يـملعلا ثـحبلاو يـلاعلا مــيلعتلا ةرازو
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
No Réf :………
Centre Universitaire Abd Elhafid Boussouf Mila
Institut des Sciences et Technologie Département de Mathématiques et Informatique
Mémoire préparé en vue de l’obtention du diplôme de
Master
En
:
Mathématiques
Spécialité : Mathématiques appliquées
Préparé par
: BOUCHAREF Kaouther
BELLOUT Aida
Soutenue devant le jury :
M. Khalfaoui M.A.A C.U.Abd Elhafid Boussouf, Mila Président
I.Boufelgha M.A.A C.U.Abd Elhafid Boussouf, Mila Rapporteur
M.Azi M.A.A C.U.Abd Elhafid Boussouf, Mila Examinateur
INVARIANTS DE BROADCAST
DOMINATION DANS QUELQUES
CLASSES DE GRAPHES
H G
En premier lieu, nous remercions DIEU qui nous a procuré de la patience et de courage à fin d’achever ce travail et d’atteindre cette réussite.
Nous remecions vivement et chaleureusement Mr Ibrahim BOUFELGHA encadreur de cette mémoire, pour nous avoir soutenu et guidé tout au long de cette mémoire. Nous le
remercions particuliérement pour la confiance qu’il nous a accordé, pour leur régueur scientifique, pour leur patience et pour leurs conseils judicieux qui ont contribué à la
réalisation et à Caccomplissement de ce travail.
Nous remercions sincèrement Mr Mohammed KHALFAOUI, qui nous a fait l’honneur d’accepter d’être président du jury de notre travail.
Nous remercions également Mr Mourad AZI, pour l’honneur qu’il nous a fait d’avoir acceptés d’etre examinateur de notre travail.
Sans oublier aussi de remercier infiniment tous les enseignants du département des science et technologie surtout, les enseignants des mathématique et informatique, sur
leurs aides, efforts et conseils qui ont contribué à notre réussite.
H G
Je dédie ce travail en particulier A mon cher père et ma chère maman,
qui m’ont éclairé le chemin en me donnant la main tout au long de mes années d’étude
«Que dieu me les grades» A ma soeur
A mes frères A toute ma famille
A tous mes amis sans exception A tous mes maîtres
A tous ceux qui me sont chers
A tout ceur qui m’ont témoigné leurs soutiens.
H G
je dédie ce modeste travail à :
Mes chers
parents
pour tous leurs sacrifices,leur amour,leur tendresse,leur soutien et leurs prières tout au long de mes études.
Mes chères sœurs
Imane
etHala
pour leurs encouragements permanents et leur soutien moral.Mes chers frères
Mohammed
etSalah eddine
pour leur appui et leur encouragement .Toute ma famille
Boucharef
pour leur soutien tout au long de mon parcours universitaire .
Merci d’être toujours là
moi
.introduction 9
1 Terminologie et notations 11
1.1 Terminologie et définitions générales . . . 12
1.2 Représentation d’un graphe . . . 13
1.2.1 Représentation graphique . . . 13
1.2.2 Représentation Matricielle . . . 14
1.3 Quelques classes de graphes . . . 15
1.4 Quelques paramètres d’un graphe : . . . 25
2 Broadcasts et domination 28 2.1 Domination . . . 29
2.1.1 Bornes sur γ . . . 31
2.1.2 Complexité du problème de domination . . . 35
2.2 Broadcast domination . . . 36
2.3.1 Résultats fondamentaux . . . 38
2.3.2 Classes de broadcasts dominants . . . 43
2.3.3 Autres broadcasting invariants . . . 46
2.3.4 Complexité algorithmique . . . 52
3 Broadcast efficace 54 3.1 Différénts invariants de broadcast et domination dans la classe des chaînes et cycles . . . 55
3.2 Broadcast efficace dans les chaînes . . . 57
Conclusion Générale 70
1.1 (a) Graphe connexe et (b) Graphe non connexe . . . 13
1.2 (a) Une représentation non planaire du graphe G et (b) son représentation planaire . . . 14
1.3 chaîne P5 . . . 15
1.4 Cycle C5 . . . 16
1.5 L’étoile K1,4. . . 16
1.6 graphe complet K4 . . . 16
1.7 (a) graphe Biparti K2,3 et (b) graphe Biparti complet K2,3 . . . 17
1.8 Arbre . . . 18
1.9 Arbre binaire . . . 18
1.10 Arbre binaire complet . . . 19
1.11 Arbre 3-aire . . . 19
1.12 Arbre 3-aire complet . . . 19
1.13 Forêt . . . 20
1.14 Graphe triangulé . . . 20
1.16 Graphe triangulé avec sommet complèté. . . 22
1.17 Graphe triangulé avec ordre d’élimination simplicial. . . 23
1.18 K = {v2, v3, v4} une clique . . . 24
1.19 (a) Un stable maximal et (b) Un stable maximum . . . 25
1.20 Le graphe G et son complémentaire ¯G . . . 25
1.21 Le graphe G . . . 26
1.22 Graphe de nombre chromatique χ(G) = 3 . . . 27
2.1 Maximalité et minimalité d’une propriété. . . 29
2.2 Broadcast dominant sur un graphe . . . 37
2.3 Graphe subdivisé d’un graphe. . . 39
2.4 Jonction de deux graphes en deux extrémités. . . 39
2.5 Réciproque fausse de la Proposition 2.9 . . . 43
2.6 Broadcast dominant. . . 43
3.1 Broadcasts efficaces distincts sur P7 . . . 57
3.2 Broadcasts efficaces distincts sur P7 . . . 58
3.3 Broadcasts efficaces distincts sur P6 pour | Vf+|= 1 . . . 60
3.4 Broadcasts efficaces distincts sur P7 pour | Vf+|= 1 . . . 60
3.5 Broadcasts efficaces distincts sur P7 pour | Vf+|= 2 . . . 63
3.6 Broadcasts efficaces distincts sur P8 pour | Vf+|= 2 . . . 63
La théorie des graphes constitue une branche à part entière des mathématiques. Elle représente l’un des instruments les plus courants et les plus efficaces pour résoudre des problèmes discrets de la Recherche Opérationnelle. Un ensemble dominant dans un graphe G est un sous-ensemble de sommets du graphe G tel que tout sommet appartient soit à cet ensemble soit a un voisin dans celui-ci. Le problème de domination consiste à trouver un ensemble dominant de cardinalité minimum.
Le problème de la broadcast domination est une variante du problème de domination. Ce problème a été introduit en 2001 par D. J. Erwin [16] et consiste à attribuer des entiers positifs (poids) aux sommets du graphe de sorte que tout sommet de poids nul soit broadcast-dominé par un sommet de poids strictement positif, et que la somme des poids de tous les sommets soit minimum ; formellement, cela revient à définir une application à valeurs entières f sur l’ensemble des sommets telle que tout sommet du graphe se trouve au plus à une distance f (v) d’au moins un sommet v avec f (v) > 0, et que la somme des poids soit minimum. Ce minimum s’appelle nombre de broadcast domination du graphe.
Plusieurs invariants de broadcast domination ont été étudié, parmi ces invariants le nombre de broadcast efficace. Dans un graphe non orienté G, un broadcast f est efficace si tout sommet est f − domin exactement par un seul sommet f − dominant.
La théorie de graphe est une science qui s’applique à plusieurs domaine : l’économie, l’informatique,... C’est un moyen de modélisation pour des problèmes réels dont nous avons des objets et des relations entre eux. Notamment les problèmes de réseaux sont souvent modélisés par des graphes là où il y a des stations émittrices et des stations qui doivent être couvertes par les stations émetrices on parlé de la domination. Si les stations émittrices sont dotées d’une puissance, on parle de la broadcast domination. Maintenant si chaque station est couverte par une seule station émittrice, on parlé de la broadcast efficace.
L’objectif principal de ce mémoire est l’étude du nombre de broadcast efficace dans les chaines c’est une perspective de recherche qui a été proposé par Dunbar et al dans [14]. Notre mémoire comporte trois chapitres :
mé-Au troisième chapitre, nous nous intéressons à une famille intéressante de graphes : les chaines. Nous énnoncons les différents résultats connus sur les invariants de domination et de broadcast domination dans les chaines. Nous étudions, par la suite, le nombre de broadcast efficace dans cette famille de graphes. Nous déterminons soit des valeurs exactes soit des bornes.
1
Terminologie et notations
Introduction
Dans ce chapitre nous présentons les terminologies contenant les définitions et les notations de base de la thèorie des graphes qui seront utiles pour l’elaboration de ce travail nous propriétés aussi quelques paramètres très connu d’un graphe.
1.1
Terminologie et définitions générales
Le graphe :
Un graphe G est un couple (V, E) de deux ensembles disjoints. Les éléments de V sont appelés les sommets (vertices) du graphe G et E contient les arêtes (edges)de G. Une arêtes e = {u, v} entre les sommets u et v peut aussi être notée par uv.
Graphe simple :
Un graphe G est dit simple s’il ne comporte pas de boucle, et si chaque paire de som-mets vi et vj sont reliés par au plus une arête.
Graphe trivial :
Un graphe trivial est un graphe contient un seul ou aucun sommet. Graphe orienté et graphe non orienté :
Un graphe orienté G = (V, E) est la donnée de deux ensembles, un ensemble fini de sommets V et un ensemble fini d’arcs E. Si e = (vi, vj) est arc dans le graphe G, vi est
l’extrémité initiale de e et vj est l’extrémité finale de e. Un graphe non orienté G = (V, E)
est la donnée de deux ensembles, un ensemble fini et non vide de sommets V et un ensemble fini d’arêtes E. Une arête e ∈ E est une paire de sommets (u, v), notée e = uv où u et v sont les extrémités de e, et on dira dans ce cas que u et v sont adjacents et que (u, v) est incidente à u et à v. Un sommet est dit isolé s’il n’est adjacent à aucun sommet de G. Degré d’un sommet :
Le degré d’un sommet v, noté dG(v) est le nombre d’arêtes incidentes à ce sommet.
Degré d’un graphe :
Le degré d’un graphe est le degré maximum ∆(G) ou minimum δ(G) sur tous ses sommets.
Ordre d’un graphe :
Graphe partial et sous graphe :
Le graphe partiel de G est un graphe G0 = (VG, EG0) tel que : EG0 ⊆ EG. Le sous
graphe de G est un graphe G0 = (VG0, EG0) tel que : VG0 ⊆ VG et EG0 ⊆ EG.
Graphe connexe et graphe non connexe :
Un graphe est connexe s’il est possible à partir de n’importe quel sommets et de rejoindre tous les autres en suivant les arêtes. Un graphe non connexe se décompose en composontes connexes sur le graphe.
v4 v3 v2 v1 v4 v3 v2 v1 v5 (a) (b)
Figure 1.1 – (a) Graphe connexe et (b) Graphe non connexe
1.2
Représentation d’un graphe
Un graphe peut être représenté graphiquent il peut être représenté par une matrice.
1.2.1
Représentation graphique
Il existe une infinité de représentation d’un graphe. Les arêtes ne sont pas forcément rectilignes. Si on peut dessiner un graphe G dans le plan sans qu’aucune arête ne coupe une autre, on dit que G est planaire.
v5 v4 v3 v2 v1 v5 v4 v3 v2 v1 (a) (b)
Figure 1.2 – (a) Une représentation non planaire du graphe G et (b) son représentation planaire
1.2.2
Représentation Matricielle
Matrice d’adjacences
On peut représenter un graphe simple par une matrice (n ∗ n) est un tableau de n lignes et n colonnes, (i, j) désignes l’intersection de la ligne i et de la colonne j. Dans une matrice d’adjacences les lignes et les colonnes Représentent les sommets du graphe. Un 1 à la position (i, j) signifie que le sommet i est adjacent au sommet j.
Exemple 1.1 D’aprés le graphe (b) dans Figure 1.1
M = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
La matrice d’adjacences a plusieurs caractéristiques : 1- Elle est carrée : il y a autant de lignes que de colonnes.
Matrice d’incidence
La matrice d’incidence est une matrice n ∗ m où n est le nombre de sommets et m est le nombre d’arêtes du graphe.
Exemple 1.2 D’aprés le graphe (b) dans Figure 1.1
M = 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0
1.3
Quelques classes de graphes
Parfois le graphe possède quelques propriétés qui lui rendent au particulier et appatient à une classe spéciale.
Chaîne
Une chaîne Pn d’ordre n est un graphe de la forme :
V (Pn) = {v1, ...., vn} et E(Pn) = {v1v2, v2v3, ...vn−1vn} (n ≥ 0). La langueur de Pn est n − 1. v5 v4 v3 v2 v1 Figure 1.3 – chaîne P5
Cycle
Un cycle Cn est une chaîne fermée de la forme :
La langueur de Cn est n. v5 v4 v3 v2 v1 Figure 1.4 – Cycle C5
Graphe étoile
Un graphe étoile est un arbre à t sommets pendants reliés à l’unique sommet de degré t, et on note par K1,t, pour tout entier positif t> 3 .
Figure 1.5 – L’étoile K1,4.
Graphe complet
Un graphe kn est complet si chaque sommet du graphe est relié directement avec une
seule arête à tous les autres sommets.
v4 v3
Graphe biparti
Un graphe km,n est biparti si l’ensemble de ses sommets ses sommets peut être divisé
en deux sous ensembles X et Y est stable de sorte que toutes les arêtes du graphe relient
au mois un sommet dans X à un sommet dans Y . Le graphe km,n est dit biparti complet
si chaque sommet de X est relié avec tous les sommets de Y .
v5 v4 v3 v2 v1 v5 v4 v3 v2 v1 (a) (b)
Figure 1.7 – (a) graphe Biparti K2,3 et (b) graphe Biparti complet K2,3
Arbre
Un arbre est un graphe simple connexe et sans cycle. On distingue deux types de sommets dans un arbre :
- Les feuilles qui sont les sommets de degré 1.
- Les noeuds internes qui sont les sommets de degré supérieur à 1.
D’autres définitions sont possibles pour qu’un graphe G d’ordre n soit un arbre. Citons-en par exemple :
- G est connexe et possède n-1 arêtes. - G est sans cycle et possède n-1 arêtes.
- G est connexe et minimal pour cette propriété. - G est sans cycle et maximal pour cette propriété.
- Entre toute paire de sommets , il existe dans G une unique chaîne les reliant.
v5 v4 v3 v2 v1 Figure 1.8 – Arbre
Arbre binaire
Un arbre binaire enraciné est un arbre pour lequel chaque sommet possède au plus deux fils . v8 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1
Figure 1.9 – Arbre binaire
Arbre binaire complet
Un arbre binaire enraciné est un arbre binaire complet si et seulement si chaque sommet d’arbre possède exactement deux fils sauf les feuilles .
v15 v14 v13 v12 v11 v10 v9 v8 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1
Figure 1.10 – Arbre binaire complet
Arbre n-aire
Un arbre n-aire est un arbre pour lequel chaque sommet possède au plus n fils .
v10 v9 v8 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1
Figure 1.11 – Arbre 3-aire
Arbre n-aire complet
Un arbre n-aire est un arbre n-aire complet si et seulement si chaque sommet d’arbre possède exactement n fils sauf les feuilles .
v13 v12 v11 v10 v9 v8 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1
Forêt
Une forêt est un graphe non connexe et sans cycle .
v5 v4 v3 v2 v1 Figure 1.13 – Forêt
Graphe triangulé
Un graphe est dit triangulé si chacun de ses cycles de longueur au moins 4 posséde une corde, c’est à dire, si chacun de ses cycles de G est d’ordre inférieure ou égale 3 .
v6
v5 v4
v3
v2
v1
Propriétés des graphes triangulés
Ce type de graphe a plusieurs propriétés .
Lemme 1.1 [27]
Soit G = (V, E) un graphe triangulé et soit w ∈ V un ensemble de sommets s de G, alors le sous graphe induit G[w] est triangulé.
Théorème 1.1 [27]
Un graphe G est triangulé si et seulement s’il existe une décomposition de G une partie compléte.
Preuve 1.1 Comme chaque ensemble de trois sommet d’un graphe complet G induite un trianglé dans G. G est évidement un graphe triangulé.
Définition 1.1 Soit G = (V, E) un graphe non-orienté simple et Φ 6= T ⊂ V . On dit que T est une clique de G si les sommets de T sont deux à deux reliés dans G .
Définition 1.2 Un sommet d’un graphe G est dit complété si son voisinage NG(v) est une
clique .
Théorème 1.2 [27]
Tout graphe triangulé admet un sommet complété. Si G n’est pas complet, alors il possède au moins deux sommets complété non-adjacents .
1 2
3 4
un sommet complété
Figure 1.15 – Graphe triangulé avec sommet complèté.
Proposition 1.1 [5]
Les graphes d’intervalles, complets et les arbres sont des graphes cordaux .
Définition 1.3 (schéma d’évlimination parfait)
Etant donné un graphe G d’ordre n, v1, v2, ..., vn est un ordre total sur l’ensemble des
som-mets V si i ∈ [1, 2, , n], vi est un sommet complété du graphe induit par v1, v2, ....vn.
D C
A B
E
Figure 1.16 – Graphe triangulé avec sommet complèté.
Théorème 1.3 [27]
Un graphe est triangulé si et seulement s’il posséde de un schéma d’élimination parfait .
Définition 1.4 Le sous ensemble de sommet V0 ∈ V est un séparateur de G si il eriste
deux sommet a et b non adjacent dans G et non connectv dans [V \V0] on dit alors aussi
que c’est un a, b-séparateur si V minimal pour l’inclusion parmi tous les séparateur de G. c’est un séparateur minimal de G .
a d
c e
b
{c, d, e} est un a, b-séparateur de G .
{c, d} où {d, e} sont des a, b-séparateur de G.
Théorème 1.4 [5]
Dans tout graphe triangulé G, tout séparateur minimal de G est un clique .
Définition 1.5 Soit G = (V, E) un graphe simple dont les sommets sont numéroté v1, v2, ...vn,
on note l’ensemblevi, par v1, ..., vi, ...vn et le graphe G par G[v1, v2, ...vn] on dira que σ =
[v1, v2, ...vn] est un ordre d’élirnination simplicial de G si et seulement si pour tout 1 ≤ i ≤
n. le sommet vi, est simplicial dans le graphe Gi = [v1, v2, ...vn] .
f e
c b
a d
g
Figure 1.17 – Graphe triangulé avec ordre d’élimination simplicial.
σ = a, g, e, d, b, f, c est un ordre d’élimination simplicial .
Théorème 1.5 [27]
Un graphe G = (V, E) est triangulé si et seulement s’il admet un ordre d’élimination simplicial.
Lemme 1.2 [27]
Soit G = (V, E) un graphe triangulé, pour chaque sommet v de G. il est existe un ordre d’élimination simplicial σ terminant par v .
Définition 1.6 Un arbre de cliques maximales d’un graphe triangulé G est un arbre T dont les noeuds sont des cliques maximales, les arrêtes sont les séparateurs minimaux et sur le quel chaque sommet de G correspond à un sous-arbre.
Proposition 1.2 [27]
Les arbres de cliques sont les modèles d’intersection minimaux des graphe triangulé.
Résumé :
Soit G = (V, E) un graphe, les 4 proposition suivantes sont équivalents : i) G triangulé .
ii) G admet un schéma d’élimination simpliciale .
iii) G admet un arbre de clique maximal iv) G est le graphe d’intersection d’une famille de sous-arbre d’un arbre.
Clique et stable
Une clique K dans un graphe G est un ensemble de sommets deux à deux adjacents tel que G[K] est un sous graphe induit complet .
Un stable S dans un graphe G est un ensemble de sommets deux à deux non adjacents tel que G[S] est un sous graphe induit sans arêtes .
v6
v5 v4
v3
v2
(a) (b)
Figure 1.19 – (a) Un stable maximal et (b) Un stable maximum
Complémentaire d’un graphe
Le complémentaire d’un graphe G est le graphe noté ¯G défini par : VG¯ = VG et l’arête
uv(u 6= v) ∈ EG¯ si et seulement si uv /∈ EG . v5 v4 v3 v2 v1 v5 v4 v3 v2 v1 (a) (b)
Figure 1.20 – Le graphe G et son complémentaire ¯G
1.4
Quelques paramètres d’un graphe :
Distance entre deux sommets :
La distance entre deux sommets vi et vj notée d(vi, vj) est la longeur de la plus courte
chaîne entre vi et vj .
Exemple 1.3 D’aprés le graphe illustré dans FIG1.21, nous calculons la distance entre le sommet v1 et les autres sommets .
v5 v4 v3 v2 v1 d(v1, v2) = 1 d(v1, v3) = 1 d(v1, v4) = 1 d(v1, v5) = 2 Figure 1.21 – Le graphe G
Excentricité d’un sommet :
L’excentricité d’un sommet vi, noté e(vi), est la plus grande distance entre le sommet
vi et n’importe quel autre sommet du graphe c-à-d :
e(vi) = max
vj ∈V d(vi, vj) tel que i 6= j.
D’après le graphe illustré dans FIG.1.21 et après avoir calculé la distance entre tous les sommets on trouve :
e(v1) = 2; e(v2) = 3; e(v3) = 3; e(v4) = 2; e(v5) = 3;
Rayon d’un graphe :
Le rayon d’un graphe G noté rad(G) est l’excentricité minimum sur tous les sommets de G c-à-d : rad(G) = min
vi∈V (G)e(vi).
Dans le graphe G et les résultats précédents on a rad(G) = 2 .
Diamètre d’un graphe :
Le nombre chromatique
Le nombre chromtique d’un graphe G noté χ(G) est le nombre de couleurs minimum à affecter aux sommets de G, de telle sorte que les sommets adjacents soient de couleurs différentes .
Figure 1.22 – Graphe de nombre chromatique χ(G) = 3 .
conclusion
La théorie des graphes est riche par les définitions car beaucoups des invariants ont été définis dans le domaine de la théorie des graphes. Nous avons choisi dans ce chapitre les définitions et la terminologie et les notions qui seront util pour la compréhension du mémoire et pour établir une référence pour les invariants qui seront présentés par la suite.
2
Broadcasts et domination
Introduction
Dans ce chapitre, nous présentons quelques paramètres de domination et de la broad-cast domination et nous présentons les concepts de base qui seront utilisés dans le prochain chapitre .
2.1
Domination
Dans cette section nous présentons quelques paramètres de domination que nous reverrons dans le prochain chapitre. Avant, nous avons besoin d’une définition :
Un sous-ensemble S de sommets d’un graphe G est dit maximal (resp. minimal) pour une certaine propriété P si S vérifie la propriété P et qu’aucun sous-ensemble de sommets S0 ⊂ S (resp. S0 ⊃ S) de G distinct de S ne vérifie P . Par exemple, si P est la propriété
d’indépendance (c’est-à-dire les sommets sont non adjacents deux à deux), alors l’ensemble S = {v1, v2, v3} de la Figure 2.1 est maximal pour la propriété P ; dans la même figure,
si P est la propriété de domination (c’est-à-dire tout sommet de V − S est adjacent à au moins un sommet de S), alors S = {v1, v2, v3} est dominant minimal.
v1 v2 v3
Indépendant maximal et dominant minimal {v1, v2, v3}
Figure 2.1 – Maximalité et minimalité d’une propriété.
Dans la suite, nous considérons que les graphes non triviaux connexes.
Un ensemble dominant
Soit G = (V, E) un graphe, un sous-ensemble de sommets S ⊆ V est un dominant de G si tout sommet de V /S est adjacent à au moins un sommet de S, c’est-à-dire si N [S] = V . Le nombre de domination γ(G) et le nombre supérieur de domination Γ(G) de G sont, respectivement, les cardinalités minimum et maximum d’un ensemble dominant sur G.
Domination double
Soit G = (V, E) un graphe simple, un sous-ensemble S de V est un dominant double de G si pour tout sommet v ∈ S, on a [N [v] ∩ S] ≥ 2, c’est-à-dire ou bien le sommet v ∈ S et possède au moins un voisin dans S, ou bien v ∈ V − S et possède au moins deux
Théorème 2.1 [24]
Soit G un graphe sans sommets isolés, alors γ(G) + 1 ≤ γ×2(G).
Domination totale
Un ensemble S est un dominant total si V = N (S). Le nombre de domination totale,
noté γt(G), est le cardinal minimum d’un ensemble dominant total. Le nombre de
domi-nation totale supérieur, noté par Γt(G), représente le cardinal maximum d’un ensemble
dominant total minimal. Il est facile de voir que tout graphe G vérifie :
γ(G) ≤ Γt(G) ≤ 2γ(G) et γ(G) ≤ γt(G).
Indépendance
Un sous-ensemble de sommets S d’un graphe G est un indépendant (ou stable) si aucune paire de ses sommets ne constitue une arête. Le nombre d’indépendance (ou de stabilité) i(G) et le nombre supérieur d’indépendance β0(G) sont, respectivement, la plus
petite et la plus grande cardinalité d’un stable maximal dans G.
D’aprés la définition de nombre chromatique d’un graphe G dans chapitre 1 on a chaque ensemble des sommets qui portent le même couleur est stable (ou indépendant).
Proposition 2.1 [24]
Un stable S est maximal si et seulement s’il est stable et dominant, c’est-à-dire tout stable maximal est dominant. Alors il en découle la chaîne d’inégalités suivante :
γ(G) 6 i(G) 6 β0(G) 6 Γ(G). (2.1)
Irrédondance
Un sous-ensemble S ⊆ V est dit irrédondant si pour tout sommet x ∈ S on a, N [x] − N [S − x] 6= ∅ . Dans ce cas, l’ensemble N [x] − N [S − x] est appelé le voisinage
Cockayne, Hedetniemi et Miller [20] qui relie les six paramètres de domination pour tout graphe G :
ir(G) 6 γ(G) 6 i(G) 6 β0(G) 6 Γ(G) 6 IR(G).
Packing
Soit G un graphe, un sous-ensemble de sommets S de G est un packing de G si pour tout sommet v ∈ V (G), |N [v]∩S|6 1. Autrement dit, S est un packing de G si et seulement si aucune paire de sommets distincts de S n’est reliée par une chaîne ; en particulier, tout packing est un ensemble indépendant. Le nombre de packing P(G) et le nombre inférieur de packing p(G) sont respectivement la cardinalité maximum et minimum d’un packing maximal dans G. On obtient alors la chaîne d’inégalités 2.1 [24] :
p(G) 6 P (G) 6 γ(G) 6 i(G) 6 βi0(G) 6 Γ(G). (2.2)
Efficacité
Soit G un graphe, un ensemble dominant S de G est dit efficace si pour tout sommet v ∈ V , |N [v]∩S| = 1. De la définition précédente, on voit immédiatement que tout ensemble dominant efficace est un packing. Alors, on déduit grâce à la chaîne d’inégalités 2.2 que si un graphe G possède un ensemble dominant efficace, alors celui-ci est forcément un γ − ensemble. Par ailleurs, il existe des graphes qui ne possèdent pas d’ensemble dominant efficace. Citons, à titre d’exemple, le cycle de longueur C5.
2.1.1
Bornes sur γ
Une borne supérieure évidente sur le nombre de domination est le nombre de sommets du graphe. Puisqu’il faut au moins un sommet pour dominer un graphe, nous avons alors pour tout graphe G d’ordre n :
1 ≤ γ(G) ≤ n.
Un graphe G peut atteindre cette borne inférieure, si et seulement s’il possède un sommet de degré n − 1, et il atteint la borne supérieure n si et seulement si G = Kn, c.à.d,
G est un ensemble de sommets isolés.
Notons que chaque sommet isolé doit être dans tout ensemble dominant. Pour les graphes sans sommets isolés, la borne supérieure est réduite à n/2.
Théorème 2.3 [24]
Si G est un graphe connexe avec δ(G) ≥ 3, alors γ(G) ≤ 3n/8.
Théorème 2.4 [9, 10] Pour tout graphe G,
γ(G) ≤ n[1 − δ(1/(δ + 1))1+1δ].
Le nombre de domination pour presque tous les graphes vaut k + 1 ou k + 2 lorsque k est une certaine fonction donnée en n.
Théorème 2.5 [34]
Soit k = b(log n − 2 log log n + log log e)c. Alors, pour presque tous les graphes k + 1 ≤ γ(G) ≤ k + 2.
Il existe deux bornes intéressantes sur γ(G) en fonction du nombre de sommets n et du degré maximum ∆(G). La borne inférieure est prouvée par Berge, et la borne supérieure par Walikar, Acharya et Sampathkumar.
Théorème 2.6 [20, 35] Pour tout graphe G,
d n
1 + ∆e ≤ γ(G) ≤ n − ∆(G).
En termes des degrés maximum et minimum, Flach et Volkmann prouvent :
Théorème 2.7 [20] Pour tout graphe G,
γ(G) 6
n + 1 − (δ(G) − 1)∆(G)
δ(G)
Corollaire 2.1 [29]
Si G est un graphe sans sommets isolés, alors
γ(G) 6 n + 2 − δ(G)
2 .
Avec une condition supplémentaire sur la taille minimale du nombre de domination, la borne prouvée par Payan a pu être légèrement améliorée par Marcu .
Théorème 2.8 [26]
Si G est un graphe sans sommets isolés et γ(G)> 3, alors :
γ(G) 6 n + 1 − γ(G)
2 .
Une meilleure borne dépendante aussi de l’ordre de G et de son degré minimum pour les graphes sans sommets isolés est prouvée par, alon et Spencer :
Théorème 2.9 [1]
Si G est un graphe sans sommets isolés, alors :
γ(G) 6 n(1 + ln(δ(G) + 1))
δ(G) + 1 .
Cette borne a été améliorée par Arnautov .
Théorème 2.10 [2]
Si G est un graphe sans sommets isolés, alors :
γ(G) 6 n δ(G) + 1 δ(G)+1 X j=1 1 j.
Une borne supérieure pour le nombre de domination qui est en fonction de la taille m et l’ordre n d’un graphe G est une conséquence du théorème 2.11 de Vizing .
Théorème 2.11 [33]
Si G est un graphe avec γ(G) > 2, alors :
Corollaire 2.2 Pour tout graphe G ,
γ(G) 6 n + 1 −√5 + 2m.
Berge propose une borne inférieure qui devient intéressante lorsque le nombre de sommets est beaucoup plus grand que celui des arêtes.
Théorème 2.12 [3]
Pour tout graphe G d’oedre n et de taille m ,
n − m 6 γ(G).
Comme dans un graphe de diamètre 2, le voisinage ouvert d’un sommet quelconque domine le graphe, la borne supérieure suivante devient immédiate.
Théorème 2.13 [24]
Si G est un graphe de diamètre diam(G) = 2, alors γ(G)6 δ(G).
Exemple 2.1 Les graphes G qui sont bipartis Km,n avec m > 2, ou la chaîne P3 ou le
cycle Cn pour n = 4, 5, 6 vérifient γ(G) = δ(G).
Un autre résultat en rapport avec le diamètre donne une borne inférieure sur le nombre de domination pour tout graphe connexe non trivial G.
Théorème 2.14 [24]
Pour tout graphe connexe non trivial G,
γ(G) > ddiam(G) + 1
3 e.
Brigham, Chinn, et Dutton ont observé une relation très intéressante entre le diamètre
Du thérème 2.15, on déduit que si G est non connexe c.à.d. diam(G) = ∞, alors γ( ¯G) vaut au plus la valeur 2. Par ailleurs, si G est sans sommet isolé, alors G ne contient pas de sommet de degré n − 1, on obtient donc directement le résultat suivant :
Théorème 2.16 [24]
Si un graphe G est sans sommet isolé et diam(G) > 3, alors γ( ¯G) = 2. Pour la classe
particulière des graphes planaires, on a :
Théorème 2.17 [23]
Si G est un graphe planaire de diamètre diam(G) = 2, alors γ(G)6 3.
Théorème 2.18 [23]
Si G est un graphe planaire de diamètre diam(G) = 3, alors γ(G)6 10.
2.1.2
Complexité du problème de domination
Dans cette section, on omettra les rappels relatifs à la théorie de la complexité al-gorithmique. Pour plus de détail, le lecteur peut se référer aux livres de Sakarovitch [32], Garey et Johnson [22] et Papadimitriou [30]. Soit G = (V, E) un graphe d’ordre n. Le pro-blème de décision [12] associé au propro-blème de recherche d’un ensemble dominant minimum est donné par :
Problème Ensemble dominant
Instance : Un graphe G = (V, E) d’ordre n et k un entier positif, k ≤ n.
Question : Existe-il un ensemble dominant de G de cardinal 6 k ?
Problème 3-SAT
Question : Existe-t-il une instanciation des variables de U qui satisfait l’ensemble des clauses de C ? Par la réduction du problème 3 − SAT au problème ensemble dominant, David Johnson montre que le problème de l’ensemble dominant est N P − complet.
Théorème 2.19 [22]
Problème “Ensemble dominant” est N P − complet. Le problème “Ensemble dominant” reste N P − complet pour la classe des graphes bipartis [13] et les graphes triangulés [6]. Néan-moins, il est polynômial pour la classe des arbres avec un ordre de complexité égal à O(n) [11] et pour la classe des graphes de permutations avec un ordre de complexitè égal à O(n2)
[21].
2.2
Broadcast domination
Soit G un graphe. on appelle broadcast sur G, toute application f : V → {0, 1, ..., diam(G)} vérifiant f (v) ≤ e(v) pour tout sommet v ∈ V (G). Un sommet v pour lequel f (v) > 0
est appelé un sommet f − dominant ou un sommet broadcast, et l’ensemble Vf+(G) =
{v ∈ V (G) : f (v) > 0} des sommets f − dominants est appelé un ensemble f − dominant.
S’il n’y a pas d’ambiguité, nous écrivons Vf+ pour Vf+(G). On dit qu’un sommet f −
dominant v f − domine tout sommet u avec d(u, v) ≤ f (v), tandis que les sommets de
V (G) − Vf ne f − dominent aucun sommet de G. Un sommet u, f -dominé par v, est un
f − voisin de v. L’ensemble des f − voisins de v est appellé f − voisinage de v et est noté par Nf[v]. Le f − voisinage d’un ensemble S ⊆ V est Nf[S] = [
S
u∈SNf[u]. L’ensemble des
sommets qui f − dominent le sommet v est noté par Hf(v) ou H(v) lorsqu’il n’y a aucune
ambiguité. Un f − voisin privé de v est un sommet u vérifiant Hf(u) = v. L’ensemble des
f − voisins privés de v est appelé f-voisinage privé de v et est noté par P Nf[v].
Un broadcast dominant sur G est un broadcast f tel que tout sommet est f -dominé par
au moins un sommet de Vf+(G). Par conséquent, f est un broadcast dominant sur G si et
seulement si Nf[Vf+] = V (G).
Un broadcast dominant f est minimal si aucun broadcast dominant g ne vérifie à la fois g 6= f et g(v) ≤ f (v) pour tout sommet v ∈ V (G). Pour un broadcast f sur un graphe
G = (V, E), on appelle coût de f , le nombre f (V ) = P
v∈V f (v). Le nombre de broadcast
domination γb(G) de G est la valeur minimum de f (V ) sur l’ensemble des broadcasts
f-dominants sur G. Un broadcast dominant f sur G pour lequel f (V ) = γb(G) est un
γb − broadcast sur G et Vf+ est appellé γb − ensemble sur G. Par conséquent, f est un
Le sommet v1 f -dominé v1, v2, v3, v5 et a pour f -voisinage Nf[s] = {v1, v2, v3, v5}, mais v1
ne g − domine pas tous les sommets. Aussi, | Hf(v1) |= 1 | Hf(v2) |= 2,| Hf(v3) |= 1,
| Hf(v4) |= 1 et | Hf(v5) |= 2 | Hf(v6) |= 1 . La fonction f a f (V ) = 2 alors g(v) = 3. En
fait, il n’est pas difficile de voir que γb(G) = 2 et f est un γb-broadcast.
Graphe G (a) Broadcast f sur G (b) Broadcast g sur G v1 v2 v3 v4 v5 v6 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1
Figure 2.2 – Broadcast dominant sur un graphe .
On appelle nombre supérieur de broadcast domination d’un graphe G = (V, E) et le
note par Γb(G), le coût maximum d’un broadcast dominant minimal sur G. Un broadcast
f sur G vérfiant f (V ) = Γb(G) est appelé un Γb-broadcast sur G et Vf représente un
Γb-ensemble de G. D’une part, la fonction caractéristique fv1 d’un ensemble dominant
minimal S dans un graphe G est un broadcast dominant minimal. D’autre part, soit u ∈ V un sommet du graphe G, et soit fu : V → {0, 1, 2, ..., diam(G)} défini par fu(u) = e(u) et
fu(v) = 0, si v 6= u . Alors le broadcast fu est dominant minimal, en particulier, cela tient
lorsque e(u) = rad(G) ou e(u) = diam(G) et f (V ) a respectivement pour valeur rad(G) et diam(G). On appelle un broadcast pour lequel f (V ) = rad(G) un broadcast radial et un broadcast pour lequel f (V ) = diam(G) un broadcast diamétrical.
Observation 2.1 [14] Pour tout graphe G ona :
γb(G) 6 min {γ(G), rad(G)} 6 {Γ(G), diam(G)} 6 Γb(G). (2.3)
Théorème 2.20 [14]
Si G est un graphe de taille m, alors Γb(G) 6 m et l’égalitéé est atteinte si et seulement si
2.3
Broadcast dans les graphes
2.3.1
Résultats fondamentaux
Pour tout graphe G et tout entier fixé k avec 16 k 6 rad(G), le nombre de k-distance
domination, noté γk(G), est la plus petite cardinalité d’un ensemble de sommets S de G
tel que tout sommet de G est à distance k d’au moins un sommet de S.
Proposition 2.2 [18] Pour tout graphe G
γb(G) 6 min {kγk(G) : 1 6 k 6 rad(G)} .
En appliquant cette proposition pour k = 1 et k = rad(G), on obtient γb(G) 6 rad(G)
et γb(G) 6 γ(G).
Corollaire 2.3 Pour un graphe G
γb(G) 6 min {rad(G), γ(G)} .
Dunbar et al preuvent l’inégalité du corollaire 2.3.
On appelle graphe subdivisé d’un graphe G le graphe S(G) obtenu en insérant un sommet sur chaque arête de G (2.3).
Considérons S(K1,t) le graphe subdivisé de l’étoile K1,t où t > 2 est entier. Pour un
entier positif k, soit Hk le graphe obtenu en joignant un sommet pendant de S(K1,2+k) à
S(K1,4)
Figure 2.3 – Graphe subdivisé d’un graphe.
(H4)
Figure 2.4 – Jonction de deux graphes en deux extrémités.
Alors Γ(Hk) = 2k + 3 et diam(HK) = 2k + 4, donc max {Γ(Hk), diam(Hk)} = 2k + 4. Soit
v l’extrémité de P2k qui est extrémité de Hk. Soit le broadcast f : V (Hk) → {0, 1, 2k + 2}
défini par f (v) = 2k + 2, f (x) = 0 pour tout extrémité de Hk distincte de v et f (x) = 0
pour tout autre sommet. Alors f est un broadcast dominant minimal sur Hkde coût 3k + 3
et Γb(Hk) > 3k + 3 .
Observation 2.2 [14] Pour tout graphe G
Γb(Hk) − max {Γ(Hk), diam(Hk)} > k − 1.
Dans [18], Erwin résouds le problème d’existence d’un graphe G vérifié,
Théorème 2.21 [18] Pour tout entier positif k
min {tγt(Hk) : 1 6 t 6 rad(Hk)} − γb(Hk) >
2k
15 − 1.
Les graphes G vérifiant γb = rad(G) sont fondamentaux. Les trois propositions
sui-vantes, dont deux sont des caractérisations de ces graphes.
Les graphes G vérifiant γb = rad(G) sont fondamentaux pour l’étude des γb-broadcasts.
Les trois propositions suivantes, dont deux sont des caractérisations de ces graphes, le montrent :
Proposition 2.3 Soit f un γb-broadcast sur un graphe G, alors Vf = v si et seulement si
f (v) = e(v) = rad(G), ce broadcast est un broadcast radial.
Proposition 2.4 Soit G un graphe et f un γb-broadcast sur G. Si v ∈ Vf, alors
γb(hNf [v]i) = rad(hNf [v]i).
Proposition 2.5 Soit G un graphe, alors γb(G) = rad(G) si et seulement si
min {kγk(G) : 1 6 k 6 rad(G)} = rad(G).
Soit G un graphe d’ordre n> 4 tel que ∆(G) = n − 2, et soit H le graphe obtenu en joignant un nouveau sommet à tous les sommets de G. Alors γb(G) > γb(H), le théorème
suivant montre cette relation n’est pas vraie en général .
Théorème 2.22 [18]
Si H est le graphe subdivisé d’un graphe G, alors γb(G) 6 γb(H).
Théorème 2.23 [18] Pour tout graphe G, on a :
γb(G) > d
diam(G) + 1
3 e.
Corollaire 2.4 [18]
Pour tout entier n> 2 on a :
γb(Pn) = γ(Pn) = d
n 3e.
Il existe d’autres bornes qui dépendent du rayon. Pour un γb− broadcast f, notons par
M = maxf (x) : x ∈ Vf.
Lemme 2.1 [18]
Soit G un graphe et f un γb− broadcast sur G, alors
rad(G) 6 γb(G) + |Vf| − M − 1.
Corollaire 2.5 [16]
Soit G un graphe et f un γb− broadcast sur G, alors
γb(G) > d
rad(G) + M + 1 − |Vf|
2 e
.
Graphes avec un petit nombre de broadcast domination
Pour un graphe non trivial connexe G, ils ont pu démontrer la caractérisation connue suivante : γ(G) = 1 si et seulement si rad(G) = 1 (il suffit d’appliquer le corollaire 2.3 et la proposition 2.5). Les graphes avec un nombre de broadcast domination égal à 1 admettent une caractérisation identique.
Proposition 2.6 [17]
Soit G un graphe. Alors γb(G) = 1 si et seulement si rad(G) = 1.
Théorème 2.24 [17]
Soit G un graphe, alors γb(G) = 2 si et seulement si
min {rad(G), γ(G)} = 2.
Cependant, Erwin [17] propose des exemples pour montrer qu’il existe :
(i) une infinité de graphes G avec γb(G) = 2 = rad(G) < γ(G) (les graphes S(K1,n),
n > 3) ;
(ii) une infinité de graphes G avec γb(G) = 2 = γ(G) < rad(G) (les graphes Gnobtenus en
insérant 2 sommets sur chaque arête du graphe multiple à 2 sommet reliés par n arêtes, n > 1 ) ;
(iii) une infinité de graphes G avec γb(G) = 2 = γ(G) = rad(G) (les graphes multipartis
complets Kn1,n2,...nt, t> 2 et 2 6 n1 6 n2 6 .... 6 nt).
Il déduit de (i) qu’un graphe avec γb(G) = 2 peut avoir un nombre de domination aussi
grand que l’on voudrait. De (ii), il se posa la question sur la borne supérieure de rad(G) pour les graphes G avec γb(G) = 2. Il y répondit par cette conséquence du Théorème 2.24 :
Proposition 2.7 [17]
Si G est un graphe avec γb(G) = 2, alors
1. rad(G) = 2, ou
2. rad(G) = 3 et γ(G) = 2.
Une autre conséquence du Théorème 2.24 est la suivante.
Proposition 2.8 [17]
Si G est un graphe et min {rad(G), γ(G)} = 3, alors γb(G) = 3. Erwin résuma la
proposi-tion 2.6, le théorème 2.24 et la proposiproposi-tion 2.8 par :
Proposition 2.9 [16]
Graphe G avec γb(G) = 3 et min {γ(G), rad(G)} = 4
Figure 2.5 – Réciproque fausse de la Proposition 2.9 .
2.3.2
Classes de broadcasts dominants
Broadcast dominant minimal
Un ensemble dominant S d’un graphe G est minimal si aucun sous-ensemble propre de S ne domine V . Par analogie, un broadcast dominant f sur un graphe G est dit minimal s’il n’existe aucun broadcast dominant f0 sur G satisfaisant :
(i) f0(v) 6 f (v) pour tout v ∈ V et ; (ii) f0(u) < f (u) pour un certain u ∈ V .
La Figure 2.6 illustre deux broadcasts dominants minimaux distincts f et g sur S(K1,3).
f g
Broadcasts dominants minimaux f, g sur S(K1,3).
1 0 0 2 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0
Figure 2.6 – Broadcast dominant.
Tout γb − broadcast minimum est minimal mais l’inverse n’est pas vrai en général (voir
l’exemple illustré dans la Figure 2.6). Des conditions nécessaires ou des caractérisations existent sur la minimalité d’un broadcast.
Proposition 2.10 [17]
Si f est un broadcast minimal sur un graphe G et |Vf+| > 2, alors pour tout sommet v, f (v) < e(v).
Théorème 2.25 [17]
Soit G un graphe et f un broadcast dominant sur G, alors f est minimal si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites.
(a) Pour tout sommet v avec f (v) > 2, il existe un f −voisin privé u de v qui est à une distance f (v) de v ;
(b) Si f (v) = 1, alors v possède un f −voisin privé u ∈ N [v].
Le corollaire suivant est une conséquence immédiate du Théorème 2.24.
Corollaire 2.6 [17]
Si G est un graphe et f est un broadcast dominant minimal sur G, alors |f (u) − f (v)| < d(u, v) pour chaque paire u, v de sommets distincts dans Vf+.
Pour un graphe G, une fonction f : V → N est dite continue sur V si pour toute paire u, v de sommets adjacents de G on a que |f (u) − f (v)| 6 1.
Le lemme 2.2 suivant est une définition équivalente de la continuité.
Lemme 2.2 [16]
Soit G un graphe et f : V → N une fonction, alors f est continue sur V si et seulement si |f (u) − f (v)| 6 d(u, v) pour toute paire u, v de sommets de G.
Grâce au lemme 2.2, on déduit que le Corollaire 2.6 n’est autre que la continuité des broadcasts dominants minimaux sur l’ensemble des broadcast-dominants.
Remarque 2.1
minimal sur ce graphe.
Soit f un broadcast dominant sur un graphe G et soit v ∈ Vf+ . Un sommet x est dit
f −essentiel à v s’il existe un f −voisin privé u de v et une u − v géodésique contenant x.
Lemme 2.3 [17]
Soit f un broadcast dominant sur un graphe G et soient x, x0 ∈ V (G), v, v0 ∈ V+
f avec
v 6= v0. Si x est f −essentiel à v et x0 est fessentiel à v0, alors x 6= x0.
Théorème 2.26 [17]
Soit f un broadcast dominant sur un graphe G, pour tout sommet v ∈ Vf+ et tout f −voisin privé v0 de v, aucun sommet f −dominant distinct de v n’appartient à la géodésique v − v0.
Broadcast dominant optimal
Soit G un graphe, posons γc(G) = min{f (V ) : f est un broadcast, dominant sur G et
continue sur V }. Un broadcast f dominant continu de coût minimum sur un graphe G est
appelé γc− broadcast sur G. On a le lemme suivant :
Lemme 2.4 [16]
Si G est un graphe et f est un broadcast dominant minimal continue sur V , alors max {f (v) : v ∈ V (G)} = 1
Soit G un graphe, posons Γc(G) = max{f (V ) : f est un broadcast, dominant sur G et
continu sur V }. Un broadcast f dominant continu de coût maximum sur un graphe G est appelé Γc− broadcast sur G.
Théorème 2.27 [16] Pour tout graphe G,
Corollaire 2.7 [16]
Soit G un graphe, alors G admet un γc− broadcast si et seulement si γb(G) = γ(G).
Le résultat qui suit généralise la condition nécessaire(b) du Théorème 2.25 aux γb−broadcasts :
Théorème 2.28 [17]
Soit G un graphe d’ordre au moins égal à 2, alors il existe un γb− broadcast f sur G tel
que pour tout sommet v ∈ Vf+, il existe un f − voisin privé u de v qui est à une distance f (v) de v. Si f est un broadcast sur un graphe G et S ⊆ Vf+, alors on définit l’ensemble des f − voisins privés de S par P Nf[S] = Nf[S] − Nf[Vf+− S].
Théorème 2.29 [17]
Si f est un γb− broadcast sur un graphe G, alors pour tout ensemble non vide S ⊆ Vf+,
P
u∈Sf (u) ≤ minv∈V maxu∈P Nf[S]d(u, v).
L’inégalité présentée dans le Théorème 2.29 n’est pas une condition suffisante. En effet, pour n ≥ 4, soit v le sommet central de P2n+1 et χv la fonction caractéristique de v. La
fonction nχv est un broadcast dominant minimal sur P2n+1 satisfaisant le Théorème 2.29
mais n’est pas un γb− broadcast puisque γb(P2n+1) = d
2n + 1 3 e < n.
Corollaire 2.8 [17]
Soient G un graphe et f un γb − broadcast sur G. Alors pour toute paire de sommets
distincts u, v avec 0 < f (u) ≤ f (v), f (u) ≤ dd(u, v)
2 e et f (v) ≤ d(u, v).
La réciproque du corollaire 2.8 est fausse en général. Considérons le contre exemple suivant : soit k ∈ N , k ≥ 1, et T l’ensemble des sommets de degré 2 du graphe S(K1,2+k).
Broadcast indépendant
Soit G un graphe, un broadcast f est dit indépendant si tout sommet f − dominant n’est f -dominé que par lui-même, c’est-à-dire si pour tout sommet v ∈ Vf+, NfT Vf+ =
v, ou de manière équivalente, |Hf(v)| = 1. Un broadcast indépendant n’est donc pas
nécessairement dominant. Le coût maximum d’un broadcast indépendant de G est appellé nombre de broadcast indépendance et est noté par βb(G). Le nombre inférieur de broadcast
indépendance ib(G) est égal au coût minimum d’un broadcast indépendant maximal de G.
Observation 2.3 [14] Pour tout graphe G,
ib(G) ≤ rad(G) ≤ diam(G) ≤ βb(G).
Soit M un sous-ensemble de sommets de G tel que pour toute paire de sommets u et v de M , d(u, v) = diam(G), et soit µ(G) la cardinalité maximum d’un tel sous-ensemble de G. L’observation suivante montre que la borne inférieure sur βb(G) peut être améliorée :
Proposition 2.11 [14] Pour tout graphe G,
βb(G) ≥ µ(G)(diam(G) − 1) ≥ 2(diam(G) − 1),
et cette borne est atteinte.
En fait, la borne inférieure de βb de la Proposition 2.11 est atteinte par le graphe S(K1, t),
t ≥ 2.
Dans ce qui suit, lorsque deux paramétres α et sont incomparables, nous écrivons briève-ment α .
Observation 2.4 [14] Pour tout graphe G,
(i) γ(G) ≤ i(G) ≤ β0(G) ≤ βb(G),
(ii) {γ(G), i(G)} ib(G),
Dans [14], les auteurs étudiérent l’extension de la chaîne d’inégalités. γ(G) ≤ i(G) ≤ β0(G) ≤ Γ(G) énoncée au Chapitre 2, à savoir si γb(G) ≤ ib(G) ≤ βb(G) ≤ Γb(G) est
satisfaite.
Pour tout sommet v ∈ Vf+, posons df(v) = d(v, u) | u ∈ Vf+− v. Le théorème suivant est
une caractérisation des broadcasts indépendants qui généralise la Proposition 2.1.
Théorème 2.30 [17]
Soit f un broadcast indépendant sur un graphe G. Si Vf+ = {v} alors f est maximal si et
seulement si f (v) = e(v). Par ailleurs, si | Vf+ |≥ 2, alors f est maximal si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
(i)f est un broadcast dominant et ; (ii) pour tout v ∈ Vf+, f (v) = df(v) − 1.
Corollaire 2.9 [14] Pour tout graphe G, (i)γb(G) ≤ ib(G),
(ii) βb(G) Γb(G),
(iii)βb(G) Γ(G).
Le résultat suivant établit une chaîne d’inégalités entre β0 et les nombres de broadcast
indépendance :
Proposition 2.12 [14] Pour tout graphe G,
ib(G) ≤ rad(G) ≤ β0(G) ≤ βb(G).
Corollaire 2.10 [14]
∨ | | ∧ | ∧ γb(G) ≤ ib(G) ≤ βb(G) ≤ Γb(G)
Broadcast dominant indépendant
Un broadcast f est dit dominant indépendant s’il est á la fois indépendant et dominant. Le coût maximum d’un broadcast indépendant dominant minimal sur G est appelé nombre
supérieur de broadcast indépendant de domination et est noté par Γib(G). Nombre de
broadcast indépendant de domination γib(G) est égal au coût minimum d’un broadcast
dominant indépendant sur G.
Soient A et B deux ensembles, si A est sous-ensemble propre de B, on écrit A ⊂ B :
Théorème 2.31 [16]
Si f est un broadcast dominant non indépendant sur un graphe G = (V, E), alors il existe un broadcast g sur G qui est dominant indépendant avec g(V ) ≤ f (V ) et Vg+⊂ Vf+.
Corollaire 2.11 [16]
Tout graphe G possède un γb− broadcast qui est indépendant, ou bien pour tout graphe G,
γb(G) = γib(G).
Proposition 2.13 [14] Pour tout graphe G,
γib(G) ≤ ib(G) ≤ rad(G) ≤ diam(G) ≤ Γib(G).
Pour le nombre supérieur de broadcast indépendant de domination, nous avons ce qui suit :
Proposition 2.14 [14] Pour tout graphe G,
β0(G) ≤ Γib(G) ≤ min{Γb(G), βb(G)}.
D’autre part, Dunbar et al. montrent que, pour le graphe de Petersen P G et la chaîne P10,
on a Γib(P G) = 4 < 5 = Γ(P G) et Γ(P10) = 5 < 9 = diam(P10) ≤ Γib(P10). Ainsi, Γib
Broadcast efficace
Un broadcast f est efficace si tout sommet est f -dominé exactement par un seul sommet f −
dominant, c’est-à-dire que pour tout sommet v ∈ V , | Hf(v) |= 1. Le coût maximum d’un
broadcast efficace est appelé le nombre supérieur d’efficacité d’un broadcast, et noté Γeb(G),
et le nombre d’efficacité d’un broadcast γeb(G) est égal au coût minimum d’un broadcast
efficace. Un résultat très important sur lequel nous baserons pour prouver certains résultats
dans le Chapitre 3 concerne l’existence d’un γb − broadcast efficace avec une propriété
supplémentaire sur le graphe G.
Théorème 2.32 [14]
Tout graphe possède un γb− broadcast qui est efficace.
Corollaire 2.12 [14]
Tout graphe G posséde un γb − broadcast f pour lequel la distance entre deux sommets
f − dominants u, v est supérieure à f (u) + f (v). Parce que tout broadcast dominant efficace est dominant minimal, tout graphe G vérifie :
Γeb(G) ≤ min{βb(G), Γb(G), Γib(G)}.
Tous les résultats étendent la chaîne d’inégalités entre les invariants de broadcast :
Corollaire 2.13 [14] On a :
γb(G) = γib(G) = γeb(G) ≤ ib(G) ≤ rad(G) ≤ diam(G) ≤ Γeb(G) ≤ Γib(G).
Observation 2.5 [14] Pour tout graphe G,
broadcast packing de G est appelé nombre de broadcast packing et est noté par Pb(G). Le
nombre inférieur de broadcast packing est égal au coût minimum d’un broadcast packing maximal, et est noté par pb(G).
Observation 2.6 Pour tout graphe G, on a : (i) pb(G) P (G) ;
(ii) pb(G) p(G) ≤ P (G) ≤ Pb(G) ;
(iii) pb(G) ≤ rad(G) ≤ diam(G) ≤ Pb(G) ≤ βb(G).
On sait que la chaîne d’inégalité suivante est valide pour tout graphe G : p(G) ≤ P (G) ≤ γ(G).
Dunbar et al. se posérent naturellement la question de la conservation de cette chaîne entre les broadcasting invariants correspondants. Ils apportérent une réponse complète à cette question par ce qui suit :
Proposition 2.15 [14] Tout broadcast efficace est
(i) un broadcast packing maximal ; (ii) un broadcast dominant minimal ;
(iii) un broadcast dominant indépendant minimal.
Le corollaire suivant est immédiat du Corollaire 2.13 et de la Proposition 2.15 :
Corollaire 2.14 [14] Pour tout graphe G,
pb(G) ≤ γeb(G) = γib(G) = γb(G) ≤ ib(G) ≤ Γeb(G) ≤ min{Pb(G), Γb(G), Γib(G)}.
Observation 2.7 [14] Pour tout graphe G,
Pb(G) {γ(G), i(G), β0(G), Γ(G), Γib(G), Γb(G)}.
Les inégalités et comparaisons entre broadcasting invariants vues dans ce chapitre sont résumées dans le Tableau 2.1 [14].
p P γ i β0 Γ γb ib βb Γb r d Γib Γeb pb Pb p = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ P ≥ = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ γ ≥ ≥ = ≤ ≤ ≤ ≥ ≤ ≤ ≤ ≥ i ≥ ≥ ≥ = ≤ ≤ ≥ ≤ ≤ ≤ ≥ β0 ≥ ≥ ≥ ≥ = ≤ ≥ ≥ ≤ ≤ ≥ ≤ ≥ Γ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ = ≥ ≥ ≤ ≥ ≥ γb ≤ ≤ ≤ ≤ = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≤ ib ≤ ≤ ≥ = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≤ βb ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ Γb ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ = ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ r ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ ≤ = ≤ ≤ ≤ ≥ ≤ d ≥ ≥ ≤ ≤ ≥ = ≤ ≤ ≥ ≤ Γib ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ = ≥ ≥ Γeb ≥ ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ = ≥ ≤ pb ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = ≤ Pb ≥ ≥ ≥ ≥ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥ =
Table 2.1 – Tableau des différents paramètres de domination et de broadcast
2.3.4
Complexité algorithmique
Dans cette section, nous énonçons brièvement des résultats relatifs à la complexité algo-rithmique du problème de détermination de γb.
Problème de broadcast domination optimal
On appelle problème de broadcast domination optimale le problème suivant : étant donnés un graphe G = (V, E) et un entier positif K, existe-t-il un broadcast dominant f de G tel
Théorème 2.33 [25]
Le temps d’exicution de l’algorithme EBD sur un graphe G avec un sommets est O(n6).
La polynomialité de broadcast domination en a surprit plus d’un lors de la publication de [25]. D’autant plus que le problème de détermination du nombre de domination, cas par-ticulier du nombre de broadcast domination, dans des graphes arbitraires est NP-complet (voir page 190 de [19] ou page 300 de [24]).
En 2004, Blair et al. publiérent un papier dans lequel [25] et dans lequel ils prouvèrent la polynomialitè du problème de broadcast domination optimale dans les graphes d’inter-valles, les graphes sériesparallèles et les arbres en exhibant des algorithmes respectivement en O(n3), O(nr4) et O(nh) où r est le rayon du graphe série|parallèle et h la profondeur
de l’arbre (voir [8]). Suite à cela, Dabney et al. proposèrent un nouvel algorithme pour les arbres qui permet d’atteindre l’optimum en O(n) [15].
Conclusion
La domination était un concept essentiel dans la théorie des graphes à couse de son utilité théorique et pratique notamment dans la configuration et l’amélioration des réseaux. d’un autre part, la domination est la source de naissance du concept broadcast domination. Pour cela, dans ce chapitre nous avons donné un apperçu général sur la domination et quelques invariants qui ont été étudiés dans ce domaine. Par la suit nous avons présenté l’essentiel de la broadcast domination et quelques invariants de broadcast domination.
3
Broadcast efficace
Introduction
Dans ce chapitre, nous allons présenter notre apport personnel constitué de l’étude des broadcasts efficaces dans une classe de graphe qui est la chaîne, ce problème a été donné comme persepective de recherche par Dunbar et al. en 2004 dans [14]. Dans notre travail nous avons essayé de donner une formule pour le nombre de broadcasts efficaces distnicts dans une chaîne Pn.
3.1
Différénts invariants de broadcast et domination dans
la classe des chaînes et cycles
Dans cette section, nous citons quelques résultats obtenus concernant les invariants de broadcast domination dans la classe chaîne et la classe cycle .
On commence par le rayon d’une chaîne .
Théorème 3.1 [4]
Pour tout entier n> 2, rad(Pn) =
n
2 .
Bouchouika et al ont donné des valeurs exactes pour différents paramètres de domination et de broadcast domination dans les chaînes et des cycles .
Théorème 3.2 [4]
Pour tout entier n> 2, Γb(Pn) = IRb(Pn) = Diam(Pn) = n − 1.
Théorème 3.3 [4]
Pour tout entier n> 2, ib(Pn) = d
2n 5 e.
Le nombre de broadcast domination dans les chaînes et les cycles à été donné par Bou-chouika et al.
Proposition 3.1 [16] Pour tout entier n> 3,
γb(Cn) = γb(Pn) = d
n 3e.
Lemme 3.1 [4]
Soit f une diffusion maximale irrédundante sur Pn. Si Hf(vi) = ∅ pour chaque sommet vi,
Npn(vi) ∩ Nf(v
+ f) 6= ∅.
1) Si f est un broadcast maximale irrédundante sur Pn, alors Hf(v2) 6= ∅ et Hf(vn−1) 6= ∅.
2) Il existe irb-broadcast f sur Pn telle que Hf(v1) 6= ∅ et Hf(vn) 6= ∅.
Théorème 3.4 [4] Pour tout entier n ≥ 2,
irb(Pn) = γb(Pn) = d
n 3e.
Pour le nombre de packing dans les chaînes .
Théorème 3.5 [4] Pour tout n ≥ 2, Pb(Pn) = diam(Pn) = n − 1. et pour chaque n ≥ 3, Pb(Cn) = diam(Cn) = d n 2e. Lemme 3.3 [4]
Pour tout entier n ≥ 2, il existe un pb−broadcast f sur Pn tel que f (vi) = 1 pour chaque
sommet f −broadcast vi.
Théorème 3.6 [4] Pour tout entier n ≥ 2,
pb(Pn) = n 4 Si n ≡ 0 (mod 8), 2bn 8c + 1 Si n ≡ 1, 2, 3 (mod 8), 2bn 8c + 2 Si n ≡ 4, 5, 6, 7 (mod 8).
3.2
Broadcast efficace dans les chaînes
Chaque chaîne Pn de taille n (n> 2) peut admettre plusieurs broadcasts efficaces
diffé-rents, par exemple la figure 3.2 illustre 12 broadcasts efficases distincts sur la chaîne P7 où
γeb(P7) = 3 et Γeb(P7) = 6 . 6 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 2 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
Figure 3.1 – Broadcasts efficaces distincts sur P7
D’abord nous allons définir le nouveau invariant que nous allons étudié dans ce travail et qui est le nombre de broadcasts efficaces, distincts et lui donnez la notation Nγeb(G) .
Définition 3.1 Soit G = (V, E) un graphe ,
Le graphe G peut avoir plusieurs broadcasts domination efficaces, alors, on s’interesse à l’étude du nombre maximum de broadcasts efficaces distincts de ce graphe, ce nombre, on
le considerè comme un nouveau invariant et on le note Nγeb(G). Les cas symétriques ne
Exemple 3.1
2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2
3 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 3
(a) (b)
Figure 3.2 – Broadcasts efficaces distincts sur P7
Dans cette exemple on a l’ensemble des broadcasts (a) symétriques avec l’ensemble des broadcasts (b).
On considère Nγi
eb(G) le nombre des broadcasts efficaces distincts pour |V
+
f | = i,
c-à-d pour que la c-à-distribution c-à-des poic-à-ds strictement positif sur les sommets c-à-du graphe G a possède exactement i valeurs strictement positif, alors :
Théorème 3.7 Pour tout entier n> 2 ,
Nγeb(Pn) = N 1 γeb(Pn) + N 2 γeb(Pn) + .... + N dn 3e γeb (Pn).
Preuve 3.1 Pour pouvoir calculer le nombre de broadcasts domination efficaces distincts
Nγeb(Pn) on doit calculer N
i
γeb(Pn) pour chaque cas |V
+ f | = i.
Les broadcasts efficases qu’on peut affecter à une chaîne peuvent être regroupés en fonction de la cardinalité de l’ensemble Vf+. Ces nombres élémentairs de broadcasts efficaces notés Ni
γeb(Pn) où l’indice i commence par i = 1 pour lequel une seule valeur positive est mise
sur un sommet du graphe et la valeur maximum de i est i =n3 car pour avoir un nombre maximum de poids positifs sur les sommets du graphe G, il faut que les poids ne depassent pas la valeur 1 (pour minimiser la cardinalité de l’ensemble de voisinage du chaque sommet broadcast) et doit être positif donc les poids également exactement 1, maintent la fonction broadcast doit être définie comme suit :
Remarque 3.1 Le nombre maximum de sommets broadcast que peut avoir un graphe dans la fonction broadcast efficace est :
diamPn 3 + 1 = n − 1 3 + 1 = n − 1 3 +3 3 = n + 2 3 = ln 3 m . Proposition 3.2 Pour tout entier n ≥ 2,
Nγ1eb(Pn) =
ln 2 m
.
Preuve 3.2 montrons que Nγ1eb(Pn) =
ln 2 m
pour tout n> 2.
Soit Pn une chaîne d’ordre n tq Pn= (v1v2....vn). Les sommets sont numérotés de 1 à n.
Dans ce cas |Vf+| = 1 c-à-d l’ensemble des sommets broadcasts contient un seul sommet,
un seul sommet qui porte une valeur strictement positif qu’on le note à vb.
La fonction broadcast efficace doit être définie comme suit :
fi(v) =
n − i Si v = vb tel que i est l0ordre du sommet vb dans Pn et i = 1, ...,
n
2 .
0 Si non
si le sommet vb se situe sur le sommet numéro 1 de la chaîne Pn la fonction broadcast
devient : f1(v) = n − 1 Si v = vb. 0 Si non
ces fonctions sont efficaces et dominants c-à-d sont efficaces est maximales pour l’efficacité pour chaque position .
Maintenant selon la position i du sommet broadcast vb tel que i allant 1 à n − rad(Pn), on
aura (n − rad(Pn)) fonctions broadcasts efficaces maximales différents ,d’où
N1 γeb(Pn) = n − rad(Pn) = n − jn 2 k =ln 2 m .
Exemple 3.2
X pour P6
5 0 0 0 0 0
0 4 0 0 0 0
0 0 3 0 0 0
Figure 3.3 – Broadcasts efficaces distincts sur P6 pour | Vf+ |= 1
X pour P7
6 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0
0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0
Figure 3.4 – Broadcasts efficaces distincts sur P7 pour | Vf+ |= 1
Proposition 3.3 Pour tout entier n ≥ 2,
Nγ2 eb(Pn) = n−3 X j=1 n − j − 1 2 + bn 2c 2 X k=2 Nγ2 ebk(Pn), tel que : Nγ2 ebk(Pn) = n−2k−1 X j=k−1 n − j − 3k + 2 2 + dn + 1 2 e − b n + 1 2 c.
Preuve 3.3 Soit Pn une chaîne d’ordre n tel que : Pn = (v1, v2, ..., vn). comme | Vf+ |= 2
alors l’ensemble de sommets broadcasts contient deux sommets.
Soit f une fonction broadcast efficace sur Pn avec deux sommets broadcast alors, chaque
jusqu’à la position bn
2c − 1 si f (xa) = j alors le sommet xb peut se déplacer de la position j + 2 + rad(Pn−j−1) = b
n + j + 3
2 c à la position n.
Le premier cas :
Dans ce cas, nous fixons la position du sommet xaà la position n dans ce cas nous obtenons
(n + 1) − bn + j + 3
2 c = b
n − j − 1
2 c broadcasts efficaces pour j = 1, ..., (n − 3), donc le
nombre de broadcasts efficaces pour le premier cas est : N2 γeb1(Pn) = n−3 P j=1 bn − j − 1 2 c. Le deuxième cas :
Dans ce cas nous fixons le sommet va à la position i = 2 mais le sommet vb peut se déplacer
de la position j + 3 + rad(Pn−j−2) = b
n + j + 4
2 c jusqu’à la position n − 1, donc le nombre
de broadcasts efficaces pour le deuxième cas est :
N2 γeb2(Pn) = n−5 P j=1 n − bn + j + 4 2 c + d n + 1 2 e − b n + 1 2 c = n−5 P j=1 bn − j − 4 2 c + d n + 1 2 e − b n + 1 2 c tel que j = 1, 2, ..., n − 5. Le troisème cas :
Dans ce cas, nous fixons le sommet va à la position i = 3 mais le sommet vb peut se
dé-placer de la position j + 4 + rad(Pn−j−3) = b
n + j + 5
2 c jusqu’à la position n − 2, donc le
nombre de broadcasts efficaces pour le troisème cas est : N2 γeb3(Pn) = n−7 P j=2 n − bn + j + 7 2 c + d n + 1 2 e − b n + 1 2 c = n−7 P j=2 bn − j − 7 2 c + d n + 1 2 e − b n + 1 2 c tel que j = 2, ..., n − 7. le quatrième cas :
de la position j + 5 + rad(Pn−j−4) = b
n + j + 6
2 c jusqu’à la position n − 3, donc le nombre
de broadcasts efficaces pour le quatrième cas est : N2 γeb4(Pn) = n−9 P j=3 n − bn + j + 10 2 c + d n + 1 2 e − b n + 1 2 c = n−9 P j=3 bn − j − 10 2 c + d n + 1 2 e − b n + 1 2 c tel que j = 3, ..., n − 9. Le dernire cas :
Dans ce cas nous fixons le sommet va à la position i =
bn
2c
2
mais le sommet vb peut se
déplacer de la position j + db n 2c 2 e + 1 + rad(P n−j−d bn 2c 2 e ) = b n + j + db n 2c 2 e + 2 2 c jusqu’à la position n − db n 2c
2 e − 1, donc le nombre de broadcasts efficaces pour le dernire cas est :
N2 γeb d bn 2c 2 e (Pn) = n−2 bn 2c 2 −1 P j= bn 2c 2 −1 n − n + j + 3db n 2c 2 e − 2 2 + n + 1 2 − n + 1 2 = n−2 bn 2c 2 −1 P j= bn 2c 2 −1 n − j − 3db n 2c 2 e + 2 2 + n + 1 2 − n + 1 2 . Donc : Nγ2 eb(Pn) = n−3 X j=1 n − j − 1 2 + bn 2c 2 X k=2 Nγ2 ebk(Pn), tel que : Nγ2 (Pn) = n−2k−1 X n − j − 3k + 2 + dn + 1e − bn + 1c.
Exemple 3.3 X pour P7 3 0 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 2 0 3 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1
Figure 3.5 – Broadcasts efficaces distincts sur P7 pour | Vf+ |= 2
X pour P8 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 0 2 0 3 0 0 0 0 1 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 2 0 4 0 0 0 0 0 0 2 4 0 0 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1
Figure 3.6 – Broadcasts efficaces distincts sur P8 pour | Vf+ |= 2
Proposition 3.4 Pour tout entier n ≥ 2,
Nγ3 eb(Pn) = bn 2c−2 P i=2 Nγ2eb(P2i+1) Si n pair, bn 2c−1 P i=2 Nγ2 eb(P2i) Si n impair.
Preuve 3.4 Soit Pn une chaîne d’ordre n tq Pn= (v1v2...vn).
trois sommets qui portent des valeurs strictement positives qu’on les notes va, vb, vc
ordon-nés de la gauche à la droite. i) Si n est impair :
Soit f une fonction broadcast efficace optimale sur la chaîne Pn .
on note Si le nombre des broadcasts efficaces tel que f (vb) = i et H(vb) = 2 × i + 1
∀i = 1, ..., rad(Pn−4) tq : (rad(Pn−4) = rad(Pn) − 2 =
jn 2 k
− 2). Les sommets va,vc peuvent avoir des positions et des poids différents .
Alors on a : N3
γeb(Pn) = S1+ S2+ S3 + S4+ .... + Sb n
2c−2
On peut décomposer la chaîne Pn en trois chaînes P2i+1 c’est la chaîne induite par le
som-met vb et son f -voisinage, les deux autres chaînes sont induites par le reste du côté gauche
et le reste du côté droit, ces deux dèrnières chaînes contient les deux autres sommets broad-cast va,vc.
Les deux dernière chaînes peuvent être considérés comme une chaîne induite d’ordre n − (2i + 1) pour l’étude de le broadcast efficace. Donc on trouve que :
S1 = Nγ2eb(Pn−3) S2 = Nγ2eb(Pn−5) S3 = Nγ2eb(Pn−7) jusqu’à Sbn 2c−2 = N 2 γeb(P4) = 1, alors, N3 γeb(Pn) = N 2 γeb(Pn−3) + N 2 γeb(Pn−5) + N 2 γeb(Pn−7) + ... + N 2 γeb(P4). Donc N3 γeb(Pn) = bn 2c−2 P i=1 N2 γeb(Pn−2i−1) = bn 2c−1 P i=2 N2 γeb(P2i).
Comme illustration numérique nous avons : N3 γeb(P7) = 1 N 3 γeb(P9) = 5 + 1 N 3 γeb(P11) = 12 + 5 + 1 N 3 γeb(P13) = 24 + 12 + 5 + 1
