SP ´ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´E Notations M

SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´ E

Notations

M

( R ) d´esigne l’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordre n `a termes r´eels ; n est un entier, n > 1.

L’espace vectoriel R

sera suppos´e muni de la norme euclidienne ; c’est `a dire, en d´esignant les vecteurs de R

par des matrices colonnes :

X =







 x

x

.. . x









kXk =

n

X

i=1

x

!

L’espace vectoriel M

( R ) sera muni de la norme subordonn´ee ; pour A ∈ M

( R ) : kAk = sup

X∈Rⁿ\{0}

kAXk k X k .

Partie I Quelques propri´ et´ es de l’exponentielle de matrice Soient A et B deux matrices de M

( R ).

I.1. a. Rappeler pourquoi la s´erie de matrices de terme g´en´eral U

d´efinie par U

= I

U

= 1

k! A

, k = 1, 2, . . . est convergente. On note exp A la somme de cette s´erie.

b. D´emontrer l’in´egalit´e : k exp Ak ⁶ exp kAk.

c. Etablir la relation : ´ B exp A =

P

k=0

1 k! BA

.

Que penser des matrices exp A

et exp A

lorsque A

et A

sont semblables ? Il sera admis pour la suite que, si deux matrices A et B commutent alors

exp( A + B ) = exp A. exp B I.2. On consid`ere les trois matrices de M

( R ) :

D =





1 0 0 0 2 0 0 0 3



 , E =





1 1 0 0 2 1 0 0 3



 , F =





0 1 0 0 0 1 0 0 0





Calculer exp D, exp F . On admet que E = exp F.D. exp(−F ), en d´eduire exp E.

Comparer exp E et exp F. exp D , qu’en penser ?

I.3. Soit f

la fonction de R dans M

( R ) d´efinie par : f

(x) =

P

k=0

x

k ! A

. a. Etablir que ´ f

est continue de R dans M

( R ).

b. En int´egrant terme `a terme la s´erie donnant f

(t) (justification admise sauf pour les 5/2), exprimer, en fonction de f

( x ) et de I

, l’expression A

Z

f

( t ) d t o` u x est un r´eel ; en d´eduire que la fonction f

est d´erivable et calculer sa d´eriv´ee.

Montrer que f

est ind´efiniment d´erivable.

1

2 SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´ E

I.4. a. Soit θ un r´eel donn´e et C

la matrice de M

( R ) : C

=

0 θ

− θ 0

. Calculer exp(C

). (On pourra utiliser les ´egalit´es

sin θ =

+∞

X

n=0

(−1)

θ

(2 n + 1)! , cos θ =

+∞

X

n=0

(−1)

θ

(2 n )! pour θ ∈ R .) Est-ce que l’application A 7→ exp A de M

( R ) dans M

( R ) est injective ?

b. Soit A une matrice de M

( R ). D´emontrer que la matrice exp(A) − I

peut s’´ecrire A(I

+ S

).

Etablir qu’il existe un r´eel ´ α > 0 tel que kAk < α implique kS

k < 1.

c. Soit T une matrice de M

( R ) ; ´etablir que si kT k < 1, la matrice I

+T est inversible.

d. Soit M une matrice appartenant `a la boule ouverte B(0, α) de centre la matrice nulle 0 et de rayon α (o` u α a ´et´e d´efini au b.) ; ´etablir que l’´egalit´e entre les matrices exp M et I

est ´equivalente `a la nullit´e de M .

I.5. Soient B et H deux matrices donn´ees de M

( R ) et soit k un entier, k > 1 ; soit g

l’application de R dans M

( R ) d´efinie par

g

( x ) = ( B + xH )

.

Les deux matrices B et H ne sont pas suppos´ees commutables.

a. Etablir que la fonction ´ g

est continˆ ument d´erivable ; calculer les d´eriv´ees des fonctions g

, g

, g

puis de la fonction g

.

b. En d´eduire l’in´egalit´e :

k(B + H)

− B

k ⁶ kkHk.(kBk + kHk)

.

on utilisera ici l’in´egalit´e des accroissements finis pour les fonctions vectorielles : kg (1) − g(0)k ⁶ sup

x∈[0,1]

kg

(x)k.

I.6. Soit x un r´eel, x > 0 ; soit T (A, x) la matrice d´efinie par la relation : T ( A, x ) = 1

x

(exp( xA ) − I

− xA ) .

a. D´emontrer que la fonction x 7→ T (A, x) se prolonge par continuit´e en 0.

Montrer que T (A, x) = A

Z

0

(1 − t) exp(txA) dt (utiliser la formule de Taylor avec reste int´egral).

En d´eduire un majorant simple de sa norme (on utilisera le fait que la norme de l’int´egrale est inf´erieure `a l’int´egrale de la norme).

b. Soit k un entier, k > 1 ; en d´emontrant et en utilisant la relation :

I

+ 1 k A

− exp A =

exp 1

k A

− 1 k

T

A, 1

k

−

exp 1

k A

d´eterminer, `a l’aide de l’in´egalit´e du I.5., la limite de la suite de matrices de terme g´en´eral

I

+ 1

k A

, k = 1, 2, . . .

c. D´emontrer que l’application A 7→ det A est une application continue de M

( R ) dans R .

On admet que det

I

+ 1 k A

= 1 + 1

k Tr(A) + O 1

k

.

En d´eduire la valeur du d´eterminant de la matrice exp A.

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I.7. Soit x un r´eel, x > 0. Soit U (A, B ; x) la matrice d´efinie par la relation U ( A, B ; x ) = 1

x

(exp( xA ) . exp( xB ) − I

− x ( A + B )) .

a. D´emontrer que la fonction x 7→ U (A, B; x) se prolonge par continuit´e en 0.

En ´ecrivant la formule de Taylor avec reste int´egral `a l’ordre 2 pour la fonction g (x) = exp(xA). exp(xB) (cf. I.6.a ), en d´eduire un majorant simple de la norme de l’application x 7→ U (A, B; x).

b. Soit k un entier, k > 1 ; d´eterminer, lorsque k tend vers +∞, la limite de l’expression : P

=

exp

1 k A

. exp

1 k B

−

I

+ 1

k (A + B )

.

c. En d´eduire, lorsque k tend vers +∞, la limite de la suite des matrices : Q

=

exp

1 k A

. exp

1 k B

.

Partie II Groupes ` a un param` etre

Soit G un sous-groupe de GL

( R ) ; G est dit groupe `a un param`etre s’il existe un morphisme continu et surjectif du groupe additif R dans G ; G est muni de la distance induite par la norme de M

( R ).

Le but de cette partie est de montrer, apr`es avoir donn´e l’exemple du sous-groupe f

( R ), que tout sous-groupe `a un param`etre est de ce type.

II.1. D´emontrer que, pour une matrice A donn´ee de M

( R ), l’application f

est un morphisme continu du groupe additif ( R , +) dans GL

( R ) ; en d´eduire que f

( R ) est un groupe `a un param`etre.

II.2. D´emontrer que le groupe O

(2) des matrices orthogonales de d´eterminant 1 est un groupe

`a un param`etre. D´eterminer une matrice A telle que f

( R ) soit O

(2).

II.3. Soit α un r´eel strictement positif ; donner un exemple de fonction g

polynomiale de degr´e 4 sur [− α, α ], positive continˆ ument d´erivable, d´efinie sur R , nulle en dehors de l’intervalle [− α, α ] et telle que :

Z

−α

g

( u ) d u = 1.

(On fera intervenir le polynˆome x

− α

et on d´efinira g `a une constante multiplicative pr`es que l’on ne demande pas d’´evaluer.)

V´erifier bri`evement que les fonctions g

et g

sont uniform´ement continues sur toute la droite r´eelle.

Soit Φ un morphisme du groupe additif R dans GL

( R ), continu pour la distance induite dans GL

( R ) par la norme de M

( R ). Soient M

, et, pour tout r´eel t, ψ(t) les matrices d´efinies par les relations :

M

= Z

−α

g

( u )Φ(− u ) d u, ψ ( t ) = Z

t−α

g

( t − u )Φ( u ) d u.

II.4. a. D´emontrer que la fonction ψ : t 7→ ψ(t), d´efinie dans R , est continˆ ument d´erivable (utiliser le fait que g est un polynˆome).

b. Soit t

un r´eel donn´e ( t

> 0) ; d´emontrer que si t ∈ [− t

, t

], on a : ψ ( t ) =

Z

−t0−α

g

( t − u )Φ( u ) d u.

4 SP ´ ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL ´ E

c. Etablir les relations : ´ ψ(t) = M

.Φ(t) = Φ(t).M

.

II.5. a. D´emontrer que la matrice M

admet une limite, lorsque le r´eel α tend vers 0 (on utilisera l`a aussi l’in´egalit´e de la norme

Z

−α

F (u) du

6

Z

−α

kF (u)k du pour toute fonction vectorielle et toute norme en dimension finie).

b. Montrer qu’il est possible de choisir α de fa¸con que M

soit inversible.

c. En d´eduire que le morphisme Φ, de R dans GL

( R ), est continˆ ument d´erivable.

II.6. a. D´esignons par A la matrice Φ

(0). Calculer Φ

( t ) en fonction de A et Φ( t ).

b. Soit Ω(t) = Φ(t) exp(−tA), calculer Ω

(t), en d´eduire Φ(t).