Feuille d’exercices de révision (récurrence, limites)
I
Démontrer, par récurrence, que, pour toutnÊ1, n!Ê2n−1.
(rappel : n! est le produit des nombres entiers compris entre 1 etn)
II
On considère la suite (un) définie paru0=3 et un+1=3un+2 pour toutn.
Montrer que, pour toutn,un=4×3n−1.
III
On considère la fonction f définie sur R∗ dont on donne le tableau de variation :
x −∞ −1 0 2 +∞
f(x)
−∞
✒−2
❅❅
❅
❘
−∞
+∞
❅❅
❅
❘1
✒+∞
Dresser, en justifiant, les tableaux de variation des fonc- tions−f,¯
¯f¯
¯,f2et 1 f.
IV
Déterminer la limite en +∞dans chacun des cas sui- vants :
a) f(x)=(2−sinx)x2 b) f(x)= 3x
cosx−3 V
Soitf la fonction définie surR\ {−3 ; 3} par : f(x)=x2−4x+3
x2−9 . 1. Déterminer, si elle existe, lim
x→3f(x).
2. Démontrer que la courbe représentative def C ad- met des asymptotes dont on donnera les équations.
VI
On considère la fonction f définie sur ]0 ;+∞[ par f(x)=1−3x
x2+x.
1. Tracer la courbe représentative def à la calculatrice.
Conjecturer la limite de f en 0 et en+∞, ainsi que ses variations.
2. Calculerf′(x) et étudier son signe.
3. Étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
4. Vérifier les conjectures.
VII Vrai ou faux ?
Soitf une fonction dont le tableau de variation est le suivant :
x −∞ −1 0 1 2 4 +∞
f(x)
1 ❍❍
❍❥ 0 ❍❍
❍
❥−∞
+∞❍❍❍❥ 0❍❍
❍❥
−3
✟✯
✟✟ 0
✟
✟✯
✟ 1
1. L’équationf(x)=1 admet une unique solution.
2. L’équationf(x)= −3 admet une unique solution.
3. L’imge parf de l’intervalle ]0 ; 4] est l’intervalle [0 ;+∞[.
4. Le signe def est donné par le tableau suivant :
x −∞ −2 0 1 4 +∞
f(x) + 0− +0−0+
