Problèmes isopérimétriques et isospectralité pour le problème de Steklov

Problèmes isopérimétriques et isospectralité pour le

problème de Steklov

Mémoire

Jade Brisson

Maîtrise en mathématiques - avec mémoire

Maître ès sciences (M. Sc.)

Problèmes isopérimétriques et isospectralité pour le

problème de Steklov

Mémoire

Jade Brisson

Sous la direction de:

Résumé

En géométrie spectrale, on s’intéresse aux liens entre le spectre d’une variété riemannienne et sa géométrie. On recherche notamment des bornes supérieures et inférieures pour les va-leurs propres qui font intervenir des quantités géométriques, comme l’aire et le périmètre. On se questionne aussi sur l’isospectralité : Quelles sont les variétés riemanniennes non iso-métriques qui possèdent le même spectre ? Au cours des dernières années, le problème de Steklov, problème introduit au tout début du 20e_{siècle en mécanique des fluides, a suscité}

l’intérêt de plusieurs mathématiciens. Le but de ce mémoire est de donner une banque de variétés riemanniennes Steklov-isospectrales. On y présente aussi une preuve d’une borne supérieure pour la première valeur propre de Steklov pour un domaine borné du plan, sans hypothèse sur sa connexité.

Abstract

In spectral geometry, we are interested in the links between the spectrum of a Riemannian manifold and its geometry. We are looking for geometric upper and lower bounds for the eigenvalues. These bounds are geometric, for they involve geometric quantities such as area and perimeter. Isospectrality is also a subject of interest in spectral geometry: What are the non isometric Riemannian manifolds that share the same spectrum? In the last few years, the Steklov problem, introduced in the beginning of the 20th century in fluid mechanics, raised the interest of many mathematicians. In this memoir, we present a bank of Steklov-isospectral Riemannian manifolds. We also give a proof of an upper bound for the first Steklov eigenvalue for a bounded domain of the plane without any connectedness assump-tion.

Table des matières

Résumé ii

Abstract iii

Table des matières iv

Remerciements v

Introduction 1

1 Prérequis de géométrie 4

1.1 Variétés différentielles . . . 4

1.2 Espace tangent et dérivée . . . 6

1.3 Élément de surface et distorsion d’aire . . . 7

1.4 Métrique riemannienne et première forme fondamentale . . . 9

1.5 Géodésiques . . . 12

2 Quelques notions d’analyse sur les surfaces 14 2.1 Le laplacien . . . 22

3 Le problème de Steklov 30 3.1 Espace de Sobolev. . . 32

3.2 Caractérisation min-max . . . 33

4 Bornes supérieures pour la première valeur propre de Steklov 39 4.1 Homologie . . . 40

4.2 Renormalisation du centre de masse . . . 47

4.3 Borne supérieure pour des domaines non connexes . . . 51

5 Classes de surfaces isospectrales 53 5.1 Surfaces de révolution dont le bord est le cercle unité . . . 53

5.2 L’invariance de l’énergie de Dirichlet pour des fonctions harmoniques . . 57

5.3 Domaines pertubés par des surfaces de révolution . . . 60

Conclusion 62

Remerciements

Tout d’abord, je remercie mon directeur de recherche, Alexandre Girouard, pour son support financier et pour m’avoir guidée tout au long de ma maîtrise.

Je voudrais aussi remercier le Conseil de recherche en sciences naturelles et en génie du Canada (CRSNG) pour son support financier.

Je tiens finalement à remercier mes parents, Line Daigle et Sylvain Brisson, et mon copain, Émile Rioux-Pellerin, pour leurs encouragements et leur soutien moral depuis le début de mon parcours universitaire.

Introduction

La géométrie spectrale est une branche des mathématiques qui étudie les liens entre la struc-ture géométrique d’une variété riemannienne M et son spectre, soit l’ensemble des valeurs propres d’un opérateur différentiel défini sur la variété. L’opérateur le plus étudié est celui de Laplace. La géométrie spectrale est classiquement divisée en deux types de problèmes. Tout d’abord, il y a le problème direct : Étant donnée une variété riemannienne, que peut-on dire sur son spectre ? Peut-on le calculer ? Quelles sont ses caractéristiques ? Ensuite, il y a le problème inverse : Étant donné un spectre, est-il possible de donner des propriétés géomé-triques d’une variété riemannienne possédant ce spectre ? Il est possible qu’un résultat soit interprété selon les deux points de vue.

La recherche de bornes inférieures et supérieures pour les valeurs propres permet d’établir des liens entre la structure géométrique et les valeurs propres. Ces bornes font intervenir des quantités géométriques comme la longueur du bord, l’aire, le volume, le nombre de composantes connexes, la courbure, etc.

Les problèmes d’isospectralité sont souvent étudiés en géométrie spectrale. On dit que deux variétés riemaniennes sont isospectrales par rapport à un opérateur si elles possèdent le même spectre. La question « Peut-on entendre la forme d’un tambour ? » fait référence à ces problèmes. Cette question fut posée en 1960 par Mark Kac dans le journal American Mathe-matical Monthly [11]. C. Gordon, D. Webb and S. Wolpert donnèrent, dans [9], le premier contre-exemple plan à cette question pour le problème de Dirichlet. On retrouve d’autres exemples de variétés isospectrales dans les articles [10] et [13]. La méthode de Sunada [16] permet de construire des variétés riemanniennes non isométriques mais isospectrales. Dans [8], les auteurs adaptent cette méthode à un problème moins connu : le problème de Stek-lov. Ils construisent des surfaces plates Steklov-isospectrales à l’aide du graphe de Schreier d’un groupe fini. La méthode d’action par un tore est aussi mentionnée dans [8]. Elle permet, par exemple, de construire des familles de métriques riemanniennes non isométriques sur la boule unité de dimension n≥6. Pour deux domaines non isométriques du plan, les mathé-maticiens se questionnent toujours pour savoir s’ils peuvent être Steklov-isospectraux. Le disque unité est toutefois le seul domaine simplement connexe du plan qui est entièrement déterminé par son spectre. Le but de ce mémoire est de présenter d’autres classes de surfaces

isospectrales pour le problème de Steklov.

Le problème de Steklov a été introduit au début du 20e _{siècle par le mathématicien russe}

Vladimir Steklov [15]. Il est défini comme suit. Pour une surface régulière à bord S ⊂ R3 connexe et compacte, on cherche tous les nombres σ∈R pour lesquels il existe une fonction

non nulle f ∈ C∞(S)qui satisfait    ∆ f =0 sur S, ∂ f ∂n =σ f sur ∂S,

où∆ est l’opérateur de Laplace défini sur S et ∂ f

∂n est la dérivée normale extérieure définie le

long du bord ∂S. Le réel σ est appelé une valeur propre de Steklov. Le théorème spectral pour le problème de Steklov (voir [7] et [12]) stipule que l’ensemble des valeurs propres de Steklov forme une suite

0=σ0(S) <σ1(S) ≤σ2(S) ≤ · · · % ∞, où chaque valeur propre est répétée selon sa multiplicité.

Ce problème sera abordé plus en détail au troisième chapitre. On y présentera un exemple de spectre de Steklov qui est très important dans ce mémoire : le spectre de Steklov du disque unitéD⊂_R2_{. Son spectre est}

σ2k =k, pour k=0, 1, 2, . . .,

σ_2k+1 =k+1, pour k=0, 1, 2, . . ..

La caractérisation variationnelle des valeurs propres sera aussi introduite. Elle permettra, au quatrième chapitre, de trouver une borne supérieure pour la première valeur propre de Steklov pour des domaines bornés du plan.

C’est au dernier chapitre que seront construites les classes de surfaces Steklov-isospectrales. Dans un premier temps, le théorème suivant sera démontré :

Théorème 1. Soit S ⊂ R3 _{une surface de révolution dont le bord est le cercle unité, ∂S = S}1 _⊂ R2_{× {0}. Alors, S est Steklov-isospectrale au disque unité, c’est-à-dire que, pour tout k ∈N,}

σk(S) =σk(D).

Un premier exemple d’une telle surface de révolution est l’hémisphère nord de la sphère unitéS2⊂R3_.

Ce théorème est démontré dans l’article [3]. La démonstration présentée dans ce mémoire est plus élémentaire puisqu’elle n’utilise pas directement l’uniformisation.

Dans un deuxième temps, on considérera un domaine connexe et bornéΩ⊂ R2_{× {0}} mo-difié de la façon suivante : Perçons N ∈ N trous circulaires dans Ω et remplaçons-les par

des surfaces de révolution dont le lien avecΩ est fait de façon lisse. Notons cette nouvelle surface obtenue par S. Un exemple d’une telle surface est illustré à la Figure1. On montrera alors le théorème suivant :

FIGURE 1 – La surface S est obtenue en remplaçant N trous circulaires dans un domaine connexe et bornéΩ par des surfaces de révolution.

Théorème 2. La surface S est Steklov-isospectrale au domaineΩ, c’est-à-dire que, pour tout k∈N,

σk(S) =σk(Ω).

La théorie utilisée pour démontrer ces théorèmes sera introduite au premier et au deuxième chapitres. On y parlera de géométrie différentielle, de géométrie de surfaces et de l’analyse sur les surfaces.

Chapitre 1

Prérequis de géométrie

Le but de ce chapitre est d’introduire les notions de géométrie différentielle qui seront utiles pour démontrer les résultats principaux. On parlera plus précisément de la géométrie des surfaces. Ces notions de géométrie permettront au Chapitre2d’étendre des notions d’ana-lyse réelle à des surfaces. La théorie présentée provient des livres [14] et [17].

1.1

Variétés différentielles

Définition 1.1. Un espace topologique M est unevariété topologique de dimension n si • M est un espace de Hausdorff ;

• la topologie de M est à base dénombrable ;

• pour tout point p ∈ M, il existe un voisinage ouvert U ⊂ M de p tel qu’il existe un homéo-morphisme ϕ : U →V pour un certain ouvert V⊂Rn_.

Le couple (U, ϕ)est appelé une carte de M et les fonctions x1, . . . , xn : U → R telles que ϕ(p) =

(x1(p), . . . , xn(p)), des coordonnées locales.

Définition 1.2. Soit M une variété topologique. Une famille de cartes{(Uα, ϕα)}α∈Iest un atlas de M si{Uα}est un recouvrement ouvert de M, c’est-à-dire que∪αUα = M.

Définition 1.3. Soit M une variété topologique de dimension n et soitA = {(Uα, ϕα)}α∈Iun atlas

de M. Si les fonctions de transition

ϕβ◦ϕ

−1

α : ϕα(Uα∩Uβ) →ϕβ(Uα∩Uβ)

sont lisses pour toutes cartes(Uα, ϕα),(Uβ, ϕβ)dans l’atlas telles que Uα∩Uβ 6= ∅, alors on dit

que M muni de l’atlasAest une variété différentielle.

Définition 1.4. Une variété différentielle M estcompacte, si, pour tout recouvrement ouvert de M, il existe un sous-recouvrement fini.

En remplaçant Rn par Hn := {(x1, . . . , xn) ∈ Rn|xn ≥ 0} dans les définitions 1.1 à 1.3, on obtient la définition d’une variété différentielle à bord M. Son bord est l’ensemble ∂M :=

S

α∈I

ϕ−_α1(Vα∩∂Hn).

Les variétés différentielles M de dimension 2 telles que M ⊂R3_{seront étudiées plus en} pro-fondeur dans la suite de ce chapitre. Elles sont appelées des surfaces régulières. Un exemple particulier de surface régulière est une surface de révolution.

Exemple 1.5. Soit γ(t) := (x(t), 0, z(t)), avec t ∈ (a, b), une courbe régulière et simple dans le plan xz telle que x, z : (a, b) → R sont des fonctions lisses. En faisant tourner la trace de γ par

rapport à l’axe des z, on obtient une surface de révolution S. Un atlas possible pour S est formé des cartes ϕ1, ϕ2dont les inverses sont respectivement

ψ1 : (0, 2π) × (a, b) −→ S (θ, t) 7→ (x(t)cos θ, x(t)sin θ, z(t)) , ψ2 : (−π/2, π/2) × (a, b) −→ S (θ, t) 7→ (x(t)cos θ, x(t)sin θ, z(t)) .

Remarquons que, dans ce cas-ci, les fonctions de transition sont lisses.

Comme R3 est un espace topologique de Hausdorff, pour tout x, y ∈ S avec x 6= y, il existe des ouverts disjoints U, V ⊂_R3_{tels que x∈U et y∈V. En prenant la restriction de U et de V à S, on} montre que S est un espace topologique de Hausdorff. De plus, comme la topologie de R3 est à base dénombrable, la topologie de S est aussi à base dénombrable. En effet, la topologie de S est la topologie deR3_{restreinte à S.}

Par la Définition1.3, toute surface de révolution est une surface régulière.

Voici un exemple d’une surface de révolution qui est une surface régulière à bord.

Exemple 1.6. Soit le paramétrage pour l’hémisphère nord de la sphère unité ψ(θ, t):= (sin(π/2−

t)cos θ, sin(π/2−t)sin θ, cos(π/2−t)), pour(θ, t) ∈ [0, 2π] × [0, π/2]. L’hémisphère nord une

surface régulière à bord. Son bord est donné par[0, 2π] × [0, π/2] ∩∂H2= [0, 2π] × {0}.

Définition 1.7. Soit f : S1 → S2 une application entre deux surfaces régulières. On dit que f est lisse si

ψ◦f ◦ϕ−1 : ϕ(V∩ f−1(W)) ⊂R2→R2

est une fonction lisse pour toute carte(V, ϕ)de S1et pour toute carte(W, ψ)de S2. On dit que f est un difféomorphisme si f est une bijection telle que f et f−1sont lisses.

1.2

Espace tangent et dérivée

Soit M une variété différentielle de dimension n. Notons par C∞(M)l’ensemble des fonctions lisses f : M →_{R. Un vecteur tangent à M en p est une application v : C}∞(M) →R telle que,

pour toutes fonctions f , g∈C∞(M)et pour toute constante c∈R,

• v(f +g) =v(f) +v(g); • v(c f) =cv(f);

• v(f g) =v(f)g(p) + f(p)v(g).

L’ensemble des vecteurs tangents à M en p forme un espace vectoriel appelé l’espace tangent à M en p. On le note TpM.

Soit (U, ϕ) une carte autour d’un point p et soient x1, . . . , xn : U → R les coordonnées locales. Il est facile de voir que la correspondance

f 7→ ∂(f◦ϕ −1₎

∂xi

(ϕ(p))

est un vecteur tangent à M en p pour tout i = 1,· · · , n. On note ce vecteur tangent ∂ ∂xi

 p. On a alors le théorème suivant :

Théorème 1.8. L’espace tangent à M en p est engendré par les vecteurs  ∂ ∂x1  p , . . . ,  ∂ ∂xn  p .

Une preuve est donnée au Théorème 1.33 dans [14].

Dans le cas des surfaces régulières, l’espace tangent est un plan dansR3. Localement, on le définit comme suit :

Définition 1.9. Soit (U, ϕ)une carte autour de p ∈ S d’inverse ψ et u, v les coordonnées locales. Alors, le plan tangent à S en p est TpS := Span{ψu(q), ψv(q)}, où q=φ(p).

À l’aide de l’espace tangent, on peut définir la dérivée d’une fonction entre deux variétés différentielles. On donne ici la définition dans le cas des surfaces régulières.

Définition 1.10. Soit f : S1→S2une application entre deux surfaces régulières. La dérivée de f en p ∈ S1 est l’application linéaire d fp : TpS1 → Tf(p)S2définie par d fp(w) := (f◦γ)0(0)où γ est

une courbe régulière dont la trace est sur S1et telle que γ(0) = p et γ0(0) =w.

Cette définition est indépendante du choix de courbe. En effet, soit γ : I →S1 et η : J → S1 deux courbes régulières telles que γ(0) = η(0) = p et γ0(0) = η0(0) = w. Considérons

(U, ϕ)une carte autour de p∈S1et ψ son inverse. On peut donc voir les courbes γ et η sous la forme γ(t) =ψ(u(t), v(t))et η(t) =ψ(u˜(t), ˜v(t)). Ainsi, d fp(w) = (f◦γ)0(0) = d dt  f(ψ(u(t), v(t)))    t=0 = ∂(f ◦ψ) ∂u u 0₍ t) + ∂(f◦ψ) ∂v v 0₍ t)  t=0 = ∂(f◦ψ) ∂u (p)v1+ ∂(f◦ψ) ∂v (p)v2. De même, on obtient que

d fp(w) = (f◦η)0(0) = ∂(f ◦ψ) ∂ ˜u (p)v1+ ∂(f◦ψ) ∂ ˜v (p)v2. Or, ∂(f ◦ψ) ∂u (p) = ∂(f◦ψ) ∂ ˜u (p),

puisque que cela correspond à la dérivée partielle de f ◦ψpar rapport à la première

coor-donnée locale en p, et

∂(f ◦ψ) ∂v (p) =

∂(f◦ψ) ∂ ˜v (p),

puisque que cela correspond à la dérivée partielle de f ◦ψpar rapport à la deuxième

coor-donnée locale en p. Ceci montre l’indépendance du choix de courbe. La dérivée satisfait

d fp(ψu) =∂u(f ◦ψ)(p),

d fp(ψv) =∂v(f◦ψ)(p).

En effet, soit (u0, v0) ∈ R2tel que ψ(u0, v0) = p. Choisissons la courbe γ(t) = ψ(u0+t, v0)

pour t∈ (−ε, ε). Alors, on a d fp(ψu) = d dt  (f ◦ψ)(u0+t, v0)    t=0=∂u(f◦ψ)(ψ(u0, v0)) =∂u(f◦ψ)(p).

Pour montrer que d fp(ψv) =∂v(f ◦ψ)(p), il suffit de prendre la courbe η(t) =ψ(u0, v0+t).

1.3

Élément de surface et distorsion d’aire

Soit S une surface régulière. Soit ϕ : U ⊂ S → V ⊂ R2_{une carte de S d’inverse ψ.} Consi-dérons sur V un quadrillage fin formé de petits rectangles de longueur ∆u et de hauteur ∆v. Alors, l’application ψ engendre une décomposition de U en petites régions (voir la Fi-gure 1.1 pour un exemple). Considérons un rectangle R dans V et son image ψ(R) dans U tel qu’illustré à la Figure1.2. L’aire de R est tout simplement∆u∆v. Toutefois, comment trouve-t-on l’aire de ψ(R)?

φ ψ

U V

FIGURE1.1 – La carte ϕ envoie le quadrillage de V vers un quadrillage de U.

Le rectangle R est engendré par les vecteurs ∆ue1 et∆ve2. L’application dψ envoie ces vec-teurs vers∆uψuet∆vψvrespectivement. On approxime l’aire de ψ(R)par l’aire du parallélo-gramme engendré par∆uψuet par∆vψv. En séparant ce parallélogramme en deux triangles, tel qu’illustré à la Figure1.2, l’aire du parallélogramme est

2 |∆uψu|h

2 ,

où h est la hauteur du triangle. Si θ correspond à l’angle entre∆uψuet∆vψv, alors h=sin θ|_∆vψv|.

dψ

R

Δue

1

Δve

₂

Δvψ

v

Δuψ

u

ψ(R)

FIGURE1.2 – L’application linéaire dψ transforme le rectangle R en un parallélogramme

en-gendré par les vecteurs∆uψuet∆vψv.

L’aire du parallélogramme est alors

|∆uψu|h = sin θ|∆uψu||∆vψv| = q sin2θ|∆uψu|2|∆vψv|2 = q sin2θ|ψu|2|ψv|2∆u∆v = q (1−cos2_θ)|ψ u|2|ψv|2∆u∆v = q |ψu|2|ψv|2− hψu, ψvi2∆u∆v.

Pour une fonction f : U →R, on définit son intégrale comme étant

Z U f dA := lim ∆u,∆v→0₍

∑

ui,vi) f(ψ(ui, vi)) q |ψu(ui, vi)|2|ψv(ui, vi)|2− hψu(ui, vi), ψv(ui, vi)i2∆u∆v .

Notons qu’on somme sur des points(ui, vi)dans les rectangles formant le quadrillage de V. La quantité dA est appelée l’élément de surface de S et, infinitésimalement,

dA=

q

|ψu|2|ψv|2− hψu, ψvi2dudv.

Soit f : S1 → S2 un difféomorphisme entre deux surfaces régulières. Pour tout p ∈ S1, la dérivée d f de f envoie les vecteurs de TpS1 vers des vecteurs de Tf(p)S2. Toutefois, cette transformation entraîne une distorsion de l’aire.

Soit(U, ϕ)une carte de S1d’inverse ψ. Alors,(f(U), ϕ◦f−1)est une carte de S2. L’élément de surface associé à S1est

dAS1 =

q

|ψu|2|ψv|2− hψu, ψvi2dudv.

L’élément de surface associé à S2est dAS2 = q |(f◦ψ)u|2|(f ◦ψ)v|2− h(f◦ψ)u,(f ◦ψ)vi2dudv = q |d fp(ψu)|2|d fp(ψv)|2− hd fp(ψu), d fp(ψv)i2dudv = q |d fp(ψu)|2|d fp(ψv)|2− hd fp(ψu), d fp(ψv)i2 p |ψu|2|ψv|2− hψu, ψvi2 q |ψu|2|ψv|2− hψu, ψvi2dudv = q |d fp(ψu)|2|d fp(ψv)|2− hd fp(ψu), d fp(ψv)i2 p |ψu|2|ψv|2− hψu, ψvi2 dAS1. On appelle la quantité |d f|:= q |d fp(ψu)|2|d fp(ψv)|2− hd fp(ψu), d fp(ψv)i2 p |ψu|2|ψv|2− hψu, ψvi2 la distorsion d’aire de f .

La distorsion d’aire intervient lors d’un changement de domaine d’intégration tout comme le jacobien d’un changement de variables :

Proposition 1.11. Soit f : S1 → S2 un difféomorphisme entre deux surfaces régulières. Soit g : S2→R une fonction lisse. Alors,

Z S2 g dA= Z S1 (g◦f)|d f|dA .

1.4

Métrique riemannienne et première forme fondamentale

Soit M une variété différentielle telle que M ⊂ Rn_{. Une façon naturelle de mesurer les} vecteurs tangents à M est de prendre la restriction de leur norme euclidienne à l’espace

tangent. C’est ce qui est appelé la première forme fondamentale. Sur une variété différentielle quelconque, la notion de longueur ne vient pas aussi naturellement. On introduit alors la métrique riemannienne.

Définition 1.12. Une métrique riemannienne sur une variété différentielle est une application lisse g qui à chaque p ∈ M associe un produit scalaire gp : TpM×TpM →R. Soient x1, . . . , xn : U ⊂ M →R des coordonnées locales de M. Pour tout p∈U et pour tous vecteurs v, w∈ TpM vus dans la base introduite à la Définition1.8, le produit scalaire gpest caractérisé par

gp(v, w):=vT(gij(p))w, où gij(p):=gp  ∂ ∂x_i, ∂ ∂x_j  .

Lorsqu’on dit que l’application g est lisse, cela signifie que les fonctions gij sont lisses pour toutes coordonnées locales.

Une variété différentielle munie d’une métrique riemannienne est appelée une variété rie-mannienne.

Dans le cas des variétés différentielles M ⊂ _Rn_{, une métrique riemannienne possible est la} première forme fondamentale, comme mentionné plus haut. Pour les surfaces régulières, on caractérise localement la première forme fondamentale comme suit :

Définition 1.13. Soit(U, ϕ)une carte sur une surface régulière S et soit ψ son inverse. La première forme fondamentale vue dans la carte(U, ϕ)est l’expression

|aψu+bψv|2_p =a b E F F G ! a b ! ,

où E= hψu, ψui, F= hψu, ψviet G= hψv, ψvi. De façon plus compacte, on peut écrire

F₁ =Edu2+2Fdudv+Gdv2.

Le produit scalaire sur TpS induit par la première forme fondamentale est alors donné par :

haψu+bψv, cψu+dψvip=  a b  E F F G ! c d ! .

La notationh·,·i_psignifie que les dérivées partielles ψuet ψvsont évaluées en ϕ(p). La matrice E F

F G !

est inversible. Pour le voir, supposons au contraire qu’elle ne soit pas inversible. Alors, son déterminant est nul, c’est-à-dire que EG−F2 _{= 0. Or, cela implique} que l’élément d’aire dA est identiquement nul, ce qui est impossible.

Exemple 1.14. Soit l’atlas d’une surface de révolution tel qu’introduit à l’Exemple1.5. Alors, ψθ = (−x(t)sin θ, x(t)cos θ, 0), ψt = (x0(t)cos θ, x0(t)sin θ, z0(t)). Donc, hψθ, ψθi =x2(t), hψθ, ψti =0, hψt, ψti = (x0(t))2+ (z0(t))2.

Ainsi, la première forme fondamentale d’une surface de révolution est donnée par

F₁ =x2(t)dθ2+(x0(t))2+ (z0(t))2dt2.

Soit(U, ϕ)une carte de S et son inverse ψ. Pour chaque point p ∈ U, on étend la base de l’espace tangent en une base deR3en ajoutant la normale à la surface n := ψu×ψv

|ψu×ψv|. Comme

ψu, ψv, n forment une base deR3, il existe des fonctions Γu uu,Γvuu,Γvvu ,Γvvv,Γuuv =Γuvu,Γvuv =Γvvu, L, M, N : φ(U) →R telles que ψuu=Γuuuψu+Γvuuψv+Ln, ψuv =ψvu =Γuuvψu+Γvuvψv+Mn, ψvv =Γuvvψu+Γvvvψv+Nn.

Les fonctionsΓu_uu,Γv_uu,Γu_vv,Γv_vv,Γu_uv,Γv_uvsont appelées les symboles de Christoffel. Ils s’expriment en fonction de l’expression locale de la première forme fondamentale (voir la Proposition 5.53 dans [17]) : Γu uu Γv uu ! = E F F G !−1 ∂uE 2 ∂uF−∂v₂E ! , (1.1) Γu uv Γv uv ! = E F F G !−1 ∂vE 2 ∂uG 2 ! , (1.2) Γu vv Γv vv ! = E F F G !−1 ∂vF− ∂u₂G ∂vG 2 ! . (1.3)

Puisqu’ils s’expriment seulement en fonction de la première forme fondamentale, on dit que les symboles de Christoffel sont des quantités intrinsèques. Ainsi, toutes quantités s’expri-mant en fonction des symboles de Christoffel sont intrinsèques, comme les géodésiques, qui seront maintenant introdutes.

1.5

Géodésiques

Les géodésiques sont considérées comme une généralisation des lignes droites dans le plan ; elles représentent localement le plus petit chemin entre deux points sur la surface. Intui-tivement, il est possible de voir les géodésiques comme étant des courbes sur lesquelles une voiture pourrait se promener sans tourner à gauche ou à droite en gardant une vitesse constante. Ceci mène à la définition suivante :

Définition 1.15. Une courbe régulière γ:(a, b) →S est une géodésique si, pour chaque t∈ (a, b), le vecteur d’accélération γ00(t)est perpendiculaire à tout vecteur v∈ T_γ(t)S.

Exemple 1.16. Soit la sphère unitéS2. Soient p ∈ S2_{et w ∈ TpS}2_{. Définissons la courbe régulière}

γ:R→S2par γ(t) = p cos t+w sin t. Alors,

γ0(t) = −p sin t+w cos t, γ00(t) = −p cos t−w sin t = −γ(t).

La normale unitaire à S2 au point p est perpendiculaire au plan tangent àS2 en p. Cette normale unitaire est le vecteur p. Donc, γ00(t)est perpendiculaire à T_γ(t)S2. Ainsi, γ est une géodésique de la

sphère unité.

Il existe une caractérisation locale des géodésiques qui fait intervenir les symboles de Chris-toffel :

Proposition 1.17. Soient (U, ϕ) une carte de S et son inverse ψ. Une courbe régulière γ(t) :=

ψ(u(t), v(t))est une géodésique si, et seulement si,

u00+Γu_uuu02+2Γ_uvu u0v0+Γu_vvv02 =0, v00+Γv_uuu02+2Γv_uvu0v0+Γv_vvv02=0.

Ces équations s’appellent les équations géodésiques.

Exemple 1.18. Supposons qu’une courbe régulière γ(t):= (u(t), v(t)) ∈R2satisfait les équations géodésiques

u00+Γu_uuu02+2Γu_uvu0v0+Γu_vvv02 =0, v00+Γv_uuu02+2Γv_uvu0v0+Γv_vvv02=0.

En prenant comme carte surR2la fonction identité, il suit que les symboles de Christoffel surR2sont tous nuls. Ainsi, les équations géodésiques sont

u00=0, v00 =0.

La courbe γ est alors donnée par (at+b, ct+d) pour certaines constantes a, b, c, d ∈ R. Cela

représente une droite dans le plan, c’est-à-dire une géodésique deR2. Inversement, une droite satisfait les équations géodésiques puisque la dérivée seconde de chaque composante est nulle et les symboles de Christoffel du plan sont nuls. La conclusion de la Proposition1.17est donc vérifiée.

La Proposition 5.3 dans [17], sur l’existence et l’unicité des géodésiques, stipule que pour chaque point p ∈ S et pour chaque vecteur w∈ TpS, il existe un ε> 0 pour lequel il existe une unique géodésique γ : (−ε, ε) → S telle que γ(0) = p et γ0(0) = w. En ajoutant des

conditions initiales aux équations géodésiques en t = 0, on obtient un système d’équations différentielles qui se résout uniquement, donnant ainsi une preuve de cette proposition. Pour p ∈S, choisissons, parmi tous les vecteurs unitaires dans TpS, le ε le plus grand garanti par la proposition d’existence et d’unicité. Posons Bε := {w ∈ TpS : |w| < ε}. On définit

l’application exponentielle exp_p : TpS→S de S en p par

exp_p(w) =    p si w=0 , γw(1) sinon,

où γw est l’unique géodésique telle que γw(0) = p et γ0_w(0) = w. La Proposition 5.14 dans [17] stipule qu’il existe un ε > 0 pour lequel l’application exponentielle est un difféomor-phisme de Bε sur son image Oε(p) := expp(Bε). L’image Oε(p) est appelée le voisinage

normal de p. Si {w1, w2}est une base orthonormée de TpS, on peut alors définir le difféo-morphisme

ψ : {(u, v) ∈R2|u2+v2 <ε2} ⊂R2 −→ Oε(p) ⊂S

(u, v) 7→ exp_p(uw1+vw2),

oùO_ε(p)est le voisinage normal de p. L’inverse de ce difféomorphisme s’appelle les coordon-nées normales. Le difféomorphisme ψ satisfait, en particulier,

ψu(0, 0) =w1,

Chapitre 2

Quelques notions d’analyse sur les

surfaces

Le but de ce chapitre est d’étendre des notions d’analyse réelle aux surfaces, tel le gradient d’une fonction à valeurs réelles et certaines propriétés des fonctions comme la conformité. Le chapitre termine en introduisant le laplacien d’une fonction sur une surface, un opérateur possédant des propriétés intéressantes qui motivent son étude. La théorie présentée dans ce chapitre provient du livre [17].

Définition 2.1. Soit f : S1 → S2 un difféomorphisme entre surfaces régulières. On dit que f est conforme si la dérivée d f préserve les angles, c’est-à-dire que, pour tout p ∈ S1 et pour tous v, w∈ TpS1,

∠(v, w) = ∠(d fp(v), d fp(w)). Voici une caractérisation utile d’un difféomorphisme conforme :

Proposition 2.2. Soit f : S1 → S2un difféomorphisme entre deux surfaces régulières. Alors, f est conforme si, et seulement si, il existe une fonction lisse λ : S1 → (0,∞)telle que, pour tout p ∈ S1 et pour tout v, w ∈TpS1,

hd fp(v), d fp(w)if(p) =λ(p)hv, wip.

Remarque 2.3. Si λ ≡ 1, le difféomorphisme f est une isométrie. On dit alors que les surfaces régulières S1et S2sont isométriques.

Démonstration. Tout d’abord, pour tout p ∈S1et pour tous v, w∈ TpS1,

hv, wip= |v|p|w|pcos θ,

où θ est l’angle entre v et w. Si f préserve les angles, alors, pour tous v, w∈TpS1,

hv, wi_p |v|_p|w|_p =

hd fp(v), d fp(w)if(p) |d fp(v)|f(p)|d fp(w)|f(p)

⇒)Soit p∈S1. Soit{v1, v2}une base orthonormée de TpS1. Posons

λ1 := hd fp(v1), d fp(v1)if(p),

λ2 := hd fp(v2), d fp(v2)if(p),

µ:= hd fp(v1), d fp(v2)if(p).

Choisissons les vecteurs v=v1et w=cos θv1+sin θv2. Comme f est conforme, la propriété (?) est satisfaite, c’est-à-dire que

hv, wi_p |v|p|w|p = hd fp(v), d fp(w)if(p) |d fp(v)|f(p)|d fp(w)|f(p) , ce qui implique

cos θ= _√ λ1cos θ+µsin θ

λ1 q

λ1+cos2θ+2µ sin θ cos θ+λ2sin2θ

. En θ =π/2, on obtient µ=0. Donc, cos θ = _√ λ1cos θ λ1 p λ1cos2θ+λ2sin2θ q λ1cos2θ+λ2sin2θ = p λ1 λ1cos2θ+λ2sin2θ =λ1. En θ =π/2, on obtient λ1 =λ2.

Posons λ(p):=λ1 =λ2. Pour tous v=av1+bv2, w=cv1+ev2 ∈TpS1,

hv, wi_p =ac+be . Donc, hd fp(v), d fp(w)if(p) = had fp(v1) +bd fp(v2), cd fp(v1) +ed fp(v2)if(p) =acλ1+ (ae+bc)µ+beλ2 =acλ(p) +beλ(p) =λ(p)(ac+be) =λ(p)hv, wip. La fonction cherchée est

λ: S1 −→ (0,∞)

p 7→ hd fp(v1), d fp(v1)if(p).

Soit (U, ϕ)une carte autour de p ∈ S1 dont l’inverse est ψ. Alors, (f(U), ϕ◦ f−1) est une carte autour de f(p) ∈S2. Pour tout q∈ U, on peut choisir comme vecteur v1le vecteur _|ψ_ψu_u|. Donc, λ(q) =  d fq  ψu |ψu|  , d fq  ψu |ψu|  f(q) =d fq  ψu |ψu| T E_f(q) Ff(q) F_f(q) Gf(q) ! d fq  ψu |ψu|  ,

où Ef Ff F_f G_f

!

est la première forme fondamentale vue dans la carte(f(U), ϕ◦f−1_{). On voit} alors que, localement, λ s’exprime en fonction d’applications lisses. Il suit que λ est lisse.

⇐)Soit p∈S1. Pour tous v, w∈TpS1,

hd fp(v), d fp(w)if(p) |d fp(v)|f(p)|d fp(w)|f(p) = _p λ(p)hv, wip λ(p)|v|p p λ(p)|w|p = hv, wip |v|_p|w|_p.

Par la propriété (?), il suit que f est conforme.

Remarque 2.4. Soit f : S1 →S2 un difféomorphisme conforme entre deux surfaces régulières. Soit

(U, ϕ)une carte de S1d’inverse ψ. Alors,(f(U), ϕ◦f−1)est une carte de S2. Soit

E F F G ! et ˜E ˜F ˜ F G˜ !

les premières formes fondamentales vues dans la carte(U, ϕ)et dans la carte(f(U), ϕ◦f−1) respec-tivement. Puisque f est conforme, par la Proposition2.2, il existe une fonction lisse λ : S1 → (0,∞) telle que, pour tout p ∈S1et pour tous v, w∈TpS1,

hd fp(v), d fp(w)if(p) =λ(p)hv, wip. En particulier, pour tout p ∈U,

λ(p)hψu, ψuip = hd fp(ψu), d fp(ψu)if(p)= h(f ◦ψ)u,˜ (f◦ψ)u˜if(p),

λ(p)hψu, ψvip= hd fp(ψu), d fp(ψv)if(p) = h(f◦ψ)u,˜ (f◦ψ)˜vif(p),

λ(p)hψv, ψvip = hd fp(ψv), d fp(ψv)if(p) = h(f◦ψ)˜v,(f◦ψ)˜vif(p).

Cela signifie que

˜E ˜F ˜ F G˜ ! =λ E F F G ! .

Exemple 2.5. Soit la projection stéréographique~r :R2_→S2_{\{(0, 0, 1)}définie par}

~r(u, v):=  2u 1+u2_+v2, 2v 1+u2_+v2, u2+v2−1 1+u2_+v2  .

C’est un difféomorphisme entreR2et la sphère unité privée du pôle nord,S2\{(0, 0, 1)}. Montrons qu’elle est conforme. Tout d’abord,

~ru(u, v) = 2(1−u 2_+v2₎ (1+u2_+v2₎2 , −4uv (1+u2_+v2₎2, 4u (1+u2_+v2₎2  , ~rv(u, v) =  ₋ 4uv (1+u2_+v2₎2, 2(1+u2_−v2₎ (1+u2_+v2₎2 , 4v (1+u2_+v2₎2  .

Donc, E= h~ru,~rui = 4 (1+u2_+v2₎2 , F= h~ru,~rvi = 0 , G= h~rv,~rvi = 4 (1+u2_+v2₎2 .

Soit ae1+be2, ce1+ f e2deux vecteurs dansR2 (notons que{e1, e2}est la base canonique deR2). Alors, had~rp(e1) +bd~rp(e2), cd~rp(e1) + f d~rp(e2)i = ha~ru+b~rv, c~ru+ f~rvi =a b  E F F G ! c f ! = 4 (1+u2_+v2₎2(ac+b f) = 4 (1+u2_+v2₎2hae1+be2, ce1+ f e2i.

En posant λ(u, v) := _(1+u24_+v2₎2, il suit par la Proposition2.2que la projection stéréographique est

conforme.

Définition 2.6. Soit S une surface régulière et soit f ∈ C∞(S). Le gradient∇f de f est l’unique champ de vecteurs tel que∇f(p)est un vecteur de TpS qui vérifie, pour tout v∈ TpS,

d fp(v) = h∇f(p), vip.

Le gradient peut être exprimé localement. Soient(U, ϕ)une carte autour de p et ψ son in-verse. Alors, le gradient de f en p est un vecteur de la forme∇f(p) = αψu+βψv qui doit vérifier, pour tous a, b∈R,

d fp(aψu+bψv) = hαψu+βψv, aψu+bψvip. Autrement dit,  a b  d f_p(_ψu) d fp(ψv) ! =ad fp(ψu) +bd fp(ψv) =  a b  E F F G ! α β ! . La résolution de ce système matriciel mène à la solution

α β ! = E F F G !−1 ∂u(f◦ψ)(p) ∂v(f ◦ψ)(p) ! .

Lemme 2.7. Soit S une surface régulière. Soit f ∈C∞(S)et F∈ C∞(R3)telles que F

S= f . Alors, pour tout p∈S,

∇f(p) =Proj_T

pS∇F(p).

Démonstration. Par la Définition 2.6, il suffit de vérifier que, pour tout p ∈ S et pour tout v∈TpS,

d fp(v) = hProj_TpS∇F(p), vip.

Soit p ∈ S et soit v ∈ TpS. Considérons une courbe régulière γ : (−ε, ε) → S telle que γ(0) = p et γ0(0) =v. Puisque f =F

S, il suit que f ◦γ=F◦γ. Alors, d fp(v) = (f◦γ)0(0) = (F◦γ)0(0) = h∇F(p), vip.

Le vecteur∇F(p)se décompose de façon unique par rapport au plan tangent :

∇F(p) =Proj_TpS∇F(p) + ∇F⊥(p),

où∇F⊥(p)est la composante perpendiculaire au plan tangent TpS. Donc, d fp(v) = h∇F(p), vip= hProjTpS∇F(p) + ∇F

⊥_{(p), vi}

p

= hProj_TpS∇F(p), vip+ h∇F⊥(p), vip= hProj_TpS∇F(p), vip.

Exemple 2.8. Trouvons le gradient des fonctions d’inclusion de S2 dans R3 notées πi : S2 → R. Considérons ψ(θ, t) := (sin t cos θ, sin t sin θ, cos t)dont l’inverse est une carte pourS2, avec

(θ, t) ∈ (0, 2π) × (0, π). Alors, les vecteurs

ψθ = (−sin t sin θ, sin t cos θ, 0),

ψt = (cos t cos θ, cos t sin θ,−sin t),

forment une base de TpS2où p= ψ(θ, t) ∈ S2. Par l’Exemple1.14, la première forme fondamentale

deS2_est

F₁=sin2t dθ2+dt2. Par l’expression locale du gradient,

∇πi(p) =αiψθ+βiψt, où αi βi ! = 1 sin2_t 0 0 1 ! ∂θ(πi◦ψ)(p) ∂t(πi◦ψ)(p) ! . Tout d’abord, π1◦ψ(θ, t) =sin t cos θ, π2◦ψ(θ, t) =sin t sin θ, π3◦ψ(θ, t) =cos t.

Donc, ∂θ(π1◦ψ) = −sin t sin θ, ∂θ(π2◦ψ) =sin t cos θ, ∂θ(π3◦ψ) =0, ∂t(π1◦ψ) =cos t cos θ, ∂t(π2◦ψ) =cos t sin θ, ∂t(π3◦ψ) = −sin t. Il suit que ∇π1(p) = − sin θ

sin tψθ+cos t cos θψt,

∇π2(p) = cos θ

sin tψθ+cos t sin θψt,

∇π3(p) = −sin tψt.

Une façon plus géométrique de calculer les gradients des fonctions d’inclusion est d’utiliser le Lemme

2.7. Pour chaque i, πiest la restriction àS2deΠi :R3 → R, qui est définie de la même façon. Pour chaque i, le gradient deΠiest∇Πi =ei.

Alors, les gradients des fonctions πi sont

∇π1(p) =ProjTpS2e1= he1, ψθi |ψθ|2 ψθ+ he1, ψti |ψt|2 ψt = − sin θ

sin tψθ+cos t cos θψt,

∇π2(p) =Proj_TpS2e2= he2, ψθi |ψθ|2 ψθ+ he2, ψti |ψt|2 ψt = cos θ

sin tψθ+cos t sin θψt,

∇π3(p) =ProjTpS2e3= he3, ψθi |ψθ|2 ψθ+ he3, ψti |ψt|2 ψt= −sin tψt.

En particulier, pour chaque point p∈S2_{, on a la propriété suivante :} 3

∑

i=1

|∇πi(p)|2 =sin2θ+cos2t cos2θ+cos2θ+cos2t sin2θ+sin2t =2

Définition 2.9. Soit S une surface régulière et soit f ∈ C∞(S). L’énergie de Dirichlet de f sur S est

Z

S

|∇f|2_dA.

Une propriété intéressante de l’énergie de Dirichlet est son invariance lorsque composée avec un difféomorphisme conforme :

Lemme 2.10(Invariance conforme de l’énergie de Dirichlet). Soit η : S1 → S2 un difféomor-phisme conforme entre deux surfaces régulières. Alors, pour chaque f ∈C∞(S2),

Z S2 |∇f|2dA= Z S1 |∇(f ◦η)|2dA.

Démonstration. Soit (U, ϕ)une carte de S1 d’inverse ψ. Comme mentionné à la Remarque

2.4,(η(U), ϕ◦η−1)est une carte de S2et ˜E ˜F ˜ F G˜ ! =λ E F F G ! .

Soit f ∈C∞(S2). L’expression locale du gradient de f est

∇f =α(η◦ψ)u˜+β(η◦ψ)˜v, où α β ! = ˜E ˜F ˜ F G˜ !−1 ∂u(f◦η◦ψ) ∂v(f◦η◦ψ) ! . Ainsi, Z η(U) |∇f|2dA= Z η(U)  α β  ˜E ˜F ˜ F G˜ ! α β ! dA = Z η(U)  ∂u(f ◦η◦ψ) ∂v(f◦η◦ψ)  1 λ E F F G !−1 ∂u(f◦η◦ψ) ∂v(f ◦η◦ψ) ! dA = Z U 1 λ|∇(f◦η)| 2_{|dη|dA .} Ici, |dη| = q |dηp(ψu)|2_η(p)|dηp(ψv)|2_η(p)− hdηp(ψu), dηp(ψv)i2_η(p) |ψu|2p|ψv|2p− hψu, ψvi2p =λ. On a alors que Z η(U) |∇f|2_dA=Z U |∇(f ◦η)|2dA.

Comme cela est vrai pour toute carte de S1, il suit que Z S2 |∇f|2dA= Z S1 |∇(f◦η)|2dA .

Remarque 2.11. Cette propriété n’est vérifiée que sur des variétés différentielles de dimension 2. Afin de le démontrer, on généralisera ce qui a été fait dans la démonstration précédente.

Soit η : M → N un difféomorphisme conforme entre deux variétés différentielles de dimension n. Soit(U, ϕ)une carte de M dont l’inverse est ψ. Alors,(η(U), η−1◦ϕ)est une carte de N. Comme η est conforme, cela signifie qu’il existe une fonction lisse λ: M→ (0,∞)telle que ˜gij = λgij pour tout i, j = 1, . . . , n. Ici, les gij représentent l’expression de la métrique riemanienne de M vue dans la carte(U, ϕ)et les ˜gij représentent l’expression de la métrique riemanienne de N vue dans la carte

(η(U), η−1◦ϕ). Posons G := (gij)et ˜G := (˜gij).

Soit f ∈C∞(N). Alors, l’expression locale du gradient de f est

∇˜gf = n

∑

i=1 αi(f◦ψ)˜xi, où (α1, α2, . . . , αn)T =G˜−1∇g(f◦η). Alors, |∇_˜gf|2_{= ˜g(∇} ˜gf ,∇˜gf) = (G˜−1∇_g(f◦η))TG˜(G˜−1∇g(f◦η)) = ∇_g(f ◦η)TG˜−1∇g(f ◦η) = ∇_g(f ◦η)T1 λG −1_∇ g(f◦η) = 1 λ|∇g(f ◦η)| 2_. Ainsi, Z η(U) |∇_˜gf|2_dV ˜g = Z η(U) 1 λ|∇g(f◦η)| 2_dV ˜g.

Pour se ramener à une intégrale sur U, on exprime l’élément de volume dV˜g sur η(U) ⊂ N en fonction de l’élément de volume dVgsur U⊂ M de la façon suivante :

dV˜g = q det(G˜)dx1dx2. . . dxn= q det(λG)dx1dx2. . . dxn =λn/2 q det(G)dx1dx2. . . dxn =λn/2dVg. Finalement, Z η(U) |∇_˜gf|2dV˜g = Z U |∇_g(f ◦η)|2λn/2−1dVg.

On remarque alors que l’invariance conforme de l’énergie de Dirichlet est vérifiée si, et seulement si, n

2 −1=0. Cela est vrai si, et seulement si, n=2.

2.1

Le laplacien

L’opérateur de Laplace ou le laplacien est nommé d’après le mathématicien Pierre-Simon de La-place qui l’a utilisé pour étudier la mécanique céleste. Les solutions de l’équation de LaLa-place ∆ f = 0 sont appelées des fonctions harmoniques et représentent les champs gravitation-nels possibles dans l’« espace vide ». L’équation de Laplace est un cas précis de l’équation de Helmholtz∆ f = −λ f. L’étude du spectre de cet opérateur intervient dans plusieurs

pro-blèmes en physique comme l’équation de la chaleur, l’équation des ondes et l’équation de Schrödinger.

Le laplacien est un opérateur intéressant puisqu’il commute avec des translations et des rotations. Il sera montré que, sur une surface, il commute avec des isométries.

Pour un domaineΩ⊂_Rn_{, on définit le laplacien d’une fonction f ∈ C}∞_(Ω)par ∆ f = n

∑

i=1 ∂2f ∂x2_i .

Cela est équivalent à div(∇f)où∇est l’opérateur gradient et div est l’opérateur de diver-gence. Ce dernier opérateur mesure le défaut de conservation du volume sous l’action du flux d’un champ de vecteurs. Dans Rn, on définit la divergence comme étant la trace de la matrice jacobienne associée au champ de vecteurs. Sur une surface, on doit introduire la dérivée covariante avant de définir la divergence.

Définition 2.12. Soit X un champ de vecteurs lisse sur une surface régulière S. La dérivée covariante de X en p ∈S dans la direction de w∈ TpS est définie par

DwX := projection de(X◦γ)0(0)sur TpS,

où γ :(−ε, ε) →S est une courbe régulière telle que γ(0) =p et γ0(0) =w.

Remarque 2.13. Soit (U, ϕ)une carte de S d’inverse ψ. Il existe des fonctions X1, X2 : U → R telles que, pour chaque p ∈U,

X(p) =X1(p)ψu+X2(p)ψv.

Lorsqu’on dit que le champ de vecteurs X est lisse cela signifie que les fonctions X1et X2sont lisses pour toute carte de S.

La dérivée covariante satisfait les propriétés suivantes :

• Soit v, w ∈ TpS. Alors, pour tout champ de vecteurs X et pour toutes constantes a, b∈ R, Dav+bwX= aDvX+bDwX .

• Soit X et Y deux champs de vecteurs. Alors, pour tout vecteur w ∈TpS, Dw(X+Y) = DwX+DwY.

• Soit X un champ de vecteurs et soit f : I → R une fonction lisse. Alors, pour tout

vecteur w∈ TpS, Dw(f X) = f0X+ f DwX. Ces propriétés sont démontrées au Chapitre 5 de [17].

Définition 2.14. Soit X un champ de vecteurs lisse sur une surface régulière S. La divergence de X en p est la trace de l’opérateur w∈ TpS7→ DwX et on écrit div(X).

Si {w1, w2}est une base de TpS, alors on peut exprimer l’opérateur w ∈ TpS 7→ DwX sous forme matricielle par rapport à cette base. La trace de l’opérateur est donc la trace de la matrice de représentation. Cette définition est indépendante du choix de base. En effet, sup-posons queAetBsont deux bases de TpS. Notons par P la matrice de passage de la baseA

à la baseB. Si A est la représentation matricielle de l’opérateur par rapport à la baseAet B est la représentation matricielle de l’opérateur par rapport à la baseB, alors

B=P−1AP et

Tr(B) =Tr(P−1AP) =Tr(PP−1A) =Tr(I A) =Tr(A). Ceci montre l’indépendance du choix de la base.

Explicitons localement la divergence pour un champ de vecteurs X de S. Soit (U, ϕ) une carte de S d’inverse ψ. Tout d’abord, par le Lemme 5.51 dans [17],

Dψuψu= Γ u uuψu+Γvuuψv, Dψuψv =Dψvψv =Γ u uvψu+Γvuvψv, Dψvψv= Γ u vvψu+Γvvvψv. Soit X1, X2∈C∞(U)telles que

X= X1ψu+X2ψv

Soit p∈U et soit w∈ TpS. Alors, w est de la forme w=aψu+bψv. Donc, DwX=aDψu(X1ψu+X2ψv) +bDψv(X1ψu+X2ψv)

=a∂uX1ψu+aX1Dψuψu+a∂uX2ψv+aX2Dψuψv

+b∂vX1ψu+bX1Dψvψu+b∂vX2ψv+bX2Dψvψv.

Écrite sous forme matricielle, la dérivée covariante de X est DwX=  a b  _∂uX₁+X1Γu uu+X2Γuuv ∂uX2+X1Γvuu+X2Γvuv ∂vX1+X1Γuuv+X2Γuvv ∂vX2+X1Γvuv+X2Γvvv ! ψu ψv ! . La divergence de X est alors la trace de la matrice

∂uX1+X1Γuuu+X2Γuuv ∂uX2+X1Γvuu+X2Γvuv

∂vX1+X1Γuuv+X2Γuvv ∂vX2+X1Γvuv+X2Γvvv !

c’est-à-dire

div X :=∂uX1+X1Γuuu+X2Γuvu +∂vX2+X1Γvuv+X2Γvvv.

En remplaçant les symboles de Christoffel par leur expression locale (voir les équations (1.1), (1.2) et (1.3)), on obtient divX=∂uX1+∂vX2+ X1 EG−F2 G ∂_uE 2 + E ∂uG 2 −F ∂uF  + X2 EG−F2 G ∂_vE 2 + E ∂vG 2 −F ∂vF  =∂uX1+∂vX2+ X1 EG−F2 p EG−F2_∂ u( p EG−F2₎₊ X2 EG−F2 p EG−F2_∂ v( p EG−F2₎ = √ 1 EG−F2 p EG−F2_∂ uX1+X1∂u( p EG−F2_{) +}p_EG−F2_∂ vX2+X2∂v( p EG−F2₎ = √ 1 EG−F2  ∂u(X1 p EG−F2_{) +∂v(X2}p_EG−F2₎ = √ 1 EG−F2  ∂u ∂v  p EG−F2 X1 X2 ! .

Définition 2.15. Soit S une surface régulière et soit f ∈C∞(S). Le laplacien de f sur S est ∆ f :=div(∇f).

Il est parfois utile d’exprimer le laplacien en fonction de la première forme fondamentale : Proposition 2.16. Soit p ∈S. Soit(U, ϕ)une carte autour de p d’inverse ψ. Le laplacien de f en p est donné par

∆ f(p):= √ 1 EG−F2  ∂u ∂v  p EG−F2 E F F G !−1 ∂u(f ◦ψ) ∂v(f◦ψ) ! .

Démonstration. Soit(U, ϕ)une carte autour de p ∈ S et soit ψ son inverse. Le gradient de f en p est donné par∇f =αψu+βψvoù

α β ! = E F F G !−1 ∂u(f ◦ψ) ∂v(f◦ψ) ! .

En remplaçant X par∇f(p)dans l’expression locale de la divergence, on obtient ∆ f(p) =div(∇f(p)) = √ 1 EG−F2  ∂u ∂v  p EG−F2 E F F G !−1 ∂u(f ◦ψ) ∂v(f◦ψ) ! .

Voici quelques exemples d’utilisation de cette expression.

Exemple 2.17(Laplacien en coordonnées polaires). Soit S=R2. Prenons sur S la paramétrisa-tion suivante :

ψ: R2 → R2

On appelle cette paramétrisation le système de cordonnées polaires. Donc,

ϕr= (cos θ, sin θ),

ϕθ = (−r sin θ, r cos θ).

Cela implique que

E= hϕr, ϕri =1,

F= hϕr, ϕθi =0,

G= hϕθ, ϕθi =r2.

Ainsi, le laplacien en coordonnées polaires d’une fonction f ∈C∞(R2_{)au point p= (r, θ)est donné} par ∆ f(p) = 1 r  ∂r ∂θ  r 0 0 1/r ! ∂r(f ◦ϕ) ∂θ(f◦ϕ) ! = 1 r  ∂r  r∂r(f◦ϕ)  +∂θ 1 r∂θ(f ◦ϕ)  = 1 r  ∂r(f◦ϕ) +r∂rr(f◦ϕ) + 1 r∂θθ(f ◦ϕ)  = ∂rr(f◦ϕ) + 1 r2∂θθ(f ◦ϕ) + 1 r∂r(f◦ϕ).

Exemple 2.18(Laplacien en coordonnées sphériques). SoitS2 la sphère unité. Considérons la carte de l’Exemple2.8dont l’inverse est

ψ(θ, t):= (sin t cos θ, sin t sin θ, cos t).

On a

ψθ = (−sint sin θ, sin t cos θ, 0),

ψt = (cos t cos θ, cos t sin θ,−sin t). Donc,

E= hψθ, ψθi =sin

2_t, F= hψθ, ψti =0,

G= hψt, ψti =1.

Le laplacien au point p = (sin t cos θ, sin t sin θ, cos t)d’une fonction f ∈C∞(S2_{)est donnée par} ∆ f(p) = 1 sin t  ∂θ ∂t  1/ sin t 0 0 sin t ! ∂θ(f◦ψ) ∂t(f◦ψ) ! = 1 sin t  ∂θ  1 sin t∂θ(f ◦ψ)  +∂t  sin t ∂t(f ◦ψ  = 1 sin t  1

sin t∂θθ(f◦ψ) +cos t ∂t(f◦ψ) +sin t ∂tt(f◦ψ)



Une façon plus géométrique d’exprimer le laplacien est à l’aide de géodésiques : Proposition 2.19. Pour p∈S, le laplacien de f en p est donné par

∆ f(p):= (f ◦γ)00(0) + (f◦η)00(0),

où γ, η sont des géodésiques telles que γ(0) =η(0) = p et{γ0(0), η0(0)}est une base orthonormée

de TpS.

Démonstration. Soit p ∈ S et soit f ∈ C∞(S). Soit γ et η deux géodésiques telles que γ(0) =

η(0) = p et{γ0(0), η0(0)}forme une base orthonormée de TpS. On considère autour de p

les coordonnées normales (Oε(p), ϕ)dont l’inverse est ψ (Section1.5). Dans ce système de

coordonnées, la première forme fondamentale en p est

E F F G ! = 1 0 0 1 ! .

Donc, par la Proposition2.16,

∆ f(p) =∂uu(f◦ψ)(0) +∂vv(f◦ψ)(0). On a aussi (f ◦γ)00(0) = d 2 dt2  f ◦ψ(u(t), v(t))    t=0 =  ∂uu(f ◦ψ)(u0)2+2∂uv(f ◦ψ)u0v0+∂vv(f◦ψ)(v0)2     t=0 . Puisque ψu(0, 0) =γ0(0)et que γ0(0) =ψu(0, 0)u0(0) +ψv(0, 0)v0(0), il suit que

(f ◦γ)00(0) =∂uu(f ◦ψ)(0).

Par le même raisonnement, on montre que

(f ◦η)00(0) =∂vv(f ◦ψ)(0).

Ainsi,

∆ f(p) = (f◦γ)00(0) + (f ◦η)00(0).

Voici quelques exemples d’utilisation de cette expression. Exemple 2.20. Soit f :R2_{→R une fonction lisse.}

Pour tout point p ∈ R2_{, T}

pS = Span{e1, e2}, où{e1, e2}est la base canonique. Comme les géodé-siques du plan sont des droites, posons γ(t):= p+te1et η(t):= p+te2pour t∈R. Donc,

∆ f(p) = (f ◦γ)00(0) + (f◦η)00(0) = (f(p+te1))00(0) + (f(p+te2))00(0) = (fx(p+te1))0(0) + (fy(p+te2))0(0) = fxx(p+te1)   t=0+ fyy(p+te2)   t=0 = fxx(p) + fyy(p).

Exemple 2.21. Tel que mentionné à l’Exemple1.16, les géodésiques deS2_{sont de la forme}

γ(t) =p cos t+w sin t,

pour tout point p ∈ S2 _{et pout tout vecteur w ∈ TpS}2_{. Soit{} ψθ

sin t, ψt}la base orthonormée de TpS2 telle qu’introduite à l’Exemple2.8. Définissons

γ(s):= p cos s+ ψθ sin tsin s, η(s):= p cos s+ψtsin s. Alors, pour f ∈C∞(S2_), ∆ f(p) =  f(p cos s+ ψθ sin tsin s) 00 (0) +  f(p cos s+ψtsin s) 00 (0).

Afin d’expliciter cette expression, voyons les géodésiques sous la forme γ(s) = ψ(θ(s), t(s)) et η(s) =ψ(˜θ(s), ˜t(s)). Alors, γ0(s) =ψθθ 0₊ ψtt0, η0(s) =ψ_˜θ˜θ0+ψ_˜t˜t0. Puisque γ0(0) = ψθ sin t et que η 0_{(0) =} ψt, il suit que θ0(0) = 1 sin t, t0(0) =0, ˜θ0₍ 0) =0, ˜t0₍ 0) =1. Par la Proposition1.17, les géodésiques satisfont

θ00+Γθ_θθ(θ0)2+2Γθ_θtθ0t0+Γθ_tt(t0)2=0, t00+Γt_θθ(θ0)2+2Γt_θtθ0t0+Γt_tt(t0)2=0, ˜θ00_+Γ˜θ ˜θ ˜θ(˜θ0)2+2Γ˜θ˜θ˜t˜θ0˜t0+Γ˜t˜t˜θ(˜t0)2=0, ˜t00_+Γ˜t ˜θ ˜θ(˜θ0)2+2Γ˜t˜θ˜t˜θ0˜t0+Γ˜t˜t˜t(˜t0)2=0.

Puisque la première forme fondamentale deS2est

F₁=sin2tdθ2+dt2, par l’Exemple1.14, il suit par les équations (1.1), (1.2) et (1.3) que

Γt θθ = −sin t cos t,Γ θ θt =cot t etΓ t θt= Γ θ θθ = Γ t tt =Γθtt =0. Donc, θ00+2 cot tθ0t0 =0, t00−sin t cos t(θ0)2=0, ˜θ00₊ 2 cot t ˜θ0˜t0 =0, ˜t00₋ sin t cos t(˜θ0)2=0, Ainsi, (f(p cos s+ ψθ sin tsin s)) 00₍ 0) = d 2 ds2(f(ψ(θ(s), t(s))))    s=0 = ∂ 2_(f◦ ψ) ∂θ2 (θ 0₎2₊∂(f◦ψ) ∂θ θ 00₊∂2(f◦ψ) ∂t2 (t 0₎2₊ ∂(f ◦ψ) ∂t t 00₊ 2∂ 2_(f◦ ψ) ∂θ∂t θ 0 t0  s=0 = 1 sin2t ∂2(f◦ψ) ∂θ2 +cot t ∂(f◦ψ) ∂t et (f(p cos s+ψtsin s))00(0) = d2 ds2(f(ψ(˜θ(s), ˜t(s))))    s=0 = ∂ 2_(f◦ψ) ∂ ˜θ2 (˜θ0)2+∂(f◦ψ) ∂ ˜θ ˜θ 00₊∂2(f◦ψ) ∂˜t2 (˜t 0₎2₊ ∂(f ◦ψ) ∂˜t ˜t 00₊ 2∂ 2_(f◦ψ) ∂ ˜θ∂˜t ˜θ 0_˜t0   s=0 = ∂ 2_{(f ◦ψ)} ∂t2 . Donc, ∆ f(p) = 1 sin2t ∂2(f◦ψ) ∂θ2 + ∂2(f◦ψ) ∂t2 +cot t ∂(f◦ψ) ∂t .

Remarquons que cette expression est la même que celle obtenue à l’Exemple2.18.

Proposition 2.22. Soit η : S1 → S2 un difféomorphisme conforme entre deux surfaces régulières. Soit λ : S1 → (0,∞) la fonction lisse satisfaisant la Proposition 2.2. Alors, pour toute fonction

f ∈ C∞(S2),

1

λ∆(f ◦η) =∆ f ◦η.

Démonstration. Soit(U, ϕ)une carte de S1. Par la Remarque2.4,(η(U), ϕ◦η−1)est une carte de S2et ˜E ˜F ˜ F G˜ ! =λ E F F G ! . Par la Proposition2.16, on a ∆(f◦η) = √ 1 EG−F2  ∂u ∂v  p EG−F2 E F F G !−1 ∂u(f◦η◦ψ) ∂v(f◦η◦ψ) ! = λ p ˜E ˜G−F˜2  ∂u ∂v p ˜E ˜G−F˜2 λ λ ˜ E F˜ ˜ F G˜ !−1 ∂u(f◦η◦ψ) ∂v(f◦η◦ψ) ! =λ 1 p ˜E ˜G−F˜2  ∂u ∂v  p ˜E ˜G−F˜2 ˜ E F˜ ˜ F G˜ !−1 ∂u(f◦η◦ψ) ∂v(f◦η◦ψ) ! =λ(∆ f ◦η). Donc, si∆ f =0, alors∆(f◦η) =λ∆ f ◦η=0.

Corollaire 2.23. Soit η : S1 → S2une isométrie entre deux surfaces régulières. Alors, pour toute fonction f ∈ C∞(S2),

∆(f◦η) =∆ f ◦η.

Démonstration. Par la Remarque 2.3, on a que λ ≡ 1. Le résultat suit par la Proposition

Chapitre 3

Le problème de Steklov

La première question qu’un mathématicien se pose en rencontrant un problème d’équations aux dérivées partielles est de savoir s’il existe une solution. Le théorème spectral pour le problème de Steklov répond à cette question. Pour toute surface régulière à bord connexe et compacte, il existe une solution. Plus précisément, on a l’énoncé suivant :

Théorème 3.1 (Théorème spectral pour le problème de Steklov). Soit S ⊂ R3 _{une surface} régulière à bord connexe et compacte. Alors,le spectre de Steklov est une suite de nombres réels telle que

0=σ0(S) ≤σ1(S) ≤σ2(S) ≤ · · · %∞ et l’ensemble des fonctions propres (fk)k≥0 ⊂ C∞(S)sont telles que(fk

 

∂S)k≥0 forme une base

hil-bertienne de L2(∂S).

Dans le cas des domaines bornésΩ⊂Rn_{dont le bord est suffisamment lisse, une preuve est} présentée dans le mémoire de Marc-Antoine Labrie [12].

Le spectre de Steklov est le même que le spectre de l’opérateur de Dirichlet-Neumann sur S (voir l’article [7] pour plus d’informations). Cet opérateur est défini par

D : C∞(∂S) → C∞(∂S)

f 7→ ∂

∂n(HSf)

, oùH_Ωf est l’unique extension harmonique de f à S et ∂

∂n est la dérivée normale le long du

bord ∂S.

Malgré l’existence d’une solution, la résolution explicite du problème de Steklov à l’aide des techniques habituelles de résolution d’équations aux dérivées partielles est en général impossible. Le cas du disque unitéD est une exception.

Proposition 3.2(Spectre de Steklov du disque unité). Le spectre de Steklov deD est 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,· · · ,

où chaque n ∈ Z>0est de multiplicité 2. Les fonctions propres associées, exprimées en coordonnées polaires, sont rncos(nθ), rnsin(nθ), pour n≥1 ainsi que la fonction constante 1 associée à la valeur propre 0.

Démonstration. Soit T0≡ 1 et Tn(θ)pour n≥1 où Tn(θ) =cos(nθ)ou bien Tn(θ) =sin(nθ).

Vérifions que rnTn(θ) et T0 satisfont le problème de Steklov. Tout d’abord, par l’Exemple

2.17, le laplacien en coordonnées polaires est ∆ f = ∂ 2_f ∂r2 + 1 r2 ∂2f ∂θ2 + 1 r ∂ f ∂r . Donc, ∆(rnTn(θ)) =n(n−1)rn−2Tn(θ) − 1 r2n 2_rn_T n(θ) +1 rnr n−1_T n(θ) =0 et ∆(T0) =0. La dérivée normale surS1en coordonnées polaires est ∂ f_∂r

r=1. Donc ∂ ∂r(r n_T n(θ)) r=1 = (nr n−1_T n(θ)) r=1=nTn(θ) et ∂T0 ∂r =0=0·T0.

Montrons que 0, 1, 1, 2, 2, . . . est le spectre de Steklov deD. Supposons, au contraire, qu’il ne le soit pas. Alors, il existe une fonction harmonique h ∈ C∞(D)de valeur propre σ 6∈_Z≥0. Alors, h(r, θ) 6=rnTn(θ).

Deux fonctions propres f et g de valeurs propres distinctes σ et λ, respectivement, satisfont Z

S1

f g ds=0 .

En effet, considérons la deuxième formule de Green : Z D (f∆g−g∆ f)dA= Z S1  f∂g ∂n −g ∂ f ∂n  ds .

Comme ∆g = ∆ f = 0 sur D, il découle que le membre de gauche est égal à zéro. Comme

∂g ∂n =λget ∂ f ∂n =σ f sur S 1_{, on obtient} 0= Z S1  f∂g ∂n −g ∂ f ∂n  ds= Z S1 (λ f g−σ f g)ds= (λ−σ) Z S1 f g ds .

Comme λ 6=σ, il suit queR

S1

Ainsi, R

S1

h(1, θ)Tn(θ)ds = 0 pour tout n ∈ Z≥0. Puisque{sin(kθ), cos(kθ)}k≥0 est une base de L2(S1_{), on écrit}

h(1, θ) =

∑

k

aksin(kθ) +bkcos(kθ). Donc, pour un n∈ {0, 1, 2, . . .}fixé, on a

0= 2π Z 0 h(1, θ)cos(nθ)dθ = 2π Z 0 cos(nθ) ∞

∑

k=0 (akcos(kθ) +bksin(kθ))dθ = ∞

∑

k=0  2π Z 0 a_kcos(kθ)cos(nθ)dθ+ 2π Z 0 b_ksin(kθ)cos(nθ)dθ.

La seconde intégrale est nulle pour tout k alors que la première intégrale est nulle sauf lorsque k=n. On obtient donc

0= 2π Z 0 ancos2(nθ)dθ= an 2 2π Z 0 (1+cos(2nθ))dθ=anπ,

ce qui est possible seulement si an= 0. On a donc que an =0 pour chaque n ∈ {0, 1, 2, . . .}. De la même manière, on montre que bn =0 pour chaque n∈ {1, 2, . . .}. Ainsi h ≡0, résultat qu’on doit rejeter puisque les fonctions propres de Steklov ne sont pas identiquement nulles.

Pour pallier à l’impossibilité de résoudre de façon analytique le problème de Steklov, une ca-ractérisation variationnelle des valeur propres appelée la caca-ractérisation min-max est intro-duite. Elle utilise les espaces de Sobolev. Ce sont des espaces de fonctions qui proposent une façon alternative de résoudre des problèmes d’équations aux dérivées partielles en considé-rant, ce qui est appelé les problèmes faibles.

3.1

Espace de Sobolev

Considérons l’ensemble de fonctions C∞(S)pour une surface régulière S. Construisons sur C∞(S)le produit scalaire suivant :

hu, vi_H1 := hu, vi_L2+ 2

∑

i=1 D_∂u ∂xi , ∂v ∂xi E L2, oùhu, vi_L2 := R S

uv dA est le produit scalaire dans L2(S). On définit l’espace de Sobolev de S comme étant la complétion de l’espace C∞(S)muni du produit scalaireh·,·i_H1. Notons que

Lorsque la surface régulière est un domaine borné du plan, on peut considérer la définition suivante qui provient de [1] :

Définition 3.3. SoitΩ⊂ R2 _{un ouvert. L’espace C}∞

c (Ω)correspond à l’espace des fonctions lisses surΩ dont le support est compact. L’espace de Sobolev de Ω est

H1(Ω):=  u∈ L2(Ω)     ∃g1, g2∈ L2(Ω)telles que R_Ωu_∂x∂ϕ_i dA= −R_Ωgiϕ dA

pour tout ϕ∈C∞_c (Ω)et pour tout i=1, 2

 .

Pour u∈ H1_{(Ω), on définit} ∂u

∂xi := giet on écrit alors

∇u := (g1, g2).

Les fonctions gisont appelées les dérivées faibles de u. Dans le cas d’une fonction dérivable, les dérivées faibles correspondent aux dérivées partielles habituelles. Le produit scalaire sur H1(Ω)est hu, vi_H1 := hu, vi_L2+ 2

∑

i=1 D_∂u ∂xi , ∂v ∂xi E L2, oùhu, vi_L2 :=R Ω

uv dA est le produit scalaire dans L2_(Ω).

3.2

Caractérisation min-max

Définition 3.4. Soit S ⊂R3_{une surface régulière à bord compacte. Pour une fonction f ∈ H}1_(S), son quotient de Rayleigh-Steklov est

RS(f):= R S |∇f|2_dA R ∂S f2_ds .

Remarquons que le numérateur correspond à l’énergie de Dirichlet (Définition2.9). Théorème 3.5. Soit S ⊂R3_{une surface à bord compacte. Soit}

Lk(S):= {V ⊂ H1(S)|V est un espace vectoriel et dim V =k}. Alors, les valeurs propres de Steklov de S sont données par

σk(S) = min V∈Lk(S)

max

f∈V, f6≡0RS(f). Remarque 3.6. Pour la première valeur propre, l’expression se réduit à