HAL Id: tel-00551853
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appliquées aux problèmes inverses elliptiques.
Jérémi Dardé
To cite this version:
Jérémi Dardé. Méthodes de quasi-réversibilité et de lignes de niveau appliquées aux problèmes
in-verses elliptiques.. Mathématiques [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2010. Français.
�tel-00551853�
Thèse de Do torat
Spé ialité: mathématiques appliquées
Jérémie Dardé
Méthodes de quasi-réversibilité et de
lignes de niveau appliquées aux problèmes
inverses elliptiques
Thèsedirigée par François Jouve
Soutenue le10 dé embre 2010 devant lejury omposéde :
Grégoire Allaire Président
Stéphane Andrieux Examinateur
Faker Ben Belga em Examinateur
Laurent Bourgeois Co-En adrant
Fioralba Cakoni Rapporteur
Antoine Henrot Rapporteur
Je tiens tout d'abord à exprimer ma re onnaissan e à Laurent Bourgeois et François Jouve
pour m'avoir donné la han e de travailler sous leur dire tion et m'avoir fait on an e pendant
es trois années. Ce travail doit beau oup à leur soutien et leurs nombreux onseils. Je voudrais
parti ulièrement remer ier Laurent pour son impli ation et son aide quotidienne, ainsi que pour
sa rele ture minutieusedu manus rit.
Je souhaite remer ier Fioralba Cakoni et Antoine Henrot pour avoir a epté de rapporterma
thèse, pour le temps qu'ils ont onsa ré à l'évaluation du manus rit, et pour leurs remarques
et onseils pertinents. Je remer ie également Grégoire Allaire, Stéphane Andrieux et Faker Ben
Belga em de l'intérêt qu'ilsmanifestent au travail réalisé en mefaisant l'honneur d'êtremembres
de mon jury.
Durant estroisannées,j'aiétéa ueilliauseindulaboratoireJa ques-LouisLionsde
l'univer-sité Paris Diderot et du laboratoire Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation
de l'É ole Nationale Supérieure de Te hniques Avan ées. J'y ai trouvé des onditions de travail
ex ellentes, tant au niveau humainque s ienti que. Je tiens à remer ierl'ensemble des membres
de es équipes pour leur disponibilité et leur bonne humeur ommuni ative. Un grand mer i à
Éri et Patri k pour leurs apports "matlabesques", à Hasnaa pour son aide pré ieuse au sujet
des équations HJB, à Christophe et Mauri e pour leurs nombreux dépannages informatiques, et
à Anne-Sophie, Christophe et Jean-François pour leurs onseils toujours avisés. Je souhaiterais
égalementremer ierlesdo torantsave lesquelsj'aivé u ette expérien e, enparti ulierBenjamin
et Lauris ave qui j'ai partagé beau oupde bonsmomentsdurant es troisans.
En n, je remer ie mes pro hes qui m'ont a ompagné et permisde mener e travail dans les
meilleures onditions, mes amis sarladais, ro helais, toulousains et parisiens, mes oéquipiers de
maths et d'aïkido, Manu, Raphi, mes olo ataires o iels, Anabel, Julien, Marion, et o ieux,
Antoine, Grum,Marie, Mishto, Pierre, mafamille, Adélie, Benjamin, Floren e, François, et
Introdu tion générale 1
I Problème de Cau hy elliptique et méthode de quasi-réversibilité 5
1 Problème de Cau hy elliptique mal posé 7
1.1 Uni ité . . . 9
1.2 Non ontinuité, non surje tivité . . . 13
1.3 Stabilité onditionnelle . . . 14 2 La méthode de quasi-réversibilité 17 2.1 Diérentes formulations . . . 20 2.1.1 Formulationdans H 1 (;P) . . . 20 2.1.2 Formulationmixte . . . 23 2.1.3 Formulations dansH 2 () . . . 25
2.2 Résolution numerique dans un domainepolygonal de
R
2 . . . 292.2.1 Méthode [QR℄dansun polygone de
R
2 . . . 292.2.2 Dis rétisationdu problème [QR℄ . . . 31
2.2.3 Convergen e de la méthode éléments nis . . . 36
2.2.4 Cal ul desmatri es élémentaires . . . 42
2.2.5 Appli ations numériques. . . 42
3 Priseen ompte du bruit 51 3.1 Modélisation : qu'est e qu'unbruit?. . . 52
3.2 Comportement dela méthode [QR℄en présen e debruit . . . 52
3.3 Une formulation baséesur la dualité . . . 57
3.3.1 Unproblème d'optimisation . . . 57
3.3.2 Lienave la quasi-réversibilité . . . 63
3.4 Dis rétisation du problème . . . 66
3.4.1 Espa es dis rets, produitss alaires . . . 66
3.4.2 Problèmesd'optimisation dis rets . . . 69
3.5 Appli ations numériques . . . 75
II Méthodes de lignesde niveau adaptées au problèmeinverse de l'obsta le 83 4 Problème inverse de l'obsta le ave ondition de Diri hlet 85 4.1 Formulation mathématique du problème . . . 86
4.1.1 L'opérateur diérentiel de notre problème . . . 86
4.2.2 Notre problèmetest : opérateur . . . 90
4.3 Limitations d'une première méthode naïve . . . 92
4.4 Une nouvelle appro he parl'extérieur . . . 94
5 Méthode de lignes de niveau fondée surune équation de Hamilton-Ja obi 97 5.1 Méthode de lignes de niveau . . . 98
5.1.1 Équation eikonale . . . 98
5.1.2 Cadrethéorique . . . 98
5.1.3 Stratégie de résolution duproblème [O bs ℄ . . . 99
5.2 Résolution du problème[O bs ℄... . . 100
5.2.1 Une premièreméthode simple . . . 100
5.2.2 Se onde méthode : méthode [HJ℄. . . 103
5.2.3 Con lusion et remarques : vers unenouvelle méthode de résolution de [O bs ℄ 107 6 Méthode de lignes de niveau fondée surune équation de Poisson 109 6.1 Résultats préliminaires . . . 110
6.2 Une méthode de résolution basée surun problème dePoisson . . . 111
6.3 Paramètreset hypothèse de la méthode [P℄ . . . 115
6.4 Utilisation de plusieurs jeuxde données . . . 118
7 Extension à l'identi ation de défauts dans un matériau élasto-plastique 121 7.1 Loi élasto-plastique : asantiplan . . . 122
7.2 Stru ture mathématique du problèmeinverse . . . 124
7.3 Modi ation de la méthode [P℄ pour résoudrele problème[P las ℄ . . . 126
III Couplage méthode de quasi-réversibilité/méthodes de lignes de niveau129 8 Résolution du problème inverse de l'obsta le ave ondition de Diri hlet 131 8.1 Aspe tsnumériquesde la résolution du problème[O bs ℄ . . . 132
8.1.1 Dis rétisationdes domaines . . . 132
8.1.2 Obtention d'une approximation de udans Dn n . . . 134
8.1.3 Miseà jourde l'ouvert : obtenir n+1 . . . 135
8.1.4 Convergen e desméthodes, ondition d'arrêtdes algorithmes . . . 143
8.2 Expérien es numériques . . . 143
8.2.1 Comparaisondesméthodes [QR-HJ℄et [QR-P℄ . . . 145
8.2.2 In uen edes paramètres. . . 149
8.2.3 Lignesde niveau zéro"parasites" et utilisation de plusieurs jeuxde données 160 8.2.4 Donnée bruitée . . . 162
9 Re her he de zones plastiques : aspe ts numériques 165 9.1 Résolution du problèmedire t del'élasto-plasti it é antiplane . . . 166
9.2 Adaptationde la méthode [QR-P℄pour la résolution de [P las ℄ . . . 167
9.2.1 Prin ipe de l'approximation dugradient . . . 167
9.2.2 Assemblagedesmatri es
M
,D
x
etD
y
dansle asd'uneapproximationpar éléments nis P 1 . . . 1689.3 Appli ations numériques . . . 169
9.3.1 Re her he d'une ssure parla zoneplastique générée . . . 169
IV Annexes 179
A Équation de Hamilton-Ja obi 181
A.1 Existen e et uni ité. . . 181
A.1.1 Équationposée dans
R
d . . . 181A.1.2 Équationen domaine borné . . . 182
A.2 Borne inférieure du gradient . . . 189
B Géométrie 191 B.1 Régularité desouverts de
R
d . . . 191B.2 Distan e signée et distan e de Hausdor . . . 194
C Stabilité du problème de Cau hy dans un ouvert à bordlips hitzien 199 C.1 Introdu tion. . . 199
C.2 Some preliminary results. . . 201
C.3 The two main theorems . . . 205
C.4 Appli ation to themethodof quasi-reversibility . . . 215
Cemémoire on erne l'appli ation de la méthode de quasi-réversibilité à la résolution de
pro-blèmes inverses. Nous nous intéressons plus parti ulièrement au problème inverse de l'obsta le,
formalisation mathématique du problème on ret suivant : on her he à identi er des "objets"
(mines, ssures, avions...) ontenus dans un "milieu" (sol, poutre, air...) gouverné parune
équa-tion aux dérivées partielles elliptique, et dont, le as é héant, unepartiedu bordest ina essible.
À ette n,onimposeaumilieuunesolli itatio n (éle trique,mé anique, thermique...)surlapartie
du borda essible et on mesurela réponse orrespondante sur la mêmepartie du bord.
Leproblèmeinversedel'obsta leestunproblèmegéométrique:on her heàlafoislagéométrie
du milieu et la solution d'une équation aux dérivées partielles dans e milieu. Dans le as plus
simple où la géométrie est onnue, le problème inverse se ramène au problème de la re her he
d'une solution del'équation auxdérivéespartielles elliptiqueparla onnaissan ede donnéesdites
"surabondantes" sur une partie du bord du milieu. On a alors à résoudre un problème dit "de
Cau hy" elliptique. Il est bien onnu qu'un tel problème est mal posé au sens d'Hadamard, et
né essite unerégularisation.
Laméthodede quasi-réversibilié, proposéeparJa ques-LouisLionset RobertLattès en1967
1 ,
est une telle méthode de régularisation du problèmede Cau hy. Sa ara téristique prin ipale est
que, ontrairement àlaplupartdesméthodesderégularisation, elle nereposepassurlarésolution
d'unproblèmed'optimisationets'é ritd'embléesousuneformevariationnelle, dire tement
exploi-table numériquement par une méthode de Galerkin. Néanmoins, on onstate que ette méthode
n'aété que très peu utilisée durant les années suivant la publi ation de etouvrage. Nous voyons
trois raisonsprin ipales à ela :
1 [LL67℄
d'autant plus qu'ellereposesur la résolution d'unproblème d'ordre4.
2. On ne disposait pasde la puissan e de al ul né essaire pourmettre en pla e des méthodes
réellement utilisables en pratique.
3. Les années 60 voient aussi le début des re her hes sur la régularisation des problèmes mal
posés, in luant en parti ulier le traitement de données issues de mesures, et don bruitées.
Cet aspe tapparaît demanière ru iale dansla méthode de quasi-réversibilité .
Pendantlesquarantedernièresannéessontapparuesdesméthodeséléments nisperformantes,
adaptéesenparti ulierauxproblèmesd'ordre4(éléments nisnon onformes,formulationmixte...).
Deplus, la puissan e de al ul desordinateurs a fortement augmenté, permettant de s'attaquer à
des problèmes ave un nombre de degrés de liberté très important. En n, nousbéné ions d'une
littérature abondante dansle domainede la régularisation desproblèmes malposés,dont lepoint
de départ est l'é ole russe ( Andrey Nikolayevi h Ty hono, Mikhaïl Alekseïevit h Lavrentiev,
Nikolai Aleksandrovi h Morozov). Pour es raisons, nous estimons qu'il est pertinent de revisiter
la méthode de quasi-réversibilité àla lumière de tous es nouveaux outils. Par ailleurs, en e qui
on erne le problème inverse de l'obsta le, s'ajoute au ara tère mal posé du problème de
Cau- hy la non-linéarité liée à l'in onnue géométrique. Gérer ette in onnue peut être numériquement
très omplexe. Les méthodes de lignes de niveau, introduites pour la première fois en 1988 dans
un arti le de Stanley Osher et James Albert Sethian
2
, orent une manière élégante de pallier les
di ultés liées à ette in onnue.
L'objetprin ipalde emémoireestdeproposerunenouvelleméthodederésolutionduproblème
inverse de l'obsta le basée sur le ouplage de la méthode de quasi-éversibili té et une méthode de
lignes de niveau. La prin ipale ara téristique de ette méthode "par l'extérieur" est qu'elle ne
repose pas sur l'optimisation d'une fon tion oût, ontrairement à la plupart des méthodes de
lignes de niveau.
La présente étudese ompose de troisparties :
Premièrepartie
Cette partie est onsa rée à la résolution du problème de Cau hy elliptique par la méthode
de quasi-réversibilité. On rappelle au hapitre 1 les prin ipales ara téristiques de e problème,
inje tivité, non-surje tivité,non- ontinuitéetstabilité onditionnelle. Lesrésultatssontdémontrés
dansle assimplede l'opérateur +k, k2
R
.Le hapitre 2 est entré sur la méthode de quasi-réversibilité . Nous y introduisons plusieurs
formulations de la méthode, en explorant les points forts et les faiblesses de ha une. Puis, nous
nous intéressons à la résolution numérique ee tive du problème en dimension 2, à l'aide d'une
formulationbaséesurdeséléments nisnon onformes.Nousdémontronsthéoriquementla
onver-gen e de la méthode éléments nisversla solution re her hée. Des résultatsnumériquesviennent
on rmerl'e a ité dela méthode.
En n, le hapitre 3 est onsa ré au problème spé i que de la gestion du bruit. Une nouvelle
méthode basée sur leprin ipe de Morozov et la dualité en optimisation estproposée. Elle permet
de régulariserla donnée bruitéeet de xer leparamètrede régularisation de la méthode de
quasi-réversibilité. L'étude théoriquede etteappro he est suivie d'uneétude numérique démontrant sa
pertinen e et sone a ité.
2 [OS88 ℄
on rappelle les prin ipales ara téristiques de e problème, et on expli ite l'appro he que l'on va
utiliser pour le résoudre, à savoir "l'appro he par l'extérieur". L'idée est de onstruire une suite
d'ouverts, representés omme ensembles de niveau zéro de fon tions, onvergeant vers l'obsta le
re her hé.
Les hapitres 5 et 6 présentent deux nouvelles méthodes de lignes de niveau adaptées à ette
appro he. Contrairement aux méthodes lassiques, pour lesquelles la vitesse dépend du gradient
d'une fon tion oût, les vitesses de es deux méthodes dépendent expli itement de la solution du
problèmeextérieur. Lapremière méthode est baséesur la résolution d'une équation de
Hamilton-Ja obi, la se onde sur la résolution d'une équation de Poisson. Nous démontrons théoriquement
la onvergen e vers l'obsta le des suites d'ouverts onstruites par es deux méthodes. Une étude
théorique desparamètres desméthodes estaussiee tuée.
En n, le hapitre 7 est onsa ré à un problème pro he du problème inverse de l'obsta le, à
savoir le ontr le non-destru tifde matériaux élasto-plastiques. Dans e nouveau problème,
l'obs-ta le re her hé n'est plus ara térisé par une ondition de Diri hlet, mais par une ondition du
type jruj= te. Nous montronsque les méthodes proposées s'adaptent fa ilement à e nouveau
problème.
Troisième partie
La troisième partie est onsa rée aux aspe ts numériques du ouplage entre la méthode de
quasi-réversibilité et les méthodes de lignes de niveaux développées aux hapitres 5 et 6, ainsi
qu'à la résolution de problèmes on rets. On s'intéresse plus parti ulièrement au hapitre 8 à la
résolutionnumériqueduproblèmeinverse del'obsta leave onditionde Diri hlet.Lesprin ipales
étapesnumériquesde larésolution sont étudiées,puis de nombreuxexemples numériquesmettent
en éviden e les points forts et point faibles des deux méthodes de lignes de niveau (équation de
Hamilton-Ja obiet équationdePoisson),ainsiquel'impa tdesdiérentsparamètressurlaqualité
de re onstru tion de l'obsta le.
En n,le hapitre9est onsa réauxaspe tsnumériquespropreàla problématiquedu ontr le
non-destru tif de matériaux élasto-plastiques. Une nouvelle fois, des simulations numériques
dé-montrent l'e a ité de "l'appro he parl'extérieur".
Annexes
Troisannexesviennent ompléter etteétude.Lapremièreest onsa réeàdesrappelsthéoriques
sur les équations de Hamilton-Ja obi, qui interviennent dans la méthode développée au hapitre
5. Ony présente les prin ipaux résultats d'existen e et d'uni ité utiles à notre étude,ainsi qu'un
résultat ré ent on ernant la dé roissan e du gradient de la solution de l'équation en fon tiondu
temps.
L'annexe B est onsa rée aux aspe ts géométriques apparaissant dans notre étude,
prin ipa-lement à des rappels on ernant la notion de régularité du bordd'un ouvert, et sur la notion de
distan e, en parti ulier la distan e de Hausdor, qui joueun r le primordialdans les résultatsde
onvergen e de nosméthodes de lignesde niveau.
En n, l'annexe C est la reprodu tion d'un rapport de re her he onsa ré aux questions de
stabilitédesproblèmes deCau hydansdesdomaines àbordslips hitziens. Cetravailadepuisfait
l'objet d'unarti le paru dansla revueAppli able Analysis en2010
3 .
3 [BD10b ℄
About stability and regularization of ill-posed ellipti Cau hy problems : the ase of
Lips hitz domains, L.Bourgeois &J.Dardé, Appli able Analysis, iFirst, vol.24, 2010.
A quasi-reversibility approa h to solve the inverse obsta le problem, L.Bourgeois &
J.Dardé, Inverse Problemsand Imaging, p.351-377, vol.4, n°3,2010.
Aduality-basedmethodof quasi-reversibilitytosolvetheCau hyprobleminthepresen e
of noisy data, L.Bourgeois &J.Dardé, Inverse Problems, vol. 26,2010.
Projet de publi ation :
About identi ation of defe t in an elasto-plasti medium from boundary measurement
Problème de Cau hy elliptique et
Problème de Cau hy elliptique mal posé
Introdu tion
Nous nous intéressons dans e hapitre aux problèmes de Cau hy pour des équations aux
dérivéespartielles elliptiques. Un exempletypique de esproblèmesest lesuivant : on sedonne
un ouvert borné onnexe de
R
d
, et une partiede sa frontière.
Exemplesde on guration.
On suppose que le phénomène que l'on étudie est régi par une équation de Lapla e : u = 0
dans le milieu. On impose alors un " ux" g
1
sur , et on mesure la valeur g
0
de la fon tion u
orrespondante sur . uvéri e don
8 > > < > > : u=0 dans u=g 0 sur u =g 1
sur ( normale extérieure à ):
Le problèmede Cau hy onsiste alors à trouveru onnaissant (g
0 ;g
1 ).
Cetteproblématique setrouve dans divers domaines s ienti ques et d'ingénierie : prospe tion
ou inspe tion thermique ou éle trique, imagerie géophysique ou médi ale... Nous allons dans e
hapitrenousintéresseraux ara téristiquesmathématiquesdesproblèmesdeCau hyelliptiques :
uni ité, non existen e, non ontinuité parrapport auxdonnées, stabilité onditionnelle.
Sommaire
1.1 Uni ité . . . 9
1.2 Non ontinuité, nonsurje tivité. . . 13
Soit unouvert onnexeet bornéde
R
d. On introduit l'opérateur suivant :
Pu:= d X i;j=1 x i a ij u x j + u ave a ij 2W 1;1 () et 2L 1
().On voit fa ilement que siu2H
1 (),on a Pu2H 1 (), et si u2H 2 (),Pu2L 2 ().On dé nit H 1 (;P):= n v 2H 1 () j Pv2L 2 () o : Ona dire tement H 2 ()H 1 (;P)H 1 (). Propriété 1.1 H 1
(;P),muni duproduits alaire (u;v)
H 1 (;P) :=(u;v) H 1 () +(Pu;Pv) L 2 () ,
est un espa e de Hilbert.
Preuve : ilestdire tque(:;:) H
1 (;P)
estunproduits alairesurH 1
(;P).Ilresteàvéri erqueH 1
(;P)est
ompletpour eproduit s alaire.
Soitdon unesuiteu
n
d'élémentsde H
1
(;P)de Cau hypourlanormek:k
H 1
(;P)
.Alorsu n
estunesuitede
Cau hy dans H
1 etPu
n
est unesuite de au hy dans L
2 , puisqueku n u m k H 1 () ku n u m k H 1 (;) et kPu n Pu m k L 2 () ku n u m k H 1 (;) .OrH 1 etL 2
sontdeuxespa edeBana h
1 .Ilexistedon u2H 1 () etv2L 2 () telsque u n n!1 ! H 1 u; Pu n n!1 ! L 2 v: Soit'2C 1 (). Ona hPu;'i= Z X i;j a ij u x j ' x i + u'dx= lim n!1 Z X i;j a ij u n x j ' x i + u n 'dx: Or Z X i;j a ij u n x j ' x i + u n 'dx= Z Pu n 'dx n!1 ! Z v'dx: Onadon Pu=v2L 2 (), d'oùu2H 1 (;P)etu n n!1 ! H 1 (;P) u.
On a 2 leLemme 1.1 soit ouvert onnexe borné de
R
d
, unepartie lips hitzienne
3
de sa frontière,
le ve teur normal sortant à
4 . Alors 8u2H 1 (;P), u P := d X i;j=1 a ij u x j i 2H 1=2 ( ). De plus, l'appli ation u2H 1 (;P)7! u P 2H 1=2
( ) est ontinue et surje tive.
On ala formule de Greensuivante
5 :
Lemme 1.2 - formule de Green : soit ouvert borné onnexe de
R
d
à frontière
lips hit-zienne, le ve teur normal sortant à . Alors 8(u;v)2H
1 (;P)H 1 (), d X i;j=1 Z x i a ij u x j ! v+a ij u x j v x i dx ! =h u P ;vi H 1=2 ;H 1=2 : 1
fthéorèmeIV.8p.57 etpropositionIX.1p.150de[Bre05 ℄
2
flemme2.2p.131de[Kav℄
3
pourladé nitionde ettenotion,sereporteràl'annexeBp.191
4
quiestdé nipresquepartoutsur , flemme4.2p.88de[ND67 ℄
Leproblème de Cau hypour et opérateur seformulede la manière suivante :
Problème [Cau hy℄: trouveru2H
1 () tel que 8 > < > : Pu = f 2L 2 () u = g 0 2H 1=2 ( ) P u = g 1 2H 1=2 ( )
Ceproblème est mal posé (au sens d'Hadamard) : on sait qu'il peutne pasavoir de solution.
Deplus,siunesolutionexiste,elle nedépendpas ontinûmentdeladonnée(f;g
0 ;g
1
).Néanmoins,
sil'opérateurP véri eunepropriétédeprolongement unique,alors ettesolution estunique.Nous
pouvons énon erla propriétésuivante
6 :
Propriété 1.2 - propriété de prolongement unique : supposons qu'il existe > 0 t.q.
P d i;j=1 a ij (x) i j jj 2
;pour presque tout x 2 ; 8 2
R
d
(stri te ellipti ité de l'opérateur
P). Alors si u2H
1
() véri e Pu=0 dans , et si il existe ! ouvert non vide tel que
u0 sur !, on a u0 sur .
Sil'opérateurP véri eleshypothèsesdelapropriétépré édente(quinesontquedes onditions
su santes pour avoir la propriétéde prolongement unique), on aura automatiquement uni ité de
la solution du problème deCau hypourP.
Nous allons montrer es propriétés (prolongement unique, uni ité, non ontinuité, non
exis-ten e) pour l'opérateur P :=+k, k2
R
(ona i i aij
:=Æ
ij
et :=k). Nousverronségalement
les propriétésde stabilité onditionnelle pour etopérateur. Onprendainsien omptel'opérateur
de Lapla e et l'opérateur deHelmoltz.
1.1 Uni ité Pour k2
R
, on dé nitP :=v2H 1 (;)7!Pv =v+kv 2L 2 (). Le problèmede Cau hypour et opérateur onsiste, pour (g
0 ;g 1 ;f) 2H 1=2 ( )H 1=2 ( )L 2 (),à trouver u2H 1 () t.q. 8 > < > : u+ku = f 2L 2 () u = g 0 2H 1=2 ( ) u = g 1 2H 1=2 ( )
Nous allons montrer que e problème admet au plus une solution. Pour ela, omme annon é
pré édemment, nous allons démontrer une propriété de prolongement unique pour l'opérateur
+k. Nousallons avoir besoin de l'inégalité destrois sphères,dont unepreuvepeutêtre trouvée
dansle rapportde re her he reportéen annexe
7
ou dans [BD10b ℄.
Propriété 1.3 - inégalité des trois sphères : soit x 2 et 0 < r
0 < r 1 < r 2 véri ant B(x;r 2 ). Il existe C>0, s>0 t.q.8u2H 1 (;), kuk H 1 (B(x;r 1 )) C(kPuk L 2 (B(x;r 2 )) +kuk H 1 (B(x;r 0 )) ) s s+1 kuk 1 s+1 H 1 (B(x;r2))
On aaussibesoin du résultat suivant, qui est démontrédans [S h91 ℄ (théorème2.9.10 p 256):
6
'estune onséquen eduthéorème4.2 de[LL09℄
Propriété 1.4 - théorème du passage des douanes : si E est un espa e ve toriel
topolo-gique, A une partie de E, tout hemin joignant un point de l'intérieur de A à un point de
l'extérieur de A ren ontre né essairement la frontière de A.
Prolongement unique
Théorème 1.1 - prolongement unique : soit u2H
1
() véri ant Pu=0 dans et t.q. il
existe un ouvert !, j!j6=0, t.q.u0 dans !. Alors u0 dans .
On propose deux manières de démontrer e théorème, la première () utilisant la onnexité
parar s,la se onde (|) la onnexité de
8 :
Preuve : soit x2 !. Notons
max =d(x;).On a B(x; max ). Pour tout , 0< < max , on a
u0dansB(x;).Eneet,puisquex2!ouvert,ilexiste 0
t.q.B(x; 0
)soit ontenuedans!,etdon u0
dansB(x;
0
).Onendéduitdire tementque8; 0< 0 ,u0dansB(x;). Soitmaintenant t.q. 0 << max . Ona Pu0dans B(x; max
).Il su talorsd'appliquer laproposition
1.3ave r 0 = 0 ,r 1 =etr 2 = max ,etonobtientu0dansB(x;).
Soity2.Nousallonsmontrerqueilexisted(y)>0t.q. u0surB y
=B(y;d(y)).Commeestouvert
onnexe,ilest onnexeparar s 9
. Ilexistedon uneappli ation ontinue :t2[0;1℄7! (t)2t.q. (0)=x
et (1)=y.
Nousallonstoutd'abordmontrerqu'ilexisted>0t.q.8t2[0;1℄;B( (t);d).Supposonsque enesoitpas
le as.Alors,pourtoutn2
N
,ilexiste(z n ;t n )2[0;1℄t.q. d(z n ; (t n )) 1 n . Comme[0;1℄estun fermébornédeR
d+1,onpeutextraireunesous-suite(z n
0; t
n 0)
qui onvergevers(z;t)2[0;1℄.Pardé nition,
(t)2.Maispar ontinuité,d(z
n 0; (t n 0 )) n 0 !1 !d(z; (t)),etpardé nition,d(z n 0 ; (t n 0)) n 0 !1 !0.Onen
déduitquez= (t), d'où (t)2,etdon (t)2=.Contradi tion.
Soitmaintenant0<<d.Ondé nitlasuite(x n ) n2
N
par: 8 > > < > > : x 0 =x 8n2N
; x n+1 = 8 < : ysiy2B(x n ;) (t n+1 ),oùt n+1 =supT n ; T n =ft2[0;1℄j (t)2B(x n ;=2)g sinon Lasuite(x n ) n2N
estbiendé nie.Eneet,pourn2
N
,siy2=B(x n;),alorslapropriété1.4montrequeT n
est
nonvide.t n+1
estbiendé ni,t n+1
2[0;1℄,etdon x n+1
estbiendé ni.
Montrons que, pour tout n 2
N
, u 0 sur B(xn
;). Cette propriété est vraie pour n = 0, ar < d, et
B(x;d)2 )d<
max
.Supposonsmaintenantqu'ilexisten2
N
telqueu0surB(xn ;).Siy2B(x n ;), alors u0 surB(x n+1 =y; d(x n
;y)). Enappliquant lapropriété 1.3 ave r 0 = d(x n ;y),r 1 = et r 2 =d,onobtientu0surB(x n+1 ;).
Supposons maintenantquey2=B(x
n
;).Par dé nitionde labornesupérieure,il existes p 2T n t.q. s p p!1 ! t n+1 .Par ontinuitéde , (s p ) p!1 ! (t n+1 )=x n+1 ,et ommeB(x n ; 2 )estfermé,x n+1 2B(x n ; 2 ).On adon u0surB(x n+1
;=2),eton on luten appliquantlapropriété1.3 ave r 0 ==2,r 1 =etr 2 =d.
Il ne resteplusqu'à montrer qu'il existen 2
N
t.q. x n=y.Si e n'était pasle as, on onstruiraitune suite
(t n ) n2
N
2 [0;1℄N
roissante et borné, don onvergente vers t
1 2 [0;1℄, ave 8n 2
N
; t n t 1 . Mais par ontinuitéde , (t n ) n!1 ! (t 1 ), il existedon n 2N
t.q. (t 1 )2B(x n ;=2).D'aprèsla propriété 1.4, il existes2℄t 1 ;1℄t.q. (s)2B(x n ;=2).Don t n+1 =supT n s>t 1 .Contradi tion. 8les notions de onnexité et de onnexité par ar s sont équivalentes pour les ouverts de
R
d
, voir [Cha97℄ par
exemple
Constru tiondelasuitedeboules.Enrouge,le hemin relielespointsxety.
Ilneresteplusqu'àmontrerqueuestnullesur.SoitK un ompa t,K.OnaK
S
y2K B
y
.Nous
avonsunre ouvrementd'ouvertsdeK,nouspouvonsenextraireunsous-re ouvrement ni:K
S n2f1:::Ng B yn . Onendéduit: Z K juj 2 dx N X n=1 Z Byn juj 2 dx=0)u0surK Commeu2L 2 (), il existe 10 (' n ) n2
N
2C 1 () t.q. ' n n!1 ! L 2 () u. NotonsK n le support de ' n (K n ). Onavuqueu0surK n ,don R Kn ' n udx=0.D'où: 0= Z K n ' n udx= Z ' n udx n!1 ! Z juj 2 dx) u0surPreuve |: posonsA:=supp(u)
\.Pardé nition,Aestunouvertnonvide(!A).Nousallonsmontrer
que A estfermé dans . Soit x 2 A\. Comme x 2 , on a Æ = d(x;) > 0. Commex 2 A, il existe
y 2 A t.q. y 2 B(x; Æ 2 ). Comme y 2 A, il existe Æ 0 , 0 < Æ 0 < Æ 2 , t.q. u 0 sur B(y;Æ 0 ). On a de plus B(y; Æ 2 )B(x;Æ). Soitmaintenant ~ Æt.q. jx yj< ~ Æ< Æ 2 ,etÆ= ~
Æ jx yj>0.De deux hosesl'une :soit
~ Æ Æ 0 , etdans e as, on a B(y; ~ Æ)B(y;Æ 0 )A, soit ~ Æ >Æ 0
, et en appliquant lapropriété 1.3ave pour entre y, r
0 =Æ 0 , r 1 = ~ Æ et r 2 = Æ 2
, on obtientu0 surB(y;
~
Æ).Comme B(x;Æ)B(y;
~
Æ), on a dans lesdeux asu0sur
B(x;Æ))x2A.
Onadon montréqueAestouvertetfermédans onnexe,etAestnonvide.Onadon
11
A=, equiest
équivalentà u0sur.
Uni ité
Commeditenintrodu tion,lapropriétédeprolongementuniqueentraînel'uni itédelasolution
du problème de Cau hy. On va avoir besoin de la formule de Green, qui s'é rit très simplement
dansle asdu lapla ien
12 :
Lemme 1.3 - formule de Green : soit un ouvert borné de
R
d à frontière lips hitzienne. Soit (u;v)2H 1 (;)H 1 (). On a : Z uvdx+ Z ru:rvdx=h u;vi H 1=2 ();H 1=2 () 10 théorème2.19p.31de[AF75℄ 11
pardé nitiondela onnexité,voirdé nition2.9.1p.253de[S h91 ℄
12
Théorème 1.2 - uni ité de la solution du problèmede Cau hy : soit un ouvert borné
de
R
d
, une partie ouverte, de mesure non nulle et lips hitzienne de la frontière de
. Soit k2
R
. Soit u2H 1 () véri ant : 8 > < > : u+ku=0 dans u=0 sur u=0 sur Alors u0 dans . Preuve : on a u= ku2 L 2 () )u2H 1 (;). Soitx 02 , et un ouvertà frontière lips hitzienne,
x 0
2t.q.:=\soitàfrontièrelips hitzienneet\ ( fpropriétéB.1del'annexeB,p.192).On
pose ~ =[. Onpose:u~= udans 0dansn .Ona u~2L 2 ( ~ ). Soit'2C 1 (),eti2f1;:::;dg. Ona: h ~u x i ;'i D 0 ();D() = h~u; ' x i i D 0 ();D() = Z ~ u ' x i dx= Z u ' x i dx Commeu2H 1
(),etestàfrontièrelips hitzienne,onobtient:
h ~u x i ;'i D 0 ();D() = Z u x i 'dx Z u' i d= Z u x i 'dx
aru=0sur et'=0surn .Onendéduitu~2H
1 ().Demême: hu ;~ 'i D 0 ();D() =h~u;'i D 0 ();D() = Z ~ u'dx= Z u'dx Commeu2H 1
(;),onpeututiliserlaformuledegreendulemme1.3,etonobtient:
Z u'dx= Z ru:r'dx+ Z u ' d= Z u'dx h u ;'i H 1=2 ();H 1=2 () Orh u ;'i H 1=2 ();H 1=2 () =h u ;'i H 1=2 ( );H 1=2 ( ) =0 ar'=0surn ,et u =0sur .Onadon : hu ;~ 'i D 0 ();D() = Z u'dx= Z ( ku)'dx= Z ( ku)~ 'dx
d'où nalementu~= k~udans ,etu~2H 1
(;).
Finalement, on au~2H
1
(;), véri ePu~=0dans , et ilexiste ! :=n telque u~0sur!. En
appliquantlethéorème1.1,onobtientu~0dans,etdon u0dans.OnaalorsPu=0dansetu0
dans.Onpeutappliquerdenouveaulethéorème 1.1dansave !:=,etonobtientu0dans .
1.2 Non ontinuité, non surje tivité
Noussavonsmaintenant quele problèmede trouver u2H
1 () véri ant 8 > < > : u+ku=f 2L 2 () u=g 0 2H 1=2 ( ) u=g 1 2H 1=2 ( )
admet au plus une solution. Nous allons maintenant montrer que ette solution ne dépend pas
ontinûment du triplet (f;g
0 ;g
1
). Nous en déduirons la non surje tivité de l'opérateur A : u 2
H 1 (;)7!(u j ; u j ;u+ku)2H 1=2 ( )H 1=2 ( )L 2 (). Non ontinuité
Hadamardamontrédès 1902 [Had02℄ quela fon tion(si elle existe) véri ant
8 > < > : u=f 2L 2 () u=g 0 2H 1=2 ( ) u=g 1 2H 1=2 ( )
ne dépend pas ontinument de (f;g
0 ;g
1
). Pour ela, il mit en éviden e un ontre-exemple en
dimension 2,quenousmodi ons(trèslégèrement)i i pourl'adapterau asdel'opérateur+k.
Onpose=℄0;[℄0;[
R
2 , =f 0g℄0;[. Pourn2N
, n> p jkj,on pose: u n (x;y)= 1 n 2 sin(ny)sinh( p n 2 kx)Il est fa ile de véri er que u
n +ku n =0, u nj =0 et u nj = 1 n 2 p n 2
ksin(ny) pour tout
n. Onadon : k u nj k H 1=2 ( ) k u nj k L 2 ( ) = r 2 p n 2 k n 2 n!1 !0 et ku n k H 1 (;) ku n k L 2 () = p 4 e p n 2 k n 2 4 p n 2 k q 1 e 4 p n 2 k 4 p n 2 ke 2 p n 2 k n!1 !1
Il ne peutdon pasexister de onstante C>0telle que
kuk H 1 (;) C[ku+kuk L 2 () +kuk H 1=2 ( ) +k uk H 1=2 ( ) ℄: Non surje tivité
Propriété 1.5 A n'est pas surje tif.
Preuve : supposons que A soit surje tif. AlorsA est bije tif et ontinu de H
1 (;) dans Y := H 1=2 ( ) H 1=2 ( )L 2
(), qui sontdeuxespa es deBana h.Onen déduit( onséquen e du théorèmedel'appli ation
ouverte 13
)que A
1
est ontinue, e quientraînel'existen edeC>0t.q.kuk H 1 (;) CkAuk Y .Oron vient
devoir qu'unetelle onstanten'existepas.Contradi tion.
Le ara tèremalposéduproblèmedeCau hyvientdon delanon-existen ed'unesolutionpour
ertaines données.Lanon- ontinuité parrapportàladonnéeimpliqueenparti ulier desdi ultés
auniveaudelarésolutionnumériqueduproblème,etobligeàlerégulariser.Nousaborderons ette
problématique au pro hain hapitre.
1.3 Stabilité onditionnelle
Nous venonsde voirque lesproblèmesde Cau hyelliptiques sontmal-posés,ettrès instables:
on ne peut pas ontr ler la normede l'éventuelle solution de [Cau hy℄parla normede la donnée
du problème, et le ontre-exemple d'Hadamard montre que la norme de la solution peut exploser
quand bienmême la normedesdonnéestendrait vers zéro.Une questionnaturelle est de savoir si
on peutquanti er ette instabilité. La réponse nous estdonnée parles résultats de stabilité pour
les problèmes de Cau hyelliptiques.
Pour un problème de Cau hy, l'uni ité nous dit que si Pu = 0 dans et u =
P
u = 0 sur ,
alors u=0 dans. La stabilité onsiste à montrer que si kPuk, ku
j k et k P u j k sont "petits",
'est-à-dire que leur somme est plus petite qu'un ertain Æ > 0 "petit", alors kuk est plus petite
qu'une ertaine fon tion f(Æ) véri ant f(Æ)
Æ!0
! 0, à la ondition de se donner une borne sur u
dansunenorme plus nequela norme naturelle.
Onsedonneunouvertbornéde
R
d
defrontièreC
1;1
, unepartiede.OnposeP :=+k,
k2
R
.On aalors le résultat de stabilité suivant
14 :
Théorème 1.3 pour tout 2℄0;1[ , il existe C>0 tel que pour toute fon tion u2H
2 () qui véri e kuk H 2 () M; kPuk L 2 () +kuk H 1 ( ) +k uk L 2 ( ) Æ; on a kuk H 1 () C M (ln (M=Æ)) :
La borne supérieure = 1 ne peut pas être améliorée dans ette estimation. Elle dépend de la
régularité du bord : supposons don que lebord de n'est plus C
1;1
, mais juste lips hitzien. On
suppose que reste une partie C
1;1
de e bord. On sait alors qu'il existe 2
0; 2 tel que
véri e la propriétédu - ne
15 . Ondé nit 0 ():=sup x>0 1 2 sin ()(1 e x ) p 1+x sin() :
Onsupposeégalement quekn'estpasvaleurpropredel'opérateur dans.Onaalors lesdeux
théorèmes suivants, dont les preuves setrouvent dans[BD10b ℄, arti le que nous avons reportéen
annexe,etdanslequelontrouvedesexpérien esnumériquesena ordave lesrésultats i-dessous.
Théorème 1.4 pour 2[0;1℄, pour tout 2℄0;(1+ )
0
()=2[, il existe C, Æ
0
tels que pour
tout Æ 2℄0;Æ 0 [, pour tout u2C 1; () véri ant u2L 2 () et kuk C 1; ( ) M; kPuk L 2 () +kuk H 1 ( ) +k uk L 2 ( ) Æ ave M >0 onstante, on a kuk H 1 () C M (ln (M=Æ)) :
Si nous ne supposons pas C
1;1
, l'estimation reste vraie pour les fon tions u véri ant
u=
u=0 sur , toutes hoses égales par ailleurs.
14
voir[Bou10℄
Théorème 1.5 en dimension 2 (resp. en dimension 3), pour tout 2 ℄ 0; 0 ()=2[ (resp. 2℄0; 0 ()=4[ ), il existe C et Æ 0
tels quepour tout Æ2℄0;Æ
0
[, pour toute fon tion u2H
2 () qui véri e kuk H 2 () M; kPuk L 2 () +kuk H 1 ( ) +k uk L 2 ( ) Æ ave M >0 onstante, on a kuk H 1 () C M (ln (M=Æ)) :
Si nous ne supposons pas C
1;1
, l'estimation reste vraie pour les fon tions u véri ant
u=
u=0 sur , toutes hoses égales par ailleurs.
Remarque: es résultats ont pour onséquen e l'uni ité de la solution du problème de Cau hy dans
C 1;
et H
2 .
Remarquonsquelorsquetendvers
2
, 'est-à-direquand la frontièredeserappro hed'une
régularité C
1;1
,on a
0
() quitendvers 1.Onretrouve ainsil'estimation de stabilité duthéorème
1.3pourunefon tionC
1;1
()H
2
().Àl'opposé, lorsquetendvers0,l'estimation sedégrade,
equi est ohérent ave le aslimiteoùledomaineprésenteun usp,pourlequell'estimation n'est
plus en 1=ln, maisen 1=(lnÆln) (voir [ABRV00 ℄).
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
π
/16
π
/8
3
π
/16
π
/4
5
π
/16
3
π
/8
7
π
/16
π
/2
0 ()pour2 0; 2 .Onvoitquela dépendan edeuvis-à-visdePu,satra eet satra enormaleestlogarithmique,
e qui est ara téristique du ara tère mal posédu problème. Remarquons que es résultats sont
des résultats de stabilité onditionnelle, on obtient une estimation de la norme H
1
si l'on sait
borner une norme plus ne. Ces résultats nous serviront à obtenir unevitesse de onvergen e de
La méthode de quasi-réversibilité
Introdu tion
Dans e hapitre,nousallonsnousintéresseràlarésolutiondeproblèmesdeCau hyelliptiques.
L'exemple leplussimplede tels problèmesest elui on ernant l'opérateurlapla ien : onsedonne
ouvertborné onnexede
R
d
,defrontièrequel'on supposerasu sammentrégulière.Onnote
la normale sortante à . On pose et
deux parties ouvertes non vides de
véri ant \
=;, [
=.
Con gurationsgéométriquespossibles.
Problème [Cau hy℄: pour(g
0 ;g 1 )2H 1=2 ( )H 1=2 ( ),trouver u2H 1 () véri ant 8 > < > : u = 0 dans u = g 0 sur u = g 1 sur :
Nousavonsvuau hapitrepré édentque eproblèmeadmetauplusunesolution.Onpeutdon
légitimement essayerde trouver etteéventuelle solution.Nousavonsaussivuque eproblèmeest
mal posé, et très instable. Cette instabilité théorique entraîne uneforte instabilité numérique. Il
est dès lors né essaire de régulariser le problème [Cau hy℄, si l'on veut onstruire des méthodes
numériquesde résolution robustes.
Ilexistedenombreusesméthodesderégularisationadaptéesauproblème[Cau hy℄.Unegrande
famillede méthodes reposesuruneappro he inspirée du ontr le optimal : la minimisationd'une
fon tionnelle en prenant des fon tions de
omme paramètre de minimisation. Ja ques-Louis
Lions dans [Lio68℄ est à notre onnaissan e un des premiers à avoir étudier théoriquement une
méthode de e type
1
, et Ja ques Bluml'a utilisée dansdesproblèmes d'identi ation de plasma
2 .
1
voirlesparties5.3 p.85et6.2p.88de[Lio68 ℄
2 [Blu89 ℄
Illustrons esméthodesave l'exempledelafon tionnelledeKohn-Vogelius:introduiteinitialement
dans [KV85 ℄ pour un problème d'identi ation de paramètre, et dans [LL83℄ dans le adre de
l'estimation a posteriori de maillage, elle peut également être utilisée pour résoudre le problème
[Cau hy℄([BF05 ℄, [ABF06 ℄). L'intérêt de ette fon tionnelle parrapportauxfon tionnelles oûts
introduites antérieurement, notament elle introduite dans [Lio68℄, est qu'elle permet de traiter
symétriquement la donnéede Diri hlet g
0
et la donnéede Neumanng
1 .
Remarquons toutd'abordquel'on peutsanspertede généralitésupposerg
0
=0
3
. Onposeles
deux problèmes suivants :
Problème [D℄ : pour 2 H 1=2 00 ( ) := n 2H 1=2 ( )j9v 2H 1 (); v j =0;v j = o , trouver u D ()2H 1 () t.q. 8 > < > : u D () = 0 dans u D () = 0 sur u D () = sur : Problème [N℄ : pour 2H 1=2 00 ( ),trouver u N ()2H 1 () t.q. 8 > < > : u N () = 0 dans u N () = g 1 sur u N () = sur :
Cesdeux problèmes sont bien posés. Remarquonsalors que sil'on trouve 2H
1=2 00 telque (u D () j ; u D () j )=(u N () j ; u N () j ) on aura alors (u D () j ; u D () j )=(0;g 1 ); u D ()=0dans d'où u D () = u = u N
() par uni ité de la solution du problème [Cau hy℄. L'idée est don de
minimiserl'é art entre u
D
()et u
N
(), 'est-à-dire la fon tionnelle deKohn-Vogelius :
F KV :=2H 1=2 00 ( )7! 1 2 Z jru D () ru N ()j 2 dx:
S'il existe une solution u au problème [Cau hy℄, alors il existe un unique 2 H
1=2 00 ( ) tel que F KV ()=0,et don u=u D
().Toutl'enjeu estalors de parvenir àminimiserla fon tionnelle de
Kohn-Vogelius.
D'autres méthodesbaséessurle ontr leoptimalexistent.Citons notament l'arti le[CDJP01 ℄,
où est présentée une méthode de résolution du problème [Cau hy℄basée sur des résolutions
su - essives de problèmes d'optimisation régularisés, leterme de régularisation tendant vers 0 au fur
et à mesuredes itérations. La suiteainsi onstruite onverge versla solution du problème.
Dans ette étude, nous avons utilisé une autre méthode de régularisation de problèmes
ellip-tiques : la méthode de quasi-réversibilité, introduite pour la première fois parLattès et Lions en
1967 [LL67℄
4
. Elle repose sur la onstatation suivante : si avoir sur une même partie du bord
la donnée de Diri hlet et de Neumann pour un problème elliptique d'ordre 2 (typiquement ave
l'opérateurlapla ien) est unedi ulté, un tel ouple peut en revan he être vu omme une
ondi-tion auxlimites deDiri hlet pourunproblèmeelliptique d'ordre4 (typiquement un bi-lapla ien).
L'idée est alors de régulariser le problème de Cau hy par une famille de problèmes variationnels
3 omme g 0 2H 1=2 ( ),il existe R (g 0 ) 2H 1 ()t.q. R (g 0 ) j =g 0
.Onpose alors u^ l'unique fon tionde H 1
()
véri ant^u=0dansetu^=R (g)sur.Onvoitalorsqueu~=u ^u,oùuestl'éventuellesolutionde[Cau hy℄,
véri e~u=0dans,u~=0sur et ~ u=g 1 ^ usur . 4
elliptiques d'ordre4bienposésdépendantd'unparamètrederégularisation",dontlessolutionsu "
tendrontverslasolutionduproblèmedeCau hylorsque"tendravers0.Cetteméthodologietraite
symétriquement les données de Cau hy g
0 et g
1
, et, une fois les problèmes d'ordre 4 dis rétisés,
fournit la solution appro héeu
"
en une unique résolution de système linéaire (soiten une unique
inversion de matri e).
Dans e hapitre, nous étudions plusieurs formulations de la méthode de quasi-réversibilité,
avant de nousintéresserà sadis rétisation paréléments nis.
Sommaire 2.1 Diérentes formulations . . . 20 2.1.1 FormulationdansH 1 (;P) . . . 20 2.1.2 Formulationmixte . . . 23 2.1.3 FormulationsdansH 2 () . . . 25
2.2 Résolution numerique dans un domainepolygonal de
R
2
. . . 29
2.2.1 Méthode[QR℄dansunpolygonede
R
2
. . . 29
2.2.2 Dis rétisationduproblème[QR℄ . . . 31
2.2.3 Convergen edelaméthodeéléments nis . . . 36
2.2.4 Cal uldesmatri esélémentaires . . . 42
2.2.5 Appli ationsnumériques. . . 42
Problème de Cau hy
Soitunouvertbornéde
R
d
, unepartielips hitziennedesafrontière.Onsedonne(g
0 ;g 1 )2 H 1=2 ( )H 1=2 ( ). On se donne a ij 2 W 1;1 () pour i; j 2 f1:::dg, et 2 L 1 (). On dé nit alors l'opérateur P :u2H 1 ()7! d X i;j=1 x i a ij u x j ! + u2H 1 (): On noteH 1 (;P):= v 2H 1 () j Pv 2L 2 ()
. Onrappelle que l'appli ation
u2H 1 (;P)7! d X i;j=1 a ij u x j i 2H 1=2 ( )
est ontinue et surje tive. Onsupposeque P véri eles hypothèses de la propriété1.2 p.9.
Nousnousintéressons au problèmede Cau hy suivant :
Problème [Cau hy℄: pour(g
0 ;g 1 )2H 1=2 ( )H 1=2 ( ),trouver u2H 1 (;P) véri ant : 8 > < > : Pu=0 dans u=g 0 sur P u=g 1 sur
Onsait(voir hapitrepré édent)que e problèmeadmet auplus unesolution u.Commeilestmal
2.1 Diérentes formulations
2.1.1 Formulation dans H
1
(;P)
On dé nitles espa esfon tionnels
V := n v 2H 1 (;P) j v j =g 0 et P v j =g 1 o V 0 := n v2H 1 (;P) jv j = P v j =0 o :
Il est intéressant de noter que siV
0
est non vide, puisque C
1
() V
0
, il est possible que V soit
vide. En eet,on ala Propriété 2.1 l'appli ation u 2H 1 (;P) 7! (u; P u)2H 1=2 ( )H 1=2
( ) n'est pas
surje -tive.
Preuve : onva d'abords'intéresser à lafon tiong
0 :x2℄ 1;1[7! p xsi x>0,0sinon.Ona trivialement g 0 2 L 2 (℄ 1;1[), et g 0 = 2 H 1 (℄ 1;1[), e qui implique g 0 = 2 H 3=2
(℄ 1;1[). Nous allons montrer que g
0 2
H 1=2
(℄ 1;1[).Pour ela,nousallons utiliserla ara térisationdeH 1=2 (℄ 1;1[)suivante 5 : H 1=2 (℄ 1;1[)= g2L 2 (℄ 1;1[)j Z 1 1 Z 1 1 jg(x) g(y)j 2 jx yj 2 dydx<1 :
Onestdon amenéà al uler
Z 1 1 Z 1 1 jg 0 (x) g 0 (y)j 2 jx yj 2 dydx= Z 1 0 Z 1 0 j p x p yj 2 jx yj 2 dydx+ Z 0 1 Z 1 0 y jx yj 2 dydx + Z 1 0 Z 0 1 x jx yj 2 dydx Toutd'abord,ona Z 0 1 Z 1 0 y jx yj 2 dydx= Z 0 1 Z 1 0 y x+x (y x) 2 dydx = Z 0 1 Z 1 0 1 (y x) + x (y x) 2 dydx = Z 0 1 ln(y x) x y x 1 0 dx = Z 0 1 ln(1 x) ln( x) x 1 x 1 dx=ln(2):
Onaalors,parFubini 6 , Z 1 0 Z 0 1 x jx yj 2 dydx=ln(2):
Resteàestimerledernier terme:remarquonsque (x y)
2 =( p x p y) 2 ( p x+ p y) 2 .Onadon Z 1 0 Z 1 0 j p x p yj 2 jx yj 2 dydx= Z 1 0 Z 1 0 dy ( p x+ p y) 2 dx:
Utilisonsensuitele faitque ( p
x+
p y)
2
x+y, equinousdonne
Z 1 0 Z 1 0 dy ( p x+ p y) 2 dx Z 1 0 Z 1 0 dy x+y dx= Z 1 0 ln x+1 x dx=2ln(2): 5
fthéorème7.48p.214de[AF75℄,oudé nition(3.48)p.81de[ND67 ℄
Onadon 7 Z 1 1 Z 1 1 jg 0 (x) g 0 (y)j 2 jx yj 2 dydx4ln(2) e qui implique g 0 2 H 1=2
(℄ 1;1[). Il est lair que l'on a plus généralement g
0 2 H 1=2 (℄ a;a[) et g 0 = 2 H 3=2
(℄ a;a[)pourtouta>0,lasingularitéde g 0
sesituanten0.
Nousallonsmaintenant onstruirenotre ontre-exemple.Posons
+ :=℄ 1;1[℄0;1[, :=℄ 1;1[℄ 1;0[, :=℄ 1;1[f0get:= + [ . Soit g 1 2 H 1=2
(℄ 1;1[) quel onque. Supposons que l'on peut relever (g
0 ;g
1
) par une fon tion u
+ 2 H 1 ( +
;) etparunefon tionu 2H
1 ( ;).Alorssiondé nit u:= u + sur + u sur on a u 2 H 1 (;) qui véri e u j = g 0 . Soit ' 2 C 1
(℄ 1;1[) véri ant ' 1 sur ℄ 0:5;0:5[. On pose
(x;y):='(x)'(y)2C
1
(),et ona u2H
1
(;). Deplus,lesupportde uin lusdans .Sion pose
^ u:= usur 0sur
R
2 n on a u^2H 1 (R
2;), et don par régularitéelliptique 8
,on a u^2H 2
(
R
2).On en déduitque latra e de u^sur
℄ 0:5;0:5[f0gestunélémentdeH
3=2
(℄ 0:5;0:5[).Or ettetra evautg 0 ,etonavuqueg 0 = 2H 3=2 (℄ 0:5;0:5[). Contradi tion.
Nousallons nous intéresserau problèmesuivant :
Problème [quasi-réversibilité H
1
℄ : pour">0,trouver u2V tel que pour toutv 2V
0 , on ait ( Pu;Pv) L 2 () +"(u;v) H 1 () =0:
Quelques onsidérationssur e problèmeavant de ontinuer : la formevariationnelle
( Pu;Pv) L 2 () +"(u;v) H 1 ()
neprovientenau unefaçond'intégrationsparpartieàpartirdeséquations duproblème[Cau hy℄.
Elle orrespond à un problème d'ordre 4, et son traitement paréléments nis
9
devra s'adapter à
ette ontrainte.
Propriété 2.2 le problème [quasi-réversibilité H
1
℄ admet une unique solution u
"
si et
seulement si V est non vide.
7 enfait,ona R 1 1 R 1 1 jg 0 (x) g 0 (y)j 2 jx yj 2
dydx=6ln(2) 2,mais ettevaleurestmoinsrapideàobtenirquelamajoration
par4ln(2)
8
voirthéorème3.1p.137de[LM68 ℄
Preuve : ilestévidentquesile problème[quasi-réversibilité H 1
℄admetunesolution, ettesolutionest
dans V, et don V est nonvide. Ilfaut maintenantprouver l'autreimpli ation: on supposedon V non vide.
Soitu^2V.Onva her heru~2V 0 véri ant (Pu;~ Pv) L 2 () +"(u ;~ v) H 1 () = (Pu;^ Pv) L 2 () "(^u ;v) H 1 () ;8v2V 0 :
Remarquonstoutd'abordqueV
0
estunsous-espa efermédeH
1
(;P),par ontinuitédesappli ationsu7!u j
et u 7!
P u
j
. Muni du produit s alairede H
1
(;P), 'est don un espa ede Hilbert. Ensuite,l'appli ation
bilinéaire a " :=(u;v)2V 0 V 0 7!(Pu;Pv) L 2 () +"(u;v) H 1 ()
est ontinueet oer ive surV 0 , puisque a " (u;v)(1+")kuk H 1 (;P) kvk H 1 (;P) ; a "
(u;u)min(1;")kuk 2
H 1
(;P) :
D'autrepart,l'appli ationlinéaire
l:=v2V 0 7! (Pu;^ Pv) L 2 () "(^u ;v) H 1 ()
est ontinue, puisque jl(v)j (1+")kuk^ H 1 (;P) kvk H 1 (;P)
. L'existen e (et l'uni ité) de u~ est don assurée
par appli ationdu théorème de Lax-Milgram
10
. On remarque alors que u
"
:= u~+u^ estsolution du problème
[quasi-réversibilité H
1 ℄.
Supposons alors quel'on ait deuxsolutionsu
1 etu
2
auproblème. Onremarque que w:= u
1 u 2 estun élémentdeV 0 quivéri ea " (w;v)=0,pourtoutv2V 0
.Paruni itédelasolutionde eproblème(Lax-Milgram),
ona w=0,soit u 1 =u 2 .
Théorème 2.1 supposons qu'il existe une (unique) solution u au problème [Cau hy℄. Alors
u "
solution du problème [quasi-réversibilité H
1 ℄ existe, et on a u " "!0 ! H 1 (;P) u:
Nous allonsutiliser lelemme suivant :
Lemme 2.1 Soit X un espa e topologique, et (u
Æ ) Æ>0 2 X
R
+véri ant : il existe u 2 X tel
que pour toute suite (Æ
n ) n2
N
2(R + )N
véri antÆ n n!1! 0, ilexiste unesous-suite Æ
n 0 telle que u Æ n 0 n!1 ! u. Alors u Æ Æ!0 !u .
Preuve : supposonsque e nesoitpasle as.AlorsilexisteunvoisinageV(u)de uetunesuiteÆ n n!1 ! 0tels que8n2
N
,u Æn =2V(u).Parhypothèse,il existeunesous-suiteÆ n 0 deÆ n telleque u Æ n 0 n!1 ! u.Don pourn 0 su sammentgrand, u Æ n 0 2V(u).Contradi tion.
Preuve du théorème2.1: siusolutionde[Cau hy℄existe,alorsu2V,don V 6=;, equiimpliqueparla
propriété pré édentel'existen edeu "
solutionde[quasi-réversibilité H
1 ℄.
Pardé nition,ona, pourtoutv2V
0 , (Pu " ;Pv) L 2 () +"(u " ;v) H 1 () =0: Enprenantv:=u " u2V 0
dans etteexpression,etenutilisantPu=0,onobtient
kPu " k 2 L 2 () +"(u " ;u " u) H 1 () =0 (|) d'où (u " ;u " u) H 1 () 0)ku " k H 1 () kuk H 1 () : 10
Ensoustrayant"(u;u " u) H 1 () dans(|), onobtient kPu " k 2 L 2 () +"ku " uk 2 H 1 () = "(u;u " u) H 1 () () d'où "ku " uk 2 H 1 () "kuk H 1 () ku " uk H 1 () )ku " uk H 1 () kuk H 1 () :
Onrevientalorsà(), quidonne
kPu " k 2 L 2 () "j(u;u " u) H 1 () j"kuk H 1 () ku " uk H 1 () "kuk 2 H 1 () et nalement kPu " k L 2 () p "kuk H 1 () "!0 !0 Soit" n 2(
R
+ )N
véri ant " n n!1 !0.Onnote u n :=u "n . Ona vuque ku n k H 1 () kuk H 1 () . De plus Pu ntendvers 0dans L
2
(). On en déduitl'existen e d'une onstante C >0telle queku
n k H 1 (;P) C, et don 11
l'existen ed'unesous-suiteu n
0 etd'un élémentw2H
1
(;P)tels queu n
0 tendfaiblementverswdans
H 1
(;P).
CommeP estfortement ontinudeH
1
(;P)dansL
2
(),ilestfaiblement ontinu 12
,d'oùl'onaPw=0=Pu.
D'autrepart,V estfermé(par ontinuitédelatra eetdelatra enormaledeH 1 (;P)dansH 1=2 ( )H 1=2 ( ))
et onvexe,don ilestfaiblementfermé 13
.Onendéduitquew2V,etdon w=g
0 =uet P w=g 1 = P u
sur .Paruni itéde lasolutionde[Cau hy℄dansH
1 (;P),onadon w=u. De (),ontirealors ku n 0 uk H 1 () j(u;u n 0 u) H 1 () j n 0 !1 !0 etdon u n
0 tendfortementvers udansH
1
(), et nalementdans H
1
(;P)(puisquePu
n
0 tendversPu).
Lelemme2.1nousdonne nalement: u
" "!0 ! H 1 (;P) u
Leproblème [quasi-réversibilité H 1℄ apparaît omme unerégularisation du problèmede
Cau hy si l'ensemble V est non vide. Cette ondition est très problématique : en eet, si nous
perturbons légérement les données (g
0 ;g
1
) du problème de Cau hy, ou, autrement dit, si nous
n'avons à notre disposition que des données bruitées (g
Æ
0 ;g
Æ
1
), la propriété 2.1 nous dit que nous
ne sommespassûrde l'existen e d'un relèvement H
1
(;P)de es données,et don de l'existen e
d'une solution au problème[quasi-réversibilité H
1 ℄.
Pour remédier à ette di ulté, nous allons proposer trois nouvelles manières de formuler le
problème de quasi-réversibilité : l'une faisant intervenir une formulation mixte du problème, les
deux autresuneformulation H
2
du problème.
2.1.2 Formulation mixte
Onsupposei i ouvert bornéde
R
d
afrontièrelips hitzienne, ave = [
, \ =;, j j>0,j j>0, et
ouvert. Ondé nit les espa es
H 0 := n v2H 1 ()jv j =0 o ; H := n v 2H 1 ()jv j =g 0 o ; H := n v2H 1 ()jv j =0 o : On a C 1 () H 0 et C 1 () H
, don es deux ensembles sont non vides. Et par surje tivité
de l'opérateurtra e de H 1 () dansH 1=2 ( ) 14
, ona également H non vide.
On s'intéresse auproblème suivant :
11
propositionV.1p.78etthéorèmeIII.27p.50 de[Bre05 ℄
12
théorèmeIII.9p.39de[Bre05 ℄
13
théorèmeIII.7p.38de[Bre05 ℄
Problème [quasi-réversibilité mixte℄ : pour >0 et >0, her her (u;p) 2 H H t.q. pourtout(v;q)2H 0 H 8 > > > > > < > > > > > : Z d X i;j=1 a ij p x j v x i dx Z pvdx+ (u;v) H 1 () =0 Z d X i;j=1 a ij u x j q x i dx Z uqdx (p;q) H 1 () (p;q) L 2 () =hg 1 ;qi H 1=2 ( );H 1=2 ( )
Cette formulation du problème de quasi-réversibilité a été introduite par L. Bourgeois dans
[Bou05℄, pour le as P := (a
ij
= Æ
ij
, = 0). Les preuves s'adaptent sans problème pour
l'opérateurP général. Poursimpli er les notations,on pose :=( ;).
Propriété 2.3 8 (g 0 ;g 1 ) 2 H 1=2 ( ) H 1=2
( ), le problème [quasi-réversibilité mixte℄
admet une uniquesolution (u
;p
).
L'intérêt de la formulation mixte de la quasi-réversibilité, par rapport à la formulation H
1 ,
apparaît dansle asoù nousavonsdes donnéesbruitées(g
Æ
0 ;g
Æ
1
). Pour peu que esdonnéessoient
régulières (i.e. (g Æ 0 ;g Æ 1 ) 2 H 1=2 ( )H 1=2
( )), le problème [quasi-réversibilité mixte℄ aura
toujours une solution. De plus, on voit que le problème est d'ordre 2, e qui signi e que l'on
va pouvoir dis rétiser le problème ave des éléments nis lassiques, par exemple les éléments
nisde LagrangeP
1
.L'étudedela dis rétisation duproblème[quasi-réversibilité mixte℄par
éléments nis setrouve dans[Bou05℄.
Théorème 2.2 si le problème [Cau hy℄ admet une solution u 2 H
1
(), et si est hoisi
omme unefon tion de véri ant
lim !0 ( ) =0 alorslasolution(u ( ) ;p ( )
)duproblème [quasi-réversibilité mixte℄tendvers(u;0) dans
H 1
()H
1
() lorsque tend vers 0.
La formulationmixtepermetdon derégulariserleproblèmede Cau hypourl'opérateurP.Il
estintéressantdenoterlelienentrelaformulationmixte delaquasi-réversibilité ,etla formulation
H 1
de la quasi-réversibilité :
Propriété 2.4 si le problème [quasi-réversibilité H
1
℄ admet une (unique) solution u
" , alors la solution (u ;p
) du problème [quasi-réversibilité mixte℄ ave := (";) tend
vers (u " ; Pu " ) dans H 1 ()L 2
() lorsque tend vers 0.
On peut don voir le problème[quasi-réversibilité mixte℄ omme une régularisation du
problème[quasi-réversibilité H
1
℄.Nouspouvonsrésumerlesavantages etin onvénientsdela
méthodedequasi-réversibilitébaséesurlarésolutionduproblème[quasi-réversibilité mixte℄
dansle tableau suivant :
Problème [quasi-réversibilité mixte℄
Avantages In onvénients
Problème bien posépourtout Introdu tiond'une nouvelle in onnue p
(g 0 ;g 1 )2H 1=2 H 1=2
double la taille du problème
Formevariationnelle dansH
1
Introdu tiond'un se ond paramètrede régularisation
2.1.3 Formulations dans H 2
()
Onsupposemaintenantouvertbornéde
R
d , unepartieC 1;1 delafrontièrede .On saitalors 15 quel'appli ation u2H 2 () 7!(u j ; P u j )2H 3=2 ( )H 1=2
( )est ontinueet
surje -tive.Onadon ,pourtout(g
0 ;g 1 )2H 3=2 ( )H 1=2 ( ),V := v 2H 2 ()jv =g 0 et P v=g 1 sur
ensemblenon vide.
OnposeV 0 := v 2H 2 ()jv= P v =0 sur
, qui bien sûr estaussi non vide. Onredé nit
leproblème de Cau hy:
Problème [Cau hy℄: pour(g
0 ;g 1 )2H 3=2 ( )H 1=2 ( ),trouver u2H 2 () t.q. 8 > < > : Pu =0 dans u =g 0 sur P u =g 1 sur
On re her he don unesolution plus régulière (H
1
(;P) ! H
2
()) à partir de données plus
régulières(H 1=2 ( )H 1=2 ( )!H 3=2 ( )H 1=2
( ))surunepartiedubordplusrégulière(C
0;1 !
C 1;1
).
Formulation ave relèvement
Soitu^ 2V unrelèvement de la donnée (g
0 ;g
1
).Onposele problèmesuivant :
Problème [quasi-réversibilité H
2
ave relèvement℄ : pour " > 0, trouver u 2 V
0 tel que pourtout v2V 0 , (Pu;Pv) L 2 () +"(u;v) H 2 () = (Pu;^ Pv) L 2 ()
Propriété 2.5 le problème [quasi-réversibilité H
2
ave relèvement℄ admet une unique
solution u
" .
Preuve : appli ationdire teduthéorèmedeLax-Milgram.
Théorème 2.3 supposons que le problème [Cau hy℄admette une solution u. Alors
u " +u^ "!0 ! H 2 () u:
Preuve : siu estsolutiondu problème[Cau hy℄, alorsu~:=u u^estl'unique
16
fon tionvéri ant u~2V 0
et
Pu~= Pu^dans.Pourobtenirlerésultat,ilsu tde montrerqueu "
tendvers u.~ Or,pourtoutv2V 0 ,on a (Pu " ;Pv) L 2 () +"(u " ;v) H 2 () = (Pu;^ Pv) L 2 () =(Pu;~ Pv) L 2 () d'où (P(u " ~ u);Pv) L 2 () +"(u " ;v) H 2 () =0 et (P(u " ~ u);Pv) L 2 () +"(u " ~ u;v) H 2 () = "(~u;v) H 2 () : 15 théorème1.5.1.5p.38de[Gri85 ℄ 16
paruni itédelasolutionduproblèmedeCau hy:trouveru2V t.q.Pu=f2L 2
Enprenantv:=u " ~ u2V 0 ,onobtient kP(u " ~ u)k 2 L 2 () +"ku " ~ uk 2 H 2 () = "(~u ;u " ~ u) H 2 ()
d'oùl'ontire
ku " ~ uk 2 H 2 () j(~u;u " ~ u) H 2 () j; ku " ~ uk H 2 () k~uk H 2 () ; kP(u " ~ u)k L 2 () p "k~uk H 2 () : Soit" n n!1 !0.Posonsw n :=u " n ~ u2V 0 .Onvoit quew n
estunesuitebornéedansH
2
,onpeutdon
extraire une sous-suite w
n 0
qui onverge faiblement vers w 2 H
2
(). Comme V
0
est onvexe et fermé, il est
faiblementfermé,etonaw2V 0 .De plus,ona kPw n 0k L 2 () p " n 0k~ uk H 2 () n 0 !1 !0
etdon Pw=0.Paruni ité delasolutiondu problèmede Cau hydansV
0 ,on endéduitw=0,soitw n 0 tend faiblementvers0. Onaalors ku " n 0 ~ uk H 2 () (~u ;w n 0 ) H 2 () n 0 !1 !0 etdon u " n 0
tendfortementdansH
2
versu .~ Ondéduitalorsdu lemme2.1: u "
"!0 !u.~
Formulation sans relèvement
La formulation H
2
sans relèvement de la quasi-réversibilité est très pro he de la formulation
H 1
. Onposele problèmesuivant :
Problème [quasi-réversibilité H
2
sans relèvement℄ : pour ">0, trouver u2V t.q. pour
tout v2V 0 , (Pu;Pv) L 2 () +"(u;v) H 2 () =0:
Propriété 2.6 le problème [quasi-réversibilité H
2
sans relèvement℄ admet une unique
solution u
" .
Preuve : identiqueà elledelaproposition2.2.
Théorème 2.4 si le problème [Cau hy℄ admet une(unique) solution u, alors
u " "!0 ! H 2 () u et on a kP(u " u)k L 2 () p "kuk H 2 () .
Preuve : identiqueà elleduthéorème2.1.
Remarquons que dansle asde l'opérateur+k, les résultats de stabilité onditionnelle pourle
Propriété 2.7 on se pla e en dimension 2 ou 3, et on suppose que véri e la propriété du - ne, pour 2 0; 2 17
. On suppose P := +k, k 2
R
n'étant pas une valeur propre dulapla ien dans . On note
0 ():=sup x>0 1 2 sin()(1 e x ) p 1+x sin () :
Alorspour tout 2℄0;
0
()=s[ ,ave s = 2en dimension 2et s= 4en dimension 3, ilexiste
C>0 et " 0
>0 telsque pour tout "2℄0;" 0 [, on ait ku " uk H 1 () C 1 (ln (1="))
Preuve : lethéorème 1.5p.15nousditquepour tout2℄0;
0
()=s[,ave s=2endimension2ets=4en
dimension3,ilexisteC>0,Æ 0
>0telsquepourtoutÆ2℄ 0;Æ 0
[,pourtoutefon tionv2H 2 ()véri ant kvk H 2 () M; kPvk L 2 () +kvk H 1 ( ) +k vk L 2 ( ) Æ ona kvk H 1 () C M (ln(M=Æ)) :
Ilsu talorsde remarquerque lethéorème2.4 impliquel'existen ede " 0
>0telque, pour tout",0<"" 0 , onait ku " uk H 2 () 1; kP(u " u)k L 2 () +ku " uk H 1 ( ) +k (u " u)k L 2 ( ) =kP(u " u)k L 2 () kuk H 2 () p "<Æ 0 : Lerésultatsuit.
Sila frontière del'ouvert estplus régulière, la vitessede onvergen e estaméliorée :
Propriété 2.8 supposons que la frontière de soit C
1;1
. Alors pour tout 2℄ 0;1[ , il existe
C>0 et " 0
>0 telsque pour tout "2℄0;" 0 [, on ait ku " uk H 1 () C 1 (ln (1="))
Preuve : ilsu tde rempla erlethéorème1.5parlethéorème1.3danslapreuvepré édente.
Quelques remarques surles formulations H
2
Lesdeux formulations H
2
de la quasi-réversibilité présentées passent par deux problèmes qui
sont toujours bien posés si la donnée (g
0 ;g
1
) est su samment régulière ( 'est-à-dire H
3=2
( )
H 1=2
( ))et permettent d'appro her la solution duproblème de Cau hy. On adon proposédeux
régularisations duproblème [Cau hy℄.
Remarque : les formulations H
2
ave et sans relèvement orrespondent à des solutions diérentes.
Pluspré isément, si nousnotons u^
"
lasolution duproblèmedequasi-réversiblité H
2
ave relèvement
^
u, etu
"
la solution duproblème dequasi-réversibilité sans relèvement, on a u^
" +u^6=u " .En eet,si on note v " :=u^ " +u^ u " ,on a v " 2V 0 et v " véri e (Pv " ;Pv) L 2 () +"(v " ;v) H 2 () ="(^u ;v) H 2 () ; 8v2V 0 : et don v " 6=0.
Cesdeux méthodesreposent surla résolution de formulations variationnelles posées dans H
2 .
Pourrésoudre esproblèmes, nousallons devoir utiliser deséléments nisadaptés, 'est-à-dire :
soit deséléments nis onformesH 2
, quidemandentde trèsnombreuxdegrésdelibertéa n
d'assurerla onformité
soit deséléments nisnon onformes, moins ri hes en degrésde liberté.
Pourquelques exemples d'éléments nis desdeux atégories, seréférer à[Cia78℄.
A n de ne pas aboutir à des problèmes numériques de trop grande taille, nous avons hoisi
dans ette étude d'utiliser des éléments nis non onformes. Ce i a une in iden e dire te sur le
hoixde laformulationH
2
duproblèmedequasi-réversibilité: eneet,ilestdi ilede onstruire
un relèvement adéquat de la donnée, arla fon tion valant " e qu'il faut"surles degrèsde liberté
du bord, et 0 partout ailleurs, relèvement habituellement onstruit pour e genre de problème,
n'estpasunefon tiondeH
2
.Pourmettreenéviden e ladi ulté,intéressonsnousàunproblème
abstrait.
Laformulation H
2
ave relèvement du problème de quasi-réversibilité peut être
s hématique-ment représentéeparun problèmedu type : trouver u2V
0
tel que
a(u;v)= b(u;^ v);8v 2V
0 :
ave u^ unrelèvement d'une donnée,a(:;:) uneformebilinéaire ontinue et oer ive surH
2
,b(u;^ :)
uneformelinéaire ontinue sur H
2 , et V
0
les fon tions de H
2
valant 0 surlebord. Supposons que
nousvoulions dis rétiser e problèmeparéléments nis onformesH
2
, baséssurunetriangulation
du domainede nesseh.Nousaurionsun espa ed'éléments nis V
h véri antV h H 2 ,et l'espa e V h;0 des fon tions de V h
valant 0 sur le bord véri erait V
h;0 V 0 . On her herait alors u h 2V h;0 véri ant a(u h ;v h )= b(^u;v h );8v h 2V h;0 :
Or, omme pourtouth, V
h;0 V 0 , on aaussi a(u;v h )= b(^u;v h );8v h 2V h;0 :
Onvoitque sil'on soustrait les deuxégalités, lerelèvement de la donnéedisparaît. Il n'intervient
don pas dans l'étude de la onvergen e de la solution du problème dis ret vers la solution du
problème ontinu. Autrement dit, on peut prendre n'importe quel relèvement de la donnée dans
la formulationdis rètedu problème, y ompris la fon tiondeV
h
valant " e qu'il faut"surlebord
et 0 partout ailleurs, ela n'apasd'in uen e sur la onvergen e deséléments nis.
Siondé ided'utiliserunespa eW
h
d'élements nisnon- onformes,onaW
h 6H 2 ,etH 2 6W h .
Onnepeutdon plusutiliserlesformesa(:;:)etb(:;:).Onutilisedans e asdesformesappro hées
a h
(:;:) et b h
(:;:), et le problème dis ret que l'on her he à résoudre est de la forme : trouver
u h 2W h;0 tel que a h (u h ;v h )= b h (u^ h ;v h );8v h 2W h;0 ave u^ h 2W h
un relèvement dis ret de la donnée,qui nepeutpasêtre utilisédans laformulation
ontinue du problème, puisque en'estpasun élément de H
2 .
Pour assurer la onvergen e théorique deséléments nis, on utilise omme relèvement dis ret
la proje tionsurW
h
d'unrelèvement H
2
de ladonnéeindépendant de h.En pratique,onestalors
onfronté à desdi ultés :
on ne onnaît pasfor ément de relèvement ontinu de la donnée,même si l'on est sûr qu'il
en existe
la fon tion de W
h
qui vaut " e qu'il faut" sur le bord, et 0 partout ailleurs, n'est pas la
proje tiond'unrelèvement H
2
dela donnée indépendant deh (ilest fa ile de voirqu'untel
relèvement H
2
seraitnul).
Nous avonsdon dé idé de nousintéresserà ladis rétisation dela formulationH
2
quasi-Remarque: eproblèmedurelèvementn'apparaitraitpassinousutilisionsdeséléments nis onformes
H 2
. Les deuxformulations H
2
de la quasi-réversibilité présenteraient alors les mêmestypes de
di - ultés, et au une ne seraitd'emblée préférableà l'autre.
Pour on lure,ré apitulons les avantages et in onvénients desformulations H
2 de la méthode de quasi-réversibilité . Problème [quasi-réversibilité H 2 ℄ Avantages In onvénients
Problème bien posépourtout Demande plusde régularité sur la solution
(g 0 ;g 1 )2H 3=2 H 1=2
du problème [Cau hy℄et sur
Unseul paramètre Né essite deséléments nis
à xer adaptés à l'espa e H
2
2.2 Résolution numerique dans un domaine polygonal de
R
2
On se donne un polygone borné de
R
2
. Sa frontière est onstituée des segments
j ,
j = 1;:::;N (les
j
sont deux à deux distin ts). On pose :=
S M
i=1 i
, ave 1 M < N. On
s'intéresse au problèmede Cau hypourl'opérateurlapla ien :
Problème [Cau hy℄: pourun ouple (g
0 ;g 1 ) donné, trouver u2H 2 () t.q. 8 > < > : u=0 dans u=g 0 sur u=g 1 sur :
Remarquons que n'est pas une partie C
1;1
du bord de . On ne peut don pas utiliser
dire tement laformulationH
2
sansrelèvement dela quasi-réversibilit é.Pourpouvoirlefaire,ilva
nous falloir ara tériser l'imagede H
2 () parl'opérateuru7!(u j ; u j ).
2.2.1 Méthode [QR℄ dans un polygone de
R
2
Tout d'abord, remarquons que pour tout j 2 f1;:::;Ng, l'appli ation u 7! (u
j j ; u j j ) est ontinue et surje tive de H 2 () dansH 3=2 ( j )H 1=2 ( j
). La di ulté lorsqu'on s'intéresse aux
tra es sur est que l'on ne sait pas dé nir H
3=2
( ). Nous savons par ontre que l'image de
u 7! (u j ; u j ) est un sous-espa e de M Y j=1 H 3=2 ( j ) H 1=2 ( j
). Nous allons don her her à
ara tériser e sous-espa e.
Introduisons d'abord quelques notations : on noteM
j
lesommet ommun auxarêtes
j et j+1 , et ! j
l'angle que forment
j et
j+1
vers l'intérieur de . Onnote
j
lanormale extérieure à le
