Exercice 1 : Intégration - Corrigé

Intégration - Corrigé Exercice 1 :

Exercice 2 :

Exercice 3 :

Exercice 4 : Partie A

1. Sur l’intervalle ]0;+∞[, les fonctions ↦ 2− 1 et ↦ 2 ln sont strictement croissantes donc, par somme, la fonction est strictement croissante sur l’intervalle ]0;+∞[.

2. lim_→ = −∞ et lim_→ = +∞

La fonction est continue sur ]0;+∞[ (comme somme de fonctions usuelles continues sur cet intervalle) et strictement croissante. De plus 0 appartient à ]0; +∞[ =] − ∞; +∞[.

Ainsi, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel tel que = 0. D’après la calculatrice , une valeur approchée de , arrondie au centième est 0,86.

3. La fonction étant strictement croissante, 0 < < ⇒ < 0 et > ⇒ > 0. Partie B

1.

"

→lim2 = 0

"lim→ 1

^#= +∞

→limln = −∞$ ⇒ lim_→− ln ^# = +∞

%&

'

&

(

⇒ lim_→) = +∞ et "_→lim 2 = +∞

→lim

ln ^# = 0$ ⇒ lim_→) = +∞

2. ) − 2 = −ln ^#

Le signe de cette différence dépend du signe de −ln . Or, −ln > 0 lorsque 0 < < 1 et −ln < 0 lorsque > 1

On en déduit que ) − 2 > 0 sur ]0; 1[ et ) − 2 < 0 sur ]1; +∞[. Finalement, * est au-dessus de la droite ∆ sur ]0; 1[ et en-dessous sur ]1; +∞[.

3. La fonction ) est dérivable sur ]0;+∞[ comme quotient (de dénominateur non nul) et somme de fonctions dérivables sur ce même intervalle et, pour tout > 0 :

)⁺ = 2 −

1 × ² − ln × 2

^. = 2 − − 2 ln

^. = 2 −1 − 2 ln

=2− 1 + 2 ln

=

Le dénominateur étant strictement positif sur ]0;+∞[, )′ a le même signe que . 4.

Partie C

Soit 0 un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine 1 du plan compris entre la courbe *, la droite

∆ et les droites d’équations respectives = 1 et = 0. 1. La droite ∆ est au-dessus de * sur ]1; +∞[ donc sur [1; 0], l’aire du domaine 1, en unités d’aire, est donc égale à : 7 2 − ) 8⁹

: = 7 ln

^# 8

9 :

Or, une unité d’aire est égale à 2 cm², par conséquent cette aire , exprimée en cm², est donnée par :

;9 = 2 7 ln ^# 8

9 :

2. (a) Quels que soient les réels < et =, la fonction > est dérivable sur ]0;+∞[ comme quotient (de dénominateur non nul) de fonctions dérivables sur ]0;+∞[ et, pour tout > 0 :

0 +∞

)⁺

− 0 +

)

+∞ +∞

)

>⁺ =< × 1 × − 1 × <ln + =

^# =< − = − < ln ^#

Pour que > soit une primitive de ), il faut que >⁺ = ) c’est-à-dire : < − = =0 et < = −1 Ainsi, pour que > soit une primitive de la fonction ↦^?@ _² sur ]0;+∞[, il faut que < = = = −1. b ;9= 2 7 ln

^# 8

9

: = 2 B−1 − ln

C

:

9= −2 B1 + ln C:

9= −2 D1 + ln 0

0 − 1E = 2 D1 −1 + ln 0 0 E 3. lim_9→1

0 = lim^9→ln 0

0 = 0 donc lim^9→;9= 2

Exercice 5 :

1. La fonction ): ↦ cos JK est une fonction impaire :

en effet, pour tout réel , )− = − cos J−K = − cos JK = −) La courbe de ) est donc symétrique par rapport à l’origine du repère Par conséquent, 7 cos J

3K 8

QR = − 7 cos J

3K 8

R

On en déduit que 7 cos J 3K 8

R

QR = 7 cos J

3K 8

QR + 7 cos J

3K 8 =

R

0

La proposition 1 est vraie.

2. Pour infirmer cette proposition (qui semble fausse à première vue), on cherche deux fonctions différentes dont les intégrales sur l’intervalle [0; 1] sont égales.

En prenant ): ↦ 1 et : ↦ 2 : les fonctions sont différentes et donnent toutes deux une intégrale sur [0; 1]

égale à 1 (aire d’un carré de côté 1 pour la première et moitié de l’aire d’un rectangle de longueur 2 et de largeur 1 pour la deuxième).

Autre contre-exemple : ): ↦ et : ↦ 1 − , les deux fonctions sont différentes et donnent toutes deux une intégrale sur [0; 1] égale à ^:_# .

La proposition 4 est donc fausse.

Exercice 6 : Partie A

1. a. La fonction étant positive sur l’intervalle [0 ; 1], on en déduit que : T_: = 7 8^U

= 7 1 + V^{U Q}8

= [ − V^Q]^U = < − V^QU− 0 − V = < − V^QU + 1 b. Pour les mêmes raisons :

T_# = 7 8^:

U = [ − V^Q]_U^: = 1 − V^Q:− < − V^QU = 1 −1

V − < + V^QU

2. a. ) est dérivable sur l’intervalle [0 ; 1] comme somme de fonctions dérivables : )⁺ = 2 + 2V^Q > 0 donc ) est

strictement croissante sur [0 ; 1].

)0 =1 V − 2 VW )1 = 2 −2

V +1

V = 2 −1 D’où le tableau de variations : V

0 1

)’ +

)

2 −^:_Y

: Y− 2

b. La fonction ) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur [0 ; 1]. De plus 0 est compris entre )0 et )1, donc d’après le corollaire des valeurs intermédiaires, l’équation ) = 0 admet une unique solution sur [0 ; 1]. La fonction ) ne s’annule donc qu’une fois sur [0 ; 1].

D’après la calculatrice, la valeur arrondie au centième de α est 0,45.

3. T_: = T_# ⇔ < − V^QU + 1 = 1 −^:_Y− < + V^QU ⇔ 2< − 2V^QU +^:_Y= 0 ⇔ )< = 0 ⇔ < = α ≈ 0,45 Conclusion : les aires T_: et T_# sont égales pour < = α ≈ 0,45.

Partie B

Soit = un réel positif.

Dans cette partie, on se propose de partager le domaine 1 en deux domaines de même aire par la droite d’équation _ = =.

On admet qu’il existe un unique réel = positif solution.

1. L’aire du domaine 1 est inférieure à 2 : en effet, est décroissante et 0 = 2, le domaine 1 est donc inclus dans le rectangle de largeur 1 et de hauteur 2…

La droite d’équation _ = = forme, avec l’axe des abscisses, un rectangle de largeur 1 et de hauteur =, son aire est donc égale à =. Or, l’objectif est de trouver = tel que cette aire soit égale à la moitié de l’aire de 1, il est donc nécessaire d’avoir = < 1 et donc = < 1 +^:_Y.

(On pouvait également utiliser 1 = 1 +^:_Y et comparer 1 avec le rectangle de hauteur 1 +^:_Y …) 2. Le réel = cherché est tel que l’aire du domaine 1 est égale au double de l’aire du rectangle de largeur 1 et de hauteur = :

7 8^:

= 2= ⇔ [ − V^Q]^: = 2= ⇔ 1 −1

V + 1 = 2= ⇔ = = 1 − 1 2V Conclusion : = = 1 − 1

2V ≈ 0,816