A.Godichon-Baggioni Intervallesdeconfianceettests Mise`aniveau

Intervalles de confiance et tests

A. Godichon-Baggioni

I. Intervalles de confiance

I NTERVALLES DE CONFIANCE

D´efinition

Soit θ ∈ Θ ⊂ R et α ∈ (0, 1). On appelle intervalle de confiance pour θ de niveau 1 − α tout intervalle al´eatoire IC 1−α (θ) = [a (X) ; b (X)]

tel que

P [θ ∈ [a (X) ; b (X)]] = 1 − α.

Attention ! On ne peut pas dire que la probabilit´e que θ

appartienne `a la r´ealisation de l’intervalle de confiance est de

1 − α .

E XEMPLES

Exemple 1 : la loi uniforme. Soit X = ( X 1 , . . . , X n ) ∼ U ([ 0 , θ]) ^⊗n . On a

IC 1−α (θ) = h

X (n) ; X (n) α ^−1/n i

Exemple 2 : le lancer de pi`ece. Soit X = ( X 1 , . . . , X n ) ∼ B(θ) ^⊗n et θ ˆ _n = X n un estimateur de θ . En appliquant l’in´egalit´e de Tchebychev,

P

θ ˆ _n − 1 2 √

nα ≤ θ ≤ θ ˆ _n + 1 2 √

nα

≥ 1 − α.

U NILAT ERE ` V S B ILAT ERE `

Soit X = ( X 1 , . . . , X n ) ∼ N (θ, 1 ) ^⊗n . On peut consid´erer

IC 1−α (θ) =

X n ± q 1−α/2

√ 1 n

o `u q 1−α est le quantile d’ordre 1 − α/ 2 de la loi normale centr´ee r´eduite. On parle d’intervalle bilat`ere.

On peut consid´erer IC 1−α (θ) =

X n − q 1−α 1

√ n , +∞

.

On parle ici d’intervalle unilat`ere.

I NTERVALLES DE CONFIANCE ASYMPTOTIQUES

Lorsque n est suffisamment grand et que l’on dispose de r´esultats asymptotiques type normalit´e asymptotique, on peut utiliser des intervalles asymptotiques, i.e tel que

n→+∞ lim P [θ ∈ [a (X) ; b (X)]] = 1 − α.

Exemple : le lancer de pi`ece. On a

n→+∞ lim P



 θ ˆ _n − q 1−α/2

q θ ˆ _n (1 − θ ˆ _n )

√ n ≤ θ ≤ θ ˆ _n + q 1−α/2

q θ ˆ _n (1 − θ ˆ _n )

√ n



 = 1 −α

o `u q 1−α/2 est le quantile d’ordre 1 − α/ 2 de la loi normale

centr´ee r´eduite.

II. Tests

O BJECTIF

Le lancer de pi`ece : On souhaite savoir si la pi`ece est

´equilibr´ee. On jette 10 fois une pi`ece et on obtient 9 ”Face”. Un test permet de dire avec un certain risque si cette proportion de

”Face” est seulement due `a la fluctuation d’´echantillonnage ou

bien si la pi`ece est truqu´ee.

H YPOTH ESE NULLE ET HYPOTH ` ESE ALTERNATIVE `

Le principe d’un test est de r´epondre par oui ou non `a une question sur le param`etre d’une exp´erience statistique, ce qui revient `a consid´erer Θ ₀ , Θ ₁ ⊂ Θ tel que

Θ ₀ t Θ ₁ = Θ,

et de d´eterminer, avec un certain risque et `a partir des observations, si θ ∈ Θ ₀ ou θ ∈ Θ ₁ .

I H0 : θ ∈ Θ ₀ est appel´ee l’hypoth`ese nulle.

I H1 : θ ∈ Θ ₁ est appel´ee l’hypoth`ese alternative.

E XEMPLES : LE LANCER DE PI ECE `

Exemple 1 : Tester si la pi`ece est ´equilibr´ee revient `a tester H0 : θ = 1/2 contre H1 : θ 6= 1/2, i.e `a poser Θ ₀ = {1/2} et

Θ ₁ = [0, 1/2) ∪ (1/2, 1].

Exemple 2 : On peut tester si la pi`ece ”produit” plus de Piles,

i.e H0 : θ > 1 / 2 contre H1 : θ ≤ 1 / 2, i.e poser Θ ₀ = ( 1 / 2 , 1 ] et

Θ ₁ = [ 0 , 1 / 2 ] .

T ESTS D ’ HYPOTH ESE `

Un test d’hypoth`ese est une statistique T( X ) `a valeurs dans {0, 1} tel que H0 n’est pas rejett´ee si T( X ) = 0 et inversement.

Le domaine

ZR = T ⁻¹ ({1}) = {x ∈ E, T(x) = 1}

est appel´e zone de rejet du test.

R ISQUES , NIVEAU ET PUISSANCE D ’ UN TEST

On appelle

I risque de premi`ere esp`ece l’application α : Θ ₀ → [0, 1]

d´efinie pour tout θ ∈ Θ ₀ par

α(θ) = E ^θ [ T ( X )] = P ^θ [ T ( X ) = 1 ] . I taille du test le r´eel

α ^? = sup

Θ∈Θ

α(θ) = sup

θ∈Θ

P θ [T( X ) = 1] . I risque de deuxi`eme esp`ece l’application β : Θ ₁ → [0, 1]

d´efinie pour tout θ ∈ Θ ₁ par

β(θ) = 1 − E θ [ T ( X )] = P θ [ T ( X ) = 0 ] I fonction puissance du test l’application π : Θ → [ 0 , 1 ]

d´efinie pour tout θ ∈ Θ par

π(θ) = E θ [T(X)] = P θ [T(X) = 1] .

R EMARQUES

Remarque 1 : Soit α ∈ ( 0 , 1 ) . Un test est dit de niveau α si sa taille est major´ee par α .

Remarque 2 : Soit θ ∈ Θ ₀ . La quantit´e α(θ) est la probabilit´e de rejetter H0 (alors que H0 est vraie). On parle de faux positif.

Remarque 3 : Soit θ ∈ Θ ₁ . La quantit´e β(θ) est la probabilit´e de

ne pas rejetter H0 (alors que H0 est fausse). On parle de faux

n´egatif.

E XEMPLE

Soit X = (X 1 , . . . , X n ) ∼ N (θ, 1) ^⊗n . On souhaite tester au risque α ∈ ( 0 , 1 )

H0 : θ ≤ 0 contre H1 : θ > 0 . On consid`ere θ ˆ _n = X n et on a la zone de rejet

ZR =

X n ≥ q 1−α

√ n

o `u q 1−α est le quantile d’ordre 1 − α de la loi normale centr´ee r´eduite et donc

T ( X ) = 1 _X

_≥

I NTERVALLES DE CONFIANCE ET TESTS

Proposition

Soit α ∈ (0, 1), et pour tout θ ∈ Θ ₀ , on a θ(X); θ(X)

un intervalle de confiance de niveau 1 − α de θ. Alors, le test T( X ) = 1 ssi Θ ₀ ∩ θ(X); θ(X)

= ø est un test de niveau α.

Exemple : Soit X = ( X 1 , . . . , X n ) ∼ N (θ, 1 ) ^⊗n , alors Θ ₀ ∩ h

X n − ^q

^√ _n ; +∞ h

= ∅ ⇔ T(X) = 1.

P - VALUE

D´efinition

Pour une r´ealisation x, on appelle p-value du test associ´e aux r´egions de rejets ZR α la quantit´e

α ₀ (x) = inf {α ∈ [0, 1], x ∈ ZR α } = inf {α ∈ [0, 1], ”On rejette H0”} .

Exemple : Soit X = ( X 1 , . . . , X n ) ∼ N (θ, 1 ) ^⊗n , et on note x n la r´ealisation de X n . Alors

α ₀ ( x ) = P

N (0, 1) ≥ √ nx n

.

Remarque : Faire un test de niveau α revient `a rejetter H0 si la

p-value est inf´erieure `a α et inversement.