DS n°5 : Plans d’expérience et étude d’une fonction

Nom :

Prénom : DS n°5

le 27/03/2018

Classe :

BTS 1

Les exercices seront traités dans l'ordre de votre choix. La présentation et le soin apportés à la présentation de votre copie rentreront pour une part importante dans sa notation.

Exercice 1 : … / 8

Pour établir un modèle du rendement en trichlorométhane, un technicien réalise un plan factoriel d’expériences complet portant sur deux facteurs et qui représentent la température et la durée du passage des gaz dans le réacteur.

Ce plan d’expériences est construit selon l’algorithme de Yates.

On suppose que le rendement du phénomène est modélisé par une expression de la forme :

=

où , , et sont des réels et est une variable aléatoire qui suit une loi normale.

On attribue les niveaux suivants aux facteurs :

Niveau -1 +1

Durée 10 minutes 20 minutes

Température 50 °C 100 °C

Les quatre expériences réalisées ont donné les résultats suivants :

Expérience 1 2 3 4

Durée 10 minutes 20 minutes 10 minutes 20 minutes

Température 50 °C 50 °C 100 °C 100 °C

Rendement 0,05 0,10 0,15 0,25

1. Compléter la matrice des effets et de l'interaction suivante.

Expérience moyenne 1

2 3 4 Coefficient

2. Calculer les estimations ponctuelles des effets , , et de l'interaction . 3. a) Interpréter le coefficient par rapport à ces expériences ?

.

c) Que conseilleriez-vous au technicien pour obtenir un meilleur rendement ?

4. a) On suppose que l'estimation ponctuelle de est arrondie à et que l'écart-type expérimental constaté est = . Déterminer l'intervalle de confiance de au seuil de risque 5 %.

b) L'interaction est-elle négligeable ? Justifier.

5. Donner l'expression du modèle qui permet de définir la réponse en fonction des facteurs et .

X

1

X

2

Y

a

0

+ a

1

X

1

+ a

2

X

2

+ a

12

X

1

X

2

+ ² Y

a

0

a

1

a

2

a

12

²

X

1

X

2

a

0

X

2

a

0

a

1

a

2

a

12

X1 X2 X1X2 Y

a0 a1 a2 a12 a0

a

12

¾ 0, 005

a

₁₂

Y X

1

X

2

0, 013

Exercice 2 : … / 7

On produit du styrène par déshydrogénation catalytique de l'éthylbenzène. Pour étudier le rendement de cette production, on réalise un plan d'expérience complet, construit selon l'algorithme de Yates. Les trois facteurs sont :

•

: la nature du catalyseur

•

: la température en degré Kelvin

•

: le rapport molaire vapeur d’eau / éthylbenzène

En fonction du domaine expérimental, on attribue les niveaux suivants à chacun des facteurs :

Niveau -1 +1

Catalyseur

Température 800 °K 1000 °K

Rapport molaire 4/1 9/1

On réalise huit expériences dont les résultats sont donnés par le tableau suivant :

Expérience 1 2 3 4 5 6 7 8

Catalyseur

Température 800 °K 800 °K 1000 °K 1000 °K 800 °K 800 °K 1000 °K 1000 °K

Rapport molaire 4/1 4/1 4/1 4/1 9/1 9/1 9/1 9/1

Rendement en % 46 40 92 80 48 42 95 85

Le modèle retenu pour le rendement est un modèle polynomial de la forme :

= + + + + + + + +

1. Compléter la matrice complète des expériences et des effets.

Réponse n° moyenne

1 46

2 40

3 92

4 80

5 48

6 42

7 95

8 85

Coefficient

2. Calculer une estimation ponctuelle de chacun des coefficients du modèle.

3. On admet que est négatif. Quelle conclusion peut-on en tirer pour obtenir le meilleur rendement possible ? 4. En considérant qu'un effet ou une interaction dont la valeur absolue est inférieure à 1 % est non significatif,

donner l'expression du modèle.

5. a) Déterminer la fonction affine : a qui permet de déterminer les niveaux des valeurs prises par . b) Justifier que le niveau correspondant à une température de 950 °K est = 0,5.

c) Déterminer le rendement de la production de styrène lorsqu'on utilise le catalyseur à une température de 950 °K et avec un rapport molaire de 9/1.

2

³

X

₁

X

2

X

3

X

1

X

2

X

3

C

1

C

2

C

1

C

2

C

1

C

2

C

1

C

2

C

1

C

2

Y

Y a

0

a

₁

X

₁

a

₂

X

₂

a

₃

X

₃

a

₁₂

X

₁

X

₂

a

₁₃

X

₁

X

₃

a

₂₃

X

₂

X

₃

a

₁₂₃

X

₁

X

₂

X

₃

²

a0 a1

X1 X2 X3 X1X2 Y

a12

a2 a3

X1X3 X2X3 X1X2X3

a13 a23 a123 a0

f

2

x ax + b

X2

C

1 X2

a

1

Exercice 3 : … / 5

On considère le schéma réactionnel : A → B C impliquant les produits A, B et C.

On suppose que les fonctions , et qui à l'instant , exprimé en minutes, associent les concentrations [A] de A, [B] de B et [C] de C, exprimées en mole par litre, sont respectivement définies par :

= = + – = – + Les courbes c , c et c tracées ci-dessous sont les représentations graphiques des fonctions , et .

1. a) Calculer .

b) Déterminer le sens de variation de la fonction . En déduire laquelle des trois courbes représente . 2. a) Calculer l'instant pour lequel les concentrations des produits A et C sont égales.

On donnera une valeur exacte et une valeur de arrondie à 0,01.

b) En déduire la courbe qui est la représentation graphique de la fonction . 3. a) Graphiquement, conjecturer la concentration finale du produit C.

b) Retrouver ce résultat par un calcul de limite.

→

←

f g h t

e

^-3t

f (t) g(t)

¹₂ ³₂

e

^-2t

2 e

^-3t

h(t)

¹₂ ³₂

e

^-2t

e

^-3t

1 2 3

f g h

c₁

c₂

c₃

f

⁰

(t)

f f

t

t

h

t en minutes

Concentration en mol.L-1

Correction du DS n°5 Exercice 1 :

Pour établir un modèle du rendement en trichlorométhane, un technicien réalise un plan factoriel d’expériences complet portant sur deux facteurs et qui représentent la température et la durée du passage des gaz dans le réacteur.

Ce plan d’expériences est construit selon l’algorithme de Yates.

On suppose que le rendement du phénomène est modélisé par une expression de la forme :

=

où , , et sont des réels et est une variable aléatoire qui suit une loi normale.

On attribue les niveaux suivants aux facteurs :

Niveau -1 +1

Durée 10 minutes 20 minutes

Température 50 °C 100 °C

Les quatre expériences réalisées ont donné les résultats suivants :

Expérience 1 2 3 4

Durée 10 minutes 20 minutes 10 minutes 20 minutes

Température 50 °C 50 °C 100 °C 100 °C

Rendement 0,05 0,10 0,15 0,25

1. Compléter la matrice des effets et de l'interaction suivante.

Expérience moyenne

1 1 -1 -1 +1 0,05

2 1 +1 -1 -1 0,10

3 1 -1 +1 -1 0,15

4 1 +1 +1 +1 0,25

Coefficient

2. Calculer les estimations ponctuelles des effets , , et de l'interaction .

= = = =

= = = =

3. a) Interpréter le coefficient par rapport à ces expériences ?

Le coefficient = correspond à la moyenne des rendements obtenus sur les quatre expériences.

b) On a représenté graphiquement ci-dessous l'effet du facteur . Représenter l'effet du facteur .

c) Que conseilleriez-vous au technicien pour obtenir un meilleur rendement ?

Pour obtenir un meilleur rendement, le technicien devrait augmenter le facteur durée et le facteur température.

X

1

X

2

Y

Y a

0

+ a

1

X

1

+ a

2

X

2

+ a

12

X

1

X

2

+ ² a

₀

a

₁

a

₂

a

₁₂

²

X

1

X

2

X1 X2 X1X2 Y

a0 a1 a2 a12 a0

a

0

a

1

a

2

a

12

X

1

X

2

Y

X₁ X₂

a

₀

a

0

a

2 -0,05¡0,10+0,15+0,25

4

0, 0625 a

12 0,05¡0,10¡0,15+0,25

4

0, 0125

a

₀ 0,05+0,10+0,15+0,25

4

0, 1375 a

₁ ^{-0,05+0,10¡0,15+0,25}

4

0, 0375

0, 1375

4. a) On suppose que l'estimation ponctuelle de est arrondie à et que l'écart-type expérimental constaté est = . Déterminer l'intervalle de confiance de au seuil de risque 5 %.

I = [ – ; + ] = [ – ; + ] = [ ; ]

b) L'interaction est-elle négligeable ? Justifier.

∉ [ ; ] donc l'interaction n'est pas négligeable, au seuil de risque d'erreur de 5 %.

5. Donner l'expression du modèle qui permet de définir la réponse en fonction des facteurs et .

=

=

Exercice 2 :

On produit du styrène par déshydrogénation catalytique de l'éthylbenzène. Pour étudier le rendement de cette production, on réalise un plan d'expérience complet, construit selon l'algorithme de Yates. Les trois facteurs sont :

•

: la nature du catalyseur

•

: la température en degré Kelvin

•

: le rapport molaire vapeur d’eau / éthylbenzène

En fonction du domaine expérimental, on attribue les niveaux suivants à chacun des facteurs :

Niveau -1 +1

Catalyseur

Température 800 °K 1000 °K

Rapport molaire 4/1 9/1

On réalise huit expériences dont les résultats sont donnés par le tableau suivant :

Expérience 1 2 3 4 5 6 7 8

Catalyseur

Température 800 °K 800 °K 1000 °K 1000 °K 800 °K 800 °K 1000 °K 1000 °K

Rapport molaire 4/1 4/1 4/1 4/1 9/1 9/1 9/1 9/1

Rendement en % 46 40 92 80 48 42 95 85

Le modèle retenu pour le rendement est un modèle polynomial de la forme :

= + + + + + + + +

1. Compléter la matrice complète des expériences et des effets.

Réponse n° moyenne

1 1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 46

2 1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 40

3 1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 92

4 1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 80

5 1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 48

6 1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 42

7 1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 95

8 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 85

Coefficient

2. Calculer une estimation ponctuelle de chacun des coefficients du modèle.

= = % = = %

= = % = = %

= = % = = %

= = % = = %

a

12

¾ 0, 005 a

12

Y X

₁

X

₂

2

³

X

1

X

2

X

3

X

1

C

1

C

2

X

2

X

3

C

1

C

2

C

1

C

2

C

1

C

2

C

1

C

2

Y

Y a

0

a

1

X

1

a

2

X

2

a

3

X

3

a

12

X

1

X

2

a

13

X

1

X

3

a

23

X

2

X

3

a

123

X

1

X

2

X

3

²

X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X1X2X3 Y

a₀ a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₁₃ a₂₃ a₁₂₃ a₀

Y a

0

+ a

1

X

1

+ a

2

X

2

+ a

12

X

1

X

2

+ ²

Y 0, 1375 + 0, 0375 X

1

+ 0, 0625 X

2

+ 0, 0125 X

1

X

2

+ ²

0 a

12

a

₁₂ ^1,96p ^¾

N

a

₁₂ ^1,96p ^¾ N

1,96£0,005 p4

1,96£0,005 p4

a

0 46+40+92+80+48+42+95+85

a

1

8

66

^{-46+40¡92+80}₈^{¡48+42¡95+85}

a

₂ ^{-46¡40+92+80¡48¡42+95+85}

8

22 a

₃ ^{-46¡40¡92¡}80+48+42+95+85

8

1, 5

a

12 46¡40¡92+80+48¡42¡95+85

8

- 1, 25

- 4, 25

a

13 46¡40+92¡80¡48+42¡95+85

8

0, 25

a

23 46+40¡92¡80¡48¡42+95+85

8

0, 5 a

123 -46+40+92¡80+48¡42¡95+85

8

0, 25

0, 013

0, 013 0, 013 0, 0081 0, 0179

0, 0081 0, 0179

3. On admet que est négatif. Quelle conclusion peut-on en tirer pour obtenir le meilleur rendement possible ? est négatif donc le rendement diminue lorsque le facteur passe du niveau bas au niveau haut.

Pour obtenir un meilleur rendement il faut donc utiliser le catalyseur .

4. En considérant qu'un effet ou une interaction dont la valeur absolue est inférieure à 1 % est non significatif, donner l'expression du modèle.

Les effets et interactions inférieurs à 1 % en valeur absolue sont = %, = % et = %.

Ces facteurs sont non significatifs, on peut les négliger dans l'expression du modèle :

= + + +

5. a) Déterminer la fonction affine : a qui permet de déterminer les niveaux des valeurs prises par .

La fonction affine

: a est telle que :

⇔ ⇔

⇔ ⇔ ⇔

Finalement, est définie par =

b) Justifier que le niveau correspondant à une température de 950 °K est = 0,5.

= = =

c) Déterminer le rendement de la production de styrène lorsqu'on utilise le catalyseur à une température de 950 °K et avec un rapport molaire de 9/1.

On utilise :

• le catalyseur donc =

• à une température de 950 °K donc = .

• et avec un rapport molaire de 9/1 donc = .

= + + =

Le rendement est donc de % Exercice 3 :

On considère le schéma réactionnel : A → B C impliquant les produits A, B et C.

On suppose que les fonctions , et qui à l'instant , exprimé en minutes, associent les concentrations [A] de A, [B] de B et [C] de C, exprimées en mole par litre, sont respectivement définies par :

= = + – = – + Les courbes c , c et c tracées ci-dessous sont les représentations graphiques des fonctions , et .

a

1

f

2

x ax + b

X2

X2

C

1

f g h t

f (t) e

^-3t

g(t)

¹₂ ³₂

e

^-2t

2 e

^-3t

h(t)

¹₂ ³₂

e

^-2t

e

^-3t

1 2 3

f g h

→

←

c₁

c₂

c₃

t en minutes

Concentration en mol.L-1

a

1

C

1

X

1

a

13

0, 25 a

23

0, 5 a

123

0, 3125 Y 66 ¡ 4, 25 X

1

22 X

2

1, 5 X

3

¡ 1, 25 X

1

X

2

²

f

2

x ax + b

½ f

2

(800) = -1 f

2

(1000) = +1

½ 800 a + b = -1 1000 a + b = +1

½ 800 a + b = -1

1000 a ¡ 800 a + b ¡ b = +1 + 1

½ 800 a + b = -1 200 a = 2

½ 800 a + b = -1 a =

₂₀₀²

= 0, 01

½ a =

₂₀₀²

= 0, 01 b = -1 ¡ 800 £ 0, 01

½ a =

₂₀₀²

= 0, 01 b = -9

f

2

f

2

(x) 0, 01 x ¡ 9

f

₂

(950) 0, 01 £ 950 ¡ 9 9, 5 ¡ 9 0, 5

C

1

-1

X2

X1

0, 5

X3

1

Y 66 ¡ 4, 25 £ (-1) 22 £ 0, 5 1, 5 £ 1 ¡ 1, 25 £ (-1) £ 0, 5 83, 375

83, 375

1. a) Calculer .

∀ ∈ [ ; +∞[, = =

b) Déterminer le sens de variation de la fonction . En déduire laquelle des trois courbes représente .

∀ ∈ [ ; +∞[, =

< et ∀ ∈ [ ; +∞[, > donc <

Donc est strictement décroissante sur [ ; +∞[. On en déduit que est représentée graphiquement par la courbe c .

2. a) Calculer l'instant pour lequel les concentrations des produits A et C sont égales.

On donnera une valeur exacte et une valeur de arrondie à 0,01.

On résout =

= – + ⇔ – = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = On en déduit ≈

b) En déduire la courbe qui est la représentation graphique de la fonction .

On a : = ⇔ ≈

Ce qui correspond, au vu du graphique, à l'abscisse du point d'intersection des courbes c et c . On en déduit que la représentation graphique de la fonction est c .

3. a) Graphiquement, conjecturer la concentration finale du produit C.

Graphiquement, la concentration finale du produit C semble être égale à mol. .

b) Retrouver ce résultat par un calcul de limite.

∀ ∈ [ ; +∞[, = – +

On sait que : = = -∞ et que : =

On en déduit, par composée de limites : = =

Finalement, par produit et sommes de limites : = – + = = mol. .

f

⁰

(t)

f f

t

t

h f (t) e

^-3t

t

f

⁰

(t) -3 e

^-3t

t f

⁰

(t) t

- 3 0

- 3 e

^-3t

e

^-3t

0 f

⁰

(t) 0 0

0

0

0

f f

₁

f (t) h(t)

e

^{-3t 1}₂ ³₂

e

^-2t

e

^{-3t 1}₂ ³₂

e

^-2t

0

³₂

e

^{-2t 1}₂

e

^{-2t 1}₃

- 2t ln

¹₃

t

¹₂

ln 3 t 0, 55

f (t) h(t) t 0, 55

1 3

h

₃

L^-1

t 0 h(t)

¹₂ ³₂

e

^-2t

e

^-3t

t!

lim

+1

lim

t!+1

- 2t - 3t lim

T!¡1

e

^T

0

t!

lim

+1

e

^{- 2t}

lim

t!+1

e

^{- 3t}

0

t!

lim

+1

h(t) lim

t!+1

1 2

3

2

e

^-2t

e

^{-3t 1}₂

0, 5

0, 5

L^-1