Terminale STG Exercices sur le chapitre 8 : E3. 2007 2008
E3 Découverte des arbres pondérés.
N ° 5
Dans un mélange de graines de fleurs roses et de fleurs jaunes, 60 % sont des graines de fleurs roses, 50 % des graines de fleurs roses germent correctement et 80 % des graines de fleurs jaunes germent correctement.
On sème une graine prise au hasard dans ce mélange.
La situation décrite dans l'énoncé peut être représentée par l'arbre ci dessous, où l'on note les événements : R : " la graine de fleur est rose "
J : " la graine de fleur est jaune "
G : " la graine germe correctement ".
Reproduisons l'arbre que l'on va compléter dans les questions suivantes.
0,5 G R
0,5 G G
0,6
0,4 0,8 J
0,2 G
1. On considère les branches au premier niveau de l'arbre. comme l'on sème une graine prise au hasard dans ce mélange, il y a équiprobabilité.
Donc on peut appliquer la formule p =
spossibles nombredeca
favorables cas
de nombre
a ) Dans le mélange, il y a 60 % de graines de fleurs roses donc p ( R ) = 60 % = 60
100 = 0,60.
b ) Deux événements sont dits contraires lorsqu'ils sont incompatibles et s'ils contiennent à eux deux toutes les issues de l'univers.
On note A le contraire de A et on a : A ∩ A = ∅ et A U A = Ω. On étudie un mélange de graines de fleurs roses et jaunes.
Donc les événements J et R sont contraires. Donc p ( J ) = 1 − p ( R ) = 1 − 0,6 = 0,4.
c ) Reportons sur l'arbre de probabilité p ( J ).
2. On considère les branches au second niveau de l'arbre.
a ) La probabilité que la graine germe correctement sachant que c'est une graine de fleurs roses correspond à la probabilité conditionnelle de valeur 0,5. Autrement dit pR ( G ) = 0,5.
La probabilité que la graine germe correctement sachant que c'est une graine de fleurs jaunes correspond à la probabilité conditionnelle de valeur 0,8. Autrement dit pJ ( G ) = 0,8.
b ) Complétons l'arbre avec pR ( G ) = 1 − pR ( G ) = 1 − 0,5 = 0,5.
pJ ( G ) = 1 − pJ ( G ) = 1 − 0,8 = 0,2.
3. Parcourons maintenant les branches de l'arbre.
a ) R ∩ G est l'événement : " la graine de fleurs est rose et germe correctement ".
J ∩ G est l'événement : " la graine de fleurs est jaune et germe correctement ".
b ) Calculons p ( R ∩ G ) = pR ( G ) × p ( R ) = 0,5 × 0,6 = 0,3.
Le résultat du cours utilisé est : on peut calculer la probabilité de l'intersection avec la formule pB ( A ) =
) B ( p
) B A (
p ∩ ⇔ pB ( A ) × p ( B ) = p ( A ∩ B ).
Comment visualiser ce calcul sur l'arbre :
il s'agit du produit des probabilités portées sur les branches passant par R et G.
c ) Calculons de même p ( J ∩ G ) = pJ ( G ) × p ( J ) = 0,8 × 0,4 = 0,32.
d ) La probabilité que la graine prise au hasard germe correctement est donc égale à p ( G ) = p ( R ∩ G ) + p ( J ∩ G ) = 0,3 + 0,32 = 0,62.
