CHAPITRE 2:BASES DE LA TECHNOLOGIE DESROBOTS

CHAPITRE 2:

BASES DE LA TECHNOLOGIE DES ROBOTS

2.1 STRUCTURE ARTICULEE D’UN ROBOT

STRUCTURE ARTICULEE

• Un robot est une structure articulée formée de corps que l’on va supposer rigides, reliés par des joints cinématiques

DEGRES DE LIBERTE D’UN CORPS RIGIDE

• Repérage d’un corps rigide libre dans l’espace

– spécifier la position + l’orientation

– au moyen de la position de 3 points non colinéaires – 3 relations de liaisons (distance fixe entre les points)

• 6 degrés de liberté (DDL)

– 3 ddl de translation

• position d’un point de référence dans un système de coordonnées – 3 ddl de rotation

• paramètres de rotation: angles d’Euler, de Bryant, etc.

z

x y B

A

C

z'

y'

x' B A

C

2.1 STRUCTURE ARTICULEE D’UN ROBOT

JOINTS ET LIAISONS CINEMATIQUES

• Les corps rigides sont reliés par des joints

• Introduisent des contraintes entre le mouvement des corps rigides du système multicorps

•

Contraintes algébro-différentielles

en toute généralité

• Si a on « N » corps rigides et « m » contraintes de liaison

Alors le système multicorps ne possède plus que 6N-m degrés de liberté

COORDONNES GENERALISEES

• Un ensemble de paramètres en nombre minimal permettant de décrire la configuration du système

• Généralement choisies pour satisfaire implicitement les contraintes de liaison

2.2 PAIRES CINEMATIQUES

• Classification des paires cinématiques

– Le type de mouvement relatif autorisé

• selon une ligne, une surface ou arbitraire dans l’espace – Le nombre de DDL

• = le nombre minimum de paramètres nécessaires pour décrire la position du corps C₂ relativement au corps C₁

• soit 5, 4, 3, 2, ou 1 DDL

• la classe d’un joint= 6 - (nombre de DDL) – Le type de contact

• ponctuel, linéaire ou surfacique – Mode de fermeture

• Paires auto-fermées

– si le contact entre les deux corps est garanti par la réalisation de la liaison

• Paires fermées de force

C1

C2

Liaison

2.2 PAIRES CINEMATIQUES

• Paires cinématiques supérieures et inférieures

– Paires inférieures:

• Le contact entre les corps s’effectue sur une partie substantielle d’une surface.

• Point essentiel : le mouvement relatif des corps l’un part rapport à l’autre est identique

• Le mouvement est réversible : peu importe l’élément moteur

• Seulement 6 paires

– liaisons rotoïde (R ), prismatique (P) et hélicoïdale (H) (toutes de classe 5) – liaison cylindrique (C )

– liaison point sur plan (E) et sphérique (S) – Paires supérieures:

• Caractérisée par un contact ponctuel ou linéaire

• Parfois sur un point immatériel

• Toutes les autres

2.2 PAIRES CINEMATIQUES

Exemples de paires supérieures

2.2 PAIRES CINEMATIQUES

Il est possible de remplacer la plupart des paires cinématiques par des combinaisons de joints de classe 5: rotoide, prismatique ou hélicoïdal

2.2 PAIRES CINEMATIQUES

2.2 PAIRES CINEMATIQUES

• Les paires cinématiques les plus répandues (99%) en robotique

– le joint rotoïde R: mouvement de rotation relatif

– le joint prismatique P: mouvement de translation relatif

• Pour les transmissions

– le joint hélicoïdal: transforme un mouvement de rotation en mouvement de translation

2.3 CHAINES CINEMATIQUES

• Structures en chaîne articulaire ouverte simple (simple open-tree structure)

– Chaque corps est attaché à seulement 2 voisins

– Structure purement séquentielle

– Architecture habituelle du robot manipulateur

• Structures en chaînes ouvertes arborescentes (multiple open-tree structure)

– Certains corps sont connectés à plus de deux autres corps

– Plus possibilité de numéroter les corps de manière séquentielle – Utilisation du concept de graphe

– Possibilité d’avoir plusieurs effecteurs (comme le corps humain) – Rare en robotique

• Structure complexe (multiply connected structure)

– Présence de boucles fermées

– Modélisation basée sur les structures simplement connectées + contraintes liées à la fermeture des boucles

– En robotique industrielle: grande raideur, grande précision, mais faible mobilité

2.3 CHAINES CINEMATIQUES

Co 1

Cn+1

Ln+ 1 Ln+ 2

Ln+ k

Ln+ k+ 1 Cm

Cn+ k

Co 1 C

C

L C

L

L 3

2

4

2 3

5

Co L C

C

C

L L

L L

1

1 2

i

i+ 1

i n

n

Simple open-tree structure

Complex structure

Multiple open-tree structure

2.3 CHAINES CINEMATIQUES

• 3 architectures courantes en robotique industrielle

– (a) simple open-tree structure (RRR) – (b) simple open-tree structure (PPP) – (c) multiply open-connected structure

2.3 CHAINES CINEMATIQUES

• Description des chaînes cinématiques simples et ouvertes

– Description effectuée à partir de la base du manipulateur (corps 0)

– Chaque corps C_iest attaché à C_i-1par la paire cinématique L_iet au corps C_i+1 par la paire L_i+1

– Les robots formés par un chaîne cinématique simple ouverte peuvent être décrits par une séquence de n lettres (n = le nombre de joints) R ou P qui définit la séquence et le type de paires cinématiques croisées lorsque l’on progresse depuis la base jusqu’à l’effecteur.

– Exemple: PRR

Co L C

C

C

L L

L L

1

1 2

i i+ 1

i n

n

2.4 INDICE DE MOBILITE ET FORMULE DE GRUBLER

• Indice de mobilité M:

– Nombre de paramètres libres pour déterminer la configuration du manipulateur

• Formule de Grübler:

– Soient

• n_B, le nombre de corps

• n_J, le nombre de joints

• n_L, le nombre de boucles

• f_jles nombres de ddl de l’articulation j, et c_j= 6-f_jla classe du joint j – Le nombre de ddl d’une chaîne cinématique est donné par:

M = 6nB ¡

n_J

X

j=1

(6¡fj) M = 6(nB¡nJ) +

nJ

X

j=1

fj

2.4 INDICE DE MOBILITE ET FORMULE DE GRUBLER

• Formule de Grübler:

– Le nombre de boucles:

– L’indice de mobilité s’écrit alors

• Attention !

– Dans le cas d’un mécanisme plan ou sphérique, on a seulement 3 ddls et le nombre de ddl d’une chaîne cinématique est donné par:

– La formule de Grübler peut être erronée pour certaines structures complexes, si les contraintes cinématiques dans les boucles sont redondantes

nL = nJ¡nB

M = 3(n

B

¡ n

J

) ¡

nJ

X

j=1

f

j

M =

nJ

X

j=1

fj ¡ 6nL

M =

nJ

X

j=1

fj ¡ 3nL

2.4.2 – 2.4.3 Indice de mobilité et nombre de ddl cinématiques d’un robot en chaîne ouverte simple

• Indice de mobilité d’un manipulateur en chaîne ouverte simple

– Nombre de corps = nombre de joints

– Tous les joints sont de classe 5

• Nombre de ddls n

_R

d’un robot manipulateur

– Nombre de paramètres indépendants qui fixent la localisation de l’effecteur

n

R

· M

M = nB = nJ

2.4.6 – 2.4.7 Redondance et singularité d’un manipulateur

• Nombre de ddls n

_R

d’un robot manipulateur

– Nombre de paramètres indépendants qui fixent la localisation de l’effecteur

• Redondance

– Il existe des redondances si

• Singularité

– La singularité arrive lorsque pour un sous-ensemble de paramètres fixés, la configuration donne lieu à une redondance locale

n

R

< M n

R

· M

2.4.6 – 2.4.7 Redondance et singularité d’un manipulateur

Problème de redondance Problème de singularité

•Comparaison de l’indice de mobilité et du nombre de ddls cinématiques

2.4.6 –2.4.7 Redondance et singularité d’un manipulateur

• CRITÈRES DE REDONDANCE D’UN MANIPULATEUR – Plus de 6 joints (pour un robot dans l’espace)

– Plus de 3 joints pivots avec des axes concourants – Plus de 3 joints pivots avec des axes parallèles – Plus de 3 joints prismatiques

– Deux joints prismatiques avec des axes parellèles – Deux joints rotoïdes avec des axes identiques

• CRITERES DE SINGULARITE Il y a singularité lorque

– Deux axes prismatiques arrivent en parallélisme – Deux axes rotoïdes arrivent en coïncidence

2.4.6 – 2.4.7 Redondance et singularité d’un manipulateur

(c)

(b)

(d) (a)

Configurations redondantes: (b)

Configurations singulières: (a) et (c )

2.4.8 Exercices sur le calcul des ddls d’un mécanisme

n

_B

= 3 n

_J

= 4

n

_L

= n

_J

– n

_B

= 1 f

_j

= 1 (j=1…4) M = 3*(3-4)+4=1

n

_B

= 3 n

_J

= 4

n

_L

= n

_J

– n

_B

= 1 f

_j

= 1 (j=1…4) M = 3*(3-4)+4=1

2.4.8 Exercices sur le calcul des ddls d’un mécanisme

n

_B

= 6 n

_J

= 7

n

_L

= n

_J

– n

_B

= 1 f

_j

= 1 (j=1…7) M = 6*(-1)+7=1

n

_B

= 3 n

_J

= 4

n

_L

= n

_J

– n

_B

= 1

f

₁

=f

₄

= 1; f

₂

=2; f

₃

=3

M = 6*(-1)+1+2+3+1=1

2.4.8 Exercices sur le calcul des ddls d’un mécanisme

n

_B

= 8 n

_J

= 11

n

_L

= n

_J

– n

_B

= 3 f

_j

= 1 (j=1…11) M = 3*(-3)+11=2

n

_B

= 7 n

_J

= 11

n

_L

= n

_J

– n

_B

= 4

f

_j

= 1 si R; f

_j

= 2 si T; f

_j

= 1 si S M = 6*(-4)+1+5*2+5*3=2

2.4.8 Exercices sur le calcul des ddls d’un mécanisme

2.5 NOMBRE DE DDLS D’UNE TACHE

• Nombre de ddls n

_T

d’une tâche donnée:

– Nombre de paramètres indépendants nécessaires pour décrire la position et l’orientation de l’effecteur pour toutes les configurations qui doivent être atteintes durant la tâche.

– Souvent, le nombre de ddls de la tâche est inférieur à 6 Par exemples:

• tâche exigeant le positionnement d’un outil cylindrique

• insertion verticale (de composants électroniques par exemple)

• Adéquation du robot manipulateur à la tâche

nR = nT

n

T

< 6

n

T

< 5

nT <4

2.6 DECOUPLAGE CINEMATIQUE ENTRE L ’ORIENTATION DE L’EFFECTEUR ET SA POSITION

• Architecture

– Le bras : les 3 premières paires cinématiques de type R ou P

– Le poignet : les 3 paires terminales de type R avec des axes sécants et orthogonaux 2 à 2

2.6 DECOUPLAGE CINEMATIQUE ENTRE L ’ORIENTATION DE L’EFFECTEUR ET SA POSITION

• Propriétés

– Point O = centre d’un joint sphérique (rotule) virtuel – La position de O ne dépend que de L₁, L₂et L₃

– Les déplacements L₄, L₅et L₆ n’affectent que l’orientation de l’effecteur autour de O

• Conséquences:

– Réduction du problème à 6 ddls en 2 problèmes à 3 paramètres

• Structure mécanique des robots:

– le bras: les liens C₁à C₃et les paires L₁à L₃ – le poignet: les liens C₄à C₆et les charnières L₄à L₆

2.7 LES ARCHITECTURES COURANTES DE BRAS ROBOT EN CHAÎNE OUVERTE

• Les architectures les plus courantes: PPP, RPP, RRP et RRR (99% du marché)

– Basées sur les différentes manières de définir les cordonnées spatiales de l’effecteur: coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques et universelles.

– (a) PPP : 14%; (b) RPP :47%; (c) RRP : 13%; (d) RRR: 25%.

• Émergence de nouvelles architectures: RPR, PRR, RRP

– Translation le long d’une joint prismatique d’un mécanisme

articulé coplanaire – Avantageux pour

l’assemblage (de composants par exemple)

2.7 LES ARCHITECTURES COURANTES DE ROBOTS

GANTRY ROBOT PPP SPHERICAL ROBOT RRP CYLINDRICAL ROBOT RPP

SCARA ROBOT RRP PARALLEL ROBOT

ANTROPOMORPH ROBOT RRR

2.8 ESPACE DE TRAVAIL D’UN ROBOT 2.8.1 Définitions

• Espace de travail :

– L’ensemble des positions et orientations accessibles par un repère particulier lié à l’organe terminal du robot lorsque les paramètres articulaires prennent toutes les valeurs permises.

• L’espace de travail en position (reachable workspace) :

– L’ensemble des positions accessibles qu’un point particulier de l’organe terminal du robot peut atteindre pour au moins une orientation lorsque les paramètres articulaires prennent toutes les valeurs permises.

• L’espace primaire (dexterous workspace) :

– L’ensemble des positions de l’espace de travail qui peuvent être atteintes avec toutes les orientations possibles.

• L’espace secondaire:

– L’ensemble des positions de l’espace qui ne peuvent être atteinte que pour certaines orientations données.

• L’espace de travail à orientation donnée

2.8 ESPACE DE TRAVAIL D’UN ROBOT 2.8.1 Définitions

Espace de travail en position

Espace de travail en dextérité Espace de travail à

orientation donnée

Espace de travail secon daire

2.8.2 Comparaison des espaces de travail relatifs à différentes configurations du bras

• Hypothèses:

– Longueur L des membres

– Rotations de 360° des joints rotoïdes

– Translations sur une longueur L des joints prismatiques

• Structure PPP Structure RPP

2.8.2 Comparaison des espaces de travail relatifs à différentes configurations du bras

• Structure RRP Structure RPR

• Volume: V=28/3 π L

³

~ 29 L

³

Volume V=4πL

³

~ 13 L

³

2.8.2 Comparaison des espaces de travail relatifs à différentes configurations du bras

• Structure RRR

Volume: V=32/3 π L

³

~34 L

³

2.8.3 Optimisation de l’espace de travail

• Optimisation de l’espace de travail doit tenir compte:

– De butées articulaires

– C-à-d de la limitation des angles de rotations et des rapports d’allongement des joints prismatiques

• Optimisation des configurations PRR et RRR

– Peut être ramenée à l’optimisation de l’espace de travail d’un manipulateur à 2 DDL

– Hypothèses:

• Élongation maximum du mécanisme

• Bornes sur les angles des charnières L=`1+`2

µ1m·µ1M and µ2m·µ2M

2.8.3 Optimisation de l’espace de travail

Workspace of first type

Workspace of second type

Workspace of third type

0·µ2m·µ2·µ2M ·¼ ^{¡¼·µ2m·µ2·µ2M·0}

0·µ2m·µ2·µ2M; µ2M¸¼ µ2m· ¡¼; µ2m·µ2·µ2M·0

µ2m·µ2·µ2M; ¡¼ < µ2m<0; 0< µ2M < ¼

2.8.4 Évaluation de l’aire balayée par l’effecteur

• Aire balayée par O

• Le changement de coordonnées

• La matrice Jacobienne

• Son déterminant

A = Z

dx dy = Z

jdet Jjdµ1µ2

x = `1cosµ1 + `2cos(µ1+µ2) y = `1sinµ1 + `2sin(µ1+µ2)

J =

· ¡`1sinµ1 ¡ `2sin(µ1+µ2) ¡`2sin(µ1+µ2)

`1cosµ1 + `2cos(µ1+µ2) `2cos(µ1+µ2)

¸

det J = `

1

`

2

sin µ

2

2.8.4 Evaluation de l’aire balayée par l’effecteur

• Aire balayée par O

• Ou encore de manière plus formelle, on a A = `

1

`

2

(µ

1M

¡ µ

1m

)

Z

µ2M

µ2m

j sin µ

2

j dµ

2

A = `

1

`

2

(µ

1M

¡ µ

1m

)f (µ

2m

; µ

2M

)

2.8.5 Optimisation de l’aire balayée par l’effecteur

• L’aire balayée est à maximiser par rapport au paramètre

• Conditions d’optimalité

• Valeur optimale: l’espace de travail est maximum lorsque les deux liens ont la même longueur

¸ =

<sup>`</sup><sub>`</sub>¹₂

A = ¸

(1 + ¸)

²

L

²

(µ

1M

¡ µ

1m

)f(µ

2m

; µ

2M

)

dA

d¸ = 1 ¡ ¸

(1 + ¸)

³

L

²

(µ

1M

¡ µ

1m

)f(µ

2m

; µ

2M

) = 0 for ¸ = 1

d

²

A

d¸

²

= 2(¸ ¡ 2)

(1 + ¸)

⁴

L

²

(µ

_1M

¡ µ

_1m

)f (µ

_2m

; µ

_2M

) · 0 for ¸ = 1

2.8.6 Optimisation de l’espace de travail avec [θ

_2m

, θ

_2M

]

• Variation de l’aire balayée:

– L’intégrant = variation de l’aire balayée

est maximum lorsque on est autour de 90° et nulle pour 0° et 180°

• Conclusion: L’aire balayée est maximale pour une variation de l’angle centrée

`

1

`

2

j sin µ

2

j (µ

_1M

¡ µ

1m

)

2.9 PRECISION, REPETABILITE ET RESOLUTION

• Expérience:

– Un robot ayant une posture et une position de l’outil A est envoyé dans une autre posture où l’effecteur doit se retrouver dans une position B

– Soit <B> la valeur moyenne de la position B au cours des déplacements.

A

B

<B>

Accuracy Repetability

2.9 PRECISION, REPETABILITE ET RESOLUTION

• PRÉCISION STATIQUE

– La déviation entre la localisation B programmée et la localisation moyenne <B> est une mesure de la précision du manipulateur.

– La précision peut dépendre:

• des configurations géométriques A et B

• de la trajectoire entre A et B

• de la précision statique de la loi de contrôle des actuateurs

• de la flexibilité des membres et des articulations

• de la charge transportée

• des frictions et backlash des joints

• de la résolutions des senseurs de position et de vitesse

• ...

– La précision statique en pratique:

• Précision de position: inférieure à quelques millimètres

• Précision d’orientation: inférieure à quelques dixièmes de degré

2.9 PRECISION, REPETABILITE ET RESOLUTION

• REPETABILITE

– Elle est mesurée par la déviation entre la localisation moyenne <B> et les localisations successives atteintes effectivement.

– La répétabilité n’est pas affectée par aucune cause systématique d’erreur (par définition).

– Généralement meilleure que la précision statique.

• RESOLUTION

– C’est la plus petite distance entre une configuration initiale A et une configuration finale B qui génère une changement réel de l’outil.

– Elle dépend:

• de la résolution des senseurs de position et de vitesse

• des longueurs des mots utilisés pour les calculs

• du rapport de transmissions des chaînes de transmission