Chapitre 7 Coniques

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Mathématiques – cours : Chap 7 : Coniques

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Chap 7 : Coniques

I. Coniques comme lieu de points

{ , ( , )}

[0;1[

1 ]1; [

( , ) Conique de directrice de foyer et d'excentricité :

Si : Ellipse Si : Parabole Si : Hyperbole projeté orthogonal de F sur D

D F e

M D MF e d M D e

e e

G p e d F D e FG

= ∈ = ×

∈

=

∈ +∞

= × = ×

C

1. Parabole (e=1)

2

( , )

1 2

Repère : FG

O mil F G i FG

e p FG x y

p

= =

= ⇒ = =

 

2

: ( ) 2

( ) x t t

Paramétrique p

y t t

 =

 

 =



P

2. Ellipse (e<1)

GF p

i p eFG FG

GF e

= = ⇔ =

 

1e p2 (pour l'annulation des termes en x par la suite) OF c i c

e

= × = ×

−

 

2 2 2 2

2

2 2

: ( ,0)

1 1

(1 )

D x c FG c p F c e

x y x y

c c a b

e e e

= + = +

+ = ⇔ + =

−

2 2 2 2

1 ( ) cos

: ( ) sin

' et symétriques de et par rapport à '

c c

a b e c a b

e e

x t a t Paramétrique

y t b t

F D F D O

= = − = −

 =

 =



⇒

E

3. Hyperbole (e>1)

2 1

GF p e

i c

GF e

= = ×

−

 

(2)

2 2

2 2 2 2

2

2 2

: ( ,0)

1 1

( 1)

D x c F c e

x y x y

c c a b

e e e

=

− = ⇔ − =

−

2 2 2 2

1 ( ) ch

: ( ) sh

c c

a b e c a b

e e

x t a t Paramétrique

y t b t

= = − = +

 = ±

 =

H



II. Conique comme zéros d’un polynôme de degré 2 en x, y

2 2

: ax + bxy + cy + dx + ey + = f 0 ( ) E

C

2 2

, 1 arctan

4 2

' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 ( ')

Si on veut étudier en détail, on tourne le repère pour éliminer le terme en

si on prend sinon on prend

On factorise selon les cas (sig

xy c a b

a c

a x c y d x e y f E

θ π θ

 = = =     

  −  

 

+ + + + =

ne de ), et on translate le repère pour récupérer des équations correctes

∆

2 2

4 ' 4 ' ' '

E ac b E a c b

∆ = − = ∆ = −

2 2

0 0 2 2

' '

0 ' ' ' ' '

2 ' 4 '

' 0

0 '( ' ) '( ' )

1 1

' '

0 0

Si : Parabole

(dégénérée si : droites parallèles ou ) Si : Ellipse

(dégénérée si ) Si : Hyperbole

E

e e

c y d x f Y DX

c c

d

X Y

a x x c y y

a c

a

ρ ρ

ρ

 

∆ =   +   = − − + ⇒ =

= ∅

∆ > − + − = ⇒ + =

≤

∆ < '( '

₀

)

²

( ')( '

₀

)

² ²₂ ²₂

1 1

' '

(dégénérée si 0 )

X Y

x x c y y

a c

ρ ρ

ρ

− − − − = ⇒ − =

= III. Propriétés

1. Asymptotes de l’hyperbole

( ) ch

( ) sh a pour asymptotes

x t a t b

y x

y t b t a

 = ±

 = = ±

H



Preuve : utiliser la forme paramétrique

(3)

3

2. Définitions bifocales de l’ellipse et de l’hyperbole

{M ,MF MF' 2 }a

= ∈ + =

E P

Preuve : utiliser la définition comme lieu de points. Puis partir de MF+MF’, calculer MF²-MF’² pour en déduire MF-MF’ et finalement MF=(a-ex)

{M , |MF MF' | 2 }a

= ∈ − =

H P

3. Tangentes

Ellipse : bissectrice extérieure des droites (MF) et (MF’)

Preuve : utiliser la forme paramétrique, poser f t: FM t( )+F M t' ( ), introduire O (Chasles et le produit scalaire), en déduire que ( ) ' ( )

( ) 0

( ) ' ( ) FM t F M t T t FM t F M t

 

⋅ + =

 

 

 , c'est-à-dire que le vecteur tangent est

perpendiculaire au vecteur directeur de la bissectrice intérieure Hyperbole : bissectrice intérieure de (MF) et (MF’)

Preuve : idem ellipse

Parabole : bissectrice extérieure de (MF) et (HM) Preuve : mq  FH t( )⋅T t( )=0

(car triangle HMF isocèle) Equations cartésiennes :

Parabole :

2( y − y y

0

)

0

− 2 ( p x − x

0

) = 0

Ellipse : ⁰( ₂ ⁰) ⁰( ₂ ⁰)

x x x y y y 0

a b

− −

+ =

Hyperbole : ⁰( ₂ ⁰) ⁰( ₂ ⁰) x x x y y y 0

a b

− − − =

Preuves : Equation paramétriques et déterminant.

4. Equation polaire de la conique de foyer O

( , ) ( , )

1 cos( )

proj. orth. de O sur D

M G d

p

ρ θ ϕ

ρ

⁼ +

θ ϕ

−

Preuve : utiliser le projeté orthogonal M’ de M sur (OG), ainsi MH=MG et M G' = −d

ρ

cos(

θ ϕ

− )

(4)

4

IV. Autres occurrences 1. Affinité orthogonale

2 2 2

2 2

1

2 2 2

: 0

'

( ) : 1

( ) ( ) 1 ( )

(Utiliser )

est une ellipse, d'axe focal si , sinon

On peut retrouver toutes les ellipses ansi (en choisissant et

x y R x x

M M

y y

x y

C R R

C Ox Oy

R a b

ϕ α

α

ϕ ϕ

α

ϕ α

α

−

 →

+ =      >

   

    



+ =

<

= =

P P

C 

a)

2. Apparition historique

Sections d’un cône

3. Ellipse comme projeté orthogonal d’un cercle

2 plans non parallèles ni perpendiculaires P et P0

On prend un cercle C dans P

On prend un RON avec (Ox) intersection de P et P0, et (Oy) dans P0, de sorte que le centre de C ait x=0

0

: 0 : 0 On choisit 1

P z = P ay + bz = b =

On exprime C :

2 2 2 2

0 0

( ) ( )

x y y z ay R

z ay

 + − + − =

 =



Du coup, le projeté orthogonal de C :

2 2

2 2 2 2

0 2 2

2

(1 )( ) 1

1 X Y

x a y y R

R R

a

+ + − = ⇔ + =

+ V. Autres techniques

Directions asymptotiques : 2 pour l’hyperbole (y= ±bx a/ ), 1 pour la parabole (Ox), aucune pour l’ellipse Centre de symétrique : Uniquement pour l’ellipse et l’hyperbole

Preuve : exprimer l’équation dans le repère centré en O (centre de symétrie). Existe uniquement si coefs en X et Y nuls. On se ramène à deux équations de droites : solutions ssi déterminant non nul ssi pas parabole