Physiks & Chimie

(1)

Terminale S2 D.S. n°3 – Correction Page 1 sur 2

Exercice : Datation des séismes en Californie d’après bac Nouvelle Calédonie 11/2005 (20 points) 1. Radioactivité naturelle du carbone

1.1. Le noyau de carbone 12 ^_C contient 6 protons et 6 (12 – 6) neutrons (0,5).

Le noyau de carbone 14 ^_C contient 6 protons et 8 (14 – 6) neutrons (0,5).

1.2. Les noyaux de carbone 12 et 14 sont effectivement des isotopes car ils possèdent même nombre de protons (6) et des nombres de neutrons (donc de nucléons) différents (1).

1.3. ^_C ^_X + _^e. D’après les lois de conservation du nombre de nucléons A et du nombre de charge Z de Soddy, il vient : 14 = A + 0 donc A = 14 et 6 = Z – 1, donc Z = 6 + 1 = 7. Par conséquent le noyau fils formé au cours de la désintégration ^– du carbone 14 est un noyau d’azote : ^_C ^_N + _^e (1).

1.4. Par définition, l’énergie de liaison représente l’énergie associée au défaut de masse m du noyau de carbone 14.

E_l(¹⁴C) = m.c² = (mparticules isolées – mnoyau).c² =

(

^Z.m^p  A – Z.mn – m^_C

)

.c². El(¹⁴C) =

(

^.m^p^{ .m}ⁿ^{– m}^C

)

.c².

A.N. : E_l(¹⁴C) = (61,672 621.10^–27 + 81,674927.10^–27 – 2,32584.10^–26)(2,998.10⁸)² = 1,589.10^–11 J (1,5).

1.5. L’énergie de liaison par nucléon du carbone 14 est E^l

A = ,.^–

 = 1,135.10^–12 J.nucléon^–1 (1).

L’énoncé indique que la charge élémentaire e est égale à 1,60210^–19 C. Or l’électron-volt représente l’énergie acquise par un électron soumis à une différence de potentiel de 1 V. Par conséquent, 1 eV = 1,60210^–19 J et par suite 1 MeV = 1,60210^–13 J.

Ainsi l’énergie de liaison par nucléon est ,^–

,^– = 7,085 MeV.nucléon^–1 (1).

1.6. L’énergie de liaison du noyau de carbone 12 liée au défaut de masse par la relation : E_l(¹²C) = m(¹²C).c². Ainsi :

m(¹²C) = E_l^C

c^ . A.N. : m(¹²C) = ,.^–

,.^^ = 1,642.10^–28 kg (1).

1.7. L’énergie de liaison par nucléon du noyau de carbone 12 est E^l

A = 1,476.10^–11

12 = 1,230.10^–12 J.nucléon^–1 (soit 7,678 MeV.nucléon^–1. Elle est plus élevée que celle du carbone 14 : le noyau de carbone 12 est plus stable que celui de carbone 14 (1).

1.8. L’énergie échangée au cours de la réaction écrite à la question 1.3. est : E = m.c² où m représente la variation de masse subie par le système au cours de la réaction : E =

(

^m^N  m_^e – m^_C

)

.c².

A.N. : E = (2,32527.10^–26 + 9,109381.10^–31 – 2,32584.10^–26)(2,998.10⁸)² = – 4,3.10^–13 J.

L’énergie libérée est donc de 4,3.10^–13 J au cours de cette réaction nucléaire (1,5).

Note pour les chiffres significatifs : au cours d’une addition ou d’une soustraction, on conserve autant de décimales que le nombre qui en a le moins. Il faut donc exprimer les masses avec la même puissance de 10 pour se rendre compte de ceci : 23252,7.10^–30 – 23258,4.10^–30 + 0,9109381.10^–30 = – 4,7890619.10^–30 kg. Il convient de ne conserver qu’une décimale, donc nous conservons au final deux chiffres significatifs (4,304.10^–13 J accepté).

2. Datation par le carbone ¹⁴C

2.1. La loi de décroissance radioactive est N(t) = N0.e^–.t (1).

2.2. 2.2.1. Le temps de demi-vie t1/2 est la durée nécessaire pour que le nombre de noyaux radioactifs initialement présents soit divisé par 2 (1).

2.2.2. Considérons un nombre initial de noyaux radioactifs égale à N0. Au bout d’une demi-vie t1/2 ce nombre de noyaux est divisé par 2, ainsi d’après la loi de décroissance radioactive : N(t1/2) = N

 = N0.e^–^.t1/2. Par conséquent, après simplification par N0 : e^–^.t1/2 = 

. Ainsi : ln

(

^e^–.t^/

)

^{= ln}_^¹₂_^^soit

–.t1/2 = ln



 1

2 = – ln 2 et donc t1/2 = ln 

 (1,5).

2.2.3. D’après l’expression démontrée en 2.2.2. :  = ln  t/

. A.N. :  = ln 

,.^ = 1,22.10^–4 an^–1(1) Dans l’unité SI  s’exprime en s^–1. Ainsi  = 1,22.10^–4

365243600 = 3,86.10^–12 s^–1 (depuis  non arrondi) (1) En effet 1 an^–1 = (1 an)^–1 = (365243600 s)^–1 ! On peut aussi convertir 5,70.10³ ans en seconde !

(2)

Terminale S2 D.S. n°3 – Correction Page 2 sur 2

2.3. 2.3.1. L’activité d’un échantillon radioactif représente le nombre moyen de désintégrations qu’il subit par unité de temps. Si l’unité de temps est la seconde, alors l’activité s’exprime dans le système internationale en becquerel (Bq) (1,5).

2.3.2. L’expression A(t) = .N(t) devient pour t = 0 : A(0) = A0 = .N(0) = .N0. Ainsi on peut écrite que At

A = .Nt

.N = Nt

N = e^–.t, d’après la loi de décroissance écrit en 2.1. (1).

3. La faille de San Andreas

3.1. D’après la loi de décroissance radioactive : A(t3) = A0.e^–^.t3. Ainsi : At_

A_ = e^–.t3. Ainsi : ln



 At_

A_ = ln

(

^e^–.t^

)

^.

Par suite : –.t3 = ln



 At

A

, puis t3 = – 

.ln



 At

A

et finalement : t3 = 

.ln



 A

At_ = t

ln .ln



 A

At_ (1).

La durée t3 qui s’est écoulée est t3 = 1

1,22.10^–4.ln(0,255

0,223) = 1103 années (1,10.10³ années). (0,5).

Le séisme a donc eu lieu en l’an 1989 – 1103 = 886 (1,989.10³ – 1,10.10³ = 0,89.10³ soit 8,9.10²) (0,5).

3.2. L’échantillon 1 a l’activité la plus élevée, c’est l’échantillon le plus récent : il correspond à un séisme survenu en 1247 ! L’échantillon 2 a l’activité la plus faible, il s’agit donc de l’échantillon le plus ancien (an 586). (1).