A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.
É
MILEP
ICARDL’œuvre scientifique de Charles Hermite
Annales scientifiques de l’É.N.S. 3e série, tome 18 (1901), p. 9-34
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A N N A L E S
SCIENTIFIQUES
DE
L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE,
,I/(ElîVRE SCiENTIPIQUE 'DE
PAU M.. EMILE PICABD,
M K M t^ Ït 15 î> K î/ A ( ; A 1> KM 1 l-î î» Ï-î B H t; ï Î.5 N C ï-3 B.
VOUH gîivcz^ M^SHÎOÎÎÎ'S^ lu p(*rt(* irrjii[nen8(i qu'à f a i t e la Scimice f r a n - çaise lt* i 4 J a n v i H r iiernier. La îîiiori de ML Hi'rmit^ touche pîirliciiliere- mwi l ' U r i t i v e r K i t é <le Pîu^, ou r i l l u s i r e ^éornhtï'e a occupé de 1.869 à îBq7 lî:i cliîlirc* d ' A n a l y s e Hupériciw*. Il n'a pa.s v o u l u qu'on p r î t la paroh Hur ^a ( o n i i x » ; nous u'îivou^ doue pas pu ( î u t e n d r e les voix au"
torisé(îs ijul a u r a i c u t dit w ( j u ^ î l u i doivoul: la Science el l'Enseigne- xneiit* Ceif.,(1 gnimb vi^ ^ ( n e u i i J K l u e d e m a u d i î r a dc^ études approfondies, q u i se p r é j i a r e u l certairKîrucut de difl^rcrils côtéB. A. dctaut d'une telle élude, q u ' i l rue Boit. pernm a u j o u r d ' h u i , en r e p r e n a n t celle année mon COUI'H d a n s cette chaire q u i fut celle de M. l-Imnito, de Jeter un coup d^iîil sur Mm œuvre»
L
Charles H e r m i t o n a q u î t k Dieu^e, en Lorraine, le 24 décembre 1822;
il fit sen études au collège de Nancy, et ICB termina à Paris au. collège
P; Leçon fmi» A la faculté den ScifiicoH, Ïîî s<.imoîii 2 ïrmra ï9<H*
^^/^ ^' rÀ.% H^t-mali^ ^ Sér-Hî. TotiKi ' X V U Ï . - jAîWKtt ïf^H, ^
T O E. PHîAîUL
Henri IY et au collège Louis-le-Grand. Il eut à Louis-Ie-Grand comme professeur de Mathématiques spéciales au maître distingué,, M» Hicbard, qui, quinze ans auparavant, avait été le professeur d'Hvariste Galois, Tout en suivant les cours du collège, le jeune l-lermilo allait lire a la bibliothèque Sainte-Geneviève le Tmifé (h lu résolution ^ rY/m/^w.v numériques de Lagrange, et il achetaitavee ses économies la trariuclion française des Recherches arilhrnétùfues de Gausn : « Cest surtout dans ces deux livres, aimait-il plus tard à répéter, que j'ai apprh l'Algèbre. "
L'excellent M. Richard s'alarmait un peu de voir wn élève si loin ih^
programmes d'examen» mais il n'en dirait pas nnoing un Jour au père d'Hermite, qui ne se rendait peut-être pas très bien compte de la vahmr du compliment : « C'est un petit Lagrange, » Le premier volume deg Nouvelles Annales de Mathématique^ fondées en 1 8 4 2 , renferme deux Notes signées de Charles Henni te, élève du collège L<Mm4e4:;n«î(L L'une n'est qu'un exercice, mais, dans la seconde, on reconnaît un lecteur assidu de Lagrange qui a déjà beaucoup réiléchi gur la théorie des équations. L'objet de ce travail est de démontrer limpo^sibilité de la résolution algébrique des équations du cinquième de^ré; la dé- monstration très simple qu'on y tnnrve pourrait, avec de légèl'eN addi- tions, devenir classique. Hermite entre à rÉcole Polytednnqiie à la lin de i84a; les exercices de l'École ne rempéchent pas'de jxnirsuivrem^
méditations mathématiques, et, dès te mois de janvier 1843, il écrit à Jacobi, sur le conseil de Lîouviile, pour lui faire part de mm re- cherches sur les fonctions abélienne^ Le grand géomètre aliernand avait, par une merveilleuse divination, montré quelquea année» aupa- ravant comment on devait généraliser le 'problème de linvepgiûn^le l'intégrale elliptique. Mais les11 propriétés essentielles des nouvdJes transcendantes étaient si peu connues,1 qu'un géomètre, doué cepeii- dantdW rare pénétration, se méprenait encore en 1844 mr leur nature, faute d'avoir saisi, le principe fbndamenfai relatif à'la coexh- tence des périodes; les travaux de Gôpel et deJlo^nbain ne devaient venir que quelques années plus tard. Hermite étend aux fonctions abé- hennés le théorème, donné par Abel pour la division de iWimmit dans les fonctions elliptiques; il montre que lea équation com..porî.
dantessont résoluble^par radicaux, et il traite de l-abaiB^îîimitde 1 équation relative à la division des fonctions complète L^inée fiiîi.
I / O E I ' V K E SCIEISTIFIQiJE DE C H A U L E S ÏSEUMÏTE. Ï I
vante, en août 1844» Hermite envoie à Jacobi une seconde Lettre ou il étudie le problème de la transformation des f o n c t i o n s elliptiques. Son b a t est d'abord de retrouver les résultats énoncés par Jacobi sur cette question capitale, mais on trouve, en réalité, dans ce Mémoire, tous les principes de la théorie des 'fonctions © de d i t ï e r e n t s ordres, fonc- tions q u e l q u e f o i s désignées sous le nom de Jonctions inlerrnéc/ùlire.v et si importantes p o u r la théorie générale des f o n c t i o n s d o u b l e m e n t pé- riodiques. Ces deux Lettres intéressèrent v i v e m e n t Jacobi, qui fit au j e u n e mathématicien f r a n ç a i s P h o n n e u r de les insérer d a n s l'édition complète de ses Œuvres. On a souvent cité les dernières phrases de la réponse de Jacobi, q u i possédait de son côté p l u s i e u r s des résultats in- diqués par son correspondant. « Ne soyez pas facile, Monsieur, si q u e l q u e s - u n e s de vos découvertes se sont rencontrées avec mes a n - ciennes recherches* Comme vous dûtes commencer par où je f i n i s , il y a nécessairement u n e petite sphère de. contact. Dans la s u i t e , si vous m'honorez de vos C o m m u n i c a t i o n s , je S a u r a i qifa a p p r e n d r e . » Une a u t r e phrase, celle-là d ' u n intérêt p u r e m e n t mathéma t i q u e , mérite en- core d'être retenue ; a En cherchant, d i s a i t Jacobi» à tirer la. transfor- mation d i r e c t e m e n t ' d e s propriétés d e s ' f o n c t i o n s ©, sans f a i r e usage de leurs décompositions en facteurs infinis, vous ave% pensé s a v a m m e n t aux cas, plus généraux, où probablement on doit se résigner à l'im- possibilité d ' u n e d é c o m p o s i t i o n en facteurs. •» Cette remarque devait fructifier d a n s l'esprit d ' H e r r n i l e ; nous la retrouvepons plus (ard dans son Mémoire célèbre s u r la transformation des fonctions abélîennes.
C'est p r i n c i p a l e m e n t de théorie des nombres que s'occupe IIermite d a n s les années s u i v a n t e s . Il y est c o n d u i t d'abord par le théorème p u r e m e n t a r i t h m é t i q u e de Jacobi. sur l ' i m p o s s i b i l i t é d'une f o n c t i o n d'une variable à. trois périodes, et peu à peu la l e c t u r e assidue des Recherches arù'hmélùfues de Gauss l'amène à des problèmes de p l u s en p l u s étendus. La théorie dos formes et les i r r a t i o n n e l l e s algébriques f o n t alors l'objet des méditations profondes d'Hormite qui, c o n t i n u a n t sa correspondance avecJacohi, lui, envoie q u a t r e Lettres sur la théorie des nombres. Rien ne montre m i e u x que ces Lettres le génie d'Hennite;
la puissance d ' i n v e n t i o n sur des sujets aussi n o u v e a u x et aussi diffi- ciles y est prodigieuse. Les idées s'y pressent abondantes et tou.ffues;
elles seront développées et précisées dans des Mémoires u l t é r i e u r s , et,
12 É. PÏCAîU).
il en est plus d^une dont la fécondité n'est pas aujourd'hui épuisée, C'est dans la théorie des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables que se trouvent les principes des méthodes employées : il est d'abord^ établi que, étant donnée une forme q u a d r a t i q u e h n va"
riables et à coefficients réels quelconques, le m i n i m u m do lu (orme pour des valeurs entières q u i ne sont pas toutes nulles est: i n f é r i e u r à p/S/U en désignant par D la valeur absolue du déterminant, et par p^
une quantité numérique dépendant seulement de n. Hermite a d o n n é
-[,\ 2
pour ce.nombre ( - . ) ; on a depuis obtenu pour p^ une valeur infé- rieure, mais le point essentiel est, pour un nombre donné de va- riables, la limitation du m i n i m u m à Paide du déterminarlit seul de la forme, quoique dans certaines questions il puisse être avanta- geux d'avoir la moindre valeur possible. Ce résultat obtenu, yiw considération extrêmement originale permet, en premier lieu, lî Hermite de l'appliquer à la généralisation de la théorie dw frac- tions continues, en cherchant l'approximation simultanée de plu- sieurs quantités au moyen do fractions ayant même d é n o m i n a t e u r /n;
l'erreur dans cette représentation approchée de // q u a n f i t é n <»sl da l'ordre——• C'est un point s u r lequel il convient dinsbier^ mm pan seulement à cause de l'intérêt du résultat., m a b parce q u e nous avaim là le premier et mémorable exemple de cette i n t r o d u c t i o n <h»s varhibh^
continues dans la théorie des nombres, que* n o u a allons bientôt re- trouver dans des problèmes p l u s vastes*
Dans le cas d'une seule g r a n d e u r A, le résultâtes bien âimple, mai»
met remarquablement en évidence le rôle de la variable continua Hermite.considère1 la forme quadratique linéaire
^^Ayy+J^,
A étant une quantité positive quelconque; du théorème précédent on conclut de suite que Fon peut trouver deux entiers m et n, tels que
1 | m — ^n | < î- , n\/3
résultat plus précis, d'ailleurs, que celui donné par la théorie de» trac-
L'OEUVRE SCÏEîsTTFÏQlîE DE CHARLES HEHM1TE. ï 3
tions continues, à cause du facteur \/3. Quand A croit d ' u n e manière continue, les mêmes entiers m et n peuvent d'abord être conservés pour satisfaire aux c o n d i t i o n s v o u l u e s ; mais, au passage de A par u n e certaine valeur, il f a u t b r u s q u e m e n t p r e n d r e deux nouveaux nombres m' et n1', et l'on a la relation
mn' — m' n := ±: i.
La théorie élémentaire des f r a c t i o n s c o n t i n u e s se présente ainsi sous u n j o u r e s s e n t i e l l e m e n t nouveau et se trouve s u s c e p t i b l e d'être géné- ralisée, en môme temps que la c o n t i n u i t é avec la variable A se trouve i n t r o d u i t e dans u n e question a r i t h m é t i q u e .
Dans le cas de n q u a n t i t é s données A ^ , Ay, . . . , A^, i l f a u d r a envi- sager la f o r m e q u a d r a t i q u e à n 4- ï variables .z"o, x^ . . . , .r//
(.^ • • Ai^o)^-!-- Osr1-- A s . Z ' o ^ - î - . . .4- (Xn—K.nOC^'-r- '—7
où A est u n e q u a n t i t é p o s i t i v e quelconque* En a p p l i q u a n t a cette forme le r é s u l t a t énoncé sur le m i n i m a m d'une forme q u a d r a t i q u e , on arrive de s u i t e à la représ(UTtation approchée des q u a n t i t é s A, l ' a p p r o x i m a t i o n é t a n t liée à la q u a n t i t é A qu'on p e u t prendre aussi grande que l'on veut. Le théorème de Jacobi sur r i m p o s s i b i l i t é d'une fonction à trois périodes peut être aussi établi par des considérations analogues, et Hermite f u t ainsi c o n d u i t à la d é m o n s t r a t i o n de l ' i m p o s s i b i l i t é pour une fonction de n variables complexes d'avoir plus de 2/2 systèmes de périodes s i m u l t a n é e s , théorème q u e M i e r n a n n devait retrouver ulté- r i e u r e m e n t . C i t o n s encore ici, q u o i q u ' e l l e ait été donnée beaucoup p l u s tard par Ï l e r m i t e , la d é m o n s t r a t i o n d ' u n résultat d'abord établi par Tcbebychcfl'et susceptible de généralisations très é t e n d u e s : é t a n t données d e u x constantes q u e l c o n q u e s a et h^ on peut trouver deux entiers x' et y, tels que
|.y --. a r "i- h \ -'" •-•-1'1*
1 J ' ' 2J
La méthode d'Hermite lui permet même de remplacer le facteur- par le facteur plus p e t i t \ / — •
L'^introduction de variables continues dans certaines formes quadra- tiques a été l'idée fondamentale qui a dominé la longue ^ s u i t e des tra-
j/, E, PKÎAHD.
vaux arithmétiques d'Hermitc. Je nei:)uis songer a entrer dans le d é t a i l de ces profondes recherches; arrétons-nons seulemciU sur les p o i n t s de vue nouveaux, q u i ont été si féconds dans r é t n d e d e s û m u e s qua- dratiques à un nombre quelconque de variables des i r r a t i o n n e l l e s al"
gébriques et des formes décomposables en f a c t e u r s linéaires On sait.
queGauss, dans ses recherches a r i t h m é t i q u e s , a élevé un m o n u m e n t a la théorie'arithmétique des formes q u a d r a t i q u e s a deux v a r i a b l e s dont l'étude avait été commencée par Lagrange et Legendre, et a posé les basesde latixéorie des formes q u a d r a t i q u e s ternaires. Le problème de la réduction des formes quadratiques est,d'une importance c a p i t a l e ; la difficulté n'est pas la même s u i v a n t qu'il ^agit de formes définies ou indéfinies. Hermite, traitant d'abord le cas plus s i m p l e de^ formes quadratiques définies à un nombre quelconque de variables et, dont les coefficients sont (les quantités •réelles quelconquen, donne dille- rents procédés d e ' r é d u c t i o n , d'où se d é d u i t i m m é d i a t e m e n t que» pour les formes définies à coefficients entiers et de d é t e r m i n a n t donnée il n'y a qu'un nombre l i m i t é de classes. L'étude de^ (ormes indéfiïueH à coefficients entiers présente des d i f t i c u l t é H b e a u c o u p phî^ considé- rables, qui t i e n n e n t en grande partie à ce q u ' i l y a. u n e iîifhnilé de s u b s t i t u t i o n s semblables, comme les a p p e l l e H e r m i t e , c'e^t-à-dire de substitutions a coefficients entiers t r a n s f o r m a n t la (orme en elle-même, Les points essentiels de la théorie des formes i n d é f i n i e s wni rattachés, d'une manière vraiment géniale, a la considération d ' u n e iorme dé"
finie associée d é p e n d a n t d ' u n certain nombre de paramètres arbi- traires, et ici nous voyons a p p a r a î t r e les variables continuer dan» n u problème arithmétique extrêmement difficile. Les substitiitioriH à coefficients entiers, permettant de réduire ^uccesswan^nt cette (brrrie définie, quand, par une'variation continue des paramètres, elle CCHSC d'être réduite, conduisent aux substitutions semblables, et l'on peul démontrer qu'il'existe un nombre fini de s u b s t i t u t i o n s a l'aide des- quelles on obtient toutes les substitutions t r a n s f o r m a n t la foriîK^en elle-même. 1.1 résulte aussi de celte admirable analyse que» pour le^
formes indéfinies à coefficients entiers comme pour les formes définie^
il n'y a qu'un nombre limité de classes pour u n <lé t e r m i n a n t d o n n é ; on11 en déduit la solution du problème de Léquivaleneede deux (ornrie^
Les principes précédents s ' a p p l i q u e n t aussi aux formes a coefficients
L'OEUVRE SCIENTIFIQUE DE C H A U L E S I Ï E R M Ï T E . ï 5
entiers de degré q u e l c o n q u e décomposables en facteurs linéaires; l e u r théorie est même à bien des égards beaucoup plus simple que celle des formes q u a d r a t i q u e s . Les s u b s t i t u t i o n s semblables sont ici, deux à deux permutables, et elles p e u v e n t toutes s'exprimer par un produit de puissances de certaines s u b s t i t u t i o n s , d o n t le nombre s'obtient d'une manière très r e m a r q u a b l e : Si a désigne le nombre des facteurs réels dans la forme, et b le nombre des couples de facteurs imagi- naires c o n j u g u é s , il y a a -h b s u b s t i t u t i o n s semblables fondamen- tales. La démonstration de ce beau théorème, énoncé seulement par Hermite au c o m m e n c e m e n t d'un de ses Mémoires, n'a j a m a i s , je crois, été développée. A l'égard des formes quadratiques indéfinies, on ne c o n n a î t a u j o u r d ' h u i encore aucune proposition analogue relative au n o m b r e des s u b s t i t u t i o n s fondamentales, q u i ne sont pas, en gé- néral, permutables; ce serait la u n - d i f f i c i l e , mais bien intéressant sujet de recherches.
Les formes quadratiques binaires indéfinies a p p a r t i e n n e n t en même temps aux deux types précédents; l'application à ce cas très particu- lier des principes généraux pourra d o n n e r u n e idée des méthodes d'Hermite, Soit u n e forme i n d é f i n i e / à coefficients entiers que nous mettons sous la forme
/ ^ a ( ^ 4 - a y ) ( . r ~ t - | 3 ^ ) .
La forme définie associée est alors
cp r= {x 4-- v.yY^ A(.r 4- p./)2 (A > o),
et l'on doit en faire la réduction continuelle en donnant à A toutes les valeurs positives. Pour la variation deA dans un intervalle convenable ne comprenant pas l'origine, on o b t i e n t un certain nombre de réduites d e ' l a forme proposée, qui. se reproduisent ensuite périodiquement quand A va vers l'infini ou vers zéro. On retrouve ainsi, comme chez Gauss, une sorte de périodicité, mais sous un point de vue bien diffé- rent et susceptible des généralisations les plus étendues.
Nous n'avons parlé jusqu'ici que des formes a variables réelles, Hermite a i n t r o d u i t dans la Science la notion de formes à indéterminées conjuguées, qui a ouvert à l'Arithmétique et à l'Algèbre un champ extrêmement vaste* Ces formes se partagent encore en formes définies
ï 6 H- PK;.\IU>.
et formes indéfinies; laissant (le côté ces dernières, limniie l a i t u n e théorie, complète de là réduction des (ormes définies à indélernîinéeH conjuguées. Les conséquences qu'il en lire sont très nombreuses. Il en est d'une rare élégance. Telles sont les rc'^horcbes ("oncernant Fap"
proximation des quantités complexes par des tractions dont les élé- ments sont des entiers complexes de Gauss; la méthode d'Henuite lui donne des résultats plus précis q u e ceux de Biricblety ^ mjtrl"
tout elle lui permet de trouver les rapports existants entre deux approximations consécutives, ce qui est indispensable pour «lettre dans toute son évidence l'analogie entre les nombres réels el les nombres complexes. Citons encore la démonstration des tlïéorèrnes de Jacobi sur le nombre des représentations d'un nombre par unie somme de quatri' carrés.
-Des applications d'un caractère plus général concernent IGH formes à coeiïîcients entiers complexes et à variables complexes de degré quelconque décomposables en f a c t e u r s l i n é a i r e s ; en supposant qnT une telle forme y est irréductible, c'est-à-dire que l ' é q n a l i o n ^ ^ o ruuliiwt.
d'autres solutions entières que les valeurs nnik's des variables, H^rîîîiti:*
démontre qu'elles no f o r m e n t q u ' u n nombre* l i m i t é d(* das^eK pour tin d é t e r m i n a n t donné. De ce (.béorenn» il d é d u i t une* dm p l u s adminïbh^
propositions de la science des nombres, h savoir qui* : les racineH de toutes les équations à coefficients entiers coînpbxca d'un degré donné, et pour lesquelles le discriminant a la morne valeur, im repréBelîteîit q u ' u n nombre essentiellement limité d'irrationrieHes distinctes NOIIM pouvons, en deux. mots, esquisser la déîïHmstraticm; a l'équatiôîi pro"
posée de degré n, à coefficients entier^
^ ! ! ! ; „ \1 Pv^^Q^-î.+.^-i-î^^.-S-io,
et dont nous désignerons les racines para, b,.. .J, on (aitcorre^poîîdre la forme ç h-n Yâriabies a?,jy ^, .. ^ u,
^ = P"-i (x + ay 4" c^z 4"... 4- a^ u )
1 1 ! . X ( ^ + & J + 6 ^ 4 " . -.^^^•"••-•^^..(^^..../y.j..,,, ^ ^ 4 - , . _ .|.-./^^/^j,
dont'ie déterminant ne dépend que du discriminant de l'équatio-n. Les formes y/appartenant à un nombre limité de classes, il en rêmItM (h suite, que le nombre des irrationnelles distinctes est Simiié.
Ï/œiTVBE SCÎENTTFÎQÏJE DE C H A U L E S ÏIEUMITE. 1 7
A u d é b u t de sa carrière, les f o n d i o n s e l l i p t i q u e s (M a b é l i o n n e s a v a i e n t a p p e l é P a t l e n t i o n d'Ilermite s u r certaines i r r a t i o n n e l l e s algé- b r i q u e s . D e p u i s cette époque, les n o m b r e s algébriques avaient tou- j o u r s été l'objet de ses m é d i t a t i o n s . C'est, sans d o u t e , a l e u r occasion q u ' i l e n t r e p r i t la l o n g u e s u i t e de ses recherches a r i t h m é t i q u e s . « Per- mettez-moi, d i s a i t - i l d a n s u n e de ses Lettres a J a c o b i , de r e v e n i r sur les circonstances r e m a r q u a b l e s a u x q u e l l e s d o n n e l i e n la réduction des formes d o n t les coefficients dépendent des racines d ' é q u a t i o n s algé- briques à coefficients entiers. Peut-être parviendra-t-on à déduire de là un système complet de caractères pour chaque espèce de ce genre de q u a n t i t é s , a n a l o g u e , par exemple, à ceux que donne la théorie des fractions continues pour les racines des é q u a t i o n s du second degré ?), et, plus l o i n , il, ajoute : « Quelle lâche i m m e n s e pour la théorie des nombres de pénétrer d a n s la n a t u r e d ' u n e telle m u l t i p l i c i t é d'êtres, en les classant en groupes irréductibles entre eux, de les constituer tous i n d i v i d u e l l e m e n t par des d é f i n i t i o n s caractéristiques et élémen- taires. » On le voit a p l u s i e u r s reprises revenir sur ce programme. La question capitale de la recherche des unités complexes dans un corps algébrique est liée par l u i1 à la réduction de certaines tonnes quadra- tiques; des ï 84,5, il passe bien près du théorème célèbre de Dirîchlet .donnant le nombre exact des unités complexes i n d é p e n d a n t e s - Mais il s'attache surtout à trouver pour les irrationnelles a l g é b r i q u e s un algorithme m e t t a n t en évidence les propriétés de ces irrationnelles.
Pour les irrationnelles du troisième degré en particulier, le résultat est r e m a r q u a b l e m e n t simple : on est c o n d u i t à un algorithme périodique entièrement a n a l o g u e à celui des fractions c o n t i n u e s dans leur applica- tion aux irrationnelles du second degré. A i n s i , en envisageant u n e équation du troisième degré à coefficients e n t i e r s a y a n t une racine réelle a et deux racines imaginaires jît et y, on est c o n d u i t , d'après ce p o i n t de vue, à r é d u i r e pour toutes les valeurs positives de la quan- tité A la forme ternaire
( ^ 4- ^ 4- ^z f -h A {x "h pj .4- pz) {.€ "h Y y 4- T^ ),
et dans cette réduction c o n t i n u e l l e se manifeste une périodicité carac- téristique des i r r a t i o n n e l l e s du troisième degré. H serait intéressant de comparer les vues générales d'Ilermite sur les irrationnelles avec les
Âftri^ de l'/^c. ./V^fmaU\ 3* Série. Turne XViIl. -"*" JANVJIBH x y o t , 3
l8 K. Î > Ï C A ( U > .
résultats donnés récemment par M. M'inlunvskî ou h considération de certaines chaînes de s u b s t i t u t i o n s permet de d o n n e r des c r i t é r i u m s nécessaires et suffisants pour q u ' u n nombre soit algébrique.
IL
La théorie arithmétique des formes binaires rentre évidemment,, dans le même ordre d'idées que1 celle desirrationnellesalgébrKjïïes. Hermile lui a consacré plusieurs Mémoires et a étudié particulièrement le cas des formes de'degré impair et le cas des iormes quadratiques Mais, - tandis1 que pour les formes quadratiques les préliminaires algébriques de la théorie arithmétique des formes sont immédiats» il tfen est p l u H de même quand on s'élève aux formes de degré q u e l c o n q u e ^ la partie al- gébrique de la théorie prend alors un développement i n a t t e n d u et pré"
sente un intérêt considérable. C'est ce q u i - a m e n a liermite h s'occuper de divers problèmes d'Algèbre et p a r t i c u l i è r e m e n t de la théorie des formes binaires ou il a l l a i t obtenir de m a g n i f i q u e s résultats en même temps que ses émules Cayley et Sylvester.
Les théorèmes de Sturm et de Cauchy sur le nombre des racines des équations s a t i s f a i s a n t à certaines c o n d i t i o n s avaient vivement frappé les géomètres. Sur ce sujet on d o i t à HermiU:1 q u e l q u e s résullatB q u i resteront classiques. En partant de la remarque relative à la décompo- sition des formes quadratiques en somme de carrés, que Sylvester» q u i l'a trouvée en même temps, nomme la loi d^nertie et que Jacob! avait aussi rencontrée, Herrnite considère d^bord une équation à coeffi- cients réels, et construit une f o r m e quadratique assoeiéein l'équatiôri renfermant Aine arbitraire réelle t. Quand cette forme est réduite à 11x10 somme de carrés, le nombre des carrés négatifs est égal au nombre des couples de racines imaginaires de l'équation augmenté dî,r nombre àm racines réelles inférieures à t. Un cas particulier d o n t l a d é m o n s t n i l i o n est immédiate se formule ainsi ; dans la (orme q u a d r a t i q u e k n va- riables
! , . 2 ( ^ •+" a^i 4 - . , . -i- y/1"^ ^..,..1 f
ou la somme est é t e n d u e aux n racines a de i'équalion» le ncmibre des carrés/négatifs est égal an nombre des couples de racines irnaffinaires.
L OEUVRE SCIENTIFIQUE DE C-HAKLES HERMÏÏE. I Q
Poussant la question plus loin, Hermite considère une équation à coeffi- cients complexes; il associe alors à l'équation une forme quadratique à indéterminées conjuguées, et, quand celle-ci, par une transformation élémentaire, a été débarrassée de ses termes rectangles, le nombre des coefficients positifs est égal au n o m b r e des racines dont. le coefficient de y7— ï est positif. Le théorème de Sturrn, le théorème de Cauchy re- latif au nombre des racines d'une équation contenue dans un contour et d o n n a n t par un calcul algébrique ce nombre de racines quand le contour est formé d'une courbe unicursale, se déduisent des résultats précédents, et sont ainsi établis, comme le remarque Hermite, sans faire intervenir a u c u n e considération de c o n t i n u i t é .
Les travaux d'Hermite relatifs à la théorie algébrique des formes bi- naires sont d ' u n e rare p e r f e c t i o n ; la simplicité des méthodes et l'élé- gance des résultats en font de véritables œuvres d'art. La théorie des i n v a r i a n t s devait son origine a un Mémoire de Boole, mais le vrai fon- dateur en fut Cayley q u i sut créer toute une nouvelle branche de l'Al- gèbre. Sylvester v i n t ensuite et apporta un grand nombre de résultats n o u v e a u x , parmi lesquels la découverte des premiers covariants. L'idée des i n v a r i a n t s n'élait; pas neuve pour Hern'nte; une notion générale sur les invariants s'était offerte jadis à l u i , amenée par u n e considération purement a r i t h m é t i q u e . Il entre dans la lice, el Sylvester pouvait dire plus tard : ce Nous formions alors, Cayley, Hermite et moi, une trinité invariantive. » Un calcul symbolique extrêmement ingénieux permet à Henni le de montrer q u ' à tout covariant d'une forme de degré m, et qui par rapport aux coefficients de cette forme est du degré p , correspond u n covamnt du degré m. par rapport aux coefficients d ' u n e f o r m e de degré/?. Les deux covariants sont d'ailleurs d u m ê m e degré par rapport aux indéterminées : c'est la célèbre loi de réciprocité d'Hennite. Ses applications sont innombrables. Pour citer un exemple relatif a u x invariants, la forme q u a d r a t i q u e a y a n t comme i n v a r i a n t de degré 2 [x la puissance ^ de son d i s c r i m i n a n t , il résulte de la loi de réciprocité que toutes les formes de degré pair ont un invariant du second degré. La loi est s u r t o u t intéressante pour les covariants. Hermite dé- montre que toutes les tonnes binaires, sauf les formes biquadratiques, ont un covariant q u a d r a t i q u e . L'importance de ces covariants quadra- t.iques est capitale ; on en d é d u i t la notion de s u b s t i t u t i o n canonique,
ao É. PÎCAÎU).
celle-ci étant une substitution r a m e n a n t le covariant q u a d r a t i q u e ii la forme xy. Au moyen de cette s u b s t i t u t i o n , des i n v a r i a n t e et des cova- riants d'une forme, qu'il eût été presque impossible d'obtenir Jamais en fonction explicite'des coefficients de cette (orme, p r e n n e n t u n e f o r m e simple. Grâce à cette théorie, Hermite découvre F i n v a r i a n t du dix- huitième degré des formes du cinquième degré; c'était, le premier exemple d'un invariant gauche, c'est-à-dire se reproduisant m u l t i p l i é par une puissance impaire du déterminant de la substitution. Nouî4 de- vons noter particulièrement la découverte des covariants linéîureB pour les formes de degré1 impair à partir du cinquième degré; elle a <x-mduît Hermite, au moyen d'un changement de variables eflectué a l'aide de deux covariants linéaires, aux formes-types dont les eoefiieients nont tous des invariants de la forme i n i t i a l e . Une application extrêmement intéressante de ces théorèmes généraux concerne les former du cin- quième degré. Ces formes possèdent quatre i n v a r i a n t s f o n d a m e n t a u x , en fonctions entières desquels s'expriment tous les autres i n v a r i a n t e ; les trois premiers avaient été découverts par Sylvester, et le quatrième est l'invariant gauche dont j'ai parlé p l u s h a u t . Les coefficients de la forme-type du c i n q u i è m e degré s'expriment r a t i o n n e l l e m e n t à l'aide de ces i n v a r i a n t s ; Hermîte en d é d u i t qu'on peut a m e n e r toute équation du c i n q u i è m e degré à ne d é p e n d r e que de d e u x paramètres q u i sont des invariants absolus, et la discussion coniplèie de la n a t u r e , réelfe ou imaginaire, des racines de l'équation générale du c i n q u i è m e degré se fait de la manière la plus élégante.
La lecture de ces beaux Mémoires laisse une impression d e a i m p l i d t é et de force; aucun mathématicien du xix6 siècle n'eut, plusqu'Herolite^
le secret de ces transformations algébriques profondes et cachées qui, u n e fois trouvées-, paraissent d'ailleurs si simples. C'est à un tel art du calcul algébrique que pensait sans doute Lâgrange, q u a n d il dirait h Lavoisier que la Chimie deviendrait un jourfacile comme l'Algèbre.
Nous avons dit que Tohjet primitif d'Hermite dans'ses Etuden sur les formes binaires avait été arithmétique. Il voulait en particulier approfondir cette proposition, que les formes à coefîlclents entiers et en nombreinfim, q u i ont les mêmes invariants, ne forment qu'un nombre l i m i t é de classes distinctes* 11 a développé surtout ses recherche» pour les formes cubiques'et les formes biquadrafciques, mais i f a indiqué §ur
L OEUVRE SCIENTIFIQUE DE CHAULES HERMÏTE. 21
les formes de degré impair quelconque un théorème bien inattendu, qui se d é d u i t de la considération des formes-types : toutes les formes bi- naires de degré impair (à partir du c i n q u i è m e ) à coefficients entiers ne forment qu'un seul genre, au sens d'Eisenstein, c'est-à-dire sont transformables les unes dans les autres par des substitutions linéaires de déterminant un à coefficients entiers ou fractionnaires. Que de pro- blèmes restent ouverts dans cette vaste théorie des formes! quelles seront les transcendantes numériques permettant d^exprimer le nombre des classes en fonction des invariants? c'est le secret de l'avenir.
D é t o u r n é par de nouvelles études, Hermite ne devait plus revenir q u ' i n c i d e m m e n t sur ses premières recherches arithmétiques; je l'ai en- tendu plusieurs fols regretter de ne pas avoir approfondi davantage cer- taines parties des Mémoires dont je viens d'essayer de donner une idée.
Gauss eut sans doute de tels regrets en relisant vers la fin de sa vie ses Discfwsùiones arithmeucœ. Une grande œuvre scientifique n'est j a m a i s achevée. Les méthodes générales introduites par Hermite ont ouvert a la théorie des nombres des horizons entièrement nouveaux q u i ne sont pas encore complètement explorés. Tous ceux q u i , depuis l u i , se sont occupés de la théorie des formes ont profondément subi son influence;
il suffira de citer le beau Mémoire de M* Camille Jordan sur l'équiva- lence des formes, et de rappeler que le merveilleux principe de la ré- duction continuelle s'adapte même à des recherches toutes modernes sur la théorie de certaines fonctions uniformes.
Hermite, dans la première partie de sa carrière, que je viens de retracer, c'est-à-dire jusque vers i,855, fut en relations suivies, d'abord avec Jacobi et e n s u i t e avec Dirichlet, qui était peut-être à cette époque le plus apte à le comprendre; il avait, à ses débuts, trouvé auprès de ces grands géomètres le m e i l l e u r accueil et en avait gardé un fidèle souvenir. Il écrivait encore quelques semaines avant sa mort qu'il avait toujours été et q u ' i l serait jusqu'à son dernier jour un disciple de Gauss, de Jacobi et de Dirichlet. Les affinités entre esprits de premier ordre sont toujours intéressantes et utiles à suivre;
le témoignage d'Hermite à ce sujet est précieux/et l'étude de la plus grande partie de son œuvre le confirme bien. Cauchy, q u ' i l a cependant beaucoup1 connu, n'a pas exercé sur l u i , au moins h ses d é b u t s , ' l a , même influence scientifique.
2Û E. P I C A R D .
I I I .
La théorie des fonctions abéliennes n'avait jamais cessé de pré- occuper Hermite depuis l'époque où il était, élevé à rEcole Polytecb- nique. Il v o u l u t étendre à ces fonctions le problème de la t r a n s f o r m a - tion qu'avaient traité avec tant d'éclat Abel et Jacobi dans le cas des fonctions e l l i p t i q u e s ; son Mémoire de ï855 sur la t r a n s f o r m a t i o n des fonctions abéliennes est u n e de ses plus belles œuvres* Etant dmîiîée^
les deux é q u a t i o n s différentielles q u i , pour un radical portant sur tin polynôme d'ailleurs arbitraire du c i n q u i è m e ou du sixième degré, définissent les 'fonctions abéliennes, Hermite considère s i m u l t a n é m e i E i t les quinze fonctions u n i f o r m e s q u a d r u p l e m e n t périodiques iniroduiies par Gôpel et Kosenhain, et q u i sont les a n a l o g u e s de sn^ en^ et dn^
Le problème de la transformation est alors a i n s i posé : Pour un poly- nôme donné, d é t e r m i n e r un n o u v e a u p o l y n ô m e tel qu'en formant deux combinaisons linéaires convenables des équations difimmiidies relatives à ce polynôme, les qnhm* f o n c t i o n s ahélietmes eorrospon- danles s'expriment r a t i o r m e l l e m e n t a Faide des q u i n z e premières Pour la s o l u t i o n de ce problème a l g é b r i q u e , H e r m î l e se i)lac<î ail point de vue transcendant,, (il cherche d^abord à étendre a u x f o n d i o n s 0 de deux variables l'analyse i n d i q u é e Jadis dans sa seconde leliro à Jacobi pour les fonctions @ d ' u n e variable. Mais des difficultés d'une miluro arithmétique, q u e n'avait pas connues la théorie1 des (bncliûns ellip- tiques, se présentent dans le nouveau problème. Les périodes dea an- ciennes fonctions doivent être des sommes d e , m u l t i p l e s deg périodes /des nouvelles. Or il existe ' u n e relation h i l i n é a i r e bien connue entre ces périodes; les nombres entiers figurant dans la traïîsfbrmatiolï des périodes ne sont donc pas arbitraires, ce q u i conduit à un (mmnbb remarquable de subslitutionslinéaires de coefïicients entiers dont les propriétés ^ doivent d'a.bord être .étudiées» Un nombre entier k joye ,dansTétude: de c e s ' s u b s t i t u t i o n s un rôle essentiel; la notion (Je'syg"
ternes équivalents et non é q u i v a l e n t s se pose alors, et, il est établi que le nombre des substitutions non équivalentes est égal à r 4^4-...^ .^/c\
si k est premier. On en peut conclure que le nombre des transforma'
L'OEUVHE SCIENTIFIQUE DE CHARLES HERMTTE. 23
tions distinctes des fonctions abéliennes relatives à un nombre premier^
est égal à 720 x (i -+- k •+- ^ + A3). En même temps q u e ce théorème fondamental, correspondant au théorème d'Ahel et de Jacobi sur le nombre 6(/%-+-ï) des transformations d'ordre n des fonctions ellip- tiques Çn étant premier), Hermite donne le moyen de former les rela- tions algébriques entre les anciennes et les nouvelles fonctions, résol- vant ainsi complètement le problème qu'il s'était posé. Cet admirable travail, rédigé d ' u n e manière très concise, a fait l'objet de nombreux commentaires, et ouvert la voie à des recherches de n a t u r e variée, dont quelques-unes ne se rapportent q u ' i n d i r e c t e m e n t a la théorie des fonctions abéliennes. C i t o n s entre autres le Mémoire de Laguerre sur le Calcul des systèmes linéaires, où se trouve généralisée la notion de formes q u a d r a t i q u e s correspondant aux s u b s t i t u t i o n s linéaires i n d i - quées p l u s h a u t ; en Algèbre, à un point de vue tout différent, la notion i m p o r t a n t e de s u b s t i t u t i o n abélienne, t e l l e q u ' e l l e est utilisée par M. Jordan, trouve son p o i n t de départ dans u n e i m p o r t a n t e remarque du Mémoire sur la t r a n s f o r m a t i o n des f o n c t i o n s abéliennes.
Au m i l i e u de t a n t de travaux, Hermite ne cessait de s'intéresser à la théorie des fonctions elliptiques. Je crois bien qu'elle a été son étude de prédilection. Les belles formules, d'une a l l u r e si parfaite, qu'on y rencontre remplissaient de joie, comme i l le disait, sorfâmed'algéhriste, ainsi que les rapports si remarquables de ces transcendantes avec l'Algèbre et les propriétés des nombres ; les Fundamenta nova de Jacobi étaient toujours sur sa table de t r a v a i l . Une a d d i t i o n a la sixième édition du Traité de Lacroix est restée célèbre dans la théorie des fonctions d o u b l e m e n t périodiques ; c'est de (intégration d'une fonction d o u b l e m e n t périodique, le long d ' u n parallélogramme de périodes, qu'Hermite, ici disciple de Cauchy, d é d u i t les propriétés fondamen- tales de ces fonctions, et en p a r t i c u l i e r la décomposition en éléments simples si importante pour le Calcul intégral.
En i858, Hermite reprend l'étude de la transformation des fonctions elliptiques, et cherche à en approfondir davantage le mécanisme. Il rencontre a i n s i une a b o n d a n t e moisson et tout d'abord la résolution de l'équation du cinquième degré. Jacobi avait montré que, d a n s la transformation de degré n Çn é t a n t premier), il y a un.e relation de degré n •+• i entre les racines quatrièmes de l'ancien et du nouveau
24 t^ PK.Î.UU).
module; c'est l'équation qu'on appelle V^fualton fnoduhitn\ Deux 'fonctions vont 'jouer un rôle essentiel, l y n p i o y a n t les n o t a t i o n s de
1 £ —« / - - ji / /
Jacobi, on sait que \jk et {//€' sont des fonctions u n i f o r m e s île co •llllr:: -..1 1; Hermite les désigne par ç(<.û) et ^ { ^ ) °11- /*ludie 1^ I m i s f o n i i î î î i m î s qu'elles subissent quand on effectue sur (A> une î 4 n t ) s t i î n ( i o n l i n é î l i r e » Le fait que les modules satisfaisantà Inéquation m m i u h t i r e ^'exprixneni, en utilisant les fonctions précédente^ par de^ fonelion^ uniformen d'un paramètre avait vivement frappé Hcrrm te; i l eut le pre^^enlirnerît que cette circonstance n'était possible qu'àcaiise de la n a t u r e singu- lière de ces f o n c t i o n s , et la fonction y(^) sur laquelle il atlmi ^i vive- ment raltention forme le premier exemple de ces fonction^, uynui des lignes de singularités essentielleBy dont M.» Poincaré devait pliîs4 tard faire u n e étude générale sous le nom de frncUansfiwhsIcn.'w^
Galois avait énoncé que p o u r n = 5, 7, r i le^ éqnationg modulniNim sont susceplibles d ' u n abaissement au degré i n f é r i e u r d'une y n i t é ^ ce résultat, retrouvé aussi par M1, BeUi, avait été vérifié par Hermite âlm l'époque déjà l o i n t a i n e de ses leUres à ,(acobL II eIÏt»etue m a i n t e n a f î t la réduction d'une manière comj)lé(,e p o n r / z — ;^ eo emnioyaîit pour former une réduile u n e Ibnelion c o n v e n a b l e des six racine^ il trouve ainsi une équation du c i n q u i è m e de^ré, susceptible d'être identifiée avec Inéquation
,^^ .y „..,.„ ^ ^.^(^
forme à l a q u e l l e un géomètre anglais, Jerrard, avait ramerxé réqyalbr»
générale du cinquième degré sana employer d*aytre^ irratiorialiléH que des radicaux carrés et cubiques, a étant donné, l'identifieatiorx conduit.
à une équation du1 quatrième degré1 pour (rouverle module de la foi$c<
tion elliptique.l./équation du cinquième degré se trouve donc résolue, en ce sens'^que.ses racinçs se trouvent 'représentées par deg expres- sions s'exprimant simplement à l'aide de ç(û>; et ^(<v). Cette résoli^
tion de l'équation drcmquième degré frappa v i v e m e n t {'atlention deH .géomètres et, ^quelque: temps ^après, Kronecker et Briogebi traitaient h même question sans faire la réduction préalable à Inéquation de Jemrd^t en utilisant la relation algébrique entre le module et le
niultiplicâteurdana lâtransfbrrmitbrniu c i n q u i è m e ordre1.
1 D a n s u n M é m o i r e é t e n d u s u r r é q u a t i o n d u cinquièmede^é, Hermite
L OEUVHE S C I E N T I F I Q U E DE C H A R L E S HE1UHTE. 23
exposa ensuite ses travaux, ainsi que ceux ( J e K r o n e c k e r e f c d e B r i o s c h i , en u t i l i s a n t ses a n c i e n n e s recherches sur les formes du cinquième degré. On trouve, de plus, dans ce Mémoire, quelques résultats géné- raux concernant les équations de degré quelconque. Il y est montré q u e , pour une équation de degré q u e l c o n q u e , on p e u t former un cer- tain nombre d'invariants d o n t les signes d o n n e n t le nombre des ra- cines réelles et imaginaires de l'équation ; pareillement on peut f o r m e r un système de covariants doubles, c'est-à-dire à deux séries de va- riables, servant, comme les fonctions de S t u r m , à déterminer le n o m b r e des racines réelles comprises entre deux nombres. Hermite complétait ainsi d'une manière r e m a r q u a b l e ses premières études sur des suites analogues à celle de Sturm.
Nous rencontrons bientôt après u n long Mémoire sur la théorie des équations modulaires. Pour réaliser effectivement l'abaissement de l'équation modulaire dans les trois cas prévus par G'alois, il f a l l a i t calculer le d i s c r i m i n a n t de cette é q u a t i o n » Hcrrnite entreprend alors d'une manière générale une étude du d i s c r i m i n a n t des é q u a t i o n s mo- dulaires et sa décomposition en facteurs, et est a i n s i c o n d u i t à d'im- portantes notions a r i t h m é t i q u e s sur le nombre des classes de formes quadratiques. La théorie des équations modulaires n'est,1 d'ailleurs, pas le seul lien ou la théorie des fonctions e l l i p t i q u e s v i e n t se lier à la théorie des formes q u a d r a t i q u e s binaires de d é t e r m i n a n t négatif. Un autre plus élémentaire s'offre lorsqu'on développe en séries trigono- m é t r i q u e s certains q u o t i e n t s de f o n c t i o n s ©; on o b t i e n t ainsi des iden- tités, d'où d é c o u l e n t des propositions très cachées d ' A r i t h m é t i q u e , et c'est ainsi, entre autres résultats, q u ' H e r m i t e retrouve les propositions de Legendre et de Gauss sur la décomposition des nombres en trois carrés. Ces rapprochements étranges, entre des questions de natures si différentes, exerçaient sur son esprit une sorte de f a s c i n a t i o n et étaient une des causes de l'attrait q u ' i l e u t toujours pour la théorie des fonctions e l l i p t i q u e s . Aussi écrivait-il, un j o u r à propos des travaux de Legendre et de Gauss sur la, décomposition, des nombres en carrés : « Ces illustres géomètres, en p o u r s u i v a n t au prix de tant d'efforts leurs pro- fondes recherches sur cette p a r t i e de l ' A r i t h m é t i q u e supérieure, ten- daient ainsi à leur insu vers u n e autre région de la Science et don- naient un mémorable exemple de cette mystérieuse u n i t é , qui se
Ann, de l'£c, Normale, 3* Série. TomeX-VlIÏ. — JANVIER 1 9 0 1 . 4
^6 I- P I C A U l ) .
mnif este parfois dans les t r a v a u K a n a l y t i q u e s en apparence les plus éloignés. »
IV.
. ^ D e telles analogies et (h tels rapjWîchemmits se retrouvent. flans d'autres parties des Mathématiques. La théorie des fractimiscont.iî'Hîes en Arithmétique c'est-à-dire la ri^rémitatkm approchée d*îHi nombre incommensurable par un nombre r a t i o n n e l , a v a i t - été é l e m l u e a u x fonctions d'une variable* Étant donnée une ibnctiorî d ' u n e variabh ^ développée suivant lea1 puisBanœa'positivea et t*niièr(:*H di1* .r^ iHî p^it se proposer de représenter cetteloncticm par une louctiorî nîtionuplle de x, d o n t le n u m é r a t e u r et le dénominateur1 soient de degré /^ ^we u n e approximation de l'ordre 2n "+• ï par rapport li^ cette tlîéoriedi^
traclions c o n t i n u e s algébriques, ofîre la plus grande mwlogilHivee la théorie des fractions c o n t i n u e s arithrnétiqueH. l'termite^ (itii s'éîîîlt occupé de la représentation B i m u l t a n é e de plusieurs nombreH jHir âw tractions de rDérne d é n o r n i n a t e u r , devait r s a l u r e i l e n i e n t ^atUu'heir dtl prohikmc analogue ( î o u r p l u s i e u r s f o n c t i o n s , (3e mode nouveau d'ap- p r o x i m a t i o n s algébriques sinuilùmécs le c o n d u i s i t à une dt* ^es piî.w belles découvcricss^jcï v<*ux p a r i c î î ' (fe la ( r a n s c e n d a n c ^ * dïi lîoîutïre e, iNt^e des logaritinnesîiépérieïis. Son point1 de d é p a r t , d a ns^:» Mémoire célèbre Sur la fonction ea^onenliel/e, p u b l i é en 187'!, esi l'aj^rr^iîiji^tioîî s i m u l - tanée d'un certain noïnbre d'exponentielles de !a (iN'iïie ^'au moyo» dt»
f r a c t i o n s r a t i o n n e l l e s ; les ditîérenees entre ces exponeiïtielieM et îelirs valeurs apprcHîhées sont. représentées à l'aiile.d'intégrale» déJinie^,, et ces ap[»roximations perinettent d'établir en iaisarît ^ ïss î et en iftiippo*
sant entiers1 les nombres a, que c ne peut satisfaire II aucune équatimi ftigébrique à coefâcicmlâ entiers. On Bavait, depuis lorîgteïnpB janner 'des1: ; séries .repréâetîtant des nombres trangcendantss Liouvilje panîtt - avoir'donné le pïemier de tels exemples, mais cea noînbres î l e j o u a i e n i aucun-rô'ie'eîi Analyse. L'intérêt qui s'attaclie h un îîoinbre mî^ï (0:11- da:m,ental 'que e, 'donnait, au contraire, un prix in-uncnso k h d éif ions t ra- tion de ^transcendarïccL Quelques années après, M. Uwkmîmn, m s'inspirant deséludes d'IÏermile, dérnontntit l a1 trarîHccndarîce diî rapport r. de, la circonferencc-au dianiètre^ en inéme temps HC (rouvrit,
1 1 'parsuite, établie l ' i m p o s s i b i l i t é de la q u a d r a t u r e chi cercle. L'étude de
Ï,/OEUVRE SClENTmQUE 1>E CHAHLKS lUÎIWITE. 27
ces belles questions a été, (h:ms ces dernières années, n o t a b l e m e n i simplifiée, mais les principes an f o n d sont restés les m ê m e s , et les d é m o n s t r a t i o n s très simples que n o u s possédons a u j o u r d ' h u i ont été suggérées par les méthodes d'Hermite.
Apres son M-énsoire sur l ' e x p o n e n t i e l l e , H e r m i t e c o n t i n u a ses re- cherches sur les fractions continues algébriques. On connaissait de- p u i s Gauss le rôle des polynômes de Legendre dans le développement
(\Q lo^iL—-!. en fraction continue, et les recherches de M. Heine et
D j? + i. ^
de M. Christoffel avaient m o n t r é les rapports de la théorie des fractions c o n t i n u e s avec certaines é q u a t i o n s d i l l é r e n t i e l l e s l i n é a i r e s d u second ordre. Hermile étend tous ces résultats on m o n t r a n t c o m m e n t u n e cer- taine équation linéaire d'ordre n - h ï , généralisant l'équation de Gauss, se lie aux modes d ' a p p r o x i m a t i o n s s i m u l t a n é e s d o n t il avait d o n n é u n e application dans son M é m o i r e Sur la fonction exponentielle; i l étend ainsi, pour ne citer qu'un exemple, le résultat de Gauss, en dévelop- p a n t n logarithmes de la forme log^1-1^ Ci ^ ï , 2 , . . . , / / } en fractions c o n t i n u e s , ce q u i le c o n d u i t à généraliser à un p o i n t de vue très inté- ressant les polynômes de Legendre*
Nous avons déjà eu l'occasion de dire que la théorie des fracîions continues arithmétiques p e u t se généraliser de diverses manières. De même, la théorie des fractions c o n t i n u e s algébriques p e u t être étendue dans des directions d i f f é r e n t e s . Le problème s u i v a n t paraissait à Her- m i t e de grande i m p o r t a n c e et l'a souvent préoccupé : étant données n séries S ^ , Sy, ..., S^ procédant s u i v a n t les puissances croissantes de x, d é t e r m i n e r les polynômes X i , X ^ , . - . , X^ de degrés [j^, \j^, ..., p^
de m a n i è r e à a v o i r pour la somme S i X ^ 4- S ^ X a - h . . •••+- S//X^ une ap- proximation d\)rdre (x,i 4--.. .-h (J^-4- / / - — i . 1.1 en donne une s o l u t i o n très simple dans le cas'o'ù les S sont des exponentielles ^tr, et réussit dans le cas général, pour n === 3, à trouver un algorithme conduisant au résultat cherché sans avoir de systèmes d ' é q u a t i o n s à résoudre, Chemin f a i s a n t , il traite, m a i s d'une tout a u t r e m a n i è r e , le problème suivant, résolu par Tchebycheif et a n a l o g u e a un p r o b l è m e déjà mentionné d ' A r i t h m é t i q u e : Trouver d e u x polynômes X et'Y de de- grés m et n, de manière à avoir pour S^X "f" Sa Y — Sg u n e approxima- tion d'ordre m-^r n •— ^- L ' a l l u r e a r i t h m é t i q u e , si je p u i s le dire, de ces
^8 , ^ w\w,
problème intéressait v i v e m e n t H e r m i t e ; ils se rattachaient pour luiji des questions importantes d'Analyse; le Mémoire sur c en est hnueil- leure preuve.'Il avait antérieurement consacré u n élégant Mémoire an cas particulier de la détermination d ' u n système de polynômes U, V.
W, t e l s q u e U s m ^ 4 - V c o ^ + W commence pur h p i n s l i a n t e puis- sance possible1 de la variable; il en avait tiré u n e démonsirîition. i m m é - diate du théorème de Lambert sur l'incommensurabilité de T:\ ci peut- être avait-il songé un instant à déduire de ce genre -de eoîîsidéralioîîH la transcendance de TC.
La puissance de1 travail d'Hormite était coîîBidérable. Lît imn^
cendance de e, les fractions continues algébriques ne lui (ont paH abandonner les fonctions elliptiques* Dfes 1872, il est en po^e^iori de l'intégration de l'équation de Lamé, conmHï le montrent les feuilles lithographiées do son Cours de l'École Polytechnique. En ^77. il connncnce la p u b l i c a t i o n dans les Compta rmdus de ^on grand Mé- moire S'^r quelques applications défi/onctions elliptique^ Les (oneilonH doublement p é r i o d i q u e s dis sc^conde espèce, e'est'ii-dire ICB forîedoîîH qui se r e p r o d u i s e n t à nn (acteur eonstant prés par l'addition d'une période, J o u e n t nn rôle capital d a n s le t r a v a i l d ' H e r m i î e ; il étend k ee^
(onctions la décomposition en éléments s i m p l e s q u ' i l «vdt donnée jadis p o u r les fonctions de première espèce. I l est prêt alors pour (iîire l'intégration d'une équation rencontrée par Lamé dans la théorie de la chaleur. Cette équation linéaire du second ordre renferme une emi- stante a r b i t r a i r e . Lamé en avait f a i t l'intégratior» pour eertaiîWN vu- leurs de cette constante; Hennite lintègre'dana tous les cas au mo je ri des fondions doublement périodiques de'seconde espècef et rattache i. cette iîitégratkm la s o l u t i o n ' d e quelques problèmes 'da^ique^ de Mécanique, comme,1 .la recherche du .mouvement d ' u n corpa gollde avant, un point fixe et n'étant soumis à aucune force, et celui du pen- dule composé. Le côté algébrique tient aussi n n e grande phiee dfirw
1 ce, Mémoire, et les équations correspondant aux cas examinée par . : L a r n é ^ y sont l'objet d'une discussion a p p r o f o n d i e . Ces études sur l'équation de Lamé ont ouvert la voie a bien des recherche» amîly- tiques;'mais,, ce qui intéressait le plus ({ermite» ce sont les appliai- . tiens qu'on en()ou.vait faire à la Mécanique et à t'Aâtrouomie- Le titre qu'il avait donné à son Mémoire est à , c e t égard dgriificatif,1 ainsi
I/OEUVRE SCÏENTÏEÏQUE DE CHABLES HEBMÎTE. 2q
que la sympathie avec laquelle il s u i v i t les efforts de Gyidèn pour in- troduire les fonctions e l l i p t i q u e s en M é c a n i q u e céleste.
J'ai déjà bien longuement parlé des travaux d'IIermite sur les fonc- tions elliptiques. Je ne p u i s m'arrêter sur toutes les questions qu'il a étudiées dans cette théorie. Que de M é m o i r e s seraient encore à c i t e r , r e n f e r m a n t des idées ingénieuses et o r i g i n a l e s sur lesquelles il reve- n a i t avec joie : décomposition des (onctions d o u b l e m e n t p é r i o d i q u e s de troisième espèce, a l a q u e l l e M. Appel! devait apporter des complé- ments très importants, développements des fonctions elliptiques sui- vant les puissances croissantes de la variable, recherches des valeurs asymptotiques de quelques fonctions n u m é r i q u e s , et tant d'autres.
Hermite, comme Kronecker, s'est toujours servi des n o t a t i o n s de Jacobi. Il se trouvait trop vieux pour adopter les notations de Weier- strass, quand elles ont commencé à se répandre, 11 en, reconnaissait sans d o u t e l'avantage au point de vue de la théorie générale, et cer- tains invariants mis en évidence é t a i e n t faits pour l u i plaire. Mais je crois que la symétrie i n t r o d u i t e le touchait peu, la dissyrnétrie entre les périodes se produisant nécessairement dans les applications»
Rien n'aurait pu le décider à a b a n d o n n e r les fonctions ê et les admi- rables identités, si précieuses pour l'Arithmétique, d o n t la (orme lui était familière depuis tant d'années.
V.
C'est en 1869 quTtermite fut nommé professeur à la Faculté des Sciences. Au début, il traita de la théorie des é q u a t i o n s , mais à partir de 1875, a b a n d o n n a n t l'Algèbre dans ses Leçons, il se consacra au Calcul intégral et à la théorie des fonctions. Ceux qui l ' o n t entendu, et il y en a certainement parmi vous, garderont toujours le souvenir de cet enseignement incomparable. Quelles merveilleuses causeries, d'un ton grave que relevait par moments l'enthousiasme, où, à propos de la question la plus élémentaire il faisait surgir tout d'un coup d'im- menses horizons, et où à côté de la Science d'aujourd'hui on aperce- vait la Science de d e m a i n . Jamais professeur ne fut moins d i d a c t i q u e , mais ne fut plus v i v a n t . Je ne puis, dans mes souvenirs, le comparer
3o (•;. PUIASUï.
q u ' à W u r t x ; sou s des (ormes ires dififércn les r^m^nemoiitfiïl p e u r e u x un apostolat, et j'ai c o n n u (les a u d i t e u r s [HUI familiers avec h*s M'hn'ws et égarés dans les a m p h i t h é â t r e s do l l l l u s t r c géomHre ol (le» rillysl-n1* chimiste, sortir s t u p é f a i t s de voir q u ' u n e le^on d'Analyse et u n e teron de Chimie pussent être si poignantes H, si d r a m a t i q u e s Quand HiîrmiU»
parlait de la Scieûco, il 'faisait songer à Pasteur, et il a u r a i t pn (airo sienne cette phrase qui revenait souvent mir les levros de son grand contemporain, que la Science1 se (ait non scmlerîwnt awi: l^^prit inai^
aussi avec le cœur. C'est ce dont témoigne l ' i n é p n i s a h i ^ dévcH^îiiîcmt d'Hermite pour ses élevea; que d'heures il a pâH^éeH h corroMpolidrii avec des géomètres de tous pay^, connua ouinconniîSt l u i HMifirH'thuît.
leurs essais et sollicitant ses avis. Vrai directeur sdeïîtifiqiH^ il ré- pondait à tous avec u n e exquise hitônveillaneo, donnant sans cainpl(»r son temps et ses idées, persuadé q u ' u n savant ne conlîihue paH ^m- lement aux progrès de la Science par sea travaux personnels» niaiH aussi, par les co'nseils donnés, particnlierenient à ceux q u i ^ n t î T i î t dans la vie scientifique. (Jnc m a n i f e s î a t i o n grandiose < l e v a i t (Bontrer il Hermite, an soir de sa vie, q u ' i l n'avait j)as eu atlaire iii d(^ iî'îgnrbï heaucoup d'enire nous ont: sans d o u t e assisté à cetie hdle^t. toîicJlaîiite cérémonie du '^4 décerntîrc îy;)2, ou n été l'été son soixanii>dixièitn(î anniversaire.
L'enseignerruînt d'Hennite à la Sorhorîne a eK^rcé UÎKÎ t.rfeH grartdf influence. Ses cours ont été lilho^raplués et ont été lys et îxiédijé^ par tous les géomètres contemporains. I l rie craîgnaitpas de ^arrêter M v les débuts du Calcul intégral, et il d o n n a i t à réfléchir,à Mmlecteiw w les sujets leg plus élémentaires, Ainai une 'remarque immédiate sur l'expression delog^-^ p a r ' u î l e intégrale définie'l'amène un j o u r l i la'nolioîi de ce qu'il appelle une coupure, notion q u i l développiumMiit^
d'une manière générale. Les théories forKiamenialeB de Cau<-}iy rela- tives auxfonctions d'une varialde compleie tenaient line grande yhw dans son cours. Vers •î8»o, u n1 Mémoire de WcicrHtrass" mmïimmt paru appela vivement I n a t t e n t i o n ; les leçons d^llermile flwni conîiaitr(»
en France ,les idées d u ' g r a n d anaivsic a l l e m a n d . tJcpyb vingt mm, lous les géomètres ont étudié dans ces leçons la (.héam â^ fimi^mw analytiques; les idées essentielle, dégagées de tant w q u i ^î
L'OEUVRE SCIENTIFIQUE DE CHARLES HERMÏÏ.E. 3 l
accessoire, y sont mises en évidence avec un relief s i n g u l i e r . En m ê m e temps s'aperçoit l'esprit précis de l'algébriste q u e fut toujours Eîermite.
Il a i m a i t certes les théorèmes généraux, mais à condition qu'on les a p p l i q u â t ensuite à q u e l q u e question spéciale. Tous les géomètres n ' o n t pas à cet égard les mêmes besoins; il suffit à q u e l q u e s - u n s de j o u i r d ' u n bel énoncé général et il semble qu'ils craignent presque de gâter l e u r p l a i s i r a r t i s t i q u e p a r l a pensée d ' u n e a p p l i c a t i o n à un problème spécial.
Il est heureux, je crois, que tous les esprits n'aient pas les mêmes tendances, mais Hermite sur ce p o i n t avait u n e opinion bien arrêtée.
Aussi cherchait-il à i l l u s t r e r par de nombreux exemples les proposi- tions générales de Weierstrass et de Mitlag-Leffler sur la théorie des fonctions. Les fonctions e l l i p t i q u e s l u i d o n n a i e n t un beau champ d'applications. Son cours lui é t a i t l'occasion de travaux portant tou- jours u n e m a r q u e personnelle. D ' u n e a n n é e à l'autre, il é t e n d a i t le cercle des questions traitées; dans les derniers temps de son ensei- gnement, il s'était attaché p a r t i c u l i è r e m e n t à la théorie des intégrales eulériennes. Outre les a p p l i c a t i o n s q u ' i l y p o u v a i t faire des théo- rèmes généraux de l'Analyse, il se p l a i s a i t dans les t r a n s f o r m a t i o n s difficiles des intégrales définies, qu'il, m a n i a i t avec u n art consommé r a p p e l a n t les grands géomètres de la première moitié du siècle dernier, art qui semble se perdre a u j o u r d ' h u i . Des Mémoires élégants sur u n e extension de la formule de S t i r l i n g et sur la fonction l o g C f o ) f u r e n t le fruit de ces nouvelles recherches.
Hermite, d a n s ses leçons, ne s'arrêtait pus à discuter les premiers principes de l'Analyse. 11 p e n s a i t m o d e s t e m e n t q u e les études de Philo- sophie m a t h é m a t i q u e , si en h o n n e u r a u j o u r d ' h u i , devaient être de grande importance, puisque t a n t d'esprits éminents s'y a d o n n e n t ; mais, malgré toute sa b o n n e volonté, il ne p o u v a i t arriver à s'y intéresser.
La cause en était peut-être d a n s sa philosophie et un peu mystique sur l'essence du nombre ; il croyait que les nombres forment un monde ayant son existence propre en dehors de nous, m o n d e dont nous pou- vons saisir seulement ici-bas q u e l q u e s - u n e s des harmonies profondes.
Dans l ' a n t i q u i t é il eût été p l a t o n i c i e n , el au moyen âge, dans la longue q u e r e l l e entre le réalisme et le n o m i n a l i s m e , il cuirait suivi Guil- laume de Champeaux avec les réalistes» Dans u n e sphère moins élevée, mais dans un ordre d'idées se rattachant, û ce q u i précède, il avait vu
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avec'regrets les efïbrts faits depuis une v i n g t a i n e d'année pour intro- duire l'extrême rigueur dans renscigneinent. élémentaire. On l i t , dans un article écrit quelques semaines avant sa mort, M destiné a un journal d'enseignement : « I/adiniratîon, a-t-on d î t , est le principe du savoir, ...; je m'autoriseraî de cette pmnHW pour exprimer h* dé^ir qu'on fasse la1 part plus large, pour les é î n d î a n l î s a u x choses shnphs et belles, qu'à l'extrême rigueur a u j o u r d ' h u i si en h o n n e u r » mah hliui peu attrayante, souvent même fatigante et sans grand profit pour h*
commençant qui n'en, peut comprendre Pintérâl ». ToyUî la niéîiiodf*
d'enseignement d^Hermite tient en raccourci dan^aîB quidqueH lignes : personne plus que lui n e ' s u t1 exciter l^admiratiori pour iw dïMt^
simples et belles.
Arrivé au terme de cette leçon, je suis loin d'avoir érsiirnéré IOUM les mémoires ou notes d'Hermile q u i demanderaient lîiw mentiorî»
II f a u t au moins citer ses recherches sur la représerîtaiion analyliqiic*
des s u b s t i t u t i o n s , ses belles études sur les polynômes à deux variabihm qui, généralisent les polynômes de Le^endr^ nur l'inierpolatioîît wv les nombres de B o r n o u l l i , sur les fonctions sphérique^ ete^ tout<*N portant la Irace de sa rare p é n é t r a t i o n .
La^ran^e vieillissant, à ce q u e raconte Ddambr^ a v a i t perdu Ib goût des Matliérnatiques, et son entbousiasmn s'était, étcini» Ili^nîHte fut plus heureux; les fatigues de l'âge ne r a l e n t i r e n t pw Hon netivité intellectuelle, ni l^intérêt qifil prenait aux clio^es de la pmméc. Sa belle intelligence garda jusque la im toute sa vivacité, et il ecN'i tin liait à suivre de près le mouvement scientifique conteroporairiaSaxis: douter chose bien naturelle chez1 un vieillard1 de son âgey ilavait à iaire,dc*N rés-erves'au sujet âe'certameâtîardiesgeB de la pettaée nrïatîiéîîîatiqye actuelle; 'mais, plus optimiste sur ce terrain qu^l île l^était d^autres domaines, il aimait à eapererque de cette vie intense sortiri»i|
quelque'chosede grand et de durable^ et il entrevoyait un bel avenir pour la Science mathématique d u XXe siècle. Parfois il regrettait que la théorie des nombres fût p e u ' c u l t i v é e en Francey regret d^aulartt mieux justifié que la pénétration fatale de la théorie des nombres dan».
la théorie des fonctions donnera u n e ' g r a n d e force à ceux q u i serorît pénétrés des principes de l^Arilhmétiquc supérieure, et que certaines recherches relatives a la fois à rArithrnétique et à FAïlalyse dw forîc"
L'OEUVRE SCÎENTTFÏQUE DR CHARLES liE-RMÏTE. 33
tiens pourraient donner, semble-t-il, dès a u j o u r d ' h u i une fructueuse moisson. Il se rappelait qu'il n'aurait jamais pu écrire son Mémoire sur la transformation des fonctions abéliennes s'il n'avait été familier avec les questions a r i t h m é t i q u e s , exemple del'appui que se prêtent les diverses parties de la Science et du danger qu'il y a, pour les cher- cheurs, à se cantonner dans des d o m a i n e s spéciaux.
Dans ses dernières années, l ' i m m e n s e correspondance d'Hermite l'oc- cupait de plus en plus. Il n'avait j a m a i s aimé le monde, et il en redoutait les obligations q u i ne sont souvent pour l'homme d'étude que de grandes pertes de temps. Toute son activité extérieure se concentrait dans de longues causeries épistolaires avec de l o i n t a i n s amis. Les Ma- thématiques en formaient une b o n n e part, mais aussi bien d'autres sujets, et, entre deux pages consacrées aux fonctions e l l i p t i q u e s et aux, nombres de B e r n o u l l i venait s'intercaler une page sur la p o l i t i q u e européenne. Ses lectures s'étendaient sur les sujets les plus variés, et son excellente mémoire retenait fidèlement t o u t ce qu'il avait lu. A côté du, savant, il y avait chez Hermite un écrivain. Dans les Notices q u ' i l eut à écrire de temps à autre, son style grave, exempt de toutes recherches, laissait une impression profonde; plus d'une page d a n s sa correspondance mériterait d'être conservée, s'il était permis de la publier.
L'œuvre d'Hermifce se trouve dispersée d a n s un grand nombre de journaux scientifiques français et étrangers; elle grandira encore quand elle se trouvera rassemblée et qu'on pourra a i n s i mieux juger de sa belle u n i t é . A peu d'exceptions près, les M é m o i r e s sont courts.
La marche générale des idées y est toujours mise en évidence, mais, surtout dans la première p a r t i e de la carrière d ' H e r m i t e , la rédaction se présente sous une forme synthétique, et le soin d'établir de nom- breuses propositions intermédiaires, dont l'énoncé seul est i n d i q u é , est laissé à la charge du lecteur. Quel. fructueux exercice que la lecture d'un de ces Mémoires f o n d a m e n t a u x pour l ' é t u d i a n t bien doué q u i cherche à en rétablir tous les détails.
Le temps n'est pas encore venu, et, d'ailleurs, il ne m'appartient pas de porter un jugement surTœuvre d'Hernmte. Certaines parties de cette œuvre sont aujourd'hui en pleine l u m i è r e et ont r e n d u son nom cé- lèbre, d'autres seront dans l'avenir la source de belles découvertes
^tnn.diî l'Éc^ Normale. 3e Série. Tome XVllL — JANVIKK IQOÎ. 'à
^4 É. PICAÏU). — ï/CEUVnE SCÎENTinQtDK DE CHAHU'IS Î Ï E K M m : ,
et contribueront encore à sa renonunée. Une impression p e u t t o u - tefois se dégager de cette é t u d e s o m i n î l i r e . Les Travaux les phis im"
portants dTîerrnite se rapportent uix ionctions ^ I l i p i i q î i c s i*! îiln'»- liennes, aux formes algébriques ei * lîi t l i ^ o r i t1 des î i o m h r r s î m u i s r^s divers Travaux ne sont pas isolés et l'on éprouve IHÎ s h i ^ î i l i e r e!îil»^rnis à les faire rentrer dans une classification (|ui» en Maiheni;»liques roîlEHiïe ailleurs, est toujours insuffisante ei provisoire. I.es recherches sur l'équation du cinquième de^ré a p p a r t i e n n e n t - e l l e s îi l ' A l ^ e l » r e 011 ii j.t Théorie des fonctions elliptiques, et 1(» Mémoire sur hi in.irîsdH^iiï.îtitm des fonctions a b é l i e n n e s relevc-t-il <le i ' A r i t l î i n é t i c j u e ou de h Théorie- dés fonctions? Si c e p e n d a n t / e n restant dans le^ cadrer l i î d ^ i î i î e l s , (HÎ veut essayer de d é f i n i r le génie dTtermhe» on p e u l dire que !eH ( ï i ) i ( ï î s de vue a r i t i n n é t i q u c ei a l g é b r i q u e prédoniuwnl d a n s yon «îtivre. €t^î er^AI^chre el en Arill.nnéti(iu(t <iu11 ïi é t é s u r l o u î Î:H'Î i n v i ^ i i t e i i r et. un créateur. Avec Caylej ef, Sylvesî^r, il n ( o n d e la théorie «ICH c o v î i r i î î î i t ? . des formes a l g é b r i q u e s , el les a d n i i r a l d e s reclîercbes, nu i l a i n i m h î i l .le c o n t i n u dans le d o r n u i n e du ( l i s c o î i l i n u , l u i assurent d a n s h i T l î é o n e des nombres, celte reine des M n t b é n i a l i q u e s , u n e phiee < 1 1 î 0 î i î ï e u r a côté des deux grands ^éomeîres, d o î i l il « i m a i l h se diî'e le d i s c i p l e » Gauss et Diriciile^
