaux relatifs à l’analyse harmonique sur les espaces de multiplicateurs singuliers X_r, résultats qui nous seront indisponsables dans la suite. Le lecteur pourra trouver d’autres présentations de cette question dans le livre de Lemarié-Rieusset [Lem3], Maz’ya-Schaposnikova [MS]. On commence par l’étude des es- paces de Sobolev hilbertiens sur R^d et on donne une caractérisation par transformation de Fourier. Ensuite, on applique ces nouveaux concepts à l’étude des espaces de multiplicateurs sin- guliersX_r=M¡

H^r¡ R^d¢

→L²¡ R^d¢¢

introduits récemment par P.G.Lemarié-Rieusset dans ses travaux [Lem3] généralisant le théorème d’unicité de J.Serrin[Ser]en démonstrant le théorème 1.2.1 qui a été établi premièrement par Hansson [Han]après par Maz’ya ([Maz], th.8.2.3) et Adams ([A1], th 1.6). Dans le dernier paragraphe de ce chapitre, on présentera les propriétés de continuité des opérateurs d’intégrales singulières et l’opérateur maximal sur les espacesX_r. Le second chapitre a pour but d’introduire une classe spéciale d’espaces d’opérateurs, les es- paces de multiplication ponctuelle et d’étudier leurs propriétés vis-à-vis de certaines inégalités.

Plus précisement, on commencera par définir les espacesM¡ H^r¡

R^d¢

→H^s¡ R^d¢¢

et on donne ses propriétés élémentaires. Pour cela, une autre caractérisation des espaces de Sobolev a été employée sans utiliser la transformation de Fourier surR^d en introduisons l’opérateur suivant

Dsu(x) =



 Z

R^d

¯¯

¯∆⁽²⁾_h ∇ku(x)

¯¯

¯²

|h|^d+2α dh





1 2

qui était connue de Taibleson [Tai]. Elle nous fournit une expression plus élégante pour la dé- monstration du théorème principal de ce chapitre. Notre démonstration dans le cadre général suit dans ses points essentiels la démonstration originale de [MS]. Notre traitement dans la ques- tion est quelque peu différent car il est limité, en partie à ce qui est succeptible de nous intéresser pour l’étude de certains opérateurs. Dans la section suivante, on s’attachera à obtenir des con- ditions nécessaires et suffisantes pour la caractérisation des espaces M¡

H^r¡ R^d¢

→H^s¡ R^d¢¢

pour r ≥ s > 0 vis-à-vis des opérateurs pseudo-différentiels. Enfin, la dernière partie est réservée à une application de la théorie développée dans ce chapitre. Nous allons pouvoir nous intéresser au cas d’une équation de Riccati de la forme

−∆u=|∇u|²+f

Notre propos ici est illustrer le théorème des multiplicateurs et le rôle assez subtil pour les équations de Riccati. On montre que toute solution faible u ∈ H_loc¹ ¡

R^d¢

de l’équation de Ricatti

−∆u=|∇u|²+f , où f ≥0 de L¹_loc doit satisfaire à la condition suivante:

kuk_M(H¹→H¹) = sup (ÃR

e|∇u|²dx cap(e, H¹)

! :cap¡

e, H¹¢

>0 )

<∞

pour tout ensemble ecompact.

Le but du troisième chapitre est d’établir un critère simple de continuité des opérateurs de multiplication ponctuelle sur des espaces de multiplicateurs singuliers M¡

H^s→L²¢ pour 0≤s <1.En particulier, nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour la continuité des opérateurs de Schrödinger de la forme (−∆)¹² +V qui agissent de l’espace de SobolevH¹² sur son dualH⁻¹² pour un potentiel arbitraire V qui est analogue à un résultat caractérisé par Maz’ya et Verbitsky [MV2]. Le résultat que nous allons présenter est le suivant :

Théorème 0.1.1 Soient 0< s <1 etr > s. Alors

f ∈M(H^r →H^s) si et seulement si Φ= (1−∆)^s2 f ∈M¡

H^r →L²¢

Plus précisement, on a

kfk_M(H^r→H^s)'

°°

°(1−∆)^s2f

°°

°M(H^r→L²)

Le paragraphe suivant permettra d’étudier une condition suffisante de la continuité des opérateurs d’intégrales singulières entreM(H^r→H^−r) etM¡

H^r→L²¢ .

Théorème 0.1.2 Soit f ∈ D⁰¡ R^d¢

et F ∈ M¡

H^r →L²¢

où 0 < r < 1. Posons f = (1−∆)^r2 F. Alorsf ∈M(H^r→H^−r)

Le théorème de multiplicateurs surX_rdu paragraphe précédent est présenté ici comme une

illustration du théorème général dans un cas particulier. Plus précisement, pour le casr= ¹₂ , on en déduit le résultat suivant

Corollaire 0.1.3

F ∈M³

H¹² →L²´

si et seulement si f = (1−∆)¹⁴ F ∈M³

H¹² →H⁻¹²´

En terminant ce chapitre par une déscription de l’espace de Morrey-Companato et sa liaison avec les espacesM¡

H^r→L²¢ .

Le chapitre 4 est destiné à être une introduction au vaste domaine de la décomposition de Littlewood-Paley, il est plus technique que les précédents. Au premier paragraphe, nous rappelons les résultats classiques concernant la décomposition de Littlewood-Paley qui sera utilisée dans la prochaine partie. En utilisant les théorèmes 4.1.1 et4.1.2, on montrera que toute fonction de H^r, r >0 admet une représentation sous la forme

F = X∞ j=0

2^−jrη_j ∗f_j

Cela nous permet en particulier de décrire une décomposition atomique de cet espace ([FJ1], [FJ2], [FJW]). Comme application, nous retrouvons au troisième paragraphe, une approche entièrement différente de la description de l’espaceM¡

H^r →L²¢

basée sur certains idées ex- posées dans ce chapitre en utilisant les inégalités capacitaires. Nous allons vérifier que la théorie de Littlewood-Paley fournit le résultat suivant

Théorème 0.1.4 Soit s >0. Alors il existe une constanteC telle que pour tout u∈H^s, on a

+∞

X

j=−∞

4^jcap¡©

x:|u(x)|>2^jª

;H^s¢

≤CkukH^s (0.1.1)

Dans le chapitre cinq, nous rappelons quelques notions et les propriétés sur l’espace BM O qui nous servirons par la suite. Nous ne rentrons pas dans les détails de cet espace, mais en donnons une caractérisation à l’aide des mesures de Carleson obtenue par C. Fefferman et E.

Stein [FS]. On introduit au paragraphe suivant l’espace de distributions qui sont des dérivées des

fonctions de BM Oainsi que ses propriétés.Il se caractérise de la façon suivante : f ∈S⁰¡ R^d¢ appartient àBM O^−r si

sup

t>0

sup

x_x∈R^d

t^−d2 Zt

0

Z

B(x0,√ t)

s^r−1¯¯e^s∆f(x)¯¯²dsdx <∞

Le dernier paragraphe est l’application de ces résultats à l’étude des opérateurs de multiplication ponctuelle sur l’inégalité du type Schechter ([Sc], [Mor]). Nous allons chercher à établir un inégalité de la forme :

|< f u, u >|=

¯¯

¯¯ Z

|u|²f dx

¯¯

¯¯≤k∇uk²_L²(R^d) +C.^−βkuk²_L²(R^d) (0.1.2)

∀u∈C₀^∞¡ R^d¢

. On montre que (0.1.2) est équivalente à l’existence d’une constanteC >0telle que

|< f u, u >|=

¯¯

¯< f,|u|²>

¯¯

¯≤CR^1+β2 k∇uk²_L²(R^d) , ∀u∈C₀^∞(B(x0, R)) (0.1.3) En particulier, il est intéressant d’observer que la notion de continuité des opérateurs de multi- plication ponctuelle permet d’étendre le lemme ([MV2], lemme 2.3) au cadre des inégalités du type de Schechter ([Sc]) ([Mor]). Plus précisement, on a le résultat suivant

Théorème 0.1.5 Soient f ∈D⁰¡ R^d¢

, d≥2 et 0< β≤1. Alors on a les assertions suivantes :

(a) Supposons qu’il existe une fonction −→F ∈L²_loc¡ R^d¢d

telle que f =div−→

F (0.1.4)

où −→

F vérifie l’inégalité suivante:

Z

B(x0,R)

¯¯

¯−→

F(x)−m_B(x0,R)

³−→

F´¯¯¯²dx≤C1R^d−2+1+4β, 0< R < δ (0.1.5) oùm_B(x0,R)(−→F)indique la valeur moyenne de−→F sur la bouleB(x₀, R) etC₁ est une con-

stante indépendante de x0 et R. Alors il existe une constanteC >0telle que l’estimation (0.1.2) soit satisfaite pour tout0< R < δ.

(b) Inversement, supposons qu’on a l’inégalité (0.1.2) pour tout 0 < R < δ. Alors f peut s’écrire sous la forme (5.3.10) où −→

F ∈L²_loc¡ R^d¢d

vérifie l’inégalité (5.3.11).

On montre ensuite que grâce à ces résultats, qu’on peut établir une démonstration similaire du lemme div-curl à ceux de ([CLMS]) où ils supposent quediv−→u =−→0.

Proposition 0.1.1 Soient1< p <+∞et ¹_p +_p¹₀ =1. Soient−→u ∈H_p¹¡ R^d¢d

et v∈H_p¹₀¡ R^d¢

. Alors on a

kdiv(−→u v)k _H¹(R^d) ≤C n

k−→uk_L^p(R^d)k∇vk_L^p0(R^d) +kdiv−→uk_L^p(R^d)kvk_L^p0(R^d) o

où C est une constante indépendante de−→u et v .

Terminons ce chapitre par un corollaire qu’on peut obtenir à partir des résultats précédents.

Corollaire 0.1.6 Sous les hypothèses du théorème 5.3.1 au cas β = 1, la condition (5.3.11) est équivalente àf ∈BM O⁻¹¡

R^d¢ .

Au dernier chapitre en collaboration avec P.G. Lemarié-Rieusset [LG], on s’intéresse à la généralisation du théorème de Maz’ya-Verbitsky [MV2] qui permettra de résoudre un grand nombre de problème simples; cette démonstration outre le mérite d’éclairer le théorème de Maz’ya -Verbitsky sous un nouvel angle : elle laissait donc supposer la possibilité d’étudier de tels opérateurs sur les espaces de multiplicateurs singuliers; en particulier, on abordera une condition nécessaire et suffisante pour montrer une application nécessitant l’introduction de tout l’appareillage technique des chapitres précedents. Le paragraphe suivant présentera un outil fondamental pour l’analyse harmonique, il permettra d’étudier les paramultiplicateurs et multiplicateurs ponctuels qui donnent une condition nécessaire et suffisante pour qu’un SIO soit continu sur L². Une fois cette continuité acquise, il est naturel de se demander comment agit un SIO sur d’autres espaces comme les espaces de Besov homogènes. Le premier résultat important dans cette direction est le théorème suivant de P.G.Lemarié-Rieusset [Lem1]:

Théorème 0.1.7 Soient ∈]0,1], T ∈SIO vérifiant (P2)et la propriété d’action bornée. Si T(1) = 0 alors T s’étend en un operateur continu de B^._p^s,q dans B^._p^s,q, pour touts∈]0, [et p, q∈[1,∞].

En nous inspirant d’un résultat de P.G.Lemarié [Lem1], nous avons travaillé dans les espaces BM Op^s,q.La structure particulière de ces espaces nous a permet de ramener a établir un critère simple de continuité sur les espaces de Besov. Plus précisement,

Théorème 0.1.8 Pour que T se prolonge en un operateur continu de

.

Bp

s,q dans

.

Bp

s,q pour s∈]0, [, il faut et il suffit que T admet la propriété d’action bornée et queT(1)∈BM O_p^s,q

Terminons ce travail par un énoncé qu’on peut identifier l’espaceX^.r,0≤r <1avec l’espace

.

Q_r.

Remarque 1 Un problème important reste ouvert : le cas limité r = −s n’est pas encore finalement résolu; il serait important de savoir étudier le cas limite pour r=−s.

Chapitre 1

Caractérisation des espaces de multiplicateurs singuliers

X

= M ¡

H

→ L

¢

1.1 L’espace H^s¡ R^d¢

Structure hilbertienne et dualité

Nous présentons ici une première version des espaces de Sobolev sur R^d. Une théorie plus élaborée sera développée au chapitre 4.

Définition 1.1.1 (Espaces de Sobolev) Soit s∈ R. On dit qu’une distribution u dans R^d appartient à l’espace H^s¡

R^d¢

si uest tempérée, si ub est une fonction localement sommable, et si on a

Z ³1+|ς|²´s

|bu(ς)|²dς <+∞ (1.1.1) Cette définition comporte deux aspects. D’une part, elle exige une certaine régularité de bu être localement sommable ( et même localement de carré sommable), ce qui interdit àud’être trop grande à l’infini. D’autre part, elle exige une décroissance de ub à l’infini, d’autant plus rigoureuse que s est grand, qui correspond à une régularité de u. Il est évident, au vu de la définition, que les espaces H^sdécroissent avecs, et que pouru∈H^s, les dérivées d’ordremde uappartiennent à H^s−m.

Lemme 1.1.1 Les espaces H^s sont hilbertisables: munis du produit scalaire

< u, v >_s=Z ³

1+|ς|²´s

b

u(ς)bv(ς)dς (1.1.2)

ou de tout autre produit scalaire donnant une norme équivalente à la norme kuk²H^s =

°°

°°

³

1+|ς|²´^s₂ b u

°°

°°

2 L²

(1.1.3) Ce sont des espaces de Hilbert.

Il est clair que< ., . >_sest un produit scalaire. D’autre part, l’applicationu→³

1+|ς|²´^s₂ b u est par définition une bijection isométrique deH^ssurL²¡

R^d¢

. Ce dernier espace étant complet, il en est de même deH^s, pour la norme ci-dessus ou pour toute norme équivalente. Considérons l’isomorphisme vectoriel topologique Λ^s:S⁰ →S⁰ défini par

Λ^su=F⁻¹µ³ 1+|ς|²

´^s

2 bu

¶

On a

< u, v >s= Z

Λ^suΛ^svdx=<Λ^su,Λ^sv >_L² On va définir maintenant la version homogène des espaces de Sobolev.

Définition 1.1.2 Soit |s|< ^d₂. On définit l’espace de Sobolev homogène H^{. s}¡ R^d¢

comme étant la fermeture de S ¡

R^d¢

muni de la norme kuk²_H^.s =

Z

|ς|^2s|bu(ς)|²dς <+∞ Nous avons le résultat important de densité suivant :

Lemme 1.1.2 L’injectionS →H^s est continue,D est dense dansH^s; L’injection deH^s dans S⁰ est continue.

Preuve. Il est facile de voir que l’injection de S dans H^s est continue; En effet, puisque Λ^s est un isomorphisme vectoriel topologique de S sur lui-même et de H^s sur L², il suffit de

considérer le cass= 0.Pour ϕ∈S, on a par-exemple kϕk²L² =Z ³

1+|ς|²´₋d³

1+|ς|²´d

|ϕ(x)|²dx

d’où

kϕk_L² ≤Csup

x∈R^d

µ³

1+|x|²´^d₂

|ϕ(x)|

¶

avecC² =Z ³

1+|x|²´d

dx. Ceci pouve la continuité cherchée. L’injection de H^s dans S⁰ est continue; En effet, on se ramène comme précedemment au cas s= 0et on remarque que pour u∈L² etϕ∈S , on a

|< u, ϕ >|≤kuk_L²kϕk_L²

Montrons maintenant que D est dense dans H^s. Puisque S est dense dans L², on voit que Λ^−s(S) =S est dense dansΛ^s¡

L²¢

=H^s; La densité deDdansSet la continuité de l’injection S →H^s entraînent alors la densité de D dansS et la continuité de l’injection D dansH^s, ce qui achève la démonstration.

De même, on a les injections continues S

³ R^d

´

⊂H^.s

³ R^d

´

⊂S⁰

³ R^d

´

De plus, le produit scalaire dans l’espaceL² découle de l’identification deH^.−s¡ R^d¢

au dual de

.

H^s¡ R^d¢

: En utilisant la formule de Plancherel Z

f(x)g(x)dx= 1 (2π)^d

Z f(ξ)b bg(ξ)dξ,

on trouve que

.

H^−s³ R^d´

=n

f ∈S⁰³ R^d´

:∃C ≥0,∀ϕ∈S³ R^d´

|hf, ϕi|≤Ckϕk_H^.so

et

kfk_H^.−s = sup

ϕ∈S

|hf, ϕi|

kϕk_H^.s

Finallement, on a le théorème d’injection (de Sobolev) suivant:

.

H^s ⊂L^q pour 0≤s < d 2 et 1

q = 1 2− s

d et cette injection est continue.

Lemme 1.1.3 (HM) H^s¡ R^d¢

, s > 0 est l’espace des fonctions u∈ L²¡ R^d¢

qui peuvent être représenter sous la forme

u=J_sg= (1−∆)^−s2 g, où g∈L²³ R^d´

(1.1.4) (1−∆)^−s2 g=G_s∗g est une convolution de gavec le noyau de Bessel G_s d’ordre setkukH^s = kgkL².

Cette propriété est classique.

Proposition 1.1.1 (i) H⁰=L²;

(ii) Pour chaque s≥0, H^s⊂L²;et même si u= (1−∆)^−s2g avec g ∈L²¡ R^d¢

, alors kukL²

≤kukH^s d’après

kGs∗gk_L² ≤kGsk_L¹kgk_L² et kGsk_L¹ =1.

(iii) Pour 0≤α≤β, H^β ⊂H^α et kuk_H^α ≤kuk_H^β;

(iv) L’application J_β :H^α→H^β+α est linéaire, bijective, isométrique.

L’espace dual de H^−s¡ R^d¢

= ¡ H^s¡

R^d¢¢_∗

s’identifie avec l’espace des distributions u sous la formeu= (1−∆)^s2g, où g∈L²¡

R^d¢ .

1.2 Les espaces de multiplicateurs singuliers Xr

Nous allons présenter maintenant des espaces de multiplicateurs singuliers sur les espaces de Sobolev, introduits récemment par P.G.Lemarié-Rieusset dans ses travaux [Lem3] généralisant le théorème d’unicité de J.Serrin [Ser]. Nous commençons par donner les définitions suivantes

Définition 1.2.1 On définit par L²_unif(R^d) la classe des fonctions f ∈L²_loc(R^d) telle que kfkL²_unif = sup

x∈R^d

°°

°χ_B1(x)f

°°

°L² <∞

où B_R(x) est une boule de centre xet de rayon R.

Définition 1.2.2 Pour tout r≥0, on définit X^r=©

f ∈L²_loc: ∀g∈H^r f g∈L²ª Il s’agit bien des espaces de Banach normés par :

kfkX^r = sup

kgk_Hr≤1kf gkL²

On définit de même l’espace homogèneX^.rpour0≤r < ^d₂ muni de la norme kfk_X^.r = sup

kgk_H^.r≤1kf gkL²

On a ∀x₀ ∈R^d

kf(x+x₀)k_X^r =kfk_X^r kf(x+x₀)k_X^.r =kfk_X^.r

kf(λx₀)kX^r ≤ 1

λ^rkfkX^r, 0< λ≤1 kf(λx0)k_X^.r ≤ 1

λ^rkfk_X^.r, λ >0

Etant donné que l’opérateur de multiplication par une fonction réelle est auto-adjoint, il s’ensuit que

kfkX^r = sup

kgk_L²≤1kf gkH^−r

kfk_X^.r = sup

kgk_L2≤1kf gk_H^.−r