Semaine 13 du 4 au 8 janvier 2012

(1)

Colle MP

∗

^: semaine 13 du 9 au 13 janvier 2012 Algèbre

4 Espae eulidien et hermitien

4.1 Espae préhilbertien réel

4.1.1 Définition d'une forme bilinéaire symétrique et de sa forme quadratique assoiée. Identité de

polarisation. Forme quadratique poǑsitive, inégalité de Cauhy-Shwarz. Matrie d'une forme bi-

linéaire symétrique.

4.1.2 Rappel de la définition du produit salaire, extension au a de espae vetoriel de dimen-

sion quelonque (espae préhilbertien réel).

4.1.3 Définition de famille orthogonale de veteur, de famille orthonormale. Relation de Pytha-

gore, somme direte orthogonale.

4.2 Espae eulidien

4.2.1 Rappel sur le espae eulidien, isomorphisme anonique entre

E

^et ^son ^dual

E ^∗

^. ^Expre-

sion de la trae dan une base orthonormale.

4.2.2 ProǑjetion orthogonalesur

F

sou-espae vetoriel de dimension finie d'un espae préhilbertien

E

^. Ôⁿ â âlor

F ⊕ F ^⊥ = E

^. Distane à

F

^, inégalité de Bessel.

Révision du our de math sup, analyse et géométrie différentielle

5 Fontion de deux variable réelle

5.1 Espae

R ²

^, fontion ontinue

5.1.1 Définition, rappel de proǑpriété de fontion ontinue (permet de faire le point sur le

notion de ontinuité vue en math sup en liaison ave e qui a été vu d'une manière plu

théorique au début de lannée dan le our sur le e.v.n.).

5.1.2 Limite et ontinuité de fontion à valeur dan

R ²

^: ^idem.

5.2 Calul différentiel

5.2.1 Dérivée selon un veteur, dérivée partielle, différentielle, gradient. Dérivée du ompoǑsé de 2

fontion, appliationaux dérivée partielle d'appliation ompoǑsée. Reherhe de extrema

loaux d'une fontion. Courbe définie impliitement (théorème de fontion impliite

HP

^).

5.2.2 Dérivée partielle d'ordre 2. Fontion de lasse

C ²

^, théorème de Shwarz. Exemple de équa-

tion de Laplae, équation de diffusion, équation de onde.

5.3 Calul intégral

5.3.1 Définition rapide de lintégrale d'une fontion ontinue sur un pavé pui extension au a

d'ensemble plu généraux (défini par

A = {(x, y) | a 6 x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x)}

^).

5.3.2 ProǑpriété de lintégrale double. Théorème de Fubini, théorème de hangement de variable pour

une transformation affine, passage en oordonnée polaire.

Prévision semaine 14 : Rédution de endomorphisme symétrique, révision de première année sur la

Semaine 13 du 4 au 8 janvier 2012

∗

E

E ^∗

F

E

F ⊕ F ^⊥ = E

F

R ²

R ²

HP

C ²

A = {(x, y) | a 6 x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x)}

* * * * * *

∗ MEILLEURS VOEUX ∗

∗ POUR L’AN 2012 ∗

* * * * * *

Semaine 13 du 4 au 8 janvier 2012

∗

E

E ∗

F

E

F ⊕ F ⊥ = E

F

R 2

R 2

HP

C 2

A = {(x, y) | a 6 x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x)}

* * * * * *

∗ MEILLEURS VOEUX ∗

∗ POUR L’AN 2012 ∗

* * * * * *

E ^∗

F ⊕ F ^⊥ = E

R ²

R ²

C ²