Approximation de problèmes de couverture de graphes

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Thèse

Pour l'obtention du titre de

DOCTEUR EN INFORMATIQUE

(Arrêté du 7août 2006)

Approximation de problèmes de ouverture de graphes

Candidat : Basile COUËTOUX

JURY

Dire teur de thèse : Cristina BAZGAN

Professeur àl'UniversitéParisDauphine

Rapporteurs: Vi tor CHEPOI

Professeur àl'Universitéde laMéditerranée

Marek KARPINSKI

Professeur àl'Universitéde Bonn

Surageants: Jérme MONNOT

Chargéde Re her he auCNRS àl'UniversitéParisDauphine

Ioan TODINCA

Professeur àl'Universitéd'Orléans

Bien sûr une thèse n'est pas un travail isolé mais bien le résultat de plusieurs années

d'apprentissage,de ren ontres etde dé ouvertes à lafoisauniveau s ientique ethumain.

C'est pourquoi je tiens tout d'abord à remer ier Cristina Bazgan qui a a epté de

m'en adrer pour ette thèse et qui m'a a ompagné tout au long de e périple. Je salue

tout parti ulièrement sa persévéran e qui m'a permis de omprendre toute la valeur et la

justesse de ses onseils etobservations.

Jedoisbeau oupàJérmeMonnotquim'agénéreusement onsa rébeau oupde temps

etd'énergiepourm'aiderdanslaréda tionde edo ument,j'espèrepoursuivre esé hanges

parti ulièrementenri hissants etje ne leremer ierai de toute manière jamaisassez.

J'aipuren ontré MarekKarpinskiilyaun ertaintempsetilfutun despremiersàme

guideralors queje dé ouvraistout justelare her he en informatique.Jesuis trèsheureux

qu'ilait a epté d'être un de mes rapporteurs.

Je remer ie aussi naturellement Vi tor Chepoi qui a également bien voulu être un de

mes rapporteurs.

Ioan Todin a aeu la gentillesse de m'apporter son aide lorsde démar hes

administra-tives, j'appré ietout parti ulièrement saparti ipationau jury de thèse.

J'ai eu égalementle plaisir de travaillerave Laurent Gourvès, Orestis Telelis etZsolt

Tuza au ours de ette thèse. Les travaux exposés dans ette thèse sont en partie le fruit

de ette ollaboration.

J'aiunepenséeémuepour lesdo torantsduLAMSADE quiontété pour moiun appui

quotidien. J'ai déjà vu partir ertains d'entre eux vers d'autres horizons et j'en ai aussi

a ueillid'autresqui ommen ent;maislesunsetlesautresresterontdesamis.L'ensemble

des membresdu LAMSADE furent égalementdes ollèguesdisponibles et haleureuxtout

aulong de ette thèse.

Mais ette aventure a aussi un début : je n'oublierai jamais Hubert Comon, son aide

et son soutien furent essentiels pendant mes années à L'ENS Ca han et m'ont permis

de hoisir ette voie. Une gure marquante de mon par ours s olaire fut Jean-Phillipe

Rou quès,quiaaussi réalisésathèseàDauphineaprès êtrepassé parl'ENSCa han,mais

e fut surtout pour moi un professeur de mathématiques très stimulant. Il m'a beau oup

en ouragé pendant mes années de lassespréparatoires.

Ces remer iements ne seraient pas omplets sans toutes les personnes qui étaient et

sont à mes tés, mes parents, Fran eline et Loï , mon frère, Adrien, mes amis Sylvain,

Florian,Pas al ainsi quetous les autres.

Et évidemment, je pense aussi à Christelle ave qui j'ai partagé mes angoisses et mes

Introdu tion 9

1 Préliminaires 13

1.1 Graphes . . . 13

1.2 Classesde omplexité . . . 17

2 Problème de forêt ontrainte 21 2.1 Introdu tion . . . 21

2.1.1 Résultatsexistants sur e problème . . . 22

2.1.2 Nos travaux . . . 22

2.1.3 Quelques propriétés des solutionsoptimales . . . 23

2.2 Résultatsde omplexité . . . 24

2.2.1 Legraphe a un degré maximal inférieurà 2. . . 24

2.2.2

p

≤ 2

. . . 26

2.2.3

p = 3

. . . 27

2.2.4

p

≥ 4

. . . 27

2.2.5 Lesgraphes de largeur arbores entebornée . . . 32

2.2.6 Extension auxgraphes ompletspondérés 1-2 . . . 36

2.3 Résultatsnégatifs d'approximation . . . 37

2.4 Résultatspositifs d'approximation . . . 40

2.4.1 Un algorithmeglouton roissant . . . 40

2.4.2 Un algorithmeglouton dé roissant . . . 44

2.4.3 Un exemplede pire as pour lesdeux algorithmespré édents . . . . 45

2.4.4 Unegénéralisation des deux algorithmes pré édents . . . 46

2.4.5

3

2

-approximation . . . 46

2.5 Algorithmese a es pour lesgraphes planaires . . . 59

2.5.1 Un s héma d'approximation . . . 59

2.5.2 Améliorationave l'utilisationd'unedé ompositionpropreauxgraphes planaires . . . 62

3 Voyageur de ommer e oloré 67 3.1 Introdu tion . . . 67

3.1.2 Travaux existants . . . 69

3.1.3 Organisationdu hapitre . . . 71

3.2 Résultatsnégatifs d'approximation pour Max LTSP . . . 72

3.3 Résultatspositifs d'approximation pour Max LTSP . . . 73

3.3.1 Une

3

-approximationpar un algorithmeglouton . . . 73

3.3.2 Une

2

-approximationpar un algorithmede re her he lo ale . . . 75

3.4 Résultatsnégatifs d'approximation pour Min LTSP. . . 81

3.5 Résultatspositifs d'approximation pour Min LTSP . . . 83

4 Con lusion et perspe tives 95

Laplupartdesproblèmesd'optimisation ombinatoirequiapparaissentenpratiquesont

intraitablesdanslesensoùlaseulemanièredelesrésoudreestdefaireappelàunalgorithme

qui prend un temps exponentiel. Formellement es problèmes sont appelés NP-di iles.

Même sia tuellement il n'existe au une preuve du fait que les problèmes NP-di iles ne

peuvent pasêtre résoluspar des algorithmespolynomiaux,ilest généralementa epté que

de tels algorithmesne peuvent pas exister.

Une appro he pour des problèmes d'optimisation ombinatoire NP-di iles est

l'ap-proximation. A défaut de pouvoir trouver une solution optimale en temps polynomial,

l'obtention d'une solutionassez bonne est un obje tif plus fa ilement atteignable.

Appro- her un problème d'optimisation en temps polynomial à un fa teur

f (n)

près onsiste à al uler pour haque instan e de taille

n

du problème en temps polynomial une solution ave une valeur à un fa teur multipli atif

f (n)

près de la valeur optimale. Le but pour un problème d'optimisation est de trouver le fa teur

f (n)

le plus pro he de 1 tel que le problème soit approximable en temps polynomial à un fa teur

f (n)

près. Un problème d'optimisationa un s héma d'approximation polynomials'il existe un algorithme

polyno-mial qui est une approximation à un fa teur

(1 + ǫ)

près pour e problème, pour toute onstante

ǫ > 0

. On peut également établir des résultats négatifs d'approximation qui montrent que nous ne pourrons pas obtenir d'approximation ave un rapportinférieur au

seuil d'inapproximablité. L'étude de l'approximation d'un problème se termine lorsqu'on

trouvelemeilleurrapportd'approximationpour eproblème, 'est-à-direquandlerapport

d'inapproximationse onfondave lerapport d'approximationd'unalgorithme traitant e

problème.

Nousnoussommesintéressés dans ettethèseàl'étudedela omplexitéetde

l'approxi-mation de deux problèmes d'optimisation ombinatoire, le problème de la forêt ouvrante

ontrainte minimaleet le problème du voyageur de ommer e oloré. Les deux problèmes

fontpartied'une lassegénéraledeproblèmesoùons'interesseàla ouverturedessommets

d'un graphe par des stru tures a y liques ou y liques.

Dans le hapitre 1 nous rappelons des notions élémentaires sur les graphes ainsi que

sur la omplexité.

Dansle hapitre2noustraitonsleproblèmede laforêt ouvrante ontrainteminimale.

Ce problème onsiste, étant donné une graphe, à trouver une forêt dont les arbres sont

d'au moins une ertaine tailledonnée et de trouver parmi es ouvertures une qui utilise

le moinsd'arêtes possible. Dans le as pondéré, nous her hons une ouverture ontrainte

qui minimiselasomme des poids des arêtes utilisées.

Ce problème intervient par exemple lors du déploiement de stations d'extra tion de

pétrole ou de gaz en mer. Les sommets d'un graphe modélisant e problème représentent

les gisements de pétrole et haque arête entre deux gisements donnés est pondérée par la

distan eentre es deuxgisements.Lefaitquenous her hionsàrelieraumoins

p

gisements entre eux dans haque arbre signie qu'en dessous d'une ertaine apa ité d'extra tion il

n'estpasrentablede onstruireunestation.Cher heràminimiserlalongueurdes pipelines

à installeraufond de l'o éanest un obje tif naturel.

Le problème de la forêt ontraintese diéren ie des problèmes qui her hent

générale-mentàminimiserlepoidsd'uneseule omposantevériant ertainespropriétés etétantde

poids optimal (minimalou bien maximal).En eet au lieu de re her her un seul élément

nous her hons àlerépartirsur l'ensembledu graphe.Cela rappro he notreproblèmed'un

problème de pavage, mais de la même façon nous restons dans un domaine diérent ar

la forme de l'objet ave lequel nous her hons à paver notre graphe peut être vraiment

très diverse. Cela pla eainsi notre problème entre es deux lasses de problèmes, eux qui

re her hent une omposantequipeutêtre de formediverseet eux qui her hentà ouvrir

un graphe ave des omposantes qui ont une formepré ise.

La omplexitéduproblèmedelaforêt ontrainteadéjàétéétudiéedanssaversion

pon-dérée etplusieursalgorithmes d'approximation ontété donnés. Nousmontrons d'abord la

di ulté du problème dans le as non pondéré. Nous apportons des résultats sur

l'inap-proximabilitéde eproblème,quin'avaitjusqu'alorspas étéétudiée.Nousxonsde plusla

omplexitéde e problème pour lesgraphes de largeurbornée et lesgraphes planaires, en

montrantqueleproblèmeest polynomialpourlapremière lassede graphesetqu'iladmet

uns hémad'approximationpolynomialpourlase onde lassedegraphes.Nousaméliorons

de plus le rapport d'approximation de e problème dans le as général en présentant un

algorithme qui garantit un rapport de 3/2 alors que jusqu'à présent le meilleur rapport

onnu était

2

−

1

n

, ave

n

lenombre de sommetsdu graphe.

Dansle hapitre3,nousnousintéressonsauproblèmeduvoyageurde ommer e oloré.

Le problème du voyageur de ommer e onsiste, étantdonné un graphepondéré omplet,

à trouver un y le hamiltonien(tour) tel que lasomme des poids des arêtes utiliséesdans

tournée potentiellepour levoyageur de ommer e etlalongueur de e y leest ladistan e

à par ourir pour faire ette tournée. Il s'agit d'un problème d'optimisation ombinatoire

di ile qui onnaît de nombreuses variantes. Nous nous intéressons dans ette thèse à la

variantequi onsisteàprendreungraphedontlesarêtessont oloréesetà her heruntour

qui minimiseou maximisele nombre de ouleurs utiliséesdans e tour. Cela représente le

faitde her her un tourqui soitleplus oule moinsdiversiépossible.Ces problèmes sont

notés respe tivementMin LTSP et Max LTSP. L'utilisationdes graphes olorésest une

manièreagréabledemodéliserdes orrélationsentredesarêtes.Parexemplepourmodéliser

despannes,ilestassezprobablequel'ensembledesarêtesd'un ertaintypedeservi es esse

de fon tionnerà un momentdonné.Pour être moinssensibleauxpannesnous her herons

don àaugmenter ladiversitédes servi es hoisisetainsi maximiserlenombre de ouleurs

hoisies dans la solution. De manière duale, l'utilisation d'un ertain type d'arêtes peut

avoirun oût forfaitaire,laminimisationdunombre demoyens detransportdiérentslors

d'un trajet peut semodéliser fa ilement en terme de graphe oloré.

Nous montrons que es deux problèmes sont NP-di iles, queMax LTSP n'a pas de

s héma d'approximation et Min LTSP n'est pas onstant approximable si P

6=

NP. Nous établissonségalementunalgorithmede2-approximationpourMax LTSP.Pourétudierle

problème Min LTSP, nous nous restreignons aux graphes dont la fréquen e des ouleurs

estbornéeparune onstante

r

equinouspermetd'obtenirune

(H

r

+r)/2

-approximation, où

H

r

est la

r

-ème valeur de la fon tion harmonique.

Le hapitre 4 résume les résultats de ette thèse et propose plusieurs perspe tives de

Préliminaires

1.1 Graphes

Il existe deux prin ipaux types de graphes, les graphes orientés et les graphes non

orientés. Noustraiterons dans ette thèse uniquement de graphes non orientés.

Un graphe non orienté

G

est un ouple formé d'un ensemble de sommets

V

et d'un ensemble d'arêtes

E

⊆ V

2

,

G = (V, E)

. Chaque arêterelie deux sommetsde

V

.

Les extrémités d'une arête

(a, b)

sont les sommets

a

et

b

et une arête est in idente à un sommet si e sommet onstitue l'une des extrémités de ette arête. Le voisinage d'un

sommet

a

∈ V

estl'ensembledes sommetsquisontlesextrémitésdes arêtesin identes à

a

etilest noté

N

G

(v)

.Ledegré d'un sommet

v

est lenombre d'arêtes quiluisont in identes etilest noté

d

G

(v)

.Dansungraphe

G = (V, E)

nousnoterons

∆

max

(G)

sondegrémaximal, plus pré isément

∆

max

(G) = max

v∈V

d

G

(v)

. Un sommet isolé est un sommet qui n'a pas d'arêtein identeetqui est ainsi de degré0. Deux arêtessont adja entessi elles partagent

une extrémité.

Nous dénissons deux notions pour générer un graphe à partir d'un autre, le graphe

induit par un ensemble de sommets et le graphe partiel. Soit un graphe

G = (V, E)

, le grapheinduitpar lesous-ensemblede sommets

V

′

_{⊆ V}

estlegraphe

G(V

′

_{) = (V}

′

_{, E}

′

₎

ave

E

′

lesous-ensembled'arêtes de

E

quiontleursdeux extrémitésdans

V

′

.Ungraphepartiel

est obtenuen supprimantseulementdes arêtesdugraphe.Ainsilegraphepartielengendré

par

E

′

_{⊆ E}

est legraphe

G

′

_{= (V, E}

′

₎

.

Nousdé rivons quelques stru tures sur les graphesnon orientés.

Graphe biparti. Un graphe biparti est un graphe tel que ses sommets peuvent être

partitionnés en deux parties

V

1

, V

2

ettoute arête de e graphe a une extrémitédans

V

1

et une dans

V

2

exa tement.

Graphe omplet. Ungraphe ompletest ungraphetelquetouteslesarêtespotentielles

entredeuxsommetssontdansl'ensembledesarêtes.Nousnotonsungraphe omplet

onte-nant

n

sommetspar

K

n

. Un graphe

(V, E)

est biparti omplet s'ilexiste une partitiondes sommets

V

1

, V

2

telle que

E =

{(v

1

, v

2

)

| v

1

∈ V

1

, v

2

∈ V

2

}

.

Etoile. Uneétoileest onstituéed'un entreetdebran hes 'est-à-direunsommet entral

etunensemblede sommets,tous adja entsà e sommet entraletadja entsàau unautre

sommet. Une étoile est aussi un graphe omplet bipartitel qu'une des deux parties de e

graphe soit omposée d'un seul sommetqui est don le entre de ette étoile.

Chaînes et y les. Une haîneest un ensemble de sommetset d'arêtes

P = (a

0

, e

0

, a

1

, e

1

, . . . , a

k−1

, e

k−1

, a

k

)

qui relie

a

0

à

a

k

, ave

e

i

= (a

i

, a

i+1

)

,

a

0

et

a

k

sont les extrémités de la haîne, les autres sommets de ette haîne sont des sommets

in-ternes. Ainsi ette haîne relie

a

0

à

a

k

en passant par les arêtes

e

1

, . . . , e

k−1

et visi-tant les sommets

a

1

, . . . , a

k−1

. Par extension il existe toujours une haîne de

a

0

à

a

0

qui n'emprunte au une arête. De la même manière un y le est un ensemble d'arêtes

C =

(a

0

, e

0

, a

1

, . . . , a

k−1

, e

k−1

, a

0

)

. Il s'agit don d'une haîne de

a

0

à

a

0

qui passe par d'autres sommets. Les haînes et y les élémentaires sont des haînes ou y les qui ne passent pas

deux fois par le même sommet. La longueur d'un y le ou d'une haîne est le nombre

d'arêtes qu'il ontient. Le diamètre d'un graphe est la longueur de la plus longue haîne

qu'il ontient. Un y le hamiltonien ou tour de

G

est un y le

(v

i

1

, (v

i

1

, v

i

2

), v

i

2

, . . . , v

i

n−1

,

(v

i

n−1

, v

i

n

), v

i

n

, (v

i

n

, v

i

1

))

quipasse partous lessommetsde

G

exa tementune fois.Ande simplierles preuves, nous dé rirons parfois un tel y le par l'ensemblede ses arêtes.

Une haîne hamiltonienne de

G

est une haîne qui passe exa tement une fois par tous les sommets de

G

,

(v

i

1

, (v

i

1

, v

i

2

), v

i

2

, . . . , v

i

n−1

, (v

i

n−1

, v

i

n

), v

i

n

)

. De même, nous dé rirons parfois une telle haîne par l'ensemblede ses arêtes.

Composante onnexe. Une omposante onnexeest un ensemble de sommets

C

maxi-mal au sens de l'in lusion tel que pour tout ouple de sommets

v

1

, v

2

∈ C

, il existe une haîneentre

v

1

et

v

2

quine passequepardes sommetsde

C

.Larelation"apparteniràune même omposante onnexe" est ainsi une relation transitive, symétrique et réexive. En

eet, s'il existe une haîne de

a

à

b

et de

b

à

c

, l'union des arêtes des deux haînes forme une haîne de

a

à

c

. S'il existe une haîne de

a

à

b

, il existe également une haîne de

b

à

a

. La réexivité provient du type de la relation appartenir. Étant donné un ensemble d'arêtes

F

, nous notons

C(v)

la omposante onnexe ontenant

v

dans le graphe induit par

F

.

Arbre et forêt. Un arbre

T

est un graphe onnexe sans y le. Un arbre est don une omposante onnexe telqu'entre tout ouple de sommets de ette omposante onnexe, il

n'existe qu'uneseule haîne.Lesfeuillesd'unarbre sontses sommetsde degré1.Un arbre

enra iné est un arbre dans lequel on a xé un de ses sommets

r

en tant que ra ine. Dans un arbre enra iné lesan êtres d'un sommet

v

sont lessommetsqui sont sur la haîne de

v

à

r

. Lepremier an être de ette haîne en partantde

v

est lepère de

v

. Tous lessommets

v

′

de l'arbre dont

v

est le père forment l'ensemble des ls de

v

. Un arbre ave

t

sommets ontient exa tement

t

− 1

arêtes. Un arbre ave

t

sommets est dit d'ordre

t

. Le diamètre d'un arbre est la longueur maximaledes haînes ontenues dans et arbre.

Une forêt

F =

{T

1

, . . . , T

q

}

est déniepar lesdeux onditions suivantes : pour tout

i

≤ q

,

T

i

est un arbre et les arbres sont deux à deux disjoints. Unegénéralisation des arbres est ladé omposition arbores ente.

Dé ompositionarbores ente. Unedé ompositionarbores ented'ungraphe

G = (V, E)

est une paire

(X, T )

telleque

X =

{X

1

, . . . , X

r

}

et

S

i∈{1,...,r}

X

i

= V

et

T

estun arbre qui a pour ensemble de noeuds

X

. Cet arbre vérie les onditions suivantes :

•

Si un sommet

v

∈ V

appartient à

X

i

et

X

j

, alors tous les n÷uds de l'arbre qui sont sur la haîne qui relie

X

i

à

X

j

ontiennent

v

.

•

Si

(u, v)

∈ E

, alors il existe un

X

i

qui ontient

u

et

v

.

Tout graphe

G = (V, E)

admet ainsi une dé omposition arbores ente sous la forme d'un seulnoeud

X = V

qui ontientdon touslessommets.Cependant ettestru tureprendson intérêt lorsque latailledes noeuds la omposantest assez faible.Remarquons qu'un arbre

admet une dé omposition arbores ente de largeur1. En eet, il existe une dé omposition

telle que

X =

S

e∈E

X

e

ave

X

e

=

{a, b}

si

e = (a, b)

∈ E

. La stru ture d'arbre sur es noeuds dé oulede l'adja en e des arêtes qu'ils représentent.

Une dé omposition arbores ente

(X, T )

a pour largeur

max

i∈{1,...,r}

|X

i

| − 1

. La largeur arbores ente d'un grapheest laplus petite largeurdes dé ompositionsarbores entes qu'il

admet.

La stru ture d'arbre est propi e à la programmation dynamique. De nombreux

pro-blèmes sont résolubles en temps polynomialsi le graphe onsidéré est un arbre, alors que

es problèmes sont NP-di iles dans le as général. De manière similaire, une

dé ompo-sition arbores entede largeur assez faiblepermet une programmationdynamique e a e.

Nousutiliserons ladé ompositionarbores entepourle problèmede forêt ontrainte. Nous

donnons i-dessous un grapheen vis-à-visde sadé ompositionarbores entequiest de

lar-geur 2.

Couverture de graphes. Soit

G = (V, E)

un graphe. Un sommet

v

est ouvert par une arête

e

si

v

est in identà

e

. Par extension,un sommet

v

est ouvert par un ensemble d'arêtes

E

′

_{⊆ E}

s'ilexiste unearête

e

∈ E

′

telque

v

soitextrémitéde

e

.Nousdisonsqu'un ensemble d'arêtes

E

′

_{⊆ E}

ouvre

G

si

E

′

8 9 10 11 7 6 5 4 2 3 1 3,7,8 3,7,9 7,10,11 2,4,6 1,4,5 1,2,4 1,2,3 3,7

Figure1.1Représentationd'un grapheetd'unedeses dé ompositionsarbores entes de

largeur 2.

ouvrant

G

est ainsi un arbre (resp. ensemble d'arbres deux à deux disjoints) qui ouvre

G

.

Couplage. Soit

G = (V, E)

un graphe. Un ouplage

M

est un ensemble d'arêtes qui ne sont pas adja entes deux à deux. Autrement dit, legraphe partiel

(V, M)

est de degré maximum 1.Ainsi haque sommetest l'extrémitéd'au plus une arête de

M

. Lessommets non ouverts par

M

sont appelés sommets insaturés. Un ouplage

M

est maximal pour l'in lusion, si pour tout

e

∈ E \ M

,

M

∪ {e}

n'est pas un ouplage. Une ara térisation équivalente est qu'il n'existe pas deux sommets

u, v

adja ents qui ne soient pas ouverts par

M

. Un ouplage

M

est parfait s'il ouvre

G

.Nous allons dénir les problèmes d'opti-misationsuivants :

Couplage maximal (Max Couplage)

Entrée :Un graphe

G = (V, E)

.

Sortie :Un ouplage

M

⊆ E

ontenant un nombre maximal d'arêtes.

Couverture minimale (Min Couverture)

Entrée :Un graphe

G = (V, E)

. Sortie : Une ouverture

E

′

_{⊆ E}

ouvrant

G

ontenant un nombre minimal d'arêtes.

1.2 Classes de omplexité

Un alphabet est un ensemble de ara tères. Un mot sur un alphabet

Σ

est la on a-ténation d'un nombre ni de ara tères de et alphabet, 'est-à-dire que si l'alphabet

Σ =

_{a

1

, . . . , a

5

}

alors

a

2

a

4

a

1

a

2

a

5

est unmotsur etalphabet.Unlangagesurun alphabet est un ensemblede mots sur et alphabet.

Une ma hine de Turing permet de simuler des tâ hes exé utables par un ordinateur.

Une ma hine de Turing prend en entrée un mot sur un alphabetni etau terme de ette

exé utionl'a epte oune l'a epte pas.

Unlangage

L

,sous-ensemblede

Σ

∗

,estre onnaissables'ilexiste unema hinedeTuring

quia epteexa tementlesmotsde elangage.Pourunema hinedeTuring

M

,nousnotons

Mx

lerésultat de son exé ution.

∀x ∈ Σ

∗

_{, Mx}

_{∈ accept <=> x ∈ L}

S'il existe un polynme

p

tel que pour tout

x

∈ M

,

t

M

(x)

≤ p(|x|)

, ave

|x|

la taille de e mot, alors

M

s'exé ute en temps polynomial. Si un langage est re onnu par une ma hine de Turing qui s'exé ute en temps polynomial, alors e langage appartient à P.

Lesma hines de Turing lassiquessont déterministes, 'est-à-dire que pour un mot donné

il y a un seul traitement possible. Une extension de e modèle est la ma hine de Turing

nondéterministe.Lesma hinesde Turingnondéterministesontà haque étapeun ertain

nombredepossibilitéspourpasserdansun étatsuivantaulieud'unseul pourlesma hines

deTuringdéterministes.Unema hinedeTuringnondéterministea epteunmots'ilexiste

au moins une exé ution parmi les diérentes possibilités d'exé ution qui a epte e mot.

Les langages re onnus en temps polynomial par une ma hine de Turing non déterministe

formentla lasse NP.

Problème de dé ision ombinatoire. Un problème de dé ision est un ouple

(

I, P)

ave

I

un ensemble d'instan es et

P

une propriété que nous her hons à vérier sur es instan es. Uneinstan e

I

admetun ensemblede solutions

S(I)

.Pour toute instan e

I

∈ I

nous aimerionsdé ider s'ilexiste

S

∈ S(I)

qui vérie

P

. On ditqu'il existe une rédu tion polynomialed'un problème

A

àun problème

B

, notée

A

≤ B

, s'ilest possible de transfor-mer touteinstan e

I

de

A

en une instan e

I

′

de

B

en temps polynomialtelquelaréponse sur l'instan e

I

′

est la même quela réponse sur

I

.Dans e as le fait de pouvoirrésoudre

B

nous permet de résoudre

A

. Nousdisons que

A

seréduit à

B

.

Problème d'optimisation ombinatoire. Nousdénissonsformellementunproblème

d'optimisation ombinatoire ommeun quadruplet

(

I, P,

val

,

opt

)

.

I

est l'ensemble d'ins-tan es du problème, pour haque instan e, il existe un nombre ni de solutions.

P

est la propriété qui ara térise les solutions réalisables. val est une évaluation des solutions

réalisables dansN. Lesproblèmesd'optimisationsontsoitdesproblèmes de maximisation,

soitdes problèmes de minimisation, opt

∈ {min, max}

.Résoudre un problème d'optimisa-tion onsisteà trouver pour toute instan e

I

∈ I

une solution

S

vériant

P

qui optimise val

(S, I)

. Nous noterons

S

∗

_(I)

une solution optimale sur

I

, et opt(

I

) la valeur d'une so-lution optimalede

I

. Sil'instan e on ernée ne sus ite pas d'ambiguïté, nous abrégeons à

S

∗

etopt.

Algorithmes

Un algorithme déterministe est un algorithme qui n'a qu'une seule exé ution possible

pour haque entrée. Un algorithme non déterministe pour un problème de dé isiona

plu-sieurs exé utions possibles pour haque entrée etrépond positivement àlaquestion siune

des exé utions possibles répond positivement. Nous parlerons d'algorithme qui s'exé ute

en temps polynomial ou bien par sou is de on ision d'algorithme polynomial s'il existe

un polynme

p

tel que pour toute instan e

I

d'un problème le temps d'exé ution de et algorithme sur

I

est majoré par

p(

|I|)

ave

|I|

la taille de l'instan e

I

exprimée dans un langage binaire.Nous parlerons d'algorithmepseudo polynomialsi son temps d'exé ution

est borné par un polynme qui prend la taille de l'instan e

I

en unaire. Un problème de dé ision ombinatoireest dansla lassePs'ilexisteunalgorithmepolynomialquilerésout.

Unproblèmeest dansla lasseNP s'ilexiste un algorithmenondéterministequilerésout.

L'ensemble des algorithmes déterministe est in lut dans l'ensemble des algorithmes non

déterministe, ainsi P

⊆

NP. La lasse des problèmes NP-di iles est l'ensemble des pro-blèmestelqu'il existe unerédu tion polynomialede 3-SATvers ha unde es problèmes.

Satisfa tion de lauses de taille 3(3-SAT)

Entrée :Unensemble de variablesbooléennes etensemblede lauses

disjon -tives ha une ontenant trois variables.

Question :Existe-t-ilune ae tationde valeursauxvariablestelle quetoutes

les lauses soientvraies?

Les problèmesNP-di iles quiappartiennent à NP sont NP- omplets.

Algorithme pour des problèmes d'optimisation ombinatoire. Un algorithme

A

quis'appliqueàun problèmed'optimisation

(

I, P,

val

,

opt

)

,estunalgorithmedéterministe qui renvoie pour toute instan e

I

∈ I

une solution réalisable

A(I)

. Si val

(

A(I), I)

est optimale pour tout

I

∈ I

alors et algorithme résout notre problème. Nous supposons aussi que val est al ulable en temps polynomial et que la propriété

P

est dé idable en tempspolynomial.Cette lassedeproblèmesest onnuesouslenomdeNPO.Unproblème

Nous nous intéressons également à des algorithmes qui ne renvoient pas pour toute

instan e une solution optimale. Nous her hons néanmoins à obtenir des algorithmes

po-lynomiaux qui renvoient des solutionsréalisables d'une ertaine qualité.

Rapport d'approximation. Lesrapportsd'approximationsontgénéralementexprimés

ommeune fon tion roissantede lataillede l'instan e. Un algorithmepolynomial

A

, qui s'appliqueàun problèmed'optimisation

(

I, P,

val

,

opt

)

,donneun rapport d'approximation

f

pour e problème si la ondition suivanteest satisfaite pour tout

I

∈ I

:

f (

_{|I|) ≥ max}



val

(

A(I), I)

opt

(I)

,

opt

(I)

val

(

A(I), I)



.

Si un problème admet un algorithme de rapport d'approximation

f

, alors nous disons que eproblèmeest

f

-approximable.S'ilexisteunalgorithmetelqu'ilexisteunefon tion

f

onstantequiremplitles onditionspré édentes alorsleproblème en questionest onstant

approximable.

Dans la lasseNPO plusieurs lasses de problèmes sont distinguées :

•

La lasseNPO-PBqui ontientlesproblèmes dontlafon tionobje tifvalest bornée par une fon tion polynomialeen la taillede l'instan e.

•

La lasseAPXqui ontientlesproblèmesquiadmettentunrapportd'approximation onstant.

•

La lasse PTAS qui ontient les problèmes tels que pour tout

ǫ > 0

, il existe un algorithme d'approximationpour e problème de rapport

1 + ǫ

.

•

la lasse FPTAS qui ontient les problèmes tels que pour tout

ǫ > 0

, il existe un algorithme d'approximation pour e problème de rapport

1 + ǫ

et tels que la om-plexité de et algorithme soit une fon tion polynomiale en la taillede l'instan e et

1

ǫ

.

La rédu tion polynomiale dé rite ne préservant pas l'appartenan e à es lasses, d'autres

rédu tions ont été développées. Nous utilisons dans ette thèse la

L

-rédu tion ar elle- i permet d'obtenir une relation entre lesrapports d'approximation.

L-rédu tion. Lanotion de

L

-rédu tion aété introduitepar Papadimitriouet Yannaka-kis dans [35℄. Soit

A = (

I

A

,

P

A

,

val

A

,

opt

A

)

et

B = (

I

B

,

P

B

,

val

B

,

opt

B

)

deux problèmes d'optimisation ombinatoire, alors

A

est dit

L

-rédu tible à

B

s'il existe deux onstantes

α, β > 0

telles que

1. Il existe une fon tion, al ulable en temps polynomial, qui transforme n'importe

quelle instan e

I

∈ I

A

de

A

en une instan e

I

′

_{∈ I}

B

de

B

telle que opt

B

(I

′

)

≤

α

_·

opt

2. Il existe une fon tion, al ulable en temps polynomial, qui transforme n'importe

quelle solution

S

′

de

I

′

en

S

une solution de

I

telle que

|

val

B

(S

′

_{, I}

′

₎

₋

opt

B

(I

′

)

| ≤

β

· |

val

A

(S, I)

−

opt

A

(I)

|

.

La propriété intéressante de la

L

-rédu tion est que si un problème

A

est

L

-rédu tible à

B

ave les onstantes

α, β

et si

B

est

c

-approximable et

0

≤ αβ(c − 1) < 1

alors

A

est

1

Problème de forêt ontrainte

2.1 Introdu tion

Une forêt est un graphe ne ontenant pas de y le. Ainsi haque omposante onnexe

dans une forêt est un arbre. Des problèmes d'optimisation ombinatoiredans les graphes

lassiques peuvent se reformuler en tant que problème de forêt ontrainte. Ainsi l'arbre

ouvrant minimal est une forêt ne ontenant qu'une omposante. Le problème de la

fo-rêt à profondeur borné xée onsiste à re her her un ensemble d'arêtes tel que haque

omposante onnexe formeun arbre d'une profondeur bornée.

Dansungraphe

G = (V, E)

,une ouverturedessommetsave desarêtesestunensemble d'arêtes

S

⊆ E

telquetout sommetde

V

soitl'extrémitéd'unearête de

S

. Trouver

ρ(G)

, latailleminimaled'une ouvertured'ungrapheave desarêtesestunproblèmebien onnu

que nous avons déni dans les préliminaires,Min Couverture. La taille d'un ouplage

maximal est notée

ν(G)

, 'est don une solution optimale du problème Max Couplage dé rit dans les préliminaires.Le théorème de Gallai [19℄ arme que pour tout graphe ne

omportant pas de sommet isolé, l'égalité

ν(G) + ρ(G) = n

est vraie.

Cette relationdé oule d'une propriété plus forte reliant es deux problèmes : en eet,

haque ouplagede taillemaximale peutêtre étendu en une ouverturede tailleminimale,

et de manière inverse, à partir de haque ouverture de taille minimale, un ouplage de

taillemaximalepeutêtreextrait.Cetterelationpermetd'établirque, ommeleproblèmede

ouplage de taillemaximale,leproblème de ouverturede tailleminimalepeut être résolu

en temps polynomial. Dans le as des graphes pondérés, 'est-à-dire que des poids sont

asso iés auxarêtes, nous her herons àminimiserlepoidsde la ouverture,lepoids d'une

ouvertureétantnaturellementlasommedes poidsdesarêtes onstituant ette ouverture.

Ce hapitre est basé sur unarti le à paraître dans [3℄, ee tué en ollaboration ave C. Bazgan et

Le problème de ouverture de poids minimal peut être réduit à un problème de ouplage

parfaitdepoidsminimal,voirse tion2.2.2.En onséquen e,unesolutionoptimalepeutêtre

obtenue en temps

O(n

3

₎

grâ e au résultat de Edmonds et Johnson [15℄ sur les ouplages

parfaits de poids minimal. Néanmoins, dans le as pondéré, il n'existe pas de relation

similaire à elle de Gallai [41℄. Nous pouvons fa ilement remarquer que toute solution

minimale pour l'in lusion, en parti ulier la solution optimale, de Min Couverture est

uneforêt.Eneet,siunesolutionduproblème ontientun y lealorsnouspouvonsenlever

une arête de e y le à la solution, le nouvel ensemble obtenu est toujours une solution

réalisableet ilest de poids inférieur.

Dans e hapitre, nous nous intéressons à un problème qui onsiste à trouver dans un

graphepondéréuneforêt ouvrantede poidsminimaltellequetousses arbressontd'ordre

au moins

p

. Nous noterons e problème Min WCF(

p

). Nous dénissons formellement le problème de laforêtminimale ontraintede lamanière suivante :

Forêt ontrainte de poids minimal (Min WCF

(p)

)

Entrée :Un graphe non-orientépondéré

(G, w)

onnexe ontenant au moins

p

sommets.

Sortie:Uneforêt

F =

{T

1

, . . . , T

q

}

ouvrantedonttouslesarbressontd'ordre aumoins

p

de poids minimal,

w(F ) =

P

q

i=1

P

e∈T

q

w(e)

.

2.1.1 Résultats existants sur e problème

Dans [34℄, Monnot et Toulouse montrent entre autres que la partition d'un graphe en

haînes de longueur 3 est un problème NP- omplet, e qui permet de déduirerapidement

quela version sans poids de Min WCF(3)est NP-di ile.Le résultatétantdonné même

surlesgraphes planairesbipartisdedegrémaximum3,MinWCF(3)resteNP-di ilesur

ette lasse degraphes. Imielinskaetal.[25℄ ontmontréqueMin WCF(

p

)est NP-di ile pour

p

≥ 4

,ilsdonnentparailleursunalgorithmegloutonquifournitune

2

-approximation. Demanièreassezintéressanteun algorithmediérent,étudiépar LaszloetMukherjee[29℄,

aexa tementlemêmerapportd'approximation.Ilsontégalementdonnéunegénéralisation

de esdeux algorithmesgloutons,mais ette généralisationresteave un rapportde2[30℄.

EnutilisantlaméthodedeGoemansetWilliamson[21℄,unmeilleurratiopeutêtreobtenu:

2

₋

1

n

.

2.1.2 Nos travaux

Nous notons Min CF

(p)

laversion sans poids de Min WCF(

p

). Jusqu'à présent, rien n'était onnu à propos de la omplexité de Min CF

(p)

pour

p

≥ 4

. Nous montrons que Min CF

(p)

est NP-di ile pour tout

p

≥ 4

, même sur les graphes planaires bipartis de

degré maximum 3.

Forêt ontrainte minimale(Min CF

(p)

)

Entrée :Un graphe non-orienté onnexe ontenant aumoins

p

sommets. Sortie : Une forêt ouvrante dont tous les arbres sont d'ordre au moins

p

(i.e., ils ontiennenttous aumoins

p

sommets) ontenant un nombre minimal d'arêtes.

Deplus,nousétudions lanon-approximabilitéde es problèmes.Dans ettedire tion,nous

prouvonsqu'enlaissantde téla onditiondeplanarité,MinCF

(p)

devientAPX- omplet pourtout

p

≥ 3

surlesgraphesbipartis,mêmeave undegrémaximalde3.Ilapparaîtaussi que et aaiblissement est né essaire pour obtenir e résultat de non-approximation, ar

nousobtenons uns héma d'approximationpolynomialpourMin WCF

(p)

surdes graphes planaires.D'ailleurs, pour e dernierrésultat,nous pouvons autoriser

p

à roîtreen l'ordre de

O



log n

log log n



.Unoutil importantdans lapreuvede e dernierrésultat est un algorithme

al ulantune solutionoptimalepour Min WCF

(p)

sur un graphede largeurarbores ente auplus

k

entemps

O(k

ck

_p

2k+2

_n)

,pourune ertaine onstante

c

.Cetteméthoderestevalide sans restri tionsurla roissan e de

p

.Elleest ainsiappli ablesur des lassesdeproblèmes quine peuvent êtretraitées dire tementpar lapuissanteméthode de Cour elle utilisantla

logique monadiquedu se ondordre [12℄.

2.1.3 Quelques propriétés des solutions optimales

Si notre graphe ontient plusieurs omposantes onnexes disjointes, résoudre notre

problème sur e graphe revient à le résoudre séparément sur les diérentes omposantes

onnexesde e graphe.Unesolutionpartielletraitantl'unedes omposantes onnexesd'un

graphen'a au une in iden e surlesautres omposantes onnexesde e graphe.Ainsipour

sepla erdans un ontexte plus simplenous onsidérerons toujoursquelesgraphesétudiés

ne ontiennent qu'une seule omposante onnexe.

Toute solution optimale

F

∗

sera onstituée d'une famille d'arbres

{T

∗

1

, . . . , T

q

∗

}

. Nous pouvons remarquer que le diamètre de ha un de es arbres est inférieur stri tement à

2p

_{− 1}

ar, sinon, nous pourrionsséparer et arbre en deux arbres de taillesupérieure ou égale à

p

.Eneet, siun arbre ontientune haîne de longueur

2p

− 1

, alorslasuppression de l'arête médiane réera deux haînes de longueur

p

− 1

. Ainsiles deux arbres résultant de ette suppression ontiendront ha un une haîne de longueur

p

− 1

,et don ,au moins

2.2 Résultats de omplexité

Nous étudions la omplexitéselon plusieursparamètres : le degré maximaldu graphe,

lavaleur de

p

,ainsi quelaplanaritédu graphe.Dans ha unde es as, nous déterminons si es restri tions du problème sontfa ilesou bien di iles.Nous ommençons par les as

fa ilesave une dis ussion sur le degré maximal

∆

max

.

2.2.1 Le graphe a un degré maximal inférieur à 2

Soit

G = (V, E)

un graphe ave

∆

max

(G)

≤ 2

, la largeur arbores ente de

G

est don aussi inférieure à 2. Comme nous le montrons dans la se tion 2.5 nous pouvons obtenir

une solutionoptimaleen temps

O(p

6

_n)

.Notreobje tifi iest dediminuerla omplexitéde

résolution dans e as. Nousdistinguons trois as selon lavaleur de

∆

max

:

• ∆

max

= 0

: Lesgraphes onsidérés ne ontenant qu'une omposante onnexe, elui- i est onstitué d'un seul sommetisolé. La solutionpour

p = 1

est l'ensemble vide.

• ∆

max

= 1

: Dans e as, le graphe est formé d'un ouple de sommets reliés par une arête.Pour

p = 2

,lasolutionoptimaleest l'arêtede egraphe,pour

p = 1

'est l'ensemble vide.

• ∆

max

= 2

: Le grapheest don soitune haîne soit un y le.

Sur une haîne. Soit

P

n

= (v

1

, e

1

, . . . , v

n−1

, e

n−1

, v

n

)

une haîne sur

n

sommets, nous posons

w

i

= w(e

i

)

pour tout

i

. Nous onsidérons les ouvertures partielles qui respe tent la ontraintesuivante :

Etant donné un sommet

v

et un entier

k

,

1

≤ k ≤ p

, nous her hons un sous-ensemble d'arêtes de

E

′

_{⊆ E}

i

=

{e

1

, . . . , e

i−1

}

tel que, dans le sous-graphe partiel

(V

i

=

{v

1

, . . . , v

i

}, E

i

)

, le sommet

v

i

est dans une omposante onnexe de taille au moins

k

et lesautres sommetssont soitdans la omposante onnexe de

v

i

,soit dans une omposante onnexe de taille supérieure ou égale à

p

. De manière équivalente, puisque le graphe est une haîne, nous her hons une forêt ouvrante

F

de

(V

i

, E

i

)

telle que:

(

|C(v

i

)

| ≥ k

∀j < i (|C(v

j

)

| ≥ p) ∨ (C(v

i

) = C(v

j

))

(2.1)

où

C(v)

désignel'arbrede

F

ontenant

v

. Nousnotons

C

k

i

l'ensembledes forêts de

(V

i

, E

i

)

vériant(2.1)et

c

k

i

leminimumdes poids de es forêts. Sil'ensemblede esforêts est vide,

c

k

v

= +

∞

pardéfaut.Nousproposonsde al ulerdemanièredynamiquelesvaleurs

c

k

i

pour tout

i

etpour tout

k

.

A l'initialisation

c

k

1

= 0

si

k = 1

et

c

k

1

= +

∞

sinon.

Nousétablissons maintenantla relationde ré urren e suivante.

c

k

_i+1

=

(

min(c

p

_i

, c

1

i

+ w

i

)

si

k = 1

c

k−1

_i

+ w

i

sinon Si

k > 1

, alors l'arête

e

i

appartient à toute ouverture de

C

k

i+1

. En eet, si ette arête n'étaitpas dansla ouverture, lesommet

v

i+1

setrouveraitisolé.Nous pouvons don nous restreindre à her her la plus petite ouverture de

C

k−1

i

ajoutant l'arête

e

i

à haque ou-verturepour obtenirune ouverture de

C

k

i+1

. Trouver

c

k

i+1

revientà trouver

c

k−1

i

+ w

i

.

Si

k = 1

alors nous devons distinguer les as où

e

i

appartient à une ouverture minimale ounon :

•

Si

e

i

appartient à la ouverture, alors le sommet

v

i

est dans le même arbre

T

v

i

que

v

i+1

. Puisque

T

v

i

est de taille au moins

2

et que

k = 1

, la ontrainte portant sur

T

v

i

est toujours veriée. Il sut de trouver une ouverture minimale dans

C

1

i

. La ouverture minimalede

C

k

i+1

ontenant

e

i

est de poids

c

1

i

+ w

i

.

•

Si

e

i

n'appartient pas à la ouverture optimale,alors

v

i+1

est isolé et tous les autres sommets sont dans des omposantes onnexes de taille

p

. Il sut don de her her la ouverture minimaleparmi

C

p

i

.

Cette relation de ré urren e nous permet d'établir un algorithme de programmation

dynamiquequi s'exé ute en temps

O(np)

etqui al uleralesnombres

c

p

i

pour

k = 1, . . . , p

et

i = 1, . . . , n

.

C

p

n

onstitue l'ensembledes ouvertures ontraintes réalisables. Ainsi

c

p

n

est lavaleur minimaled'une ouverture par une forêt ontrainte. Il est assez simple d'obtenir

laforêt orrespondante en retenant lesarêtes utilisées pour le al ul de haque

c

k

v

.

Sur un y le. Soit

C

n

= (v

1

, . . . , v

n

, e

n

, v

1

)

un y le sur

n

sommets. A partirdu moment oùnousdé idonsde nepas utiliserunearêtedonnée, notreproblèmeseréduità onsidérer

une haîne. De plus, nous savons que, dans une solution optimale, il n'y a pas d'arbre

de diamètre supérieur ou égal à

2p

. Sur le y le tous les arbres seront des haînes. Le diamètre d'une haîne étant sa longueur, il n'y a pas de haînes de longueur supérieure

ou égale à

2p

dans une solution optimale.Si nous onsidérons

2p

− 1

arêtes onsé utives, au moins l'une d'entre elles ne sera pas hoisie dans une solution optimale.Nous prenons

arbitrairement

2p

− 1

arêtes onsé utives dans notre y le et, pour ha une d'entre elles, nous déterminons une forêt ouvrante minimalesur la haîne obtenue ave lasuppression

de l'arête en question. La plus petite de es solutions nous donne une solution optimale

pour le y le. Cet algorithme s'exé ute en temps

O(np

2

₎

.

Ces deux exemples nous permettent d'obtenir que, sur les graphes de degré au plus 2, la

Nous allons désormais nous pla er dans le as où

∆

max

≥ 3

. Notre étude porte sur la valeur de

p

.

2.2.2

p

≤ 2

Nous traitons désormais le as des graphes généraux en distinguant les as selon la

valeur de

p

. Pour

p = 1

,

E =

∅

est toujours une solution valide pour Min WCF(1) et, étantdonné que lesarêtes sont de poids positif, 'est une solution optimale.

Pour

p = 2

,ilexisteune rédu tiondeMinWCF(2)vers leproblèmedere her he d'un ouplage parfait de poids minimumdans un graphe ompletpondéréave un nombre pair

de sommets [A. Shrijver, Combinatorial Optimization,volume 1, hapitre 19.3℄[40℄.

Couplage parfait minimal (Min CP)

Entrée :Un graphe pondéré ompletave

2n

sommets,

(K

2n

, w)

. Sortie :

n

arêtes non adja entes deux à deux de poids minimal.

Soit

I = (G, w)

une instan e du problème de Min WCF(2) ave

G = (V, E)

et

|V | = n

. Nousallons onstruire une instan e

I

′

_{= (K}

2n

, w

′

)

de Min CP de lamanièresuivante : pour haque sommet

v

∈ V

nous réons une opie

v

′

. Ce i forme l'ensembledes sommets

V

′

de

K

2n

. Ainsi :

V

′

=

[

v∈V

{v, v

′

_}

Pour tout sommet

v

∈ V

, notons

w

v

le poids de l'arête de poids minimal qui est in idente à

v

dans

G

. Nous dénissons la fon tion de poids

w

′

_{: V}

′2

_→

R de la façon suivante,

w

′

(u, v) =



















w(u, v)

si

(u, v)

∈ E

w

u

+ w

v

si

u, v

∈ V (u, v) /

∈ E

w

u

si

u

∈ V, v /

∈ V

0

si

u, v /

∈ V

Ce graphe ompletpondéré ontenant

2n

sommetspeut être onstruit en temps poly-nomial. Il sut désormais de montrer qu'on peut obtenir une solution optimale de Min

WCF(2)à partird'une solutionoptimalede Min CP. La preuve de lapropriété suivante

sut à montrer la validité de la rédu tion.

Propriété 2.2.1. opt MinCP

(I

′

_{) =}

opt MinWCF(2)

(I)

Démonstration. Soit un ensemble d'arêtes

M

∗

qui réalise un ouplage parfait de poids

minimal pour

I

′

_{= (K}

2n

, w

′

)

. Nous ommençons par former une solution partiellede Min WCF(2) sur

I = (G, w)

en séle tionnant l'ensemble d'arêtes

M

∗

_{∩ E}

. Tout sommet

u

de

G

non ouvert par ette solution partielle est ouvert soit par une arête

(u, v)

de poids

w

u

+ w

v

, si

v

∈ V

, soit par une arête

(u, v)

, si

v /

∈ V

de poids

w

v

. Lorsque

v

∈ V

, nous remplaçons ette arête par deux arêtes adja entes respe tivement à

u

et

v

qui sont de poids respe tivement

w

u

et

w

v

. Si

v /

∈ V

, nous remplaçons l'arête

(u, v)

de poids

w

u

par une arêtede

E

in identeà

u

de poids minimalquiest par dénition

w

u

.Si unearête aété prise plusieurs fois par ette pro édure, nous ne omptons elle- iqu'une seule fois. Ainsi

nous obtenons une solution réalisable

F

sur

G

de poids inférieur ou égal au poids de

M

∗

d'où : opt MinWCF(2)

(I)

≤ w(F ) ≤ w

′

_(M

∗

_{) =}

opt MinCP

(I

′

₎

(2.2)

Ré iproquement à partir d'une solution optimale

F

∗

de Min WCF(2) sur

G

, nous formons un ouplage partiel en séle tionnant une arête pour haque arbre de

F

∗

. Pour

tout sommet

u

∈ V

insaturé dans e ouplage partiel, nous séle tionnons l'arête

(u, u

′

₎

,

obtenant ainsi une nouvelle solution partielle de

K

2n

. Le nombre de sommets de

V

′

_{\ V}

restantinsaturés dans enouveau ouplage estpair.Nouspouvons ainsilesasso ierdeux à

deuxave desarêtesdepoidsnul.Ce inousdonneun ouplageparfait

M

de

K

2n

,vériant: opt MinCP

(I

′

₎

≤ w

′

(M)

_{≤ w(F}

∗

) =

opt MinWCF(2)

(I)

(2.3)

En utilisantles inégalités(2.2) et(2.3), nous obtenons l'égalitésouhaitée.

2.2.3

p = 3

Monnot et Toulouse [34℄ se sont intéressés à la partition d'un graphe en haînes de

longueurxée. Enparti ulierpour les haînesde longueur2ilsontmontréqueleproblème

estNP-di ilemêmesurlesgraphesplanairesbipartisdedegrémaximum3.Celaimplique

entre autres la NP-di ulté de Min CF(3) même pour les graphes planaires bipartis de

degré maximum 3.

2.2.4

p

≥ 4

Dans ettepartie nousprouvons que Min CF(

p

)est NP-di ilepour tout

p

≥ 4

pour lamême lasse restreinte d'instan es.

Théorème 2.2.2. Pour tout

p

≥ 4

, Min CF

(p)

est NP-di ile, même sur des graphes planaires bipartis de degré maximum 3.

Pour ettepreuvenousutilisonslefaitquele ouplagetridimensionnelest unproblème

graphes.

Couplage tridimensionnel parfait (3DM)

Entrée:Troisensembles

A, B, C

telsque

|A| = |B| = |C| = q

,etun ensemble de triplets

T ⊆ A × B × C

.

Question : Existe-t-il

q

éléments de

T

qui ne partagent entre eux au un élément de

A, B

ou

C

?

La version d'optimisationde e problème est APX- omplet [26℄.

Max 3DM

Entrée:Troisensembles

A, B, C

telsque

|A| = |B| = |C| = q

,etun ensemble de triplets

T ⊆ A × B × C

.

Sortie : Un ensemble maximal d'éléments de

T

qui ne partagent entre eux au un élémentde

A, B

ou

C

.

Nous utiliserons plus parti ulièrementla restri tion de e problème auxinstan es oùtout

élément de

A, B

et

C

apparaîtexa tement deux fois dans lestriplets de

T

. La restri tion de e problème reste APX- omplet [8℄ et elle nous permettra de montrer des seuils

d'in-approximabilité pour notre problème.

Max 3DM

2

Entrée:Troisensembles

A, B, C

telsque

|A| = |B| = |C| = q

,etun ensemble de triplets

T ⊆ A × B × C

tel que haque élément de

A

∪ B ∪ C

apparait exa tement dans deux éléments de

T

.

Sortie : Un ensemble maximal d'éléments de

T

qui ne partagent entre eux au un élémentde

A, B

ou

C

.

Notons que le problème Max 3DM

2

lorsque le ouplage tridimensionnel est de valeur

q

, est un problème polynomial (problèmeSP1, page 221, [20℄).

Démonstration. Nous ommençonsparprouverlaNP-di ultépour

p = 4

.Pour elanous onstruisons une rédu tion polynomialeà partir de 3DM vers Min CF(

4

).

Soit

I = (A, B, C,

T )

, une instan e de 3DM telle que

|A| = |B| = [C| = q

et

T =

{T

1

, . . . , T

m

}

. Nous supposons, sans perte de généralité, que haque élément apparaît au moins dans un triplet (dans le as é héant,

I

n'admet pas de ouplage tridimensionnel parfait).

Figure 2.1 Une

t

-grieoùla ligne poitillée représente une haîne de longueur

t

.

L'instan e de Min CF(4) orrespondante à

I

sera le graphe

G = (V, E)

que nous onstruisons de la manière suivante Pour haque triplet

T

ℓ

= (a

i

, b

j

, c

k

)

∈ T

, nous réons une étoile à3 bran hes, que nous appelleronsgadget étoile,sur les sommets

a

ℓ

i

, b

ℓ

j

, c

ℓ

k

, d

ℓ

et ontenant les arêtes

(a

ℓ

i

, d

ℓ

), (b

ℓ

j

, d

ℓ

), (c

ℓ

k

, d

ℓ

)

.Par onstru tion es gadgets étoile sont deux àdeux sommetsdisjoints.Cela nous amèneàdénir lesensembles de sommetsetd'arêtes

suivants:

V

T

=

[

T

ℓ

=(a

i

,b

j

,c

k

)∈T

{a

ℓ

i

, b

ℓ

j

, c

ℓ

k

, d

ℓ

}

et

E

T

=

[

T

ℓ

=(a

i

,b

j

,c

k

)∈T

{(a

ℓ

i

, d

ℓ

), (b

ℓ

j

, d

ℓ

), (c

ℓ

k

, d

ℓ

)

}.

Un gadget lien est asso ié aux éléments de

A

∪ B ∪ C

: si un élément appartient à

h

triplets, alors

h

− 1

gadgets lien sont rées de manière à former une haîne de manière similaire.

Nous traitonsd'abord l'ensemble

A

,les autres ensembles sont traités ensuite.

Nousdénissonsl'ensemble

J

A

⊆ A×

N

×

Nparla olle tionde tousles

(a

i

, r, s)

respe tant lapropriétésuivante:

r, s

sontdeuxindi es onsé utifsdetriplets ontenant

a

i

, 'est-à-dire

a

i

∈ T

r

,

a

i

∈ T

s

et

a

i

∈ T

/

ℓ

pourtout

r < ℓ < s

.Une

t

-grieest onstruiteàpartird'un

K

1,3

oùunearêteaétérempla éeparune haînedelongueur

t

,voirFigure2.1pourl'illustration d'une

t

-grie.Chaque

(a

i

, r, s)

∈ J

A

dénitungadgetlienquiinduitune

1

-grie ontenant lessommets

a

r

i

, a

s

i

, a

r,s

i

, a

r,s

i

etlesarêtes

(a

r

i

, a

r,s

i

), (a

r,s

i

, a

s

i

), (a

r,s

i

, a

r,s

i

)

.Nousdénissonsainsi lesensembles suivants.

V

A

=

[

(a

i

,r,s)∈J

A

{a

r,s

i

, a

r,s

i

}

et

E

A

=

[

(a

i

,r,s)∈J

A

{(a

r

i

, a

r,s

i

), (a

r,s

i

, a

s

i

), (a

r,s

i

, a

r,s

i

)

}.

L'ensemble

J

B

est déni de manièresimilaire.

Ainsi, pour tout

(b

j

, r, s)

∈ J

B

, nous dénissons un gadget lien formant une

2

-grie ontenantlessommets

b

r

j

, b

s

j

, b

r,s

j

, b

r,s

j

, b

r,s

j

etlesarêtes

(b

r

j

, b

r,s

j

), (b

r,s

j

, b

s

j

), (b

r,s

j

, b

r,s

j

), (b

r,s

j

, b

r,s

j

)

. Nousdénissons ainsi lesensembles suivants.

V

B

=

[

(b

j

,r,s)∈J

B

{b

r,s

j

, b

r,s

j

, b

r,s

j

}

et

E

B

=

[

(b

j

,r,s)∈J

B

{(b

r

j

, b

r,s

j

), (b

r,s

j

, b

s

j

), (b

r,s

j

, b

r,s

j

), (b

r,s

j

, b

r,s

j

)

}.

Lesensembles

V

C

et

E

C

sont onstruitsen omplèteanalogieà

V

B

et

E

B

,introduisantainsi lesgadgets lien

(c

k

, r, s)

∈ J

C

etobtenant lesensembles de sommets

V

C

et d'arêtes

E

C

.

L'union de es ensembles de sommets etd'arêtes nous donnel'instan e de Min CF(4)

orrespondantà

I

.Plus pré isément,

G

apourensemblede sommets

V (G)

et

E(G)

omme ensemble d'arêtes où :

V (G) = V

T

∪ V

A

∪ V

B

∪ V

C

E(G) = E

T

∪ E

A

∪ E

B

∪ E

C

Unélémentde

A

∪B ∪C

apparaissantdans

h

tripletsestasso iéà

h

opieset

h

−1

gadgets liendans

G

,lenombretotaldesommetsestpré isément

12

|T |−8q

.Don latransformation est bien linéaire en la taillede l'entrée. Un exemple de ette onstru tion est donné dans

laFigure 2.2.

c

2,3

1

c

2,3

1

b

2,5

1

b

2,5

1

b

2,5

1

b

2

1

b

5,6

1

b

5,6

1

b

5

,

6

1

a

4,5

1

a

4,5

1

c

4,6

3

c

4,6

3

c

4,6

3

a

6

3

b

6

1

d

6

c

6

3

b

3

,

4

3

b

3,4

3

b

3,4

3

d

3

b

3

3

a

3

2

c

3

1

a

2,4

1

a

2,4

1

c

4

3

d

4

b

4

3

d

5

d

1

d

2

a

4

1

c

1

,

5

2

c

1,5

2

c

1,5

2

b

5

1

a

5

1

c

5

2

c

1

2

b

1

2

a

1,2

1

a

1

1

a

1,2

1

a

2

1

c

2,3

1

c

2

1

Figure 2.2  Graphe

G

obtenu à partir de l'instan e

I = (A, B, C,

T )

de 3DM ave

A =

_{a

1

, a

2

, a

3

}, B = {b

1

, b

2

, b

3

}, C = {c

1

, c

2

, c

3

}

,et

T = {T

1

, . . . , T

6

}

ave

T

1

= (a

1

, b

2

, c

2

),

Nous allons montrer que

I

ontient un ouplage tridimensionnelparfait siet seulement si

G

admet une forêt ouvrante ontenantauplus

9

|T | − 6q

arêtes telle que haque arbre de ette forêtsoit d'ordreau moins4.

Nous supposons d'abord que

M

est un ouplage tridimensionnelparfait pour

I

. Pour un

T

ℓ

= (a

i

, b

j

, c

k

)

∈ M

, nous posons

f

M

(a

i

) = f

M

(b

j

) = f

M

(c

k

) = ℓ

. Nous notons par

F

T

l'ensembledes arêtes des gadgetsétoile orrespondantaux triplets dans lasolution

M

:

F

T

=

[

T

ℓ

=(a

i

,b

j

,c

k

)∈M

{(a

ℓ

i

, d

ℓ

), (b

ℓ

j

, d

ℓ

), (c

ℓ

k

, d

ℓ

)

}

et

F

a

i

=

[

r<f

M

(a

i

)

(a

i

,r,s)∈J

A

{(d

r

, a

r

_i

), (a

r

_i

, a

r,s

_i

), (a

r,s

_i

, a

_i

r,s

)

_{} ∪}

[

s>f

M

(a

i

)

(a

i

,r,s)∈J

A

{(d

s

, a

s

_i

), (a

s

_i

, a

r,s

_i

), (a

r,s

_i

, a

_i

r,s

)

_},

F

b

j

=

[

r<f

M

(b

j

)

(b

j

,r,s)∈J

B

{(b

r

j

, b

r,s

j

), (b

r,s

j

, b

r,s

j

), (b

r,s

j

, b

r,s

j

)

} ∪

[

s>f

M

(b

j

)

(b

j

,r,s)∈J

B

{(b

s

j

, b

r,s

j

), (b

r,s

j

, b

r,s

j

), (b

r,s

j

, b

r,s

j

)

}.

L'ensemble

F

c

k

est déni omme

F

b

j

.Soit

F

M

=

S

e∈A∪B∪C

F

e

∪ F

T

. Laforêt

F

M

ouvre

G

ave des arbres d'ordre4. Ainsi, 'est bien une forêt de poids

9

|T | − 6q

.

Ré iproquement,soit

F

une forêt ouvrantede

G

de tailleauplus

9

|T | − 6q

,où ha un des arbres est d'ordreaumoins 4.Puisque legraphe

G

aexa tement

12

|T | − 8q

sommets, une forêt ouvrante sans arbres d'ordre trois ou moins est de taille au moins

9

|T | − 6q

. Ainsi,touslesarbresde

F

sontd'ordreexa tement4,et

F

est de taille

9

|T | − 6q

.Deplus, toutes les arêtes de la forme

(a

r,s

i

, a

r,s

i

)

sont dans

F

puisque

(a

r,s

i

, a

r,s

i

)

est la seule arête in identeà

a

r,s

i

.

F

aseulementdesarbresd'ordre4,ainsiuneseuledesdeux arêtes

(a

r,s

i

, a

r

i

)

et

(a

r,s

i

, a

s

i

)

est dans

F

. Parmi la familledes

{a

ℓ

i

}

ℓ

,il y adon exa tement un sommet qui n'est pas dans la même omposante onnexe qu'un gadget lien dans

F

. D'après e qui pré ède, nous savons que la forêt

F

ontient

3

|T | − 2q

arbres. D'un autre té, pour tout élément de

A, B, C

le nombre de gadgets lien asso iés est égal au nombre d'o urren es de et élément dans

T

moins 1. Il y a

3

|T | − 3q

gadgets lien dans

G

. Cela signie qu'il y a

q

arbres de

F

qui ne ouvrent pas un gadget lien. Cha un des arbres restants ouvre un gadgetétoile de laforme

a

ℓ

i

, b

ℓ

j

, c

ℓ

k

, d

ℓ

. Apartir de es gadgetsétoile nousextrayons une olle tionde

q

triplets

(a

i

, b

j

, c

k

)

, qui forment un ouplage tridimensionnelparfait de

I

.