Physiks & Chimie

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Terminale S Physique – Partie C – Chapitre 7 : Le dipôle RL Page 1 sur 4

A L r B

A (L,r)

B ou

1. La bobine

1.1. Description et symbole

Une bobine réelle peut être assimilée à l’association en série d’une bobine idéale et d’un conducteur ohmique de résistance r.

1.2. Retard à l’allumage

Considérons le montage schématisé ci-contre. On règle le rhéostat pour que sa résistance soit égale à la résistance interne r de la bobine.

Lorsque l’on ferme l’interrupteur K, la lampe L2 brille instantanément : le courant i2 s’établit instantanément.

En revanche la lampe L1 ne brille comme L2 qu’après quelques instants : le courant i1 s’établit progressivement (l’origine du phénomène est magnétique) : une bobine retarde l’établissement du courant.

Une bobine s’oppose aux variations de l’intensité du courant qui la traverse.

1.3. Tension aux bornes d’une bobine

On remarque expérimentalement en traçant la tension uL aux bornes d’une bobine considérée comme idéale (de résistance interne négligeable) que la tension à ses bornes est proportionnelle aux variations temporelles de l’intensité, c’est-à-dire à la dérivée de l’intensité par rapport au temps : di

dt.

Le coefficient de proportionnalité, noté L, est caractéristique de la bobine (forme, nombre de spires, diamètre, etc.).

L est appelé inductance de la bobine et s’exprime en henry (H).

Lorsque la bobine possède une résistance r ne pouvant pas être négligée :

La tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance r est ur = r.i d’après la loi d’Ohm ;

la tension aux bornes de l’inductance idéale L est uL = L.di dt ;

la tension aux bornes de la bobine « réelle » est égale à la tension aux bornes de l’association en série de r et L : uAB = ur + uL

Pour une bobine réelle : uAB = r.i + L.di dt

uAB(t) : tension aux bornes de la bobine réelle en volt (V) r : résistance de la bobine en ohm ()

i : intensité qui traverse la bobine en ampère (A) L : inductance de la bobine en henry (H) di

dt : variation instantanée de l’intensité (A.s^–1) Rem. 1 : en courant continu, di

dt = 0 et donc uL = 0 : la bobine se comporte en régime permanent, comme un conducteur ohmique de résistance r.

Rem. 2 : Dans la manipulation du paragraphe 1.2., à la fermeture de l’interrupteur la variation de i est très rapide, donc di

dt est grand ; en conséquence la tension aux bornes de la bobine est grande. Ainsi, la tension aux bornes de la lampe L1 est faible et ne permet pas, au départ, à la lampe de briller.

A (L,r) i B

uAB

A r L B

uAB

ur = r.i uL = L.di dt

Pour une bobine idéale : uL = L.di dt 

uL : tension aux bornes de la bobine idéale en volt (V) L : inductance de la bobine en henry (H)

di

dt : variation instantanée de l’intensité (A.s^–1) Une bobine est constituée d’un enroulement de fil de cuivre autour d’un

cylindre. L’utilisation d’un noyau de fer doux permet d’en augmenter les effets.

Chapitre 7 : Le dipôle RL

Bobine « réelle » de résistance non négligeable

E

L2

i

L1

K i1 i2

(L,r) R

uL (V)

di

dt (A.s^–1)

A L B

Bobine « idéale » (résistance nulle)

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2. Le dipôle ^RL

2.1. Réponse d’un circuit ^RL à un échelon montant de tension

2.1.1. Montage expérimental

On envisage un dipôle RL, c’est-à-dire l’association série d’un conducteur ohmique de résistance R (Réq) et d’une bobine idéale d’inductance L.

2.1.2. Étude théorique

D’après la loi d’additivité des tensions E = ur’ + uAB. Ainsi E = r’.i + r.i + L.di

dt. On pose R = r + r’ (ou Réq). Ainsi : E = R.i + L.di dt Par conséquent l’intensité du courant dans un circuit RL satisfait à l’équation : di

dt + R L.i = E

L

Mathématiquement, on montre qu’une solution de cette équation différentielle est de la forme : i(t) = A.e⁻^τ^t + B Déterminons les expressions des constantes A, B et  :

 Utilisation de la condition initiale : i(0) = 0 = A.e⁰ + B = A + B = 0, donc A = –B.

 Utilisation de l’équation différentielle : o Calcul de di

dt = – A

.e⁻^τ^t o Remplacement de di

dt dans l’équation différentielle : – A

.e⁻^τ^t + R

L.(A.e⁻^τ^t + B) = E L A.(– 

 + R

L).e⁻^τ^t + R L.B = E

L.

Cette expression doit être vérifiée quelque soit t donc – 

 + R

L = 0   = L

R ou  = L Réq

Et par conséquent ^R L.B = E

L, donc B = E

R. Ainsi A = – E R. Ainsi l’expression de l’intensité i(t) est : i(t) = E

R.(1 – 𝐞⁻^𝐭^𝛕) ou i(t) = IP.(1 – 𝐞⁻^𝛕^𝐭) Rem. : i_P = ^E

R est l’intensité en régime permanent.

2.1.3. La constante de temps

Détermination graphique de la constante de temps  :

1^ère méthode : la tangente à la courbe à t = 0, coupe l’asymptote iP = E

R au point d’abscisse .

2^ère méthode : Pour t = , i = (1 – 1

e).iP = 0,63.iP

On considère que le régime permanent est atteint si l’intensité du courant i est égale à 99 % de l’intensité iP en régime permanent. Cette situation est vérifiée pour t > 5.

Rem. : Pour augmenter la constante de temps , on peut utiliser une bobine d’inductance plus élevée puisque  est proportionnelle à L ou un conducteur ohmique de résistance plus faible car  est inversement proportionnelle à R.

N.B. :  est une constante de temps : [] = [L]

[R] = [U] .[t].[I]

[I] .[V] = [t] = T (s). En effet [L] = [U]

[I]/[t] et [R] = [U]

[I]

2.2. Ouverture du circuit : coupure du courant

2.2.1. Montage expérimental

On envisage à nouveau un dipôle RL (R = r + r’). En dérivation une diode (de « roue libre ») empêche le courant de passer lorsque l’interrupteur K est fermé. On ouvre l’interrupteur K et l’on étudie l’évolution des grandeurs électriques dans ce circuit.

Établissons l’expression de l’intensité i(t) qui traverse la bobine sachant que la tension aux bornes de la diode est alors nulle.

E

u_AB r’

ur’

i

A (L,r)

B

0 t (s)

E R

    

0,63.E R

Régime transitoire

Régime permanent

i (A)

tangente à l’origine

i = E

R.(1 – e⁻^t^τ)

E

u_AB r’

Ur’

i

A (L,r)

B

K

Si l’on note la résistance externe R (et non r’) et interne r alors  = L

R r et i(t) = ^E

R  r.(1 – e⁻^τ^t)

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2.2.2. Étude théorique

D’après la loi d’additivité des tensions udiode = 0 = ur’ + uAB. Ainsi 0 = r’.i + r.i + L.di

dt. On pose R = r + r’. Par conséquent : 0 = R.i + L.di dt

L’expression de l’intensité : i(t) = A.e⁻^τ^t + B est solution de cette équation différentielle. Déterminons A, B et .

 Utilisation de la condition initiale : i(0) = A.e⁰ + B = E

R  A + B = E R .

 Utilisation de l’équation différentielle : o Calcul de di

dt = – A

.e⁻^τ^t o Remplacement de di

dt dans l’équa diff. : R.(A.e⁻^τ^t + B) – L.A

.e⁻^t^τ = 0  A.(R – L

t).e⁻^τ^t + R.B = 0 Cette expression doit être vérifiée quelque soit t donc R – L

 = 0   = L R

Cette expression doit être vérifiée quelque soit R donc R.B = 0  B = 0 et donc A = E R Par conséquent l’expression de l’intensité i(t) est : i(t) = E

R.𝐞⁻^𝐭^𝛕

3. Énergie emmagasinée par une bobine

3.1. Puissance électrique reçue

La puissance électrique reçue par la bobine est : Pe(t) = uAB(t)i(t). Or uAB = r.i(t) + L.di(t)

dt donc Pe(t) = r.i(t)² + L.i(t).di(t)

dt = r.i(t)² + d(1

2.L.i(t)²) dt .

Le premier terme r.i(t)² représente la puissance instantanée dissipée par effet joule dans la résistance interne de la bobine.

Pour une bobine idéale ce terme est nul. Intéressons-nous au second terme :

3.2. Énergie emmagasinée par la bobine

Le second terme représente la dérivée d’une énergie par rapport au temps. Cette énergie est emmagasinée par la bobine : il s’agit d’une énergie d’origine magnétique : ^magn = 1

2.L.i(t)²

Lorsque l’intensité i(t) décroit la bobine restitue cette énergie : une bobine ne peut pas stocker de l’énergie contrairement à un condensateur.

Rem. : L’énergie électrique stockée par un condensateur est liée à une dissymétrie de densité de charges (existence d’une différence de potentiel). Quand les charges ne se déplacent pas, la différence de potentiel peut persister : l’énergie électrique est stockée pour le condensateur.

L’énergie magnétique emmagasinée par une bobine est liée à un déplacement de charges (courant électrique). Si les charges ne se déplacent pas l’intensité du courant est nulle et l’énergie magnétique relative à la bobine est nulle (_magn = 1

2.L.0² = 0 !).

L’énergie (magnétique ici) est une grandeur continue car son transfert ne peut s’effectuer qu’à vitesse finie ; en conséquence, il y a continuité de l’intensité dans un circuit qui contient une bobine.

Rem. : Pour une bobine il y a continuité de l’intensité, mais discontinuité de la tension uL = L.di dt (c’est donc le contraire du condensateur) !

Rem. : L’énergie magnétique emmagasinée pour un courant i donné est proportionnelle à l’inductance L : si L augmente le temps nécessaire pour emmagasiner de l’énergie magnétique augmente, donc  augmente.

L’énergie magnétique emmagasinée par une bobine est : ^magn = 1

2.L.i(t)². Cette énergie est proportionnelle au carré de l’intensité du courant qui traverse la bobine et à l’inductance L de la bobine.

0 t (s)

E R

    

0,37.E R

Régime transitoire Régime permanent

i = E R.e⁻^τ^t i (A)

tangente à l’origine

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ANNEXE HORS PROGRAMME

Démonstration de l’expression de i(t) depuis l’équation différentielle lors de la réponse d’un dipôle RL à un échelon montant de tension : di

dt + R L.i = E

L

La solution correspond à la somme d’une solution générale et d’une solution particulière (correspondant au régime permanent) : i(t) = ig + iP

Solution particulière : iP = E

R (solution correspondant au régime Permanent, c’est-à-dire au régime atteint si di dt = 0) Sol. générale de l’équation di

dt + R

L.i = 0 : di i = – R

L.dt  d(Ln i) = d(– R

L.t + K)  ig = A.e⁻^t^τ avec A = e^K et  = L R En effet di

i est la forme différentielle de Ln i (d(Ln i) = di i)

Solution de l’équation différentielle : i(t) = i_P + i_g = A.e⁻^τ^t + iP = A.e⁻^τ^t + E R. Condition initiale : à t0 = 0 ; i = 0 A donc 0 = A + E

R  A = – E

R ainsi la solution de l’équation est : i(t) = E

R.(1 – e⁻^t^τ)

Démonstration de l’expression de i(t) depuis l’équation différentielle lors de la réponse d’un dipôle RL à un échelon descendant de tension : di

dt + R L.i = 0 Solution de l’équation di

dt + R

L.i = 0 : di i = – R

L.dt  d(Ln i) = d(– R

L.t + K)  i = A. e⁻^t^τ avec A = e^K et  = L R Condition initiale : à t0 = 0 ; i = E

R donc A = E

R ainsi la solution de l’équation est : i(t) = E R.e⁻^τ^t.

http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/phy_chi/Menu/Activites_pedagogiques/livre_TS/

http://perso.orange.fr/gilbert.gastebois/java/rlc/rlclib/rlc.html (Cliquer sur RL et t fixe pour voir l’influence de R et L sur la constante de temps ) http://perso.orange.fr/jf.noblet/bobine/index.htm

http://cpge.pissarro.free.fr/VideosPhysique/EnergieBobine.html

Physiks & Chimie

1. La bobine

1.1. Description et symbole

1.2. Retard à l’allumage

1.3. Tension aux bornes d’une bobine

Chapitre 7 : Le dipôle RL

2. Le dipôle RL

2.1. Réponse d’un circuit RL à un échelon montant de tension

2.1.1. Montage expérimental

2.1.2. Étude théorique

2.1.3. La constante de temps

2.2. Ouverture du circuit : coupure du courant

2.2.1. Montage expérimental

2.2.2. Étude théorique

3. Énergie emmagasinée par une bobine

3.1. Puissance électrique reçue

3.2. Énergie emmagasinée par la bobine

2. Le dipôle ^RL

2.1. Réponse d’un circuit ^RL à un échelon montant de tension