Problèmes mixtes pour le système de Maxwell

A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T ^OULOUSE

L ^UC P ^AQUET

Problèmes mixtes pour le système de Maxwell

Annales de la faculté des sciences de Toulouse 5

^e

série, tome 4, n

^o

2 (1982), p. 103-141

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PROBLEMES MIXTES POUR LE SYSTEME DE MAXWELL

Luc Paquet (1)

Annales Faculté des Sciences Toulouse

Vol IV, 1982, P 103 à 141

(1 )

Université d’Etat de

Mons,

^{15 avenue}

Maistriau,

Facul té des

Sciences, Département

^{de Mathé-}

matiques,

7000 Mons -

Belgique.

Résumé : On introduit le

système

de Maxwell

classique

^{sur une} variété riemanienne orientée

C°~

compacte ^{à bord et} l’on étudie les conditions au bord «définissant» des

générateurs

^{de semi-}

groupe à contraction. A ^cette fin nous

développons

les théorèmes de trace

adéquat

^{sur les formes}

différentielles. Dans le cas

particulier

de la boule ouverte de

IRn,

utilisant la méthode de

sépara-

tion des variables

développée

^dans

[P1 ],

^on

précise

le résultat.

Summary :

One defines the classical Maxwell’s system ^{on a}

C°° _compact

Riemanian manifold with

boundary

^{and one} characterizes those

boundary

conditions

defining generators

^{of contrac-} tion

semi-groups.

^{For that} purpose ^{we state} and _prove the

adequat

^trace theorems for differential forms. In the

particular

^{case of the} open ball of

1 Rn, using

the method of

separation

of variables worked out in

[P1 ],

^one

precises

^{the result.}

0. - INTRODUCTION

On introduit le

système

de Maxwell

classique

^{sur une} variété riemanienne orientée

C°°

compacte ^{à bord et} l’on étudie les conditions au bord «définissant» des

générateurs

^{de semi-}

groupe à contraction. A cette

fin,

^nous

développons

les théorèmes de trace

adéquat

^{sur les formes}

différentielles

(vaguement parlant).

^{Enfin le cas} de la boule ouverte

(de

^{centre 0 et} rayon

1 )

^de

^IRn

est traité

plus

^à

fond,

utilisant la méthode de

séparation

^{des variables} pour des formes différentiel-

les,

introduite dans

[P1 ] .

^{Ces résultats ont été} annoncés dans

[P2].

Je voudrais,

pour terminer cette

introduction,

^{remercier Monsieur R. Temam de ses}

remarques

critiques

constructives.

104

1.-THEOREMES DE TRACES

Rappelons

^{tout d’abord un} résultat de

[D-L] (p. 337) :

^{Soit ~2 un ouvert borné}

^régu-

lier de n le

champ

normal unitaire sortant le

long

^de

L’application

^de

(C (~)) -~ (C (3~)) :

^{: u ~ n A u, se}

prolonge

par continuité en une

application

^linéaire

(1)

continue de

H(Rot;Q) = ~ u

^e

(L~(~))~ ;

^{rot u e}

(L~))~} -~ (H"~~(8~))~.

L’inconvénient

majeur

^{de ce résultat est} que

l’application

^trace

(1)

^n’est pas

surjective.

Identifiant un

champ

^{de vecteurs} au-dessus de 03A9 à la 1-forme différentielle

qui

^lui

estcanonique-

ment

associée,

nous sommes ramenés à !’étude de traces de formes différentielles.

Traitons tout d’abord le cas du

semi-espace, plus précisément désignera

^dans

toute la suite {x ~ IRn ; x1 0}. Nous identifierons sa frontière à IRn-1.

1.1. LEMME. u e

T*IRn)(1), _(u;

_i

_; ^)ses

coefficients dans la

carte identité. Consi-

dérons tu ⁼

zL. _{"i i}

^{A... A}

dx P,

^Le.

l’image réciproque de

^{u par}

l’injection

1j~...jpn

canonique

^{C- x ~}

(0,x)

^{il existe C > 0} ?/ que pour ^tout 1

j~

^{... n :}

Preuve.

(1)

^{Soit M une variété de classe}

^C~

(éventuellement ^avec bord). T*M) désigne l’espace ^des formes différentielles de degré p, C à support compact. Sauf mention expresse du contraire, p désigne ^{un nombre entier} compris entre o et dim M.

( )

^d désigne l’opérateur ^dérivée extérieure : voir

~Sch~

^{p. 344 et (dans ce texte) alinéa suivant 1.8.}

2022 D’autre part quel que soit 2 k n et 1 i1 ... i n :

. Par

(3)

^et

(4),

Bien entendu dans 1.1 «A»

désigne

la transformée de Fourier _par

rapport

^{aux variables}

x2,...,xn.

^Posons

De 1.1 et

(S)

^suit:

P ^-

1.2. COROLLAIRE. ll existe C > 0 tel _{gue pour} tout u E T*

Dans la suite de cette

section,

«A» dénotera

toujours

la transformée de Fourier

partiel-

le

(par

rapport ^{aux variables}

x~,...,x~) ;

^{pour ce}

^qui

^{est de sa} définition nous renvoyons à

[Ho] ,

p. 24.

1.3.

LEMME. Il existe C > 0 tel que pour tout u ~ C~oo( T* IRn-)

^:

(3)

) ^{Pour la} définition de tu se reporter à l’énoncé ^du lemme 1.1. ^.

Preuve.

2022 Soit 2 j1 ...jp+1

^n.

. Montrons _que

En effet :

Eu

égard

^à

(10),

^{il suffit de montrer que :}

Observons _que dans

(11 ), 2 j1

^...

jp+1

^{n, 2}

^il

^...

ip n, 2 . k,s n ;

^{par contre}

1

Il

^{... n.}

^(k,s)

^étant

fixé, chaque

^{membre de}

(11 ) représente

^au

plus

^{un terme. Le}

membre de

gauche (resp.

^de

droite)

^de

(11 )

^est

égal

à moins la

signature

^{de la}

permutation appli-

quant

(k,s,l2,...,lp) ^(resp. (s,k,l2,...,lp))

^dans l’ordre strictement croissant. D’où la différence de

signe

^dans

(11 ).

. De

(8)

^et

(9)

^{suit :}

Considérons Hp(d;IRn-) ⁼

( u

^G

^{T*IRn-) ;}

^{du G T* et}

=

(

^{w G T*}

^dw

^G

H-1/2(p+1

^{T* ces} espaces étant

munis de la

topologie

^définie par la norme du

graphe.

^{1 .2 et 1 .3 montrent} que

l’application

^de

C§£(À

^{T* - T* u - tu est}

^continue, C§£(À

^{T* étant} muni de la

topo- logie

^induite par Nous allons montrer dans ce

qui

^suit

qu’elle

^se

prolonge

par continuité de manière

unique en

^une

application

^{de sur}

1.4. LEMME. _03C6 ~

H-1/2p(d;IRn- ^{1). Quel}

^{que soit 2}

^il

^°°°

ip

^{n et 2}

^j2

^...

jp

ⁿ

posons:

et

Alors

et

l’application

cp -~ ^{u est} continue de

H ~~2(d;IRn ~ )

^{sur H}

Preuve, ~ Par

(12),

*Par(13),

2022 Soit 2 k1 k2 ... kp+1 n.

(4)

⁰ désigne l’opérateur codifférentielle :

[R]

^{p. 125 et alinéa de ce texte suivant 1.8.}

d’où par (12) :

~ désigne

la variable duale de

(x2,...,xn) ^{~«l~» désigne}

la transformée de Fourier sur les variables

x2,...,xn).

^D’où

n.

D’où _par

(12)

^et

(13) :

D’où :

De

(14)-(17)

^suit l’assertion.

1.5. COROLLAI RE. Considérons u définie _par

(12)

^et

(T 3),

^{Alors Su = o.}

Preuve, ~ Soit 2 ~

k~ k2

^{... n. Par}

^{[R] (3), p.129 :}

^;

D’où _par

(12)

^et

(13) :

De

(18)

^et

(19)

suitFassertion.

Q.E.D.

1.6.

!R~)~~/7~~~H (d;!R").

Soit ^{u e} Pour t >

0,

^soit

03C4tu

^e

H(d;]

^x

^IRn-1)

^{défini par :}

(r~u)(x~x~,...,x~)

⁼

u(x~-t,x~,...,x~).

^{De =}

7.du,

suit aisément

(~u) n ~

^u ~ dans

’~- ~-

~ Soit

9~

^C

^])

^{te! que 0}

~~ ¹

,~J ^{~J ~~t/2[}

^{=1 1 et supp}

^9~

^C

^{] -~o,t[. Désignons}

par

(~u)

^!e

proiongement

^de

~u

^par

^0,

^{dans !e}

comptëmentaire

^de

] !R~

et considérons

~~(r~u)~ ~~

^étant

^regardée

^{comme fonction des n variables}

(x~x~...,x ).

^{Il est c!air que}

9~ur ~ H (d;!R")

^et

[~~u)"] ~ = (~u)

^{!R_ !R_ En}

. Soit une suite

régularisante

^et posons

u .

⁼

[~-(~u)~]

^{Soit 8 > 0.} Choisissons tout d’abord

t > o,

^tel que

Choisissons ensuite e > 0 tel _que

~

Considérons ~

^{E 0}

~/

^{1 tel} que

y’~

=1. Posons

~/~

⁼

^{~(./k) quel}

^{que soit}

B(o,1 )

k ^E et ^. De du~,t,k =

03C8k du~,t + d03C8k u~,t

^suit

u~,tIR-n

dans Choisissons k tei _que

De

(20)

^à

(23)

^suit

^!!

^u

^Il

^{~ 5. D’où} suit ~assertion.

~

Q.E.D.

Dans !e cas supp ^u

borné,

^{u E} pour ^tout W

voisinage

de ta fermeture du supp ^u dans il existe une suite

un

^{e T*}

!R"),

^tels que supp

un

^{C W et}

un -+

^{Il dans}

En

effet,

par

1.6,

^{il existe}

w~

^{E T~ telle que}

w~

^{-~ u dans}

Considérons 9 ^e 0 03B8

1 , 03B8 égal

^{1 sur un}

voisinage

^de supp ^{u et} supp 9 C W. Alors

un

^{= 03B8}

wn

^{~ u dans et supp}

un

^{C W.}

Par

1.2,

^{1.3 et}

1.6,

^{i! existe un et un seul}

prolongement

continu de

T~ ^-~ T~ ^{u -~} tu, ^{en une}

application

^{de dans}

sa valeur en u C sera encore notée tu.

1.7. PROPOSITION. ^{u ~ tu ~ dans ~f}

surjective.

Désignons par j

^{: ~2014~} Tout d’abord montrons que pour ^tout

u e n tu

Soit 03C8

^e

0 03C8 1, 03C8 B(0,1)

=1. Posons ⁼

03C8(./k), quel

que soit k e !N* et

uk

^{= De}

duk

⁼

03C8kdu

^{+ A u suit}

uk

^{~ u dans}

^lorsque

^{k ~ ~. D’où}

-~ tu dans

(24)

Mais ^~

j*u

uniformément sur les compacts ^de

!R""B

^{donc dans}

^t’espace

^{des p-}

courants

pairs

^sur

!R" . (25)

De

(24)

^et

(25)

^{suit tu}

= j*u.

.

Désignons

par

J

^:

H 1l2(d;IRn 1 ) ~ l’opérateur

^défini par

(12)

^et

(13).

^Soit

cp Par

( 12 )~( 13 et

le théorème de

Plancherel,

Du

point précédent

^{suit dès tors = De}

(12)

^et ~) ⁶

~(À

^{T* suit pour tout}

2 i~

^...!

p.p. dans x’ dénote

(x2,... xn).

Par le théorème de

Lebesgue,

le membre de droite de

(27)

^{est une} fonction continue sur D’où par

(26), (’égalité

^dans

(27)

^{a lieu} partout ^{sur En}

particulier

D’où donc

Par densité suit

to)

^{= 1 . D’où} l’assertion.

Nous nous résumons dans le théorème

qui

^{suit :}

1.8. THEOREME.

L’application

^{u -~ tu de T* dans}

C°° ÂT* ^{(0 n)}

^se

prolonge

continuement de manière

unique

^{en une}

application (continue)

^{de sur}

De

plus C~oo( T* IRn-)

^est dense dans ker t.

Preuve. ~ La

première partie

^{suit de}

1.2,1.3,1.6,1.4

^{et 1.7.}

~ Venons-en à la _preuve de la seconde

partie.

^{Soit u E tel} que ^{tu =} o. Considérons

u

le

prolongement

^{de u à}

IRn

par 0 dans

le complémentaire

^{de Alors}

û

E et du ⁼

(du) .

^{En effet}

quel

que soit _03C6 E D

[Sch] (p. 321-353) :

(on applique

la formule de Stokes à

un

^C

C~oo( T* IRn-), ^{un -+}

^{u dans}

Posons

(03C4t)(x1,x2,...,xn) = (x1+t,x2,...,xn).

De

dTtû

⁼

Ttdu

^suit

03C4t

^-+

^u"

^dans

^lorsque

^{t ~}

^0+.

^{Soit S > 0 et} choisissons t > 0 suffi-

samment

petit

pour que

Soit

(03C6~)

^{une suite}

régularisante. Alors 03C6~ * 03C4t

^~

03C4t

^dans

Hp(d;IRn)

^{et pour 0 e}

^t,

C

IR.

Choisissons e > 0 suffisamment

petit

^et inférieur à t, ^tel que

Soit 11

^E

D(lRn), 0 ~/

=1. Posons ⁼

~(.~k),

^{k E} Pour k suffisamment

B(o,1 j grand,

De

(28)-(30)

^suit

^!! (~ . (~

^{u Il 5 et l’on a}

!R_

D’où l’assertion.

Q.E.D.

Nous allons maintenant étendre 1.8 aux variétés

C~

_compactes à bord. Soit S~ une

variété

C~

_compacte à bord. Pour

pouvoir

introduire les _espaces «fonctionnels» convenables sur

S~ et aS~ nous aurons besoin de la théorie des courants

[Sch] ,

p. 312-353.

Rappelons

^brièvement

quelques

définitions et notations. Soit E un espace vectoriel réel et Orient

(E)

⁼

01,02

^l’ensem-

ble des deux orientations de E. Un p-covecteur ^tordu

(encore

^dit

impair)

^sur

E,

a, ^{est une}

applica-

tion de Orient

(E) dans A E*,

^telle que

-a(0 ).

^{Soit M une variété}

^(ici

^{Q ou de di-}

mension n. Un p-covecteur ^{tordu au}

point

^{x est un} p-covecteur ^{tordu sur} On définit alors le fibré des p-covecteurs ^{tordus et une section de ce fibré est}

appelée

^une forme tordue

(ou impaire).

^dénote

l’espace

^des

p-formes

^tordues

C~

à

support compact ;

^on le munit de la

topologie

de Schwartz

(analogue

^{au cas}

scalaire).

^{Son dual}

D (M)

^est

appelé l’espace

^des

(n-p)-

courants

pairs.

Appelons p-forme

^tordue distribution

(appelée

^dans

[Tr 1 p.

⁹⁶ densité distribution si

p=n)

^toute forme linéaire continue sur

C°° ^{( A}

^T*

^{M). L’espace}

^{vectoriel des}

^p-formes

^tordues

distribution ^sera noté

D’(M).

^{Soit u}

GD(M).

^{A u est} associé la

p-forme

tordue distribution :

p

P

Ceci permet d’identifier

D _(M)

au sous-espace de

D’(M)

^des

p-formes

^tordues distribution

C~

à

support compact.

^{Etant donné un}

opérateur

différentie! P :

M) - M)

^{il est}

alors facile de

prolonger

^{P à}

D*(M). p

^Il

suffit

de considérer

)

que

^{nous noterons encore}

P) qui applique

continuement

’(M) - ’(M) ;

^ce

prolongement

^{continu est}

unique.

^{Dans le cas}

P==d on retrouve la définition donnée dans

[Sch] ,

p. 344. Pour

plus

^de

détails,

^voir

[Di],

p. 211- 218 et dans le cas

p=0 [Tr

¹

], p.92-122.

Les espaces de Hilbert IL2( T*

03A9), IL2(p+1

^T*

03A9), Hp(d;03A9), (resp. H-1/2( T* ~ 03A9),

T*

H-1/2p(d;~03A9))

^se définissent _par passage ^aux coordonnées locales de 03A9

(resp plus précisément

^{à tout} atlas fini sur ~2

(resp. 8~)

^{et à toute}

partition

^de !’unité subordon- née est associée une structure hilbertienne sur chacun de ces espaces

(comme

^{dans le cas scalaire}

[Tr 2],

^p.

232) ;

^de

plus

^{la structure d’E.V.T.}

sous-jacente

de chacun de ces espaces ^est

intrinsèque.

On vérifie aisément _que ⁼

{

^{u C T*}

^{~) ;}

^{° du e T*}

~2) ~ ^(resp.

Hp~(d;~) ^{= j u}

^{C T*}

^{8~) ;}

^{du E T*}

^3~)))

^{et que la norme du}

^graphe

^est

une norme

équivalente.

1.9. THEOREME.

L’application de ~) -~ u -~j*u (j :

^se pro-

longe

continuement de manière

unique en

^une

application

^{linéaire continue de sur}

valeur en u e H

(d;03A9)

^{sera notée tu. De}

plus C~oo( T* Q

^{) est} dense dans ker t

(que

^{nous noterons}

Montrons _que

l’application

^{u -}

j*u

^{de T*}

Q) -

^{T* est}

continue, C~ (A

^T*

Q) (resp.

^T* étant muni de la

topologie

^induite par

(resp.

H~~(d;8~2)).

Soit ( (Ui,~i) ; i

⁼

1 ...m}

^un atlas fini de Q et

(03B8i)mi=1

^une

^partition

^{de l’unité} subordonnée à cet atlas. Par linéarité

D’autre part

(t( )

voulant dire «composante

tangentielle de»).

^Par

1.8,

^{il existe une constante C} > 0 telle _que pour ^tout i

= 1 ,...,m,

^{tout u E T*}

S~) :

D’où _par

(31 ) :

L’application

^{u ~}

( V

^!!

(~-1i)*(03B8iu)

^{!! 2 u}

(d;IRn-))1/2 est

^{l’une des normes}

équivalentes

^de

’~ _~ P ’

Hp(d~) ;

^{de même}

l

"

t ~i ~~ ^{~ ]~" ~} H~~(d-!R~) ~

est l’une des normes

équivalentes

^de

H-1/2p(d;~03A9).

D’où l’assertion _par

(32).

~ Montrons _que

C~(~T* ^~)

^est dense dans H

(d;f2).

^{Soit u e H}

(d;~), ~(U~x;) ; ’=~.~m}

^un

at!as fini de 03A9. Par

partition

^{de l’unité et linéarité on}

^peut

^{supposer que supp u C}

U1 ^(modulo

renumërotation des cartes de l’atlas

considère), («

^{2014 ))}

désigne

ici !a fermeture dans

03A9).

^Soit

(03B8i)mi=1

^une

^partition

^de l’unité subordonnée au recouvrement des

(Ui)mi=1

^{telle que pour tout}

i=2,...,m :

supp

03B8i

^F)

^{supp u}

⁼

^03C6.

Soit 5 > 0.

Par 1.6 et !a _remarque

qui

^te

suit,

^{il existe w e T*}

!R")

^te! que

~w-(~-11)*(03B81u)

^~

Hp(d;IRn-) 03B4

^{et supp}

^{w ~ supp} (03B8i o ~-11) = 03C6 pour i=2,...,m.

^D’où

D’où l’assertion.

. Montrons _que

l’application u ~

^{tu de dans}

H-1/2p(d;~03A9)

^est

surjective.

Considérons

i=1,...,m}

^un atlas fini de Q ^{et une}

partition

^de l’unité subordonnée. Considé- rons 03C6 ^e

H-1/2p(d;~03A9).

^Par

^1.8,

^{pour tout i}

^1,...,m}

^{il existe}

^w,

^{C tel que}

tw.

⁼

t[(x- |Ui )-1]*(03B8iu).

^{On peut supposer}

^{supp wi}

^{compact C} Considérons

m

u=~

l

[X; ]~w;.

. Reste à montrer que

~2)

^est dense dans ker t.

Soit u ~ tel _que tu ⁼ 0. Considérons encore un atlas

fini ( i=1,...,m~

^{de ~2. Par}

partition

de l’unité et linéarité on peut supposer que supp ^u On

procède

^{alors comme dans}

le second

point

^{à cela}

près qu’on

^{considère ici w G}

Q.E.D.

A titre

d’application

^de

1.9,

^on

peut déjà

^{donner une}

généralisation

^de la formule de Stokes :

1.10. COROLLAIRE.

Supposons 03A9

orientée.

Alors pour

^{tout u e}

Preuve. 2022

Supposons

^{tout d’abord u E C}

(A

^T*

03A9).

^Alors par la

classique

formule de Stokes :

du =

^tu.

Mais tu = tu,1 > .

2022

(33)

^{suit dès} lors de la densité de T*

03A9)

^dans

(d;03A9)

^et de la continuité de

l’appli-

cation de

H~ (d;S~) ~ H 1~2(d;aS~) :

^{u - tu.}

Q.E.D.

Nous supposerons

désormais,

sauf mention _expresse du

contraire, n

variété riema- nienne orientée

C°°

_compacte à bord.

Suivant

l’usage

ⁿ

désignera

^le

champ

normal unitaire sortant le

long

^{du bord}

(ceci

entraîne

quelques

confusions d’ordre

typographique,

mais dont le sens exact est clairement indi-

qué

par le

contexte).

(n(.)

voulant dire

«composante

^normale

de») (dans

le 2d membre de

(34)

ⁿ

désigne

^{la dimension}

Pour clarifier ^ce dernier

concept, rappelons

la notion de carte

adaptée

^au

champ

^nor-

mal unitaire sortant

[D-S] . Désignons

par r le bord de

S~ ;

^{soit une carte} de r valable ^en

y

^{C- r.}

Restreignant

^{W au}

besoin,

^il existe a > 0 tel _{que pour} tout y ^E

W, la géodésique

^{t -~}

vy(t)

vérifiant

v (0) =

y ^et

v’ (0) = ^-n(y)

^soit définie dans l’intervalle

[0,a[

^et

l’application

^de

[0,a[

^{x W ~ 03A9 :}

(t,y)

^{~ vy(t) soit un}

difféomorphisme

^{sur un ouvert} U de 03A9 tel _que r ⁼ W.

On définit alors la carte

(U,x)

^{valable en}

_y~

^en posant pour ^{tout z}

EU,

(t,y)

^vérifiant

v (t)

^{= z. Dans cette carte, pour tout y E}

^W,

^{on a}

1 . 1 1 . P ROPOS I T I ON .

[ D--S ] Soit ( U ,x ) une

^carte

adaptée

^au

champ

^{normal unitaire sortant le}

/ong

de r. Posons W ⁼ U Fi àQ et

$

⁼

~|W.

^{Soit u OE}

C°° (£

^T*

Q)

^et

...ip)1i1...ipn

^{n ses}

composantes

lues dans la carte

(U,~).

Alors nu a pour

expression

^{locale dans la carte}

(W, 1j/ ) :

Remarquons quelques divergences (mineures)

^avec

[D-S] . Dans [0-5]

^{nu est défini}

comme une forme différentielle le

long

^{du bord}

(en particulier

^{du même}

degré

p que celui de

u) ;

ici nu est défini ^{comme une}

(p-1 )-forme

^{sur le bord et est donc}

^plus

^à

rapprocher

^{de nu défini}

dans

[Du] .

^De

plus

^dans

[D-S]

^une variété à bord est «modelée»

(localement)

^{sur le}

semi-espace

{xn 0} ;

ici suivant

[B-G]

^{sur le}

semi-espace {x10}. Ceci présente l’avantage (par exemple)

que dans le cas 03A9 orientée ^la restriction d’une carte

positive

^{de S2 au} bord ~03A9 est une carte

positi-

ve de ~03A9 ce

qui

^est faux si l’on avait choisi ^le

semi-espace {xn 0} ^{([Sp] ,}

^p.

^8-28).

Par dualité ^avec 1.9. On a alors :

1.12. THEOREME.

L’application

^{u -~ nu de}

S~) (0

p

n)

^{dans T*}

r)

^se pro-

longe

par continuité de manière

unique

^{en une}

application

linéaire continue de ^sur

H-1/2p-1(03B4 ^v

^{; sa valeur en u C sera notée nu. De}

^plus C~oo( T*03A9)

^{est dense dans}

ker n

(que

^{nous noterons}

Hop(03B4;03A9))

^.

H03C0

(03B4;03A9) désigne {u

^~

IL2( T* 03A9) ; 03B4u ~ IL2(

^T*

^03A9)}

^et

H-1/2p(03B4;0393) ^désigne

{u

^C

H-1/2( T* ^{F) ;}

^{6u E A T*}

_0393)};

^{ces espaces sont munis de la structure} hilbertien-

ne associée à la norme du

graphe.

Q.E.D.

Par

(34), quel

que soit u

Q) :

^{nu =}

(-1)"(P~~)

^{* t * u. * défini un}

^topiso-

morphisme

^{de sur t est continu de}

H ^d;Q)

^{sur par 1.9 et}

* défini un

topisomorphisme

^de

H_~(d;r)

^sur

~ La densité de

Q)

^{dans ker n suit de cette de}

C°°( A

^T*

^Q)

^{dans ker t.}

Q.E.D.

Dans le cas

particulier

^{où ~2 est un ouvert borné}

régulier

^de

!R",

^et identifiant un

champ

^{de vecteur} à la 1-forme

qui

^{lui est}

associé,

^{on retrouve un} résultat de

[T] (p. 9-13).

^Celui-

ci s’étend tel

quel

^au niveau riemanien :

1.13. THEOREME. Soit ~2 une variété riemanienne orientée

C _compacte

à bord.

H(div;Q) = ~

^{X e}

^{r(TQ) ;} /~ ^(X,X)

^{* 1 et}

^~

^{div X ~}

^{L~(~) ~ (muni de}

^{la norme}

X -

/" ^{(X,X) *}

^{1 +}

/" ! ^{div X ! ~}

^{* 1.}

l’application de (n,X)

(«composante

normale du

champ

^{X sur le}

bord»)

^se

prolonge

continuement de manière

unique

en une

application

^{de sur}

H-1/2(0393)

^.

! ~

Preuve. 2022 Soit X un

champ

^{de vecteurs sur} 03A9. Soit X ⁼ X _2014; son

expression

locale dans une car- te de 03A9. La 1-forme

associée 03C6

^a pour

expression

locale dans cette carte 03C6 ⁼

X’ g.. L’expression

locale de

* ~

^{est :}

D’où

D’ou

De

plus

par

(36)

(5)

^{Dans ce texte,} topisomorphisme ^veut dire isomorphisme d’E.V.T.

( )

^* désigne l’opérateur «adjointe de»

(~R~

^{p. 121) et alinéa} suivant 1.8.

De

(37)

^et

(38)

^{suit que}

l’application

^{X ~} ~p ^{est un}

topisomorphisme

^de

H(div;Q)

sur

H1 (&#x26;;S~). (39)

.

Supposons

^{la carte}

adaptée

^au

champ

^{normal unitaire} sortant, ^{et X G Alors}

(n,X)

⁼

X1.

De et 1.11 suit De suit alors D’où

(n,X)

⁼

(40)

De

(39), (40)

^et 1.12 suit l’assertion.

Q.E.D.

~

Le résultat de

[D-L] rappelé

^{au début de ce}

paragraphe

^se

précise

^{et s’étend au cadre}

riemannien de la manière suivante : considérons les espaces

(rot

^X

désigne

^la dérivée extérieure de la 1-forme associée à

X, [DEL]

p. 100 et est

appelé

^en

«calcul tensoriel» le «tenseur rotationnel de

X» ) (en

^{fait il}

s’agit

^d’un

champ

^de

tenseurs)

^{ainsi que}

=

~X

^G

!-T~(Tr) ;

^{rotX C ces} espaces étant munis de la norme

du

graphe.

^{On a alors :}

1.14. THEOREME, Soit

03A9

une variété fiemanienne orientée

C~ _compacte

à bord. Alors tion X

|~03A9 - ^(n,X)n

^de dans C~(T0393) se

prolonge

continuement de manière

unique

^en

une

application de

Dans une carte

adaptée

^au

champ

normal unitaire ^sortant

l’expression

locale de

n

^{n , , n . 8}

(~

1-forme associée à

X)

^{est : =}

~ ~

^{tandis que X -}

^(n,X)n =~ ^X’

^2014;.

i=2

j=2

^{~ i=2}

8x’

Donc la 1-forme associée à

X -(n,X)n

^sur

0393 est t03C6.

1.14 suit dès lors de 1.8.

2. -

QUELQUES

PROBLEMES AUX LIMITES

Nous étudions

quelques problèmes

^{aux limites dont} nous aurons besoin dans la déter- mination des

générateurs

^de

semi-groupe

à contraction associés au

système

de Maxwell.

2.1. il existe une et une seule solution de ^{u +} 03B4 du =0

et tu = 03C6, dans

l’espace Hp(d;03A9)

^.

p

2022 Pour /7 existe une et une seule solution dans de u + d03B4u ⁼ 0 et nu ⁼

~/.

Considérons E

(d;~2) ; tw==~~.

^Par

^1.8,

^{E est non vide et fermé. De}

^plus,

^{E est}

convexe. Soit u la

projection

^{de 0 sur} E. Il suffit de vérifier _que u + 5du ⁼ 0.

Quel

que soit

T~):

^:

D’où

Substituant Àw à

~r, A E ~, (41 )

^{devient :}

(42) implique (u,w)

^{= 0}

quel

que soit w E

Q).

D’où

quel

^{que soit 9}

(Q) /

^{A ~ +}

^(-1

^{A 6~ = 0 Le. :}

Mais

03B403C9,03B8

^{> =}

(-1 )p > , quel

que soit ^W

(Q).

^{D’où suit de}

(44) :

^{u + ôdu = 0.}

. Reste à montrer l’unicité de la solution dans Soit u une solution dans Alors

quel

que soit ^{w G}

E,

il existe h E tel _que ^{w = u +} h. D’où

et de la densité de

Q)

^dans

Hop(d;03A9). (45)

Par

conséquent

^u solution dans

implique

^{Il u Il = inf Il w Il.}

(46)

wEE

De

(45)

^et

(46)

^{suit si u et w sont deux solutions dans} nécessairement h ⁼ w-u doit être nul et donc u ⁼ w.

. La seconde

partie

de l’énoncé suit _par dualité de la

première :

considérons v E la solution de v + 03B4dv ⁼ 0 et tv = *

03C8.

^{Posons u}

= (-1 ) (n+1 )p *

^v.

Alors u E H p (03B4;03A9)

^et est solution

Q.E.D.

Nous étudions maintenant la

régularité

^{des solutions des}

problèmes

^{aux limites}

posés

en 2.1. Nous allons montrer que si _~p ^E

r)

alors la solution dans de u + ôdu ⁼

0,

est

«C°° _jusqu’au

bord » i.e. u

S~).

2.2. LEMME. Considérons

Alors P est un

système

^frontière

elliptique

^{au sens de}

[Hö],

p. 273.

Preuve. ~ Nous devons tout d’abord vérifier

([Hô], dëf. 10.6.2,

p.

269-270)

que le

système

^{Au = F}

est

elliptique

^{au sens de}

[D-N] ,

p. 505. Suivant les notations de

[Hô],

p. 268

(à

^la différence

près qu’ici

^nous travaillons avec des

multi-indices)

posons pour 1

j]

^{... n,}

...ip~n :

De la formule de

Weitzenbôck, [R] p. 131,

^{suit :}

D’où

/nB

1

...jp (z,03BE)) = |03BE|2 ~0 si 03BE ~ 0.

2022 Calculons !e nombre

d’équations

^définies par !es conditions frontières tu ⁼ f ~

C (AT* ^F)

^et

est à

(n-1p) ⁺ (n-1p-1) ^>

⁼

(np)

^{= avec}

D’où la condition

i)

^de la définition

10.6.2,

p. 269-270 de

[Ho] .

. Suivant les notations de

(condition ii) dëf. 10.6.2,

p.

269-270)

posons :

et

On a

quel

que soit

y

^{E dans une carte}

adaptée

^au

champ

normal unitaire sortant, valable ^en

Yo ?

D’où

et

De

plus :

et

La condition

ii)

^de

[Hô] (déf. 10.6.2,

p.

270)

^est que le

système :

ne

possède

pas de solution

«exponentielle»

^non triviale bornée

avec ~ ~

^{0 i.e. une} solution de la forme

Vérifions cette condition. De

(47)

^et

(48)

^{suit :}

w. il...

ⁱ

p (1 ~ i 1 ... i p ⁿ⁾

devant être bornée sur

IR_ il

suit :

w; (x ) 1 = w. il...ip ^{(o)e ~~ Ix1}

où l’on a

posé

p = 0 pour 2 i1 ... ip n.

De

(51 )

^et

(52)

^{suit =0}

pour 2 k~ ...

^n,

⁽⁵⁴⁾ De (53) et (54) suit u = o.

Q.E.D.

2.3. LEMME. Soient ^e

C (~

^T*

_~~g

^e

^C (~A

^T*

^r).

^{Alors il existe}

(55)

Preuve. 2022 Par

partition

de !’unité et

linéarité,

^on

peut

supposer,

03C62, 03C63, 03C64

^à

^support

^contenu

dans U ~

~03A9,

^U

désignant

^le domaine d’une carte

(U,x)

^{de 03A9}

adaptée

^au

champ

normal unitaire sortant.

2022 Soit 03C9 ~ t*

03A9)

^et recherchons

l’expression

^{de t03C9,}

t03B403C9, n03C9,

nd03C9 lues dans la carte

(U,x).

Nous supposons supp 03C9 CU.

. Construisons u. Eu

égard

^à

(56),

^on pose :

Eu

égard

^à

(57),

^on pose :

Eu

égard

^à

(58)

^et

(61 ),

^on pose pour 2 ~

il ... ip

^{n :}

Eu

égard

^à

(59), (60), (61 ),

^on pose pour 2

i2

^...

ip

^{n :}

4

Soit 8 E

C~oo(03A9), 0 03B8 ^{1, supp 03B8}

^{C U et 03B8}

^égale

^{1 sur un}

^voisinage

^de

^U

^supp

03C6i.

Posons : i=1

u défini _par

(60) - (65) répond

^{à la}

question.

Q.E.D.

2.4. COROLLAI RE.

Soit 03C6

^E

03A9),

^{À e}

C°° ( Â T * r) et

^{v E}

C~ (

^{A T* r}

tels

que pour

Preuve, ~ On vérifie de suite _{que :}

D’où

2022 De

(66)

^{et de}

l’hypothèse suit 03A9 (03C6 ^~~

⁺

^039403C6)

^{A * u = 0}

^quel

^{que soit u C}

^03A9).

^D’où

. De

(’hypothèse, (66)

^et

(67)

^{suit :}

quel

^{que soit u G D’où par 2.3 :}

De

(67)

et (70)

^suit

^(I

^{+ = 0 et = 0. De}

^plus

^par

hypothèse, 03C6

^E

S2)

^donc

T* S2)

^C

^(d;S2).

D’où _par 2.1

8~p

^{= 0.}

(72)

De

(67), (72)

^et

(71 )

^suit

(

^{+ et}

D’où _par 2.1

~p = 0. (73)

De

(73)

^et

(68)

^{suit À =}

0 ;

^de

(73)

^et

(69)

^{suit v = 0.}

Q.E.D.

2.5. COROL LAI RE.. P est un

topisomorphisme

^de

S2)

^sur

~ Pour tout ~p ^E

C°° (Â

^T*

^r)

^{la solution u dans H}

^(d;S~)

^{de u + ôdu =}

^0,

^{tu = cp est dans}

p p

c°°(n T* 03A9).

2022 Pour tout

11

^E

C°° pn1

^T*

^r

la solution u dans

v

^{de u + db u =}

0

^{nu =}

>y

^{est dans}

S~).

( ) p( ~ )

Preuve. Par

2.2,

^{P est un}

système

^frontière

elliptique,

^d’où par

(p. 273),

^{il existe r E}

IN,

‘~l

J ^E

C°°(~1

^T*

^S~), _{A~ J E} C°°(~

^T*

^r),

^v~ _J ^{E T*}

^{T), j =1,...,r}

^{tels que}

^(F,f,g)

^{E Im P ssi}

et

De

2.4,

^suit

~?.

⁼

^0, À.

⁼

^0, ~.

=

0, j

⁼

1 ,...,r.

^{D’où P est}

surjectif.

^Montrons que P est

injectif.

^Soit

u C ker P. Alors 6u e T*

~)

^{C et}

(!

⁺

5d)§u

⁼ 0 ainsi que t5u ⁼ 0. D’où par

2.1,

^{Su =0. D’où suit de u C}

ker P, (!

+ 03B4d)u=0. On a également tu = 0, d’où par 2.1 u=0.

P est

injectif,

^{continu et}

surjectif.

^{Donc par !e théorème de}

l’application

ouverte, ^{c’est un}

topi- somorphisme

^de

03A9)

^sur

C~( T* ^03A9)

^x

^F)

^{x T*}

^F).

2022 Par !e

premier point,

i) existe u e

03A9)

te! que

(!

⁺

A)u

⁼

0,

^tu = 03C6, t5u =0. D’où suit 6u E T*

03A9)

^C

(!

⁺

6d)5u

^{= 0 et tôu = 0. D’où} par

2.1,

^{6u = 0. D’où}

(! +A)u=0

^devient

(! +§d)u=0.

L’assertion suit dès lors de 2.1 _par unicité.

2022 Ce dernier

point

^{suit du}

précèdent

par dualite.

Q.E.D.

Pour _03C6 C

H-1/2p(d;0393)

^posons

^{!! !}

⁼

^{inf { Il}

^u

^Il;

^{; u C}

^{H (d;03A9)}

^{et tu}

^}.

^{Par 1.9 et}

!e théorème de

l’application

ouverte, ^!a

topologie

^définie par ^{cette norme est} ta même _que !a

topo- logie

initiale. Par

2.1, ^!!!

^{= Il}

u

^{!! où}

u

^{G est} la solution de u + 03B4du

=0,

^tu = 03C6. Le

produit

^scalaire

((.,.))

associé à cette norme vérifie

((03C6,03C8))

^{= De même} pour

03C8 ~ H-1/2p(03B4;0393) on pose ~|03C8 ~| = inf ~u~; u ~ Hp+1(03B4;03A9) et nu = 03C8 .Cesnormesetproduits

scalaires seront dits «naturels».

Soit _03C6 E

H-1/2p(d;0393)

^{et posons}

^Q03C6

⁼

ndu03C6 (u ^désignant

^{la solution dans}

Hp ^(d;03A9)

^de

u

+ 03B4du = 0 et tu = 03C6). Ceci a bien un sens car du03C6 ~ IL2 ⁽

^A

--u

Le.

du03C6

^C

Hp+1 (03B4;03A9). Q opère

^de

H-1/2p(d;0393)

^dans

H-1/2p(03B4;0393).

2.6. PROPOSITION..

Q est un topisomorphisme de H-1/2p(d;0393)

^sur

H-1/2p(03B4;0393)

^{et une transfor-}

mation unitaire de

H-1/2p(d;0393)

sur H-1/2p(03B4;0393) pour leur structure hilbertienne naturelle.

De plus

2022 Notons

Q(p) l’opérateur Q H-1/2p(d;0393)

^sur

H-1/2p(03B4 ^;r).

Preuve, ~ E et E la solution de

(I

⁺

bd)u

⁼

0,

^tu = ~. Alors

du

^{et est solution de}

!’équation (t

⁺

db )w = 0,

^nw

= Q~p.

^D’où