A NNALES SCIENTIFIQUES
DE L ’U NIVERSITÉ DE C LERMONT -F ERRAND 2 Série Mathématiques
A. M OSTOWSKI
L’espace des modèles d’une théorie formalisée et quelques- unes de ses applications
Annales scientifiques de l’Université de Clermont-Ferrand 2, tome 7, série Mathéma- tiques, n
o1 (1962), p. 107-116
<
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L’ESPACE DES MODÈLES D’UNE THÉORIE FORMALISÉE
ET QUELQUES-UNES DE SES APPLICATIONS
A. MOSTOWSKI
Varsovie
1/
Latopologie,
commel’algèbre abstraite,
fut créée pour étudier lespropriétés
desobjets mathématiques
concrets. Il est bien connuqu’elle
s’est ensuitedéveloppée
en un schème trèsgé-
néral
applicable
aux domaines bien différents de la théorie desobjets mathématiques particuliers qui
furent étudiés au commencement. Enparticulier,
le schèmegénéral
de latopologie peut
êtreappliqué
à lalogique mathématique,
etplus précisément,
à certainesquestions
de la théorie des modèles. Les mêmesquestions
sont aussi traitées par des méthodesalgébriques
et il faut avouerque le succès de ces méthodes fut
beaucoup plus marqué
que celui des méthodestopologiques .
Néanmoins on a trouvé
quelques
résultats assez intéressants enappliquant l’appareil
formel de latopologie
et ces résultats dontquelques-uns
sontd’origine
assez récente seront lesujet
de ma con-férence
d’aujourd’hui.
Nous allons nous occuper de trois
problèmes
assezgénéraux ;
cesproblèmes
ne sont pas liés d’ailleurs que par la méthodetopologique
que nous allonsappliquer
dans leurs solutions. Dans tousces
problèmes
ils’agira
d’une théorie formelleT,
de sesformules,
de la relation de déductibilité desformules,
des modèles de T et de la relation de satisfaction des formules dans un modèle. Ces notions serontprécisées
dans leparagraphe
2.PROBLEHE A.
(problème loéique
de lacompacité).
Sichaque
sous-ensemble fini d’un ensemble E de formulespossède
unmodèle, est-ce-que
l’ensemble .~ tout entier enpossède
un ?PROBLEHE B.
(problème
de lacomplétude
desrèéles
dedémonstration).
Si F est une formule telle quechaque
modèle d’un ensemble E de formules est un modèle deF, est-ce-que F peut
être déduit de 9 par lesrègles
de démonstration admises dans T ?PROBLEHE C.
(problème
de ladéfinissabilité
des ensembles d’entiers dans lesmodèle
de T).Admettons que T contient des
signes 0, 0’,
0" .., nommés les chiffres. On ditqu’un
ensemble Nd’entiers est définissable dans un modèle M de T s’il existe une formule
F(x,
yl, ... ,Yk)
et k élé-ments Oj, ... ,
ak
de Y tels que n E N si et seulement sial’ ... ak
satisfont la formuleF
(O’n, y,,
...’..Y,,)
dans N . Problème :quels
sont les ensembles définissables dans tous les modèles de T ?Les trois
problèmes
seront discutés enpremier
lieu pour des théories basées sur lalogique
bivalente
ordinaire,
mais nous allons aussi fairequelques
remarques sur lesgénéralisations
desrésultats pour
quelques logiques
multivalentes.Avant d’aborder ces
problèmes
il nous faudrapréciser
laterminologie.
2/
Une théorie formelle T est constituée par salangue
et par la notion deconséquence.
Nousadmettons que la
langue
de toutes les théoriesqui
seront discutéesplus
loin contient au moins lalangue
du calcul restreint desprédicats
avec identité. Donc les formulesatomiques
R .(tl ;
... ,tn)
etti = t? appartiennent
à lalangue
deT,
ainsi que toutes les formulesqu’on peut
obtenir enpartant
des formules
atomiques
à l’aide desopérateurs propositionnels V, &,
= , D , m et desquantifi-
cateurs
(Fx.)
et(x,).
Les lettres xI,x 2’ ...
sont ici des variables d’individu et les lettrestl, t2,
...dénotent les
termes,
c. à d. lesexpressions qu’on
obtient enpartant
des variables et des constantes d’individu enappliquant
dans un ordrequelconque
les foncteurs de T, Les lettresRl, R2, ...
sontdes
prédicats
de T, c. à d, dessignes qui
dénotent des relationsprimitives
de la théorie.Nous dirons que T est basée sur la
langue
restreinte s’iln’y
a dans T d’autres formules que celles décritesplus
haut. Dans le cas contraire nous dirons que T est basée sur lalangue géné-
ralisée. Nous ne considérerons d’ailleurs
qu’un type
delangue généralisée.
Outre lessymboles
dela
langue
restreinte cettelangue généralisée
contient desquantificateurs
nouveaux(Q Z x~ )
dont le rôlesyntactique
est le même que celui desquantificateurs
ordinaires. La définition de cesquantificateurs
sera donnée au
paragraphe
7.Une formule est dite ouverte si elle ne contient pas de
quantificateurs,
fermée si elle n’a pas de variables libres.La relation de déductibilité dans une théorie basée sur la
langue
restreinte est définie commed’habitude. L’ensemble des formules déductibles des formules
qui appartiennent
à un ensemble Esera
désigné
parCn (E).
La relation de déductibilité dans une théorie basée sur unelangue généralisée
sera définie au
paragraphe
7.Une réalisation de T dans un ensemble D est définie comme une
application
des foncteurs de T sur une famille de fonctions(dites interprétations
des foncteurs deT)
et uneapplication
despré-
dicats de T sur une famille de relations
(dites interprétations
desprédicats
deT ).
Nous admettons quechaque
foncteur a le même nombred’arguments
que soninterprétation
et de même pour lesprédicats.
La relationqui interprète
leprédicat
= seratoujours
la relation d’identité. On remarqueraencore
qu’une
relation n’est autre chosequ’une
fonction dont les valeursappartiennent
à un ensembleà deux éléments 0
(faux)
et 1(vrai).
L’ensemble des réalisations de T dans D sera dénotée par
Chaque
réalisation Y divise les formules closes en deux classes : cellesqui
sont vraies dans Y et cellesqui
y sont fausses. Plusgénéralement si al,
...,an
sont des éléments deD,
alors la suite finie al, ... ,an
divise en deux classes l’ensemble des formules Fayant
exactement n variables libres. L’une de ces classes se compose des formules Fqui
sont satisfaites dans Y par al, ... ,os
ce que nous noterons désormais par la formule
Py F [a1 , , , , , an ]
; l’autre classe se compose des formules pourlesquelles =M-F [a 1"
... ,an] ,
Une définitionprécise
de ces notions est bien connuepour des théories basées sur la
langue
restreinte. Nous donnerons auparagraphe 7 quelques
indi-cations concernant les définitions pour des théories basées sur la
langue généralisée.
Nous admettons que les
conséquences
des formules vraies dans N y sont vraieségalement.
Une réalisation dans
laquelle
toutes les formules démontrables dans T sont vraies sera diteun modèle de T et leur ensemble sera
désigné par :nr (D).
Jusqu’au paragraphe 7
nous admettons que T est basée sur lalangue
restreinte. Nous allons maintenant discuter les diversestopologies qu’on peut
introduire dans l’ensemble3/ Topologie (t)
de Tichonoff.Une base des
entourages
dans cettetopologie
se compose des oùal, ... , an
.sont des éléments de D et où P est une formule ouverte avec n variables libres. On définit cet en-
semble par
l’équivalence :
L’ensemble
OZ(D)
devient alors un espace de Hausdorffcompact.
La vérification des axiomes de Hausdorff est immédiate et labicompacité
résulte facilement du théorèmeclassique
de Tichonoff.L’espace OZ(D)
est notammentidentique
à unproduit d’espaces
à deux éléments ; si lesprédicats Ri
1R2,
... ont r, ,r~, .. , arguments,
alors esthoméomorphe
àl’espace
des suitesf1.. f2,
...où
fi
1 est uneapplication
deDri
dans l’ensemble10, 1 } .
Les ensembles fermés dans la
topologie (t)
sont des ensembles 5 CCR (D)
dont les éléments JI satisfont à un nombre arbitraire de conditions de la formeF= N
F[a~ , ... ,
où F est une for-mule ouverte. Donc les ensembles fermés sont des classes
UC,
selon la notation de Tarski[13] .
Les ensembles ouverts et fermés sont les ensembles..., a n et seulement ces ensembles . La
topologie (t )
sur6Z (D)
induit unetopologie
sur des modèles de T. Si ~1~(D)
est fermé dans alors m
(D)
est un espacecompact.
Il s’ensuit que si l’ensemble des théorèmes de ~’ a la formeCn(A)
où A est un ensemble de formules ouvertes(c.
à d, si Tpeut
être axioma- tisée par des formulesouvertes) alors JlZ(D)
estcompact.
La
topologie (t ) permet
de résoudre affirmativement leproblème logique
decompacité (pro-
blème
A)
dans le cas où T est axiomatisable par des formules ouvertes et où E ne contient que des formules ouvertes : sichaque
sous-ensemble fini de E a un modèle surD ,
alors l’ensemble E tout entierpossède
lui aussi un modèle sur D.Pour résoudre le
problème
dans le cas d’une théorie arbitraire onapplique
le processus connusous le nom d’élimination des
quantificateurs.
Onadjoint
à T une infinité de foncteurs nouveaux et on arrive, à une théorie T*qui jouit
despropriétés
suivantes :1°/
Achaque
formule F de Tcorrespond
une formuleF*
deT*
avec les mêmes variables libres telle que F* = F est un théorème de T* .2°/ Chaque
réalisation N de T sur Dpeut
êtrecomplétée
en une réalisation X* de T* sur le même ensemble D parl’addition
desinterprétations
convenables des foncteurs de T*qui
ne sont pas des foncteurs de T ; pourchaque
formule F de T avec k variables libres les conditionsFM F [a,, ..., ak ]
et
~=~
F*[al,
... ,ak 1sont équivalentes
pour une suite arbitraire ... ,an
d’éléments de D . On voit aisément de1°/
et2°/
que la solutionpositive
duproblème
A pour la théorieT*
implique
la solutionpositive
de ceproblème
pour la théorie T.Or,
leproblème
A pour la théorie T* est résolu affirmativement par le théorème sur les théories ouvertes mentionné tout à l’heure .4/
Latopologie (t)
pour les théories basées sur deslogiques
multivalentes.Remplaçons
dans la définition de la réalisation donnée auparagraphe
2 l’ensemble10, 1 ~
desvaleurs
logiques
par un ensemblequelconque
V dont les éléments seront nommés les valeurs lo-giques généralisées.
Pour définir les valeurs d’une formule nous devons avoir uneinterprétation
des
symboles propositionnels
et desquantificateurs. Supposons
doncqu’on
a faitcorrespondre
àchaque opérateur propositionnel
une fonction dont lesarguments
sont en même nombre que les ar-guments
del’opérateur
et dont lesarguments
et les valeursappartiennent
à V.Supposons
encorequ’on
a faitcorrespondre
àchaque quantificateur
une fonction des sous-ensembles de V à valeurs dans V. L’ensemble V et lesinterprétations
desopérateurs propositionnels
et desquantificateurs
déterminent unelogique
multivalente. Une tellelogique
étantdonnée,
nous pouvons faire corres-pondre
àchaque
réalisation deT ,
àchaque
formule F de Tn’ayant que k
variables libres -et àchaque
suite aI , , , , ,ak
d’éléments de D une valeurlogique [al...
la condition... ,
ak ]
définie pour lalogique
ordinaire doit ici s’écrire commeValM F [a1,..., ak ]
= 1,Le
problème
A pour une théorie basée sur unelogique
multivalentes’exprime
comme suit :si,
pourchaque
n, il y a une réalisationN n
telle queVal P, [aj1,....,ajkj]
=va pour j n,
est-ce-qu’il
existe une réalisation M telle queValv F [a?I, . , , , aiki v,
pourchaque j ?
Sous des
hypothèses
convenablement choisies onpeut
résoudre ceproblème
à l’aide des mé- thodestopologiques.
Admettons que V soit un espace
topologique compact
et que lesinterprétations
desopérateurs propositionnels
soient continues dans Y ., On introduit unetopologie
dans l’ensembleCR (D)
de toutesles réalisations en
prennant
comme une base des ensembles ouverts les ensemblesU~~ a ~ ",,
a,Q , ..où F, aI, . , . , an
ont le même sensqu’auparavant
etoù Q
est unentourage dans V ;
cesensembles
sont définis par
l’équivalence :
L’ensemble
8 (D)
muni de cettetopologie
devient un espacecompact
de Hausdorff.Cette remarque
qui
est uneconséquence
immédiate du théorème de Tichonoffpermet
de ré-soudre le
problème
A dans le casspécial
où toutes les formules ... dont se compose l’ensemble E ne contiennent que des variables libres. Dans le casgénéral
leshypothèses
que nousavons fait
jusqu’à présent
sontprobablement trop
faibles pour que laréponse
soit affirmative dans tous les cas.Chang
et Keisler[2]
ont trouvé deshypothèses
assezgénérales
et très intéressantesqui impliquent
la solutionpositive
duproblème.
Ilssupposent
notamment que V est un espace uniforme et que lesquantificateurs
sontinterprétés
comme des fonctions uniformément continues. Une telle fonctionjouit
par définition de lapropriété
suivante : sif (X) -
v alors pour toutentourage Q
de vil existe un
entourage
P de ladiagonale
dans V x V tel que pour tout X’ C P[X ]
on af (X’ ) E Q . (La
notation XI C P[XI signifie
comme d’habitude que pourchaque
x’ dans X’ il existe un x dans X tel que(x’, x)
EP).
Comme ont montré
Chang
et Keisler la théorie desproduits
réduits due à1-,og,
Scott et autresauteurs
peut
êtregénéralisée
au cas d’unelogique
multivalente pourvuqu’elle
satisfasse aux con-ditions que nous venons d’énoncer. Ils ont donc obtenu une solution
positive
duproblème
A pour des formules tout à fait arbitraires. Leur théorèmes’exprime
comme suit : SiFz ,
... sont desformules closes et
si,
pourchaque n,
il existe uneréalisation Y., sur Dn
pourlaquelle Fj =
j
= 1,
n, 1 alors il existe un ensemble D et une réalisation Y sur D telle queValy Pj oj
pour
chaque j.
Au lieu de
généraliser
la théorie desproduits
réduits onpeut généraliser
la théorie d’élimi- nation desquantificateurs.
On arrive ainsi au théorème suivant : siPl, Fz,
.., est une suite deformules non nécessairement closes et s’il existe une suite de réalisations
Nn
sur un même ensembleD,
.. si enfinValiv
F[aj1,..., a 1 = v, pour
n, alors il existe une réalisation N sur l’ensemble D telle queValy j
... ,] = Vj
pourchaque j.
La démonstration de ce théorème serapubliée
dans
[8].
~Les
hypothèses topologiques
deChang
et Kaislerpermettent,
comme nous voyons sur cesexemples,
degénéraliser
ungrand
nombre de résultats connus dans le casclassique
au casplus général
de lalogique
multivalente.5/
Latopologie (s).
Dans ce
paragraphe
nous neparlerons
que des théories basées sur lalogique
bivalente. Nous définirons une nouvelletopologie,
ditetopologie (s),
sur Oz(D).
Les
entourages
dans latopologie (s)
sont des ensemblesY" al’
..., an définis exactement commedans le
paragraphe
3 avec la seule différenceque F peut
être une formulequelconque
et pas né- cessairement une formule ouverte.L’ensemble
(R (D)
est un espace deHausdorff ;
l’ensembleJlt (D)
est un sous-ensemble fermésans aucune restriction sur la théorie T.
Dans le cas
général
on ne connait pas exactement la structuretopologique
del’espace 6z (D)
muni de la
topologie (s).
Dans le casspécial
où D est un ensemble dénombrable on a le théorème suivant : -.M-L (D)
est un ensembleGs
absolu(c.
à d. unG s
dans un espacecomplet)
de la secondecatégorie.
La démonstration de ce théorème est basée d’une
part
sur les théorèmes bien connus de Stonesur la
représentation
desalgèbres
de Boole et d’autrepart
sur un lemme de Rasiowa et’ Sikorski[9]
d’après lequel
si B est unealgèbre
deBoole,
0 eta, =
sup,ai
pour t =1, 2 , , , , ,
1 alors ilexiste un filtre
maximal f
de B tel que et =suPn
pour i= 1, 2, ...
Enrichissons la
langue
de T par une infinité de constantes d’individu cl,C2, ...
et soitDo
unensemble
dénombrable, D~ = 1 al, a2, ... J.
Dans toutes les réalisations que nous allons considérer la constanteci
serainterprétée
commea~ .
Soit B
l’algèbre
de Boole formée des formules closes de T, deux formuleséquivalentes
dansT étant identifiées l’une à l’autre. A
chaque
JVE Jlt (Do)
nous faisonscorrespondre
un ultrafiltre1
=J, F ~
del’algèbre
B . L’ultrafiltre est un élément del’espace
S de Stone associé à B etl’application M
-{M}
deJ1t (D)
dans S estbiunivoque
et continue. Le lemme de Rasiowa et Sikorski montre que les filtres N sontprécisément
les ultrafiltres de Bqui
conservent les sommes et lesproduits qui correspondent
auxquantificateurs.
L’ensemble de’ ces filtresétant,
comme on démontre sanspeine,
unG,
de la secondecatégorie
dansS,
le théorème se trouve démontré.La solution
positive
duproblème
B résulte tout de suite de la caractérisationtopologique
de l’ensemble(D).
Si T n’est pascontradictoire,
alors J1l(Do)
n’est pas vide(l’ensemble
vide étantde la
première catégorie).
Il s’en suitqu’une
formulequi
ne se laisse pas démontrer dans Tpeut
être falsifiée dans un modèle de T. Or ce théorème est
précisément
la solution duproblème
B .La
topologie (s) peut
évidemment être définie aussi pour des théories basées sur unelogique
multivalente mais la structure de
l’espace 6Q (D)
muni de cettetopologie
estinconnue,
même dans le cas d’un ensemble D dénombrable.6/
Sous-ensemblescompacts
et universels den’est pas en
général compact.
En voici unexemple :
Soit T une théorie non-contradictoire. Enrichissons salangue
par unprédicat
A à unargument
et soit G la formule(Ex,)
etFn
la formule(xl r
&(x2 ~
& ... & Les en-sembles
~ sont alors fermés et non vides et leur suite est
décroissante ;
or l’inter- section de tous ces ensembles est vide.Sikorski
[12]
a démontré quel’espace
estcompact
si etseulement
si la théorie Tpeut
être axiomatisée par des formules ouvertes.
Dans le cas
général l’espace 3l1 (D)
est très incommode si l’on veut faire des passages à la limite. Beth[1]
a montré lepremier
comment onpeut
éviter cette difficulté. Il a construit notam- ment un sous-ensemblecompact
deJJ1,(D) qui
contientchaque
modèle N à unisomorphisme près.
Beth n’a pas
exigé
que lesigne
= soitinterprété
par la relationd’identité,
cequi
lui apermis
dedémontrer son théorème pour D arbitraire. Si l’on
exige -
comme nous le faisons dans cetexposé -
que le
prédicat =
soitinterprété
parl’identité,
on nepeut
démontrer que le théorèmeplus
faibleque nous allons maintenant discuter
[3] :
Admettons que l’ensemble D soit dénombrables et que les formules
(x ,
... ,Xn) (EXn+l)
& ... & soient des théorèmes de T
pour n - 1, 2, , , , ;
alorsl’espace W4,(D)
muni de la
topologie (s)
contient un sous-ensemblecompact X
tel quechaque
modèle N de M(D)
estisomorphe
à un modèle 91qui appartient
à X.Pour démontrer ce théorème nous
adjoignons
à T des constantes Ci, ~2, ...,Cn...
et formons la théorie T*par le
processus de l’élimination desquantificateurs. Remplaçons
dans T* leprédicat =
par unprédicat
binaire P. Soit D* =tl, t2... J
l’ensemble de termes de T* et soitJ1t (D*) l’espace
des modèles de T * sur D* muni de latopologie ( t), L’espace
JTt(D*)
est donc com-pact.
Cet espace résout leproblème
que s’estposé
Beth parce que P n’est pas engénéral
inter-prété
dans les modèles9*
é JE(D*)
par la relation d’identité mais par une relationd’équivalence
’::]{*
différente de la relation d’identité.Pour obtenir l’ensemble X nous définirons une
application
continue deJTt (D *)
dansSoit E JTt
(D*)
et soitfM*
uneapplication
de D* sur D =a2... i
définie par induction :f~* (t1) = al ; fN.
lepremier
élément de D différent de(j) pour j = I , 2, , , , ,
k -1 sipour j - 1, 2, ... , k - 1; ** (tk ) = f~* >
est leplus petit
entier k pourlequel = M*P[tk, tjo].
L’application rM*
nouspermet
d’introduire dans D une structure du modèle Nisomorphe
avecy* %~~ .
L’ensemble X de tous les modèles obtenus par cette méthodejouit
de toutes lespropriétés
voulues. En
particulier
le fait que X estcompact
résulte de la continuité del’application
X* -~ ~(ici
M*parcourt l’espace
muni de latopologie ( t)
et Yl’espace
muni de latopologie (s)) .
La construction de
l’application
que nous venonsd’esquisser
est due à M. Ehrenfeucht.M. Ehrenfeucht a aussi
remarqué
quel’espace
Jll(D)
est une somme(au
sens de la théorie desensembles)
de sous ensembleshoméomorphes
à X(donc compacts) qui
sont, commeX,
des ensembles universels. Eneffet,
si P F est un modèle obtenu de N par unepermutation x de N,
alorsl’appli-
cation est un
homéomorphisme
etWL (D)
sedécompose
en uneLe théorème que nous venons de démontrer
peut
êtreappliqué
dans tous les cas où on abesoin d’un passage à la
limite ;
-, si9,,
est une suite des modèles sur D et F.[a,i,
1 ...,ajk,
pour j n,
alors ilexiste, d’après
cethéorème,
un modèle limite Y sur D telque FM Fj [o
...pour
tout j.
Enparticulier
nous obtenons tout de suite une solution nouvelle duproblème
A.Des passages à la limite
analogues peuvent
être aussi obtenus à l’aide desproduits
réduitsdans le cas où toutes les formules
Fi
sont closes. Il y acependant
une différence essentielle entre les résultatsqu’on
obtient par la méthode desproduits
réduits et par notre méthode : tandis que dans le théorème démontré tout àl’heure,
tous lesmodèles N,, appartenaient
au même espace m(D)
et déterminaient un modèle limite x dans le même
espace JE (D),
la méthode desproduits
réduitsn’exige
pas queles N,
soient tous dans le mêmeespace M (D)
et ne donne pas le modèle limite dans cet espace. Les passages à la limite effectués par les deux méthodes ne sont donc pascomparables .
Un
grand
nombre deproblèmes
se rattache au théorème sur l’ensemblecompact
et universel des modèles. Leplus
intéressant et leplus
difficile est leproblème
de savoir si ce théorème est valable pour un ensemble D non dénombrable. La démonstration de M. Ehrenfeucht nes’applique
pas dans ce cas parce que sa démonstration de la continuité de
l’application
f* serait endéfaut si D n’était pas dénombrable.
Un autre
problème qui
n’est résolu quepartiellement
concerne la relativisation de la classe des modèles[7].
Admettons parexemple
que T contient unprédicat
R binaire et soit E une classe de relations binaires définies sur Q . Un modéle Y sera dit un K-modèle si R estinterprété
dans Ypar une relation des. Soit
311x (D)
l’ensemble de tous les X -modèles sur D muni de latopologie ( S) .
Nous demandons maintenant
quelles
conditions doit satisfaire 1 pourqu’il
existe un ensemble com-pact universel
de K -modèles. On a les résultats suivants : -.Un ensemble
compact
universel existe si D est dénombrable et si la classe K est définie parl’équivalence R
E K -(ES1,
...,F7 Ai (Sl,
... ,Sn, R j
oùles Ai
sont des formules dupremier
ordre avec identité.
Si D est dénombrable et si un ensemble
compact universel existe,
alors la classeS~ (1)
dontles éléments sont des sous-relations R’ C R
ayant
unchamp
infini est une classeUC;,
c. à d.elle se laisse caractériser par une suite finie ou infinie de conditions
(xl,
... ,xn ) àI; (x, ... , xn ) ,
où les
formules Ei
ne contiennent pas dequantificateurs.
Le
premier
théorème montre parexemple que Xx
existe si K est la classe des ordresqui
nesont pas des bons ordres et le second
que XK
n’existe pas si K est la classe des bons ordres.Pour terminer ce
paragraphe
remarquons que l’existence d’un ensemblecompact
et universelpeut
aussi être démontrée pour des théories basées sur leslogiques
multivalentes pourvu que ceslogiques
satisfassent aux conditions deChang
et Keisler[8].
7/
Latopologie (w).
Dans ce
paragraphe
nous admettons que lalangue
des théoriesqui
vont être discutées contient desquantificateurs
différents desquantificateurs
et(x.).
Le cas leplus simple
est celui où l’on n’aqu’un
seulquantificateur
nouveau(Sx, ) qui
est une abréviation de laphrase :
il existe auplus
un nombre fini dex3
tels que ...La notion de
conséquence
pour des formules contenant cequantificateur
est définie à l’aide de larègle (w).
Pourl’exprimer
nous introduironsquelques
formules auxiliaires. Soit F une for- mulequi
contient la variable libre Posons :(k
est ici un indice assez élevé pourqu’aucune
des variables xk+ ne soit liée dansF )~
La formule(Cn x,)F
ditqu’il
existe au moins n élémentsx.
telsque F
et la formule(Dn xj) qu’il
en existe exac-tement n .
L’ensemble
(X)
desconséquences
de X est maintenant défini comme leplus petit
ensemblede formules
qui
contient l’ensembleX,
tous les axiomes de lalogique ordinaire,
les axiomes de la forme =0, I ,
... etqui
est clos parrapport
auxrègles
de raisonnement de lalogique ordinaire
ainsi que parrapport
à larègle (w) :
Si(Cn x~ ) F
ECn~ (X)
pour n =1, 2, , , , ,
alors-i
E Cnw (X).
La notion
sémantique
de satisfaction se définit comme pour lalangue restreinte,
la formule(SXj)
F étant satisfaite par les élémentsal,
...,ak
si et seulement si l’ensemble des éléments b tels que la formule F est satisfaitepar b, al’ ..., a.
est fini.Il est à remarquer que la notion de la réalisation ne fut pas
changée quoique
lalangue
de lathéorie fut
généralisée.
Cela nouspermet
d’introduire unetopologie nouvelle,
ditetopologie (w),
dans l’ensemble Les
entourages
dans latopologie (w)
sont définis comme étant les ensemblesU"aj....,
est une formule arbitraire de lalangue généralisée n’ayant que k
variables libres . Si D estdénombrable,
alors la structure del’espace
muni de latopologie
est la même que dans le cas de latopologie (S) :
3~(D)
estun Gs
de la secondecatégorie
dans un espace com-plet [5].
La démonstration est presqueidentique
à la démonstrationesquissée
auparagraphe
5. Onconsidère
l’algèbre B
des formules closes de lalangue généralisée
enrichie par des constantes ..c2,
... Si F = G est un théorème de T(c.
à. d. si cette formuleappartient
à où X est l’en-semble des axiomes de
T),
alors F et G seront identifiées dans B.L’espace M(D)
se laisseplonger
dans
l’espace
de Stone del’algèbre B
en faisantcorrespondre
à tout N deJJl(D)
le filtreIx Fx F J.
Il est sous-entendu que
c,
estinterprété
danschaque N
commeci
où Da2, ... J.
Les filtresIx
se laissent caractériser comme des ultrafiltres de Bqui
satisfont aux deux conditions suivantes :Autrement dit les filtres
f x
sontprécisément
des ultrafiltres de Bqui
conservent les sommesdénombrables et
( Sx. ) F (x. ) - L
L’ensemble de ces filtres est donc de lapremière catégorie.
La démonstration que cet ensemble est unG8
est immédiate.Comme un ensemble de la seconde
catégorie
n’est pas vide nous obtenons immédiatement la solution duproblème
B pour des théories basées sur lalangue généralisée.
On obtient les mêmes résultats si l’on suppose que la
langue
considérée contient un nombreau
plus
dénombrable dequantificateurs (Qz j)
définis comme étant les abréviations desphrases :
lenombre des éléments
xi
tels que ... est fini etappartient
à Z. Les axiomes pour cesquantificateurs
sont les suivants :
et la
règle qui correspond
à larègle (w) s’exprime
comme il suit :où Z = ~nl, n2, ..
Si D est
dénombrable,
..l’espace
m(D)
muni de latopologie
danslaquelle
lesentourages
sontdéfinis comme les ensembles
Uîa
...,~, F
étant une formulequelconque
de lalangue généralisée ,
est de nouveau un
Gs absolu
de1a
secondecatégorie.
Nous obtenons donc la solution duproblème
B pour des théories basées sur cette
langue.
Le nombre de tous les
quantificateurs
est évidemment non dénombrable. Si on lesadjoint
tous à la
langue
d’unethéorie,
onpeut
définir une nouvelletopologie
de CR(D). Infàrtunément
la structure del’espace
ainsi obtenu n’est pas connue, même si D est dénombrable. On sait seulement que muni de cettetopologie
n’est passéparable.
Les méthodestopologiques
connuesjusqu’à présent
nepermettent
donc pas de résoudre parexemple
leproblème
B pour des théories danslesquelles
tous lesquantificateurs
sontpermis.
Onpeut cependant
démontrer par une voie directequi
utilise les méthodes de Schütte[10]
que leproblème
B a une solutionpositive
aussi dans ce cas. Reste ouvert le
problème
de savoir si onpeut
tirer de cette solution des infor- mations sur la structuretopologique
deLe
problème
A et le théorème sur l’ensemblecompact
universel ne sont pas engénéral
va-lable si la
langue
contient au moins unquantificateur (Qz Xj)
avec Z infini.Il existe évidemment un
grand
nombre d’extensions de lalangue
restreinte essentiellement différentes de l’extension assez faible à l’aide desquantificateurs
Une extensionparticu-
lièrement intéressante est due à Tarski[14] qui
forme son ainsi ditelogique
faible du seconddegré
en
adjoignant
à lalangue
élémentaire des variables pour des suites finies d’élements et aussi deux foncteurs dont l’undésigne l’opération
de formation d’une suite à un élément et l’autrel’opération
de concaténation des suites. Nous pouvons
répéter
nos constructions antérieures pour cettelangue
et nous obtenons le même résultat sur la nature
topologique
del’espace
muni de latopologie
déterminée par des formules de la
logique
faible du second ordre.Il convient de remarquer que pour certaines théories axiomatisées par des formules élémen- taires l’extension de la
langue
parl’adjonction
duquantificateur (Sx. )
estéquivalente
àl’adjonction
des variables pour les suites finies et des deux
opérateurs
mentionés ci-dessus.Tel est le cas pour
l’arithmétique
des entiers basée sur les axiomes dePeano,
pour la théorieaxiomatique
des ensembles etc. D’autrepart
la théorieaxiomatique
des corpsalgébriquement
fer-més basée sur la
logique
faible du second ordre estcomplètement
différente de la même théorie basée sur lalangue
obtenue àpartir
de lalangue
restreinte parl’adjonction
duquantificateur (Sxj) ;
en effet
l’adjonction
de cequantificateur
ne donne aucune extension de la classe des théorèmes de la théorie élémentaire des corpsalgébriquement
fermés. Cephénomène
semble mériter une dis- cussionplus approfondie.
La
logique
forte du seconddegré permet
de définir encore unetopologie (n)
dansJ1t(D).
Cettetopologie
est évidemmentséparable
mais sa caractérisationplus
exacte n’est pas connue.8/
Définissabilité d’ensembles dans les modèles d’une théorie.Dans ce
paragraphe
nous allons montrer comment onapplique
latopologie (s)
ou bien la to-pologie (w)
dellespaceM-L(D)
pour résoudre leproblème
C[5].
Soit Y un ensemble d’entiers. On dit
que N
estreprésentable
dans T s’il existe une formuleF de cette théorie
n’ayant qu’une
variable libre et telle que F(O~n~)
est un théorème de T si n E N et si m P(0~"~)
est un théorème de Tsi n ià
N. Notre butprincipal
est lacomparaison
de deuxclasses
d’ensembles :
celle des ensemblesreprésentables
et celle des ensembles définissables danschaque
modèle de T sur un ensemble dénombrable D.Soit
6D,
l’ensemble des modèles )f E 3l1(D)
danslesquels N
est définissable :(D’Y =
~y ==>t=~(0~)! ;
la sommation s’étend ici à toutes les formules Fqui
ont au moins unevariable libre
xk
et F(0~"~ )
résulte de F par la substitution de0(’)
pour cette variable ; les variablesxj qui
sont libres dans P et différentes dexk
sontinterprétées
dans N commea~ .
L’ensembleX, = M : n
E N~~,~ F (O~n~) ~ J
est fermé et ouvert dansl’espace J1t (D)
muni de latopologie (s)
ou(c~ )
suivant le cas. Il s’en suit que’Dl
est un ensembleFu.
On a le théorème suivant :Si
ffly
n’est pas un ensemble de lapremière catégorie,
alors il existe une extension non-contradictoire T’ de T obtenue par
l’adjonction
d’un nombre fini de constantes d’individu et d’un nombre finid’axiomes,
telleque N
estreprésentable
dans T’.En
effet,
un au moins desensembles
n’est pas un ensemblefrontière,
il contient donc unentourage
nonvide,
soitUa, al’
..., , . Nous pouvons admettre queF (0 ~"~)
et G ont les mêmes variables libres xi , ... , xk .Adjoignons
à T des constantes C 1...,ck
et l’axiomeG (cl, , .. , ck ).
L’extension T’ ainsi. obtenue n’est pascontradictoire,
parce quel’entourage
..., ~ n’est pas vide. L’ensemble N estreprésenté
dans T’ par la formuleP (x,
cl , ... , Eneffet,
si n E Net t=N G,
alorsY E
..., ~ , donc N
EX,
et parconséquent t= N
F(0~"~).
Le modèle K étantarbitraire,
nous en concluonsd’après
le théorème sur lacomplétude (solution positive
duproblème B)
queG >
F(_O ~"~)
est un théorème de T, donc F
(0 ~n~,
clCk)
est un théorème de T’ , D’unefaçon analogue
onmontre que T P
(0~"~,
cl, , .. ,ck )
est un théorème de T’si n $ N.
Si T est basée sur la
langue
restreinte et si l’ensemble de ses théorèmes est récursivementénumérable,
alors tout ensemble d’entiersreprésentable
dans T ou bien dans une extension finie de T est récursif. Donc dans ce cas les ensembles définissables dans tous les modèles de T(ou
même les ensembles définissables dans tous les modèles d’un sous-ensemble de la seconde
catégorie
de
3tc(D))
sont récursifs. Si T est basée sur lalangue Eénéralisée
obtenue parl’adjonction
du quan- tificateur(ou
bien desquantificateurs (QZI (Q
2x~ ), ... )
alors les ensembles définissables dans tous les modèles de T sonthyper-arithmétiques (ou
bienhyper-arithmétiques
parrapport
àZl, Z2, ... ).
En
général
il n’est pas vrai quechaque
ensemble récursif(ou
bienhyper-arithmétique)
est dé-finissable dans
chaque
modèle de T. Ceci est bien le cas si T est p. ex. la théorieaxiomatique
des ensembles. Si T estl’arithmétique
des entiers avec les axiomes de Peano et si T est basée sur lalangue restreinte,
alors les ensembles définissables dans tous les modèles de T sont exactement les ensembles récursifs. Si l’on passe à lalangue généralisée
enadjoignant
lequantificateur (Sx~ ),
alorsla classe des ensembles définissables dans tous les modèles de T est
proprement
contenue dans laclasse des ensembles
hyper-arithmétiques.
Je n’ai pas réussi à trouver unexemple
d’une théorieT telle que la classe des ensembles définissables dans tous ses modèles serait
identique
avec laclasse de tous les ensembles
hyper-arithmétiques
si T est basée sur lalangue généralisée,
et seraitproprement
contenue dans la classe des ensembles récursifs si T est basée sur lalangue
restreinte .9/ Remarques
sur les modèles de la théorie des ensembles.Soit T la théorie des ensembles avec les axiomes de Zermelo-Fraenkel. Les modèles les
plus
intéressants de T sont les modèles bien
fondés,
c. à d, telsqu’il n’y
a pas des suites infinies décroissantesd’éléments : .. , a~
Ean-l
e ... Ea, . Soit ~ (D)
l’ensemble de ces modèles. Les pro-priétés
des modèles Y sontanalogues
à celles des(3-modèles
del’arithmétique
du secondordre
(voir [6]).
L’ensemble S(D)
est évidemment uncomplémentaire analytique
dansl’espace
muni de la
topologie (s).
On n’a pas réussi à
préciser
la naturetopologique
de l’ensemble F(D)
ni àappliquer
les mé-thodes
topologiques
à l’étude de cette famille de modèles. Enparticulier
leproblème
C(c.
à d. leproblème
de la caractérisation des ensembles définissables dans tous les modèles bienfondés)
reste ouvert.