Les graphes de largeur arbores ente bornée

2.2 Résultats de omplexité

2.2.5 Les graphes de largeur arbores ente bornée

Dans ettese tionnous présentons un algorithmee a e pour résoudre MinWCF

(p)

sur la lasse des graphes de largeur arbores ente bornée. Nous avons déjà déni la notion

Figure2.3 Legraphe

G

′_(I)

estobtenuàpartirdel'instan e

I

dé ritedanslaFigure2.2. Les doubles lignes représentent des haînes de longueur

p− 3

. Ainsi les gadgets lien sont des

(p− 1)

-gries etles gadgetsétoile sont des

(p− 2)

-gries.

Théorème 2.2.3. Le problème Min WCF

(p)

sur des graphes de largeur arbores ente bornée par

k

peut être résolu en temps

O(k

ck_p2k+2_n)

pour une ertaine onstante

c

, où

n

est le nombre de sommets.

Remarque 2.2.4. La borne de temps est polynomial en

n

tant que

k(log k + log p) =

O(log n)

et en parti ulier si

k = O(

log n

log log n)

p = O(log n)

Démonstration. Soit

G

un graphe de largeur arbores ente bornée

k

, et

(TG,{X | x ∈

V (TG)})

unedé omposition arbores ente de

G

de largeur

k

. Lesous-ensemblede sommets de

G

asso iéà un n÷ud

x

TG

est noté par lalettre majus ule

X

Nous onsidérons

TG

omme un arbre enra iné. Par hypothèse, l'ensemble

X

asso ié à un n÷ud

x

TG

ontient au plus

k + 1

sommets de

V (G)

.Nous pouvons supposer de plus que haque n÷ud

x

est d'un des types suivants :

•

un n÷ud feuille quin'a pas de ls (une feuilledans

TG

•

un n÷ud réunion qui a deux ls

x1, x2

X1

= X2

= X

•

un n÷ud introdu tion qui a un ls

x1

X1

= X\ {v}

pour un ertain

v

∈ V (G)

•

un n÷ud oubli qui aun ls

x1

X1

= X

∪ {v}

pour un ertain

v

∈ V (G)

Ce i est appelé une dé omposition arbores ente anonique (ni e tree de omposition)

dé omposition arbores ente de taille

O(n)

satisfaisant es onditions [27℄. Il est aisé de voirquenous pouvons transformer une dé ompositionarbores entede largeur quel onque

k

en une dé ompositionarbores ente anoniquede mêmelargeur,une des riptionde ette transformation est dé rite dans [27℄. Cette nouvelle dé omposition peut être obtenue en

temps

O(kn)

Pourunn÷ud

x

TG

,soit

TG(x)

lesous-arbreenra inéde

TG

qui ontientexa tement len÷ud

x

ainsiquesesdes endants.Lessommetsde

G

quiapparaissentdanslesensembles des n÷uds de

TG(x)

dénissent un sous-graphe induit de

G

que nous notons

G(x)

. Nous remarquons que

TG(x)

est une dé omposition arbores ente de

G(x)

Soit unn÷ud

x

TG

.Pour touteforêt ouvrante

F

dusous-graphe induitpar

X

dans

G

G[X]

, nous onsidérons toutes lespartitions

P = (C1, . . . , Cℓ)

X

ettous les

ℓ

-uplets

I = (i1, . . . , iℓ)∈ {1, . . . , p}ℓ

tels queles onditions suivantes sont satisfaites:

• vi, vj

∈ X

sont dans la même omposante onnexe (arbre) de

F

, alors

vi, vj

appartiennent à lamême lasse de partition

Cr

• |Cr| ≤ p

,alors

|Cr| ≤ ir

≤ p

, etsinon

ir

= p

Soit

f (x, F,P, I)

la valeur de laforêt ouvrante de poids minimum de

G(x)

dans laquelle l'ensemble

X

induitpré isément

F

,etdanslaquelledeuxsommetsappartiennentaumême arbre si etseulementsi ils sontdans la même lasse de

P

Lemme 2.2.5. Pour tout sommet

x

TG

, pour toute forêt

F

sur lesous-graphe

G[X]

, pour toute partition

P

X

, et pour tout

ℓ

-uplets

I

d'entiers satisfaisants les onditions i-dessus, nous pouvonsdéterminer

f (x, F,P, I)

en temps

O(k

ck_p2k+2₎

siles valeurs

orrespondantes de

f

sont disponibles pour tous les ls de

x

Démonstration. Nous onsidérons haque typede n÷ud séparément.

x

est un n÷ud feuille, alors l'ensembledes valeurs

f (x, F,P, I)

peut être déterminé pour

x

en temps

O(k)

. En eet, dans e as

G(x)

a au plus

k + 1

sommets et les lasses de

P

orrespondent exa tementaux omposantes onnexesde

F

.La ouverturepeutainsi être trouvée en temps

O(k)

ar ela revient à la re her he d'un arbre ouvrant de poids minimalsur ha une des omposantes onnexes, et

ir

= min{|Cr|, p}

pourtoutesles lasses

Cr

P

x

est unn÷udréunion,alors

P

doitêtregénérépardeux partitionsplus nessur

X

, une pour

X1

etune autre pour

X2

. Nous le faisons arti iellementen omplétant

F

ave deux ensembles d'arêtes bleues etrouges

E

bleu

, E

rouge

( elles- i ne sontpas né essairement

des arêtesde

G

)de façonàobtenirune forêt,telleque haque omposante onnexe ouvre une lassede

P

. Ensuitenous onsidéronslesforêts

F

bleu et

F

rouge

quisontrespe tivement

les forêts dénies par les ensembles d'arêtes

F

∪ E

bleu

F

∪ E

rouge

. Les omposantes

onnexesde es forêts dénissentlespartitions

P

bleu

P

rouge

sur

X

.Les

ℓ

-uplets d'entiers

p

etlasommedes valeursde ellesdes lassesbleuesetrougesin lusesdans

Cj

moins

|Cj|

. Alors,

f (x, F,_{P, I) =}

min

F

bleu

,F

rouge

,I1,I2

f (x1, F,P

bleu

, I1) + f (x2, F,P

rouge

, I2)− w(F ).

Lenombre de forêts bleu-rouge onsidérées est borné par

Bk+1

quiest le nombrede partitions d'un ensemble de

(k + 1)

éléments, 'est le nombre de Bell. Pour ha un des ls du noeud onsidéré, nous al ulons toutes les ombinaisons de

O(p

k+1_{) ℓ}

-uplets sur

X1

ainsi que toutes les ombinaisons sur

X2

. Globalement nous avons une omplexité en temps

Bk+1· O(p2k+2)

x

est un n÷udintrodu tion,soit

Ev

l'ensembledes arêtesin identes à

v

dans

F

.Soit

Fv

= F

\ {v}

la forêt sans le sommet

v

. Si

v

n'est pas une feuille d'un arbre de

F

alors la suppression de

v

a divisé l'arbre de

F

ontenant

v

en deux arbres. Nous onsidérons toutes les partitions

Pv

sur les éléments de

X1

, telles que toutes les lasses de

P

qui ne ontiennent pas

v

sont aussi des lasses de

Pv

. La lasse

Cs

qui ontient

v

est divisée en

q

lasses, ave

q

le nombre de omposantes onnexes réées lors de la suppression de

v

. Chaque omposante onnexe ainsi réée est une lasse distin te. Les valeurs

i

asso iées à es

q

lassesdoivent faireun total de

is− 1

. Alors

f (x, F,_{P, I) = min}

Pv,Iv

f (x1, Fv,Pv, Iv) + w(Ev).

Cette étape requiert auplus un temps

Bk· O(p

k+1₎

x

est un n÷ud oubli, soit

Fv

la forêt obtenue par l'ajout de

v

F

telle que toutes les omposantes onnexes de

Fv

quisontadja entes à

v

dans

F

appartiennentàlamême lasse de

P

. Supposons de plus que

Pv

a la même lasse que

P

à part que nous ajoutons

v

à la lasse qui ontient les sommets qui y sont onne tés dans

Fv

; s'il y en a au un, nous ajoutons une lasse

{v}

P

omme singleton. Désormais

Iv

est soit

I

v

n'est pas tout seul dans sa lasse dans

Pv

,soit

I∪ {p}

sinon. Alors

f (x, F,_{P, ) = min}

Fv

f (x1, Fv,Pv, Iv).

Ce i né essite au plus un temps

Bk· O(p

k+1₎

Pour on lure la preuve du Théorème 2.2.3, nous par ourons

TG

en ommençant par les feuilles et en traitant ensuite les n÷uds dont les ls ont été traités, et nous al ulons

f (x, F,_{P, I)}

pour tous les hoix possibles du n÷ud

x

, de forêt ouvrante

F

G[X]

, de partition

P

X

,etdu ve teur

I

satisfaisantles onditionsdonnéesaudébutdelapreuve. AlorslasolutiondeMinWCF

(p)

sur

G

estégaleàlapluspetitevaleurde

f

pourlara ine de

TG

pour une séquen e

I = (p, . . . , p)

de longueur quel onque.

Nous obtenons une borne supérieure en utilisant le fait que, pour n'importe quel

k

, le nombredes hoixpour

P

estborné supérieurementpar

Bk+1

,lenombre d'arbresdiérents

ave des sommetsétiquetés d'ordre

t

est borné par

t

t−2

,et lenombre de séquen es

I

pour

x

est borné par

p

k+1

. La phase la plus oûteuse en temps est de al uler

f

sur un n÷ud joint; ela peut être organisé en prenant toutes les ombinaisonsde valeurs sto kées dans

x1

x2

Remarque 2.2.6. La même méthode peut être utilisée pour résoudre un problème plus

général où, à la pla e d'avoir une ondition uniforme sur

p

pour les forêts ontraintes, haquesommet

v

doit être ontenudans un arbre d'ordre

pv

. Formellementles donnéesde e problème sont ungraphe

G = (V, E)

ave un ensemble de sommets

V ={v1, . . . , vn}

qui est donné ave un ve teur

(p1, . . . , pn)

d'entiers naturels

pi

≤ p

. L'obje tif de e problème est de trouver une forêt ouvrante telle que haque sommet

vi

doit être ontenu dans un arbre qui a au moins

pi

sommets. Les étapes de l'algorithme que nous venons de dé rire peuvent être ajustées pour résoudre ette variante.

Dans le document Approximation de problèmes de couverture de graphes (Page 32-36)

Les graphes de largeur arbores ente bornée

2.2 Résultats de omplexité

2.2.5 Les graphes de largeur arbores ente bornée

(p)

G

′(I)

I

p− 3

(p− 1)

(p− 2)

(p)

k

O(k

ckp2k+2n)

c

n

n

k(log k + log p) =

O(log n)

k = O(

log n

log log n)

p = O(log n)

G

k

(TG,{X | x ∈

V (TG)})

G

k

G

x

TG

X

TG

X

x

TG

k + 1

V (G)

x

•

TG

•

x1, x2

X1

= X2

= X

•

x1

X1

= X\ {v}

v

∈ V (G)

•

x1

X1

= X

∪ {v}

v

∈ V (G)

O(n)

k

O(kn)

x

TG

TG(x)

TG

x

G

TG(x)

G

G(x)

TG(x)

G(x)

x

TG

F

X

G

G[X]

′_(I)

ck_p2k+2_n)

ck_p2k+2₎