Miroir de télescope

MIROIR DE TÉLESCOPE. MIROIR SPHÉRIQUE 1)Soient M(x,y) un point de la parabole et N(x, - f) son projeté orthogonal sur (D).

MF=MN 



^{x2f−y2 =fy ; x2= fy2−f−y2=4 y f.}

Equation de la parabole : y= x² 4f .

2) L'angle d'incidence i au point Ix_I, y_I, est aussi l'angle entre la tangente à la parabole et l'axe Ox.

tan i=



^dydx



I

= x_I 2 f.

Le rayon réfléchi, symétrique de l'incident par rapport à la normale, fait un angle α avec Ox tel queα= π 22i.

Equation du rayon réfléchi: y−y_I

x−x_I=tan



^π22i



^{= −tan 2 i1 avec yI= 4fxI2.}

Ce rayon coupe l'axe Oy au point Px_P=0, y_P tel que y_P−y_I

−x_I = − 1 tan 2i. y_P=y_I x_I

tan 2 i avec tan 2 i= 2tan i

1−tan²i = 4f x_I

4f²−x_I² ⇒ y_P=y_I4 f²−x_I² 4 f =f.

Le point P est donc confondu avec le foyer F de la parabole pour tout rayon incident parallèle à l'axe.

3)HIF=HIIF=HIIN=fy_Σ est indépendant du point H choisi sur Σ.

Les surfaces d'onde réfléchies sont normales aux rayon réfléchis: ce sont des sphères de centre F.

4) L'équation du cercle de rayon R centré en (0, R) s'écrit x²y−R²=R² ou x²y²−2 yR=0, xr.

5) Pour x = r, l'ordonnée du point sur le miroir:

∣

parabolique: y_P= r² 4 f = r²

2 R sphérique: y_S=R−



^R2−r2

e=y_S−y_P=R−



^R2−r2−_2R^{r2 =R}



¹⁻



¹⁻

^

^Rr

^

²⁻¹²

^

^Rr

^

²

^

^avec

^

^Rr

^

^{2=ε= 4001 =2,5 10−3≪1.}



1−ε



1

2≈1−ε 2−ε²

8 ⇒ e≈R



¹⁻



^{1−ε2−ε82}



^−2ε



^{=Rε82= R8}

^

^Rr

^

^{4=1280 000R .}

R =10 m : e= 1

128000m=7,81 µm ; R=1 m : e=0,781 µm.

6)Il faut e 0,6

4 µm=0,15 µm ⇒ R

8



^Rr



^{40,15 10−6 soit Rr }

^

^{1,2 10−6R}

^

^{14 =0,0331 m.}

Si R=1 m, r3,31 cm.

7)CF '=IF' car le triangle CIF' est isocèle.

CF'cos i=R

2 =f avec sin i= IH CI = r

R. CF'= f

cos i et FF '=CF'−CF=f



^{cos i1 −1}



^=f

 _

¹⁻¹

^

^Rr

^

²⁻¹



^.



^Rr



^{2= 4001 ≪1 ⇒ FF '≈f}



^112

^

^Rr

^

²⁻¹



^=12f

^

^Rr

^

^{2=800f .}

Si R =10 m , f =5 m donc FF '=5

8 cm=6,25 mm. Si R=1 m, FF '=0,625 mm.

Soit FB le rayon de l'image dans le plan focal:

FB=FF ' tan 2 i≈FF ' 2i avec i≈ r R. FB=1

2f



R^r



^2×2



R^r



^=f



R^r



³⁼ 8000^f ⇒ R=10 m FB=0,625 mm inacceptable R=1 m FB=0,0625 mm acceptable?

y

x

F (D) M N

O

i

x

O P

I i y

F F' B

2i x

y O

I

C F F' H

i r

ii