Méthode de conception des systèmes différentiels RF utilisant le formalisme des Modes Mixtes

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Méthode de conception des systèmes différentiels RF utilisant le formalisme des Modes Mixtes

Yves Phaede Germain

To cite this version:

Yves Phaede Germain. Méthode de conception des systèmes différentiels RF utilisant le formalisme des Modes Mixtes. Electronique. Université de Limoges, 2015. Français. �NNT : 2015LIMO0010�.

�tel-01161797�

UNIVERSITE DE LIMOGES

ECOLE DOCTORALE SCIENCES ET INGENIERIE POUR L’INFORMATION

Laboratoire XLIM – Equipe C2S2

Thèse

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE LIMOGES

Discipline:

Electronique des Hautes Fréquences, Photonique et Systèmes présentée et soutenue par

Yves GERMAIN

le 21 janvier 2015

Méthode de conception des systèmes différentiels RF utilisant le formalisme des Modes Mixtes

Thèse dirigée par Bernard JARRY et Julien LINTIGNAT

JURY : Président

M. Thierry MONEDIERE, Professeur des Universités, Limoges Rapporteurs

M. Daniel PASQUET, Professeur des Universités, ENSEA, Chercheur Lampis (Caen) M. Farid TEMCAMANI, Professeur des Universités, ENSEA, Cergy

Examinateurs

M. Francis DOUKHAN, Ingénieur DGA

M. Bernard JARRY, Professeur des Universités, Limoges M. Luc LAPIERRE, Ingénieur Expert CNES, Toulouse M. Julien LINTIGNAT, Maître de Conférences, Limoges

M. Stéphane ROCHETTE, Ingénieur Thalès Alenia Space, Toulouse Invités

M. Vincent ARMENGAUD, Ingénieur CNES, Toulouse M. Bruno BARELAUD, Professeur des Universités, Limoges M. Sébastien MONS, Chargé de Recherches CNRS, Limoges

Th ès e d e d oc tor at

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❆♥♥❡①❡ ❆ ✿ ❊①♣*❡&&✐♦♥& ❛♥❛❧②-✐8✉❡& ❞❡& ♣❛*❛♠;-*❡& ❙ ♠✐①-❡& ✶✸✶

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-❡♠♣)*❛-✉*❡& ✶✹✶

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✕ ❙✉♣♣)❡//✐♦♥ ❞❡/ ❤❛)♠♦♥✐*✉❡/ /✉♣&)✐❡✉)❡/✱

✕ ❚♦❧&)❛♥❝❡ ♣❛) )❛♣♣♦)% ❛✉① ♠❛//❡/ ❘❋ ♥♦♥ ✐❞&❛❧❡/✱

❊♥ ❡✛❡%✱ ❞❛♥/ ❝❡/ ❝✐)❝✉✐%/ ❧❡ /✐❣♥❛❧ ✉%✐❧❡ &%❛♥% ♦❜%❡♥✉ ♣❛) ❧❛ ❞✐✛&)❡♥❝❡ ❞❡ ❞❡✉① /✐❣♥❛✉①

❡♥ ♦♣♣♦/✐%✐♦♥ ❞❡ ♣❤❛/❡✱ ❧❡ ❜)✉✐% ❝♦✉♣❧& /✉) ❧❡/ ❛❝❝>/ ❞✬❡♥%)&❡✱ /♦✉✈❡♥% ❡♥ ♣❤❛/❡✱ /✐ ❧❡/

❞✐♠❡♥/✐♦♥/ ❞✉ ❝✐)❝✉✐% /♦♥% ❢❛✐❜❧❡/ ♣❛) )❛♣♣♦)% C ❧❛ ❧♦♥❣✉❡✉) ❞✬♦♥❞❡✱ ❡/% %❤&♦)✐*✉❡♠❡♥%

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❝✉✐%/ ❞✐✛&)❡♥%✐❡❧/ ❘❋ ❡♥ /✬❛♣♣✉②❛♥% /✉) ❧❡ ❢♦)♠❛❧✐/♠❡ ❞❡/ ♠♦❞❡/ ♠✐①%❡/✳

❈❡ ♠❛♥✉'❝)✐+ '✬❛)+✐❝✉❧❡ ❛✉+♦✉) ❞❡ +)♦✐' ❝❤❛♣✐+)❡' ✿

❉❛♥' ❧❡ ♣)❡♠✐❡) ❝❤❛♣✐+)❡✱ ❧❡' ❢♦♥❞❡♠❡♥+' +❤6♦)✐7✉❡' ❞✉ ❢♦)♠❛❧✐'♠❡ ❞❡' ♠♦❞❡' ♠✐①+❡' '♣6❝✐✜7✉❡ ❛✉① '②'+;♠❡' ❞✐✛6)❡♥+✐❡❧' '♦♥+ ♣)6'❡♥+6'✳ ▲✬♦❜❥❡❝+✐❢ 6+❛♥+ ❞❡ ❢❛✐)❡ ❧❛ ❞✐✛6)❡♥❝❡

❡♥+)❡ ❧✬❛♣♣)♦❝❤❡ ❝❧❛''✐7✉❡ ❞✐+❡ ✧'+❛♥❞❛)❞✧ ❡+ ❧✬❛♣♣)♦❝❤❡ ❞❡' ♠♦❞❡' ♠✐①+❡'✳ ▲✬✐♠♣♦)+❛♥❝❡

❞❡ ❧❛ '②♠6+)✐❡ ❞❛♥' ❧❡' ❛)❝❤✐+❡❝+✉)❡' ❞✐✛6)❡♥+✐❡❧❧❡' '❡)❛ 6✈♦7✉6❡ C +)❛✈❡)' ✉♥ ❡①❡♠♣❧❡

'✐♠♣❧❡ ❞✬❛♠♣❧✐✜❝❛+❡✉) ❞✐✛6)❡♥+✐❡❧ ✐♠♣❧6♠❡♥+6 ❞❛♥' ❧❡ ❧♦❣✐❝✐❡❧ ❞❡ ❝♦♥❝❡♣+✐♦♥ ❆❉❙✳

❉❛♥' ❧❡ ❞❡✉①✐;♠❡ ❝❤❛♣✐+)❡✱ ✉♥❡ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ❛♣♣)♦❝❤❡ ❞❡ ❧✬❛♥❛❧②'❡ ❞❡ ❧❛ '+❛❜✐❧✐+6 ✐♥❝♦♥❞✐✲

+✐♦♥♥❡❧❧❡ ❞❡' '②'+;♠❡' ❞✐✛6)❡♥+✐❡❧' ❞❡ +)♦✐' ❡+ 7✉❛+)❡ ❛❝❝;' ❡'+ ♣)6'❡♥+6❡✳ ❊♥ ❡✛❡+✱ ✈6)✐✜❡)

❧❛ ✈❛❧✐❞✐+6 ❞❡ ❧❛ '♦❧✉+✐♦♥ ♦❜'❡)✈6❡ ♣❛) ✉♥❡ ❛♥❛❧②'❡ ❞❡ '+❛❜✐❧✐+6 )✐❣♦✉)❡✉'❡ ❡'+ ✉♥❡ 6+❛♣❡

✐♠♣♦)+❛♥+❡ ❞❛♥' ❧❛ ❝♦♥❝❡♣+✐♦♥ ❞❡' ❝✐)❝✉✐+' ♠✐❝)♦✲♦♥❞❡'✳ ❖)✱ ♣♦✉) ✈6)✐✜❡) ❧❛ '+❛❜✐❧✐+6 ❞❡ ❝❡'

❞✐'♣♦'✐+✐❢' ♦♥ ❞✐'♣♦'❡ ❞❡ ❞❡✉① ♠6+❤♦❞❡' 67✉✐✈❛❧❡♥+❡' ❡+ 7✉✐ '❡ ❜❛'❡♥+ '✉) ❧❛ )6❞✉❝+✐♦♥ ❞✬✉♥

'②'+;♠❡ ❝♦♠♣❧❡①❡ ♠✉❧+✐✲❛❝❝;' ❡♥ ✉♥ 7✉❛❞)✐♣J❧❡ ❛✜♥ ❞✬❛♣♣❧✐7✉❡) ❧❡' ❝)✐+;)❡' ❞❡ '+❛❜✐❧✐+6

❞❡ ❘♦❧❧❡+✳ ▲❛ ♥♦✉✈❡❧❧❡ ❛♣♣)♦❝❤❡ ♣)♦♣♦'6❡ '✬✐♥'♣✐)❡ ❞❡ ❧❛ ♠6+❤♦❞❡ ❞❡ ❇♦❡❤♠ ♣♦✉) ❧✬❛♥❛✲

❧②'❡ ❞❡ ❧❛ '+❛❜✐❧✐+6 ✐♥❝♦♥❞✐+✐♦♥♥❡❧❧❡ ❞❡' '②'+;♠❡' C +)♦✐' ❛❝❝;' ✭❤❡①❛♣J❧❡'✮ ❡♥ ❢♦♥❝+✐♦♥ ❞❡'

❝♦♥❞✐+✐♦♥' ❞❡ ❢❡)♠❡+✉)❡ ❞❡' ❛❝❝;' ❘❋✳ ▲❛ ♠✐'❡ ❡♥ ♣❧❛❝❡ ❛✐♥'✐ 7✉❡ ❧❡' ❝❛❧❝✉❧' ❛♥❛❧②+✐7✉❡'

❞6+❛✐❧❧6' '❡)♦♥+ ♣)♦♣♦'6'✳

▲❡ +)♦✐'✐;♠❡ ❝❤❛♣✐+)❡ ❡'+ ❡♥+✐;)❡♠❡♥+ ❝♦♥'❛❝)6 C ❧❛ ❝♦♥❝❡♣+✐♦♥ ❞✬✉♥ '②'+;♠❡ ❞✐✛6)❡♥✲

+✐❡❧ ❞✬✐♥+❡)❢❛❝❡ ♣♦✉) ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛+✐♦♥ ❞❡ +6❧6❝♦♠♠✉♥✐❝❛+✐♦♥ '♣❛+✐❛❧❡✳ ❈❡ ❞✐'♣♦'✐+✐❢ ❞♦✐+ P+)❡

❝❛♣❛❜❧❡ ❞❡ ❝♦♥✈❡)+✐) ❧❛ '♦)+✐❡ ❞✐✛6)❡♥+✐❡❧❧❡ ✭❞❡✉① ✈♦✐❡'✮ ❞✬✉♥ ❝♦♥✈❡)+✐''❡✉) ♥✉♠6)✐7✉❡ ❛♥❛✲

❧♦❣✐7✉❡ ✭❈◆❆✮ ❡♥ ✉♥❡ '♦)+✐❡ '✐♠♣❧❡ ❛❝❝;' ✭✶ ✈♦✐❡✮ +♦✉+ ❡♥ ❛♣♣♦)+❛♥+ ❞✉ ❣❛✐♥ ❛✉ '②'+;♠❡✳

❈❡' '♣6❝✐✜❝❛+✐♦♥' ❝♦))❡'♣♦♥❞❡♥+ C ❧❛ ❝♦♥❝❛+6♥❛+✐♦♥ ❞✬✉♥ ❜❛❧✉♥ ♣❛''✐❢ ❡+ ❞✬✉♥ ❛♠♣❧✐✜❝❛+❡✉)

❜❛' ♥✐✈❡❛✉✳ S❛) ❛✐❧❧❡✉)'✱ ❧✬✐♥+6❣)❛+✐♦♥ ❞❡' ❝♦♠♣♦'❛♥+' 6+❛♥+ ✉♥ ❝)✐+;)❡ ✐♠♣♦)+❛♥+ ❞❛♥' ❧❡

❞♦♠❛✐♥❡ '♣❛+✐❛❧✱ ❧❛ +❡❝❤♥♦❧♦❣✐❡ '✐❧✐❝✐✉♠ '❡)❛ )❡+❡♥✉❡ ♣♦✉) ✐♠♣❧6♠❡♥+❡) ❧❡ ❝✐)❝✉✐+✳ ❈❡ ❝❤♦✐①

❡'+ ❛✉''✐ ❥✉'+✐✜6 ♣❛) ❧❛ ♣❡)'♣❡❝+✐✈❡ ❞✬✐♥+6❣)❡) '✉) ✉♥❡ ♠P♠❡ ♣✉❝❡ ❧❡ ❈◆❆ ❡+ ❧❡ ❜❛❧✉♥ ❛❝+✐❢✳

▲❡' 6+❛♣❡' ❞❡' ❝❤♦✐① ❞❡ ❝♦♥❝❡♣+✐♦♥✱ ❧❡' )6'✉❧+❛+' ❞❡ '✐♠✉❧❛+✐♦♥ ❡+ ❞❡ ♠❡'✉)❡' ❞✉ ❝✐)❝✉✐+ '♦♥+

♣)6'❡♥+6' ❡+ ❝♦♠♣❛)6' ❛✉① '♣6❝✐✜❝❛+✐♦♥' +❡❝❤♥✐7✉❡' ❞✉ ❝❛❤✐❡) ❞❡' ❝❤❛)❣❡' ❞❡ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛+✐♦♥✳

❊+ ❡♥✜♥✱ ❧❛ ❝♦♥❝❧✉'✐♦♥ ❞❡ ❝❡ ♠❛♥✉'❝)✐+ ❞)❡''❡ ❧❡ ❜✐❧❛♥ ❡+ ❧❡' ♣❡)'♣❡❝+✐✈❡' ❞❡ ❝❡' +)❛✈❛✉①✳

✸

❈❤❛♣✐%&❡ ✶

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♠✐①%❡2 ❞❡2 2②2%5♠❡2 ❞✐✛7&❡♥%✐❡❧2

✶✳✶ ■♥$%♦❞✉❝$✐♦♥

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6✉❡♥❝❡#✳ ❊♥ ❡✛❡( ❧❛ ♠❛♥✐9&❡ ❞♦♥( ✐❧# (&❛✐(❡♥( ❧❡ #✐❣♥❛❧ ♣&+#❡♥(❡ ❞❡ ♥♦♠❜&❡✉① ❛✈❛♥(❛❣❡#

❞❛♥# ✉♥❡ ❝❤❛>♥❡ ❞❡ (&❛♥#♠✐##✐♦♥ ♠♦❞❡&♥❡✳

❉❛♥# ❧❡ ❝❛# ❣+♥+&❛❧ ❧❡# #②#(9♠❡# ❞✐✛+&❡♥(✐❡❧# #♦♥( ❞❡# ❞✐#♣♦#✐(✐❢# ♣&+#❡♥(❛♥( 6✉❛(&❡

❛❝❝9# ♣❤②#✐6✉❡#✱ ❞❡✉① ❡♥(&+❡# ❡( ❞❡✉① #♦&(✐❡# ❛❧♦&# 6✉❡ ❧❡# (♦♣♦❧♦❣✐❡# ✧❝❧❛##✐6✉❡#✧ ❡♥ ♣♦#✲

#9❞❡♥( ❞❡✉①✱ ✉♥❡ ❡♥(&+❡ ❡( ✉♥❡ #♦&(✐❡✳ ❈❡((❡ ❝❛&❛❝(+&✐#(✐6✉❡ #✬❛❝❝♦♠♣❛❣♥❡ ❞✉ ❢❛✐( 6✉❡ ❞❛♥#

❧❡ ❝❛# ❞❡# #②#(9♠❡# ❞✐✛+&❡♥(✐❡❧#✱ ❧❡ #✐❣♥❛❧ 6✉✐ (&❛♥#♣♦&(❡ ❧✬✐♥❢♦&♠❛(✐♦♥ ♥✬❡#( ♣❛# &+❢+&❡♥❝+

♣❛& &❛♣♣♦&( D ❧❛ ♠❛##❡✱ ♠❛✐# ❡#( ❧❛ ❞✐✛+&❡♥❝❡ ❞❡# #✐❣♥❛✉① ♣&+#❡♥(# ❛✉① ❡♥(&+❡# ✭♠♦❞❡

❞✐✛+&❡♥(✐❡❧✮✱ ❛❧♦&# 6✉❡ ❧✬♦♥ ❛❞♠❡( 6✉❡ ❧❡# ❜&✉✐(# ❝♦✉♣❧+# #♦♥( ♣♦&(+# ♣❛& ❧❛ ❞❡♠✐ #♦♠♠❡

❞❡# #✐❣♥❛✉① ♣&+#❡♥(# ❛✉① ❡♥(&+❡# ✭♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥✮✳

▲✬✉(✐❧✐#❛(✐♦♥ ❝&♦✐##❛♥(❡ ❞❡ ❝❡# ❝✐&❝✉✐(# ❡♥ ♣❛&(✐❝✉❧✐❡& ❞❛♥# ❧❡# ❛♣♣❧✐❝❛(✐♦♥# ❢❛✐❜❧❡ ❜&✉✐(

#✬❡①♣❧✐6✉❡ ♣❛& ❞❡ ♥♦♠❜&❡✉① ❛✈❛♥(❛❣❡# ✿

✕ ■♠♠✉♥✐(+ ❛✉ ❜&✉✐( ❣+♥+&+ ♣❛& ❧❡# ❞✐#♣♦#✐(✐❢ ♥✉♠+&✐6✉❡#

✕ ❆✉❣♠❡♥(❛(✐♦♥ ✐♥(&✐♥#96✉❡ ❞✉ ♣♦✐♥( ❞✬✐♥(❡&❝❡♣(✐♦♥ ❞✬♦&❞&❡ ✷

✹ ❞✐❢❢5&❡♥%✐❡❧1

✕ ▼❡✐❧❧❡✉'❡ (♦❧*'❛♥❝❡ ♣❛' '❛♣♣♦'( ❛✉① ♠❛11❡1 ❘❋ ♥♦♥ ✐❞*❛❧❡1✳

6♦✉' ❧✬*(✉❞❡ (❤*♦'✐9✉❡ ❞❡ ❝❡1 1②1(;♠❡1✱ ✉♥ ❢♦'♠❛❧✐1♠❡ ♣❛'(✐❝✉❧✐❡' ❛ *(* ❞*✈❡❧♦♣♣* ❛✜♥

❞❡ ❞♦♥♥❡' ✉♥❡ *✈❛❧✉❛(✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♣❡'❢♦'♠❛♥❝❡ ❞✐'❡❝(❡♠❡♥( ♣❛' '❛♣♣♦'( ❛✉① ♠♦❞❡1 ❞✐✛*'❡♥✲

(✐❡❧ ❡( ❝♦♠♠✉♥✳ ❈❡ ❢♦'♠❛❧✐1♠❡ ❡1( ❛♣♣❡❧* ❢♦'♠❛❧✐1♠❡ ❞❡1 ♣❛'❛♠;('❡1 ❙ ♠✐①(❡1✳

▲❡1 ♣'❡♠✐❡'1 ('❛✈❛✉① 1✉' ❧❡ ❢♦'♠❛❧✐1♠❡ ❞❡1 ♠♦❞❡1 ♠✐①(❡1 ♦♥( *(* '*❛❧✐1*1 ♣❛' ❇♦❦❡❧✲

♠❛♥ ❞❛♥1 ❬❄❪ ❡♥ 1995 ✳ ■❧ 1✬❛❣✐( ❞✬✉♥❡ ♠❛('✐❝❡ ❙ ❞❡ ❞✐1♣♦1✐(✐❢ K 9✉❛('❡ ❛❝❝;1 K ❧❛9✉❡❧❧❡ ♦♥ ❛

❢❛✐( 1✉❜✐' ✉♥ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥( ❞❡ ❜❛1❡ ❛✜♥ ❞❡ ❢❛✐'❡ ❛♣♣❛'❛M('❡ ❧❡1 ♠♦❞❡1 ❞✐✛*'❡♥❝❡1 ❡( 1♦♠♠❡1 K ❝❤❛9✉❡ ♣❛✐'❡ ❞✬❛❝❝;1 ❞✬❡♥('*❡✴1♦'(✐❡ ✳ ▲❛ ♠❛('✐❝❡ ❛✐♥1✐ ♦❜(❡♥✉❡✱ ♣❡'♠❡( ❞✬*✈❛❧✉❡' ❧❡1

♣❡'❢♦'♠❛♥❝❡1 ❞❡ ❝❤❛9✉❡ ♠♦❞❡ ♣'✐1 1*♣❛'*♠❡♥( ❡♥ '❡❣❛'❞❛♥( ❧❡1 ♦♥❞❡1 ❞❡ ♣✉✐11❛♥❝❡ ✐♥❝✐✲

❞❡♥(❡1 ❡( '*✢*❝❤✐❡1 ❛✉① ❛❝❝;1 ♠♦❞❛✉①✳ ❉❡ ♣❧✉1✱ ❧❡ ♥✐✈❡❛✉ ❞❡ ❝♦♥✈❡'1✐♦♥ ❡♥('❡ ❧❡1 1✐❣♥❛✉①

❞❡1 ❞✐✛*'❡♥(1 ♠♦❞❡1 ♣❡✉( Q('❡ ♣'✐1 ❡♥ ❝♦♠♣(❡ ❛✈❡❝ ❢♦'♠❛❧✐1♠❡✳

❉❛♥1 ❝❡ ❝❤❛♣✐('❡✱ ❧❛ ❞*✜♥✐(✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♠❛('✐❝❡ ❙ ♠✐①(❡ K ♣❛'(✐' ❞❡1 ♣❛'❛♠;('❡1 ❙ 1(❛♥✲

❞❛'❞1 ❡1( ♣'*1❡♥(*❡ ❞❛♥1 ❧❡ ❝❛1 ❞✬✉♥ ❞✐1♣♦1✐(✐❢ (♦(❛❧❡♠❡♥( ❞✐✛*'❡♥(✐❡❧✱ ♠❛✐1 ❛✉11✐ ♣♦✉' ❧❡1

❝✐'❝✉✐(1 ❞✬✐♥(❡'❢❛❝❡ ✭*9✉✐❧✐❜'*✴♥♦♥✲*9✉✐❧✐❜'*✮✳ ❊♥ ♦✉('❡ ❧✬*(✉❞❡ ❞✬✉♥ ♠♦❞;❧❡ ❞✬❛♠♣❧✐✜❝❛(❡✉'

❞✐✛*'❡♥(✐❡❧ ✐♠♣❧*♠❡♥(* ❞❛♥1 ❧❡ ❧♦❣✐❝✐❡❧ ❞❡ ❝♦♥❝❡♣(✐♦♥ ❆❉❙ ❬❄❪ ❡1( ❞*(❛✐❧❧*❡ ❛✜♥ ❞❡ ♠❡(('❡

❡♥ *✈✐❞❡♥❝❡ ❧✬✐♥(*'Q( ❞❡ ❝❡ ❢♦'♠❛❧✐1♠❡✳

✶✳✷ ❉$✜♥✐(✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♠❛(/✐❝❡ ❙ ♣♦✉/ ✉♥ ♦❝(♦♣4❧❡ 5(❛♥✲

❞❛/❞

❊♥ 1❡ ❜❛1❛♥( 1✉' ❧❛ '❡♣'*1❡♥(❛(✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ✜❣✉'❡ ❄❄✱ ♦♥ ❞*✜♥✐( ❧❡1 '❡❧❛(✐♦♥1 ❡♥('❡ ❧❡1 ♦♥❞❡1

❞❡ ♣✉✐11❛♥❝❡ ✐♥❝✐❞❡♥(❡1 ❡( '*✢*❝❤✐❡1 ❡♥ ❢♦♥❝(✐♦♥ ❞❡1 (❡♥1✐♦♥1 ❡( ❞❡1 ❝♦✉'❛♥(1 K ❝❤❛9✉❡ ❛❝❝;1

♣❤②1✐9✉❡ ❞❡ ❧✬♦❝(♦♣V❧❡✳ 6♦✉' ❝❡ ❢❛✐'❡✱ ♦♥ ❛♣♣❧✐9✉❡ ❧❡1 ('❛✈❛✉① '*❛❧✐1*1 1✉' ❧❡1 ❞✐1♣♦1✐(✐❢1 K

❞❡✉① ❛❝❝;1 ❞❛♥1 ❬❄❪✱ ❬❄❪ ❛✉① ♦❝(♦♣V❧❡1 1(❛♥❞❛'❞1 ✿

Octopôle Standard

a1

b1

I ₁

V ₁

a2

b2

a3

b3

a4

b4 accès 1

accès 2

accès 3

accès 4

z ₀

e1

z 0

e2

z ₀

e3

z 0

e4

I 2

V ₂

I ₃

V ₃

I 4

V ₄

a 1 = V 1 + I 1 Z 0

2 p

Re (Z 0 ) a 2 = V 2 + I 2 Z 0

2 p

Re (Z 0 )

b ₁ = V 1 − I 1 Z ₀ ^∗ 2 p

Re (Z 0 ) b ₂ = V 2 − I 2 Z ₀ ^∗ 2 p

Re (Z 0 )

a ₃ = V 3 + I 3 Z 0

2 p

Re (Z 0 ) a ₄ = V 4 + I 4 Z 0

2 p

Re (Z 0 )

✻ ❞✐❢❢5&❡♥%✐❡❧1

b 3 = V 3 − I 3 Z ₀ ^∗ 2 p

Re (Z 0 ) ✭✶✳✼✮ b 4 = V 4 − I 4 Z ₀ ^∗ 2 p

Re (Z 0 ) ✭✶✳✽✮

'❧✉* ❣,♥,.❛❧❡♠❡♥2✱ ❡♥ ❝♦♥*✐❞,.❛♥2 ❧❡* ♥♦2❛2✐♦♥* ❛ i ♦♥❞❡* ✐♥❝✐❞❡♥2❡* 8 ❧✬❛❝❝:* i ❡2 ❜ i

♦♥❞❡* .,✢,❝❤✐❡* 8 ❧✬❛❝❝:* i✱ ♦♥ ♦❜2✐❡♥2 ❧❛ .❡❧❛2✐♦♥ *✉✐✈❛♥2❡ ✿

b i =

n

X

k=1

S ik .a k ✭✶✳✾✮

*♦✐2 ♣♦✉. n = 4 ✿















 b 1

b 2

b 3

b 4

















=

















S 11 S 12 S 13 S 14

S 21 S 22 S 23 S 24

S 31 S 32 S 33 S 34

S 41 S 42 S 43 S 44















 .















 a 1

a 2

a 3

a 4

















✭✶✳✶✵✮

❖♥ ❞,✜♥✐2 ❛✐♥*✐ ❧❛ ♠❛2.✐❝❡ ❞❡* ♣❛.❛♠:2.❡* ❬❙❪ *2❛♥❞❛.❞* .❡❧✐❛♥2 ❧❡* ♦♥❞❡* ✐♥❝✐❞❡♥2❡*

❛✉① ♦♥❞❡* .,✢,❝❤✐❡* ❛✉① ❛❝❝:* ❞❡ ❧✬♦❝2♦♣I❧❡ ❞❛♥* *❛ .❡♣.,*❡♥2❛2✐♦♥ ❝❧❛**✐J✉❡✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥2✱

*♦✉* ❝❡ ❢♦.♠❛❧✐*♠❡ ❧❛ ♠❛2.✐❝❡ ♥❡ ❢♦✉.♥✐2 ❛✉❝✉♥❡ ❞♦♥♥,❡ *✉. ❧❛ ♥❛2✉.❡ ❡2 ❧✬,✈♦❧✉2✐♦♥ ❞❡*

*✐❣♥❛✉① ❞❛♥* ❧❡* ❞✐✛,.❡♥2* ♠♦❞❡* ❞❡ ❢♦♥❝2✐♦♥♥❡♠❡♥2 ❝❛.❛❝2,.✐*2✐J✉❡* ❞❡* *②*2:♠❡ ❞✐✛,✲

.❡♥2✐❡❧*✳

❆ ❝❡22❡ ✜♥ ❛ ,2, ❞,✈❡❧♦♣♣, ❧❡ ❢♦.♠❛❧✐*♠❡ ❞❡* ♠♦❞❡* ♠✐①2❡*✳

✶✳✸ ❉$✜♥✐(✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♠❛(/✐❝❡ ❙ ♠✐①(❡ ♣♦✉/ ✉♥ ❖❝(♦♣6❧❡

❞✐✛$/❡♥(✐❡❧

❉❛♥* ❧✬❛♣♣.♦❝❤❡ ❝❧❛**✐J✉❡✱ ✉♥ *②*2:♠❡ ❞✐✛,.❡♥2✐❡❧ ❡*2 ❞,❝.✐2 ❝♦♠♠❡ ,2❛♥2 ✉♥ ❞✐*♣♦*✐2✐❢

8 J✉❛2.❡ ❛❝❝:* ♣❤②*✐J✉❡ ❞❛♥* ❧❡J✉❡❧ ❝❤❛J✉❡ ❛❝❝:* ❡*2 .,❢,.❡♥❝, ♣❛. .❛♣♣♦.2 ❛✉ ♣♦2❡♥2✐❡❧ ✵

✭❧❛ ♠❛**❡✮✳ ❈❡ *②*2:♠❡ ♣❡✉2 R2.❡ .❡♣.,*❡♥2, ♣❛. *❛ ♠❛2.✐❝❡ ❙ *2❛♥❞❛.❞ ✭❄❄✮✳

Dispositif Différentiel Accès 1

Accès 2 Accès

différentiel

Accès

commun

Octopôle Différentiel ad1

bd1

V d1 Accès différentiel

entrée

ac1

bc1 Accès commun

entrée

z sd

e

sd

z sc

I c1

V c1

ad2

bd2

V d2

ac2

bc2

z Ld

z Lc

I c2

V c2

Accès différentiel sortie

Accès commun sortie

e

sc

e

Ld

e

Lc

−

V d1 = V 1 − V 2 V d2 = V 3 − V 4

I d1 = I 1 − I 2

2 I d2 = I 3 − I 4

2

V c1 = V 1 + V 2

2 V c2 = V 3 + V 4

2

✶✳✸ ❉$✜♥✐(✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♠❛(/✐❝❡ ❙ ♠✐①(❡ ♣♦✉/ ✉♥ ❖❝(♦♣6❧❡ ❞✐✛$/❡♥(✐❡❧ ✾

I c1 = I 1 + I 2 ✭✶✳✶✼✮ I c2 = I 3 + I 4 ✭✶✳✶✽✮

▲❡) ✐♠♣-❞❛♥❝❡) ❞❡ ♥♦3♠❛❧✐)❛5✐♦♥ ❡♥ ♠♦❞❡) ♠✐①5❡) ♣❡✉✈❡♥5 953❡ 3❡❧✐-❡) : ❧✬✐♠♣-❞❛♥❝❡

❞❡ ♥♦3♠❛❧✐)❛5✐♦♥ ❞❡) )②)5=♠❡) ❝❧❛))✐>✉❡) ✭ Z 0 ✮✳

?♦✉3 ❧❡ ♠♦❞❡ ❞✐✛-3❡♥5✐❡❧ ✿

Z sd = V d1

I d1

= 2

V 1 − V 2

I 1 − I 2

= 2Z 0 ✭✶✳✶✾✮

❊5

Z Ld = V d2

I d2

= 2

V 3 − V 4

I 3 − I 4

= 2Z 0 ✭✶✳✷✵✮

❆✈❡❝✱ Z sd ❡5 Z Ld ❧❡) ✐♠♣-❞❛♥❝❡) ❞❡ ♥♦3♠❛❧✐)❛5✐♦♥ ❞✉ ♠♦❞❡ ❞✐✛-3❡♥5✐❡❧ 3❡)♣❡❝5✐✈❡♠❡♥5

❡♥ ❡♥53-❡ ❡5 : ❧❛ )♦35✐❡ ❞✉ ❞✐)♣♦)✐5✐❢✳

❉✬❛♣3=) ❧❡) ->✉❛5✐♦♥) ✭❄❄✮ ❡5 ✭❄❄✮✱ ❧✬✐♠♣-❞❛♥❝❡ ❞❡ ♥♦3♠❛❧✐)❛5✐♦♥ ❞✉ ♠♦❞❡ ❞✐✛-3❡♥5✐❡❧

❡♥53-❡ ❡5 : ❧❛ )♦35✐❡ ✈❛✉5 ❧❡ ❞♦✉❜❧❡ ❞❡ ❝❡❧✉✐ ❞❡) )②)5=♠❡) ❝❧❛))✐>✉❡)✳ ▲❡) ✐♠♣-❞❛♥❝❡) ❞❡

❝❤❛3❣❡ ❞❡ ❝❡) )②)5=♠❡) )♦♥5 ❝❧❛))✐>✉❡♠❡♥5 ♥♦3♠❛❧✐)-❡) ♣❛3 3❛♣♣♦35 : ✺✵ Ω✱ ❝❡ >✉✐ ->✉✐✈❛✉5

♣♦✉3 ❧❡ ♠♦❞❡ ❞✐✛-3❡♥5✐❡❧ : ✉♥❡ ✐♠♣-❞❛♥❝❡ ✶✵✵ Ω ✳

❉❡ ❢❛M♦♥ ❛♥❛❧♦❣✉❡✱ ♦♥ ♣❡✉5 ❞-✜♥✐3 ❧❡) ✐♠♣-❞❛♥❝❡) ❞❡ ♥♦3♠❛❧✐)❛5✐♦♥ Z sc ❡5 Z Lc ♣♦✉3 ❧❡

♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥ 3❡)♣❡❝5✐✈❡♠❡♥5 ❡♥ ❡♥53-❡ ❡5 : ❧❛ )♦35✐❡ ❞✉ )②)5=♠❡ ✿

Z sc = V _c1 I c1

= V ₁ + V ₂

2 (I 1 + I 2 ) = Z ₀

2 ✭✶✳✷✶✮

❊5✱

✶✵ ❞✐❢❢5&❡♥%✐❡❧1

Z Lc = V c2

I c2

= V 3 + V 4

2 (I 3 + I 4 ) = Z 0

2 ✭✶✳✷✷✮

❉❛♥) ❝❡ ❝❛)✱ ❧✬✐♠♣2❞❛♥❝❡ ❞❡ ♥♦5♠❛❧✐)❛6✐♦♥ ✈❛✉6 ❧❛ ♠♦✐6✐2 ❞❡ ❝❡❧❧❡ ❞❡) )②)6:♠❡) ❝❧❛)✲

)✐<✉❡) )♦✐6 ✷✺ Ω )✐ ❧✬♦♥ ❝♦♥)✐❞:5❡ Z ₀ = 50 Ω ✳

▲✬❡①♣5❡))✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♠❛65✐❝❡ ❙ ♠✐①6❡ ❡)6 ♦❜6❡♥✉❡ ❡♥ ❢❛✐)❛♥6 ✐♥6❡5✈❡♥✐5 ❧❡) ♦♥❞❡) ❞❡ ♣✉✐)✲

)❛♥❝❡ ✐♥❝✐❞❡♥6❡) ❡6 52✢2❝❤✐❡) ❞❡) ♠♦❞❡) ❝♦♠♠✉♥ ❡6 ❞✐✛25❡♥6✐❡❧✳

❖♥ ❞✐)6✐♥❣✉❡ ♣♦✉5 ❧❡ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥ ❛✉① ❛❝❝:) ❡♥652❡✴)♦56✐❡ ✿

a c1 = V c1 + I c1 Z c1

2 p

Re (Z c1 ) ✭✶✳✷✸✮ b c1 = V c1 − I c1 Z _c1 ^∗ 2 p

Re (Z c1 ) ✭✶✳✷✹✮

a c2 = V c2 + I c2 Z c2

2 p

Re (Z c2 ) ✭✶✳✷✺✮ b c2 = V c2 − I c2 Z _c2 ^∗ 2 p

Re (Z c2 ) ✭✶✳✷✻✮

❡6 ♣♦✉5 ❧❡ ♠♦❞❡ ❞✐✛25❡♥6✐❡❧ ❛✉① ❛❝❝:) ❡♥652❡✴)♦56✐❡ ✿

a d1 = V d1 + I d1 Z d1

2 p

Re (Z d1 ) ✭✶✳✷✼✮ b d1 = V d1 − I d1 Z _d1 ^∗ 2 p

Re (Z d1 ) ✭✶✳✷✽✮

a _d2 = V d2 + I d2 Z d2

2 p

Re (Z d2 ) ✭✶✳✷✾✮ b _d2 = V d2 + I d2 Z _d2 ^∗ 2 p

Re (Z d2 ) ✭✶✳✸✵✮

❖♥ ❛❜♦✉6✐6 ❛✐♥)✐ P ❧✬❡①♣5❡))✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♠❛65✐❝❡ S mxt ✿

✶✳✹ ❘❡❧❛'✐♦♥ ❞❡ ♣❛--❛❣❡ ✶✶















 b d1

b d2

b c1

b c2

















=

















S dd11 S dd12 S dc11 S dc12

S dd21 S dd22 S dc21 S dc22

S cd11 S cd12 S cc11 S cc12

S cd21 S cd22 S cc21 S cc22















 .















 a d1

a d2

a c1

a c2

















✭✶✳✸✶✮

▲❡' (❡)♠❡' ❡♥ S dd )❡♥'❡✐❣♥❡♥( '✉) ❧❡ ❢♦♥❝(✐♦♥♥❡♠❡♥( ❞✉ ♠♦❞❡ ❞✐✛5)❡♥(✐❡❧ ♣✉)✳ ❈❡✉①

❡♥ S cc ❢♦♥( ❛♣♣❛)❛:()❡ ❧❡ ❢♦♥❝(✐♦♥♥❡♠❡♥( ❞✉ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥ ♣✉)✳ ❊( ❡♥✜♥✱ ❧❡' ❝♦♥✈❡)'✐♦♥'

❞❡ ♠♦❞❡ '♦♥( )❡♣)5'❡♥(5❡' ♣❛) ❧❡' (❡)♠❡' ❡♥ S cd ❡( S dc ✳ ❉❛♥' ❧❡ ♣)❡♠✐❡) ❝❛'✱ ✐❧ '✬❛❣✐( ❞❡

❧❛ ❝♦♥✈❡)'✐♦♥ ❞❡' '✐❣♥❛✉① ❞❡ ♠♦❞❡ ❞✐✛5)❡♥(✐❡❧ ✈❡)' ❧❡ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥ ❡( ❞❛♥' ❧❡ ❞❡✉①✐A♠❡

❝❛'✱ ❝❡❧❧❡ ❞✉ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥ ✈❡)' ❧❡ ♠♦❞❡ ❞✐✛5)❡♥(✐❡❧✳

✶✳✹ ❘❡❧❛'✐♦♥ ❞❡ ♣❛--❛❣❡

❙✐ ♦♥ ✐❞❡♥(✐✜❡ ❧❡' ❡①♣)❡''✐♦♥' ❞❡' ♦♥❞❡' ❞❡ ♣✉✐''❛♥❝❡ ❡♥ ♠♦❞❡ '(❛♥❞❛)❞ C ❝❡❧❧❡' ❡♥

♠♦❞❡' ♠✐①(❡' ✭❬❄❪✱ ❬❄❪✮✱ ♦♥ ♦❜(✐❡♥( ✿

H♦✉) ❧❡ ♠♦❞❡ ❞✐✛5)❡♥(✐❡❧ ✿

a d1 = a 1 − a 2

√ 2 ✭✶✳✸✷✮ b d1 = b 1 − b 2

√ 2 ✭✶✳✸✸✮

a d2 = a 3 − a 4

√ 2 ✭✶✳✸✹✮ b d2 = b 3 − b 4

√ 2 ✭✶✳✸✺✮

H♦✉) ❧❡ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥ ✿

a c1 = a 1 + a 2

√ 2 ✭✶✳✸✻✮ b c1 = b 1 + b 2

√ 2 ✭✶✳✸✼✮

a c2 = a 3 + a 4

√ 2 ✭✶✳✸✽✮ b c2 = b 3 + b 4

√ 2 ✭✶✳✸✾✮

✶✷ ❞✐❢❢5&❡♥%✐❡❧1

▲❡$ %&✉❛)✐♦♥$ ✭❄❄✮✱ ✭❄❄✮✱ ✭❄❄✮ ❡) ✭❄❄✮ ♣❡✉✈❡♥) $❡ 2❡❣2♦✉♣❡2 $♦✉$ ❧❛ ❢♦2♠❡ ♠❛)2✐❝✐❡❧❧❡

$✉✐✈❛♥)❡ ✿















 a d1

a d2

a c1

a c2

















= ^√ ₂ ²

















1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 1 1 0 0 0 0 1 1















 .















 a 1

a 2

a 3

a 4

















✭✶✳✹✵✮

❈❡ (✉✐ ♣❡,♠❡. ❞✬❛❜♦✉.✐, 4 ✉♥❡ ,❡❧❛.✐♦♥ ❞❡ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥. ❞❡ ❜❛:❡ ❡♥.,❡ ❧❡: ♦♥❞❡: ✐♥❝✐✲

❞❡♥.❡: ❡♥ ♠♦❞❡ :.❛♥❞❛,❞ ❡. ❝❡❧❧❡: ❡♥ ♠♦❞❡: ♠✐①.❡: ✿

(a mxt ) = M. (a std ) ✭✶✳✹✶✮

❉❡ ♠❛♥✐?,❡ ✐❞❡♥.✐(✉❡✱ ❡♥ ,❡❣,♦✉♣❛♥. ❧❡: A(✉❛.✐♦♥: ✭❄❄✮✱ ✭❄❄✮✱ ✭❄❄✮ ❡. ✭❄❄✮ :♦✉: ❢♦,♠❡

♠❛.,✐❝✐❡❧❧❡ ✿















 b _d1 b d2

b _c1 b c2

















= ^√ ₂ ²

















1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 1 1 0 0 0 0 1 1















 .















 b ₁ b 2

b ₃ b 4

















✭✶✳✹✷✮

❖♥ ♣❡✉. ❞A✜♥✐, ✉♥❡ ,❡❧❛.✐♦♥ ❞❡ ♣❛::❛❣❡ ❡♥.,❡ ❧❡: ♦♥❞❡: ,A✢A❝❤✐❡: ❡♥ ♠♦❞❡ :.❛♥❞❛,❞ ❡.

❝❡❧❧❡: ❞✉ ❢♦,♠❛❧✐:♠❡ ❞❡: ♠♦❞❡: ♠✐①.❡: ✿

(b mxt ) = M. (b std ) ✭✶✳✹✸✮

M ,❡♣,A:❡♥.❡ ❧❛ ♠❛.,✐❝❡ ❞❡ ♣❛::❛❣❡ ❞✉ ♠♦❞❡ :.❛♥❞❛,❞ ✈❡,: ❧❡: ♠♦❞❡: ♠✐①.❡:✳ ❊❧❧❡ ❡:.

✶✳✺ ▲❛ %&❥❡❝*✐♦♥ ❞✉ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥ ✶✸

❞#✜♥✐❡ ❞❡ ❧❛ ♠❛♥✐+,❡ -✉✐✈❛♥0❡ ✿

M =

√ 2 2

















1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 1 1 0 0 0 0 1 1

















✭✶✳✹✹✮

❊♥ ♦♣#,❛♥0 ❧❡- ❝❤❛♥❣❡♠❡♥0- ❞❡ ❜❛-❡ ❞❡- #=✉❛0✐♦♥- ✭❄❄✮ ❡0 ✭❄❄✮ ♦♥ ❛❜♦✉0✐0 > ❧❛ ,❡✲

❧❛0✐♦♥ ❞❡ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥0 ❞❡ ❜❛-❡ =✉✐ ♣❡,♠❡0 ❞❡ ♣❛--❡, -✐♠♣❧❡♠❡♥0 ❞❡ ❧❛ ♠❛0,✐❝❡ ❙ -0❛♥❞❛,❞

> ❧❛ ♠❛0,✐❝❡ ❙ ♠✐①0❡✳

[S mxt ] = [M ].[S].[M ] ^{− 1} ✭✶✳✹✺✮

✶✳✺ ▲❛ %&❥❡❝*✐♦♥ ❞✉ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥

▲❛ ❝❛♣❛❝✐0# ❞✬✉♥ ❝✐,❝✉✐0 ❞✐✛#,❡♥0✐❡❧ > ❞✐-❝,✐♠✐♥❡, ❧❡- -✐❣♥❛✉① ♣❛,❛-✐0❡- ❞✉ -✐❣♥❛❧ ✉0✐❧❡

❡-0 0,❛❞✉✐0❡ ♣❛, -♦♥ 0❛✉① ❞❡ ,#❥❡❝0✐♦♥ ❞✉ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥✳ ❊♥ ❜❛--❡- ❢,#=✉❡♥❝❡- ✐❧ ❡-0 ❞#✜♥✐

❝♦♠♠❡ #0❛♥0 ❧❡ ,❛♣♣♦,0 ❞✉ ❣❛✐♥ ❞❡ ♠♦❞❡ ❞✐✛#,❡♥0✐❡❧ ❡0 ❧❡ ❣❛✐♥ ❞❡ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥✳

▲❡ 0❛✉① ❞❡ ,#❥❡❝0✐♦♥ ❞✉ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥ -❡ ❞#✜♥✐0 ❝♦♠♠❡ #0❛♥0 ✉♥ ,❛♣♣♦,0 ❞❡ ❣❛✐♥ ❡♥

♣✉✐--❛♥❝❡ ❡♥0,❡ ❧❡- ♠♦❞❡- ❝♦♠♠✉♥ ❡0 ❞✐✛#,❡♥0✐❡❧ ❞✉ ❞✐-♣♦-✐0✐❢ ✿

T RM C = G dd + G dc

G cd + G cc ✭✶✳✹✻✮

❛✈❡❝ G dd ✱ ❧❡ ❣❛✐♥ ❞❡ ♠♦❞❡ ❞✐✛#,❡♥0✐❡❧ ♣✉, ❡0 G cc ❧❡ ❣❛✐♥ ❞❡ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥ ♣✉,✳ ▲❡- 0❡,♠❡- G dc ❡0 G cd ,❡♣,#-❡♥0❡♥0 ❧❡- ❣❛✐♥- ❞❡ ❝♦♥✈❡,-✐♦♥ ❞✐-♣♦♥✐❜❧❡ ,❡-♣❡❝0✐✈❡♠❡♥0 ❞✉ ♠♦❞❡

❝♦♠♠✉♥ ✈❡,- ❧❡ ♠♦❞❡ ❞✐✛#,❡♥0✐❡❧ ❡0 ❞✉ ♠♦❞❡ ❞✐✛#,❡♥0✐❡❧ ✈❡,- ❧❡ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥✳ ❙✐ ❧✬♦♥

0,❛✐0❡ ❧❡ ❝❛- ❞✬✉♥ -②-0+♠❡ ❞✐✛#,❡♥0✐❡❧ ♣❛,❢❛✐0❡♠❡♥0 -②♠#0,✐=✉❡✱ ❛❧♦,- 0♦✉- ❧❡- 0❡,♠❡- ❞❡

❝♦♥✈❡,-✐♦♥ ❞❡ ♠♦❞❡ -♦♥0 ♥✉❧-✳ ❉❛♥- ❝❡ ❝❛-✱ ❧❡ 0❛✉① ❞❡ ,#❥❡❝0✐♦♥ ❞✉ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥ ❞#♣❡♥❞

✉♥✐=✉❡♠❡♥0 ❞✉ ,❛♣♣♦,0 ❡♥0,❡ ❧❡- -✐❣♥❛✉① ❞❡ 0,❛♥-♠✐--✐♦♥ ❞❡- ♠♦❞❡- ❝♦♠♠✉♥ ❡0 ❞✐✛#,❡♥✲

✶✹ ❞✐❢❢5&❡♥%✐❡❧1

"✐❡❧ ❞✉ (②("*♠❡✳

❉❛♥( ❧❡ ♣❛1❛❣1❛♣❤❡ (✉✐✈❛♥"✱ ❧❡ ❢♦1♠❛❧✐(♠❡ ❞❡( ♠♦❞❡( ♠✐①"❡( ❡(" ✉"✐❧✐(9 ♣♦✉1 ❞✐(❝✉"❡1 (✉1 ✉♥ ♠♦❞*❧❡ (✐♠♣❧❡ ❞✬❛♠♣❧✐✜❝❛"❡✉1 ❞✐✛91❡♥"✐❡❧ ✐♠♣❧9♠❡♥"9 ❞❛♥( ❆❉❙✳

✶✳✻ ❊①❡♠♣❧❡ ❞✬❛♣♣❧✐❝❛.✐♦♥ ✿ ▲✬❛♠♣❧✐✜❝❛.❡✉5 ❞✐✛75❡♥.✐❡❧

▲❡ ♠♦♥"❛❣❡ ❧❡ ♣❧✉( (✐♠♣❧❡ ❞✬❛♠♣❧✐✜❝❛"❡✉1 ❞✐✛91❡♥"✐❡❧ ❡(" ❝❡❧✉✐ 1❡♣19(❡♥"9 (✉1 ❧❛ ✜❣✉1❡

✭❄❄✮✳ ■❧ ❡(" ❝♦♠♣♦(9 ❞❡ ❞❡✉① "1❛♥(✐("♦1( ❡♥ ♠♦♥"❛❣❡ (♦✉1❝❡ ❝♦♠♠✉♥❡ 1❡❧✐9( ♣❛1 ❧❡✉1(

(♦✉1❝❡( ❛✉ ♥♦❡✉❞ ❞❡ 1❡❝♦♠❜✐♥❛✐(♦♥ ✭❆✮ E ✉♥❡ (♦✉1❝❡ ❞❡ ❝♦✉1❛♥" ✐❞9❛❧❡ I 0 ✳ ❈❡" ❛♠♣❧✐✜✲

❝❛"❡✉1 ❛ 9"9 (✐♠✉❧9 ❛✈❡❝ ❧❡ ❧♦❣✐❝✐❡❧ ❞❡ ❝♦♥❝❡♣"✐♦♥ ❆❉❙ ❬❄❪✳ ▲❡( ✈❛❧❡✉1( ❞❡( 9❧9♠❡♥"( J✉✐

❝♦♥("✐"✉❡♥" ❧❡ ♠♦❞*❧❡ ♣❡"✐" (✐❣♥❛❧ ❞❡( "1❛♥(✐("♦1( (♦♥" ❝❡❧❧❡( 1❡♥❝♦♥"19❡( ❝❧❛((✐J✉❡♠❡♥"

❞❛♥( ❧❛ ❧✐""91❛"✉1❡✳ ▲✬♦❜❥❡❝"✐❢ ❞❡ ❝❡ "1❛✈❛✐❧ ❡(" ❞✬9"✉❞✐❡1 ❧❛ ♠❛"1✐❝❡ S mxt ❞❡ ❧✬❛♠♣❧✐✜❝❛"❡✉1

❞✐✛91❡♥"✐❡❧ ❞❡ "❡(" ♣♦✉1 ❞✐✛91❡♥"❡( ❝♦♥✜❣✉1❛"✐♦♥( ✭♣❛1❢❛✐"❡♠❡♥" (②♠9"1✐J✉❡ ❡" ♥♦♥ (②♠9✲

"1✐J✉❡✮✳

❉❛♥( ✉♥ ♣1❡♠✐❡1 "❡♠♣( ❧❡ ❝❛( (②♠9"1✐J✉❡ ❞❡ ❧❛ ("1✉❝"✉1❡ ❡(" 9"✉❞✐9✱ ♣✉✐( ❡♥ ❛❥♦✉"❛♥"

✈♦❧♦♥"❛✐1❡♠❡♥" ✉♥❡ ❞✐((②♠9"1✐❡ ❡♥ ❡♥"19❡ ❛✉ ♥✐✈❡❛✉ ❞❡ ❧❛ (❡❧❢ ❞✬❛❞❛♣"❛"✐♦♥ ✭▲✮✱ ✐❧ (❡1❛

♣♦((✐❜❧❡ ❞✬9"✉❞✐❡1 ❧❡( ❝❛1❛❝"91✐("✐J✉❡( ❞❡ ❧❛ ♠❛"1✐❝❡ ❙ ♠✐①"❡ ❛((♦❝✐9❡ ❛✉ ❝❛( ♥♦♥ (②♠9"1✐J✉❡✳

✶✳✻ ❊①❡♠♣❧❡ ❞✬❛♣♣❧✐❝❛.✐♦♥ ✿ ▲✬❛♠♣❧✐✜❝❛.❡✉5 ❞✐✛75❡♥.✐❡❧ ✶✺

C gs

R ds

gm.V gs

C gs

gm.V gs

R ds

V gs

V gs

V 1

V 4

V 3

R gs

R gs

S ¹

S 2

I 1 L

V 2

I 2

L G 1

G 2

D 1

D 2

I 3

I 4

❋✐❣✉$❡ ✶✳✹ ✕ ▼♦❞#❧❡ ❞✬❛♠♣❧✐✜❝❛-❡✉/ ❞✐✛1/❡♥-✐❡❧ ❞❡ -❡3-

❙✐ ❧✬♦♥ +,✉❞✐❡ ❧❡ 0❝❤+♠❛ +❧❡❝,5✐6✉❡ ❞❡ ❧✬❛♠♣❧✐✜❝❛,❡✉5 ❞✐✛+5❡♥,✐❡❧ ❞❡ ❧❛ ✜❣✉5❡ ❄❄✱ ✐❧ ❡0,

♣♦00✐❜❧❡ ❞❡ ❞+✜♥✐5 ❧❡0 5❡❧❛,✐♦♥0 ,❡♥0✐♦♥ −❝♦✉5❛♥, 0✉✐✈❛♥,❡0 ❡♥ 0✬❛✐❞❛♥, ❞❡ ❧❛ ❧♦✐ ❞❡0 ♠❛✐❧❧❡0

❡, ❞❡0 ♥♦❡✉❞0 ✿

V 1 − I 1 (R gs + j (Lw − 1

C gs w )) = − R ds ( jg m I 1

C gs w + I 3 ) + V 3

V 1 − I 1 (R gs + j (Lw − 1

C gs w )) = V 2 − I 2 (R gs + j(Lw − 1 C gs w ))

− R ds ( jg m I 1

C gs w + I 3 ) + V 3 = − R ds ( jg m I 2

C gs w + I 4 ) + V 4

I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = 0

❆ ♣❛5,✐5 ❞❡ ❝❡0 5❡❧❛,✐♦♥0 ♦♥ ♣❡✉, ❞+✜♥✐5 ❧❛ ♠❛,5✐❝❡ ❨ ❞✉ 0②0,B♠❡ ✿

✶✻ ❞✐❢❢5&❡♥%✐❡❧1

Y =

¹2





































2

R

gs

+

_jCgsw¹

− ^R

^ds

⁽

gm jCgsw

+1)

(R

gs

+

_jCgsw¹

)[R

gs

+

_jCgsw¹

+R

ds

(1+

_jCgsw^gm

)] A A

− ^R

^ds

⁽

gm jCgsw

+1)

(R

gs

+

_jCgsw¹

)[R

gs

+

_jCgsw¹

+R

ds

(1+

_jCgsw^gm

)]

2

(R

gs

+

_jCgsw¹

) A A

(1+

_jCgsw^gm

)(R

gs

+

_jCgsw¹

+R

ds gm jCgsw

)

(R

gs

+

_jCgsw¹

)[R

gs

+

_jCgsw¹

+R

ds

(1+

_jCgsw^gm

)] − ^(R

^gs

⁺

1

jCgsw

)(1+

_jCgsw^gm

)+(

^gmRds_jCgsw

)(1+

_jCgsw^gm

) (R

gs

+

_jCgsw¹

)[R

gs

+

_jCgsw¹

+R

ds

(1+

_jCgsw^gm

)]

2 R

ds

B

(1+

_jCgsw^gm

)(R

gs

+

_jCgsw¹

+R

ds gm jCgsw

) (R

gs

+

¹

jCgsw

)[R

gs

+

¹

jCgsw

+R

ds

(1+

^gm

jCgsw

)] − ^(R

^gs

⁺

1

jCgsw

)(1+

_jCgsw^gm

)+(

^gmRds_jCgsw

)(1+

_jCgsw^gm

) (R

gs

+

¹

jCgsw

)[R

gs

+

¹

jCgsw

+R

ds

(1+

^gm

jCgsw

)] B _R ²

ds





































❛✈❡❝✱

A = − 1

R gs + _jC ¹

gs

w + R ds (1 + _jC ^gm

gs

w )

❡'

B = − R gs + _jC ¹

gs

w + R ds gm jC

gs

w

R ds (R gs + _jC ¹

gs

w + R ds (1 + _jC ^gm

gs

w ))

❆ ♣❛*'✐* ❞❡ ❝❡''❡ ♠❛'*✐❝❡ ❬❨❪ ♦♥ ♣❡✉' ❞4❞✉✐*❡ ❧❛ ♠❛'*✐❝❡ ❬❙❪ 7'❛♥❞❛*❞ ❞✉ ❞✐7♣♦7✐'✐❢ ❡♥

❛♣♣❧✐9✉❛♥' ❧❡ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥' ❞❡ ❜❛7❡ 7✉✐✈❛♥' ❬❄❪ ✿

[S] = p

[Z ₀ ]. { [Y ₀ ] − [Y ] } . { [Y ₀ ] + [Y ] } ^{− 1} . p

[Y ₀ ] ✭✶✳✹✼✮

❛✈❡❝ ❬■❪ ❧❛ ♠❛'*✐❝❡ ✐❞❡♥'✐'4✱ [Z 0 ] ❡' [Y 0 ] 7♦♥' ❧❡7 ♠❛'*✐❝❡7 ❞✬✐♠♣4❞❛♥❝❡ ❡' ❞✬❛❞♠✐''❛♥❝❡

❞❡ ♥♦*♠❛❧✐7❛'✐♦♥ ❞❡7 ❛❝❝E7 ❞4✜♥✐❡7 ❝♦♠♠❡ 7✉✐' ✿

Z 0 =

















Z 0 0 0 0 Z 0 0 0 0 Z 0 0 0 0 Z

















✭✶✳✹✽✮ Y 0 =

















1/Z 0 0 0

0 1/Z 0 0

0 0 1/Z 0

0 0 0 1/Z

















✭✶✳✹✾✮

▲❛ *❡❧❛'✐♦♥ ✭❄❄✮ ♣❡*♠❡' ❞✬♦❜'❡♥✐* ❧❛ ♠❛'*✐❝❡ ❙✳ J✉✐7✱ ❡♥ ❧✉✐ ❛♣♣❧✐9✉❛♥' ❧❡ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥'

❞❡ ❜❛7❡ ✭❄❄✮✱ ♦♥ ❛❜♦✉'✐' K ❧❛ ♠❛'*✐❝❡ ❙ ♠✐①'❡ ❞✉ ❞✐7♣♦7✐'✐❢ ❞❡ '❡7' ✿

S mxt =



















1 − jC

gs

w(Z

⁰

− R

gs

)

1+jC

gs

w(Z

⁰

+R

gs

) 0 0 0

− ^2R

^ds

^Z

⁰

^(R

^gs

⁺

1 jCgsw

)

Z

0

(R

ds

+R

gs

+

_Cgsw¹

+Z

⁰

)+R

ds

(R

gs

+

_Cgsw¹

)

R

ds

− Z

0

R

ds

+Z

0

0 0

0 0 C D

0 0 D C



















✶✳✻ ❊①❡♠♣❧❡ ❞✬❛♣♣❧✐❝❛.✐♦♥ ✿ ▲✬❛♠♣❧✐✜❝❛.❡✉5 ❞✐✛75❡♥.✐❡❧ ✶✼

❛✈❡❝✱

C = 1 − R ds C _gs ² w ² + jC gs w(R gs + R ds g m ) 1 − R ds C _gs ² w ² + jC gs w(R gs + R ds g m + 2Z 0 )

❡'

D = 2Z 0

2Z 0 + R gs + _jC ¹

_gs

_w + R ds (1 + _jC ^gm

_gs

_w )

❈❡''❡ ♠❛'*✐❝❡ ♣❡*♠❡' ❞✬/✈❛❧✉❡* ❧❡2 ♣❡*❢♦*♠❛♥❝❡2 ❡♥ ♠♦❞❡2 ♠✐①'❡2 ❞❡ ❧✬❛♠♣❧✐✜❝❛'❡✉*

❞✐✛/*❡♥'✐❡❧✳ ❖♥ ♥♦'❡ ;✉❡ ❧❡2 '❡*♠❡2 ❞❡2 ❝❛❞*❛♥2 ❞❡ ❝♦♥✈❡*2✐♦♥ ❞❡ ♠♦❞❡ 2♦♥' ♥✉❧2✳ ❊♥ ♣❧✉2✱

❧❡ ❝❛❞*❛♥ ❞✉ ♠♦❞❡ ❞✐✛/*❡♥'✐❡❧ ♣✉* ♣*/2❡♥'❡ ✉♥ ❢♦♥❝'✐♦♥♥❡♠❡♥' ✉♥✐❧❛'/*❛❧ ✭ S _dd12 = 0 ✮ ❛❧♦*2

;✉❡ ❝❡❧✉✐ ❞✉ ♠♦❞❡ ❝♦♠♠✉♥ ♥❡ ❧✬❡2' ♣❛2✳ ▲✬❡①♣❧✐❝❛'✐♦♥ 2❡ 2✐'✉❡ ❛✉ ♥✐✈❡❛✉ ❞❡ ❧✬❛*❝❤✐'❡❝'✉*❡

♣❛*'✐❝✉❧✐A*❡ ❞❡2 2②2'A♠❡2 ❞✐✛/*❡♥'✐❡❧2✳ ❊♥ ❡✛❡'✱ ❞❛♥2 ❝❡ '②♣❡ ❞❡ ❝✐*❝✉✐' ❧❡2 '*❛♥2✐2'♦*2 ❞❡

❧❛ ♣❛✐*❡ ❞✐✛/*❡♥'✐❡❧❧❡ 2♦♥' *❡❧✐/2 ♣❛* ❧❡✉*2 2♦✉*❝❡2 ✭/♠❡''❡✉*2✱ ♣♦✉* ❧❡ ❝❛2 ❞❡2 '*❛♥2✐2'♦*2

❜✐♣♦❧❛✐*❡2✮ D ✉♥❡ 2♦✉*❝❡ ❞❡ ❝♦✉*❛♥' ❡' ♥♦♥ ❛✉ ♣♦'❡♥'✐❡❧ 0 ❝♦♠♠❡ ❞❛♥2 ❧❡2 ❛*❝❤✐'❡❝'✉*❡2

❝❧❛22✐;✉❡2✳ E❛* ❝♦♥2/;✉❡♥'✱ ❧❡ 2②2'A♠❡ ❣❧♦❜❛❧ ♥❡ ♣❡✉' ♣❛2 G'*❡ *❡♣*/2❡♥'/ ♣❛* ❧❛ 2✐♠♣❧❡

♠✐2❡ ❡♥ ♣❛*❛❧❧A❧❡ ❞❡ ❞❡✉① '*❛♥2✐2'♦*2✳

❊♥ ❝♦♥2✐❞/*❛♥' ❧❡2 ✈❛❧❡✉*2 ♥✉♠/*✐;✉❡2 2✉✐✈❛♥'❡2 ✿

R gs = 10 Ω✱ C gs = 0.24 ♣❋✱ R ds = 256.4 Ω✱ gm = 16 ♠❙ Z 0 = 50 Ω✳

▲❛ ✈❛❧❡✉* ❞❡2 ✐♥❞✉❝'❛♥❝❡2 2/*✐❡ ❡♥ ❡♥'*/❡ ❡2' ❝❛❧❝✉❧/❡ ♣♦✉* ✉♥❡ ❢*/;✉❡♥❝❡ ❞❡ '*❛✈❛✐❧

f 0 = 5 ●❍③ 2♦✐' ✿

L = 1

C gs w ₀ ² = 4.2 nH

■❧ ❡2' ♣♦22✐❜❧❡ ❞✬/✈❛❧✉❡* ♥✉♠/*✐;✉❡♠❡♥' ❧❛ ♠❛'*✐❝❡ S mxt ❞❡ ❧✬❛♠♣❧✐✜❝❛'❡✉* 2✉* ❆❉❙✳