Sur un problème d'algèbre légale et sur une transformation de série

Texte intégral

(1)N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES. E. C ATALAN Sur un problème d’algèbre légale et sur une transformation de série Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 2 (1863), p. 107-111. <http://www.numdam.org/item?id=NAM_1863_2_2__107_1>. © Nouvelles annales de mathématiques, 1863, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal. php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/.

(2) SUR UN PROBLÈME D'ALGÈBRE LÉGALE (*) ET SUR UNE TRANSFORMATION DE SÉRIE 5 PAR M. E. CATALAN. Communiqué à la Société Phiiomathique, séance du 29 mars 1862.. I. D'après le Code civil (art. 757), le droit de Venfant naturel est d'un tiers de la portion héréditaire qu'il aurait euey sVZ eût été légitime (**). (*) Voir, pour ce problème, Quillet, Nouvelles Annales, t. IV, p. 253, et Louis Gros, t. X, p. 27. (**) Cette partie de l'article 757 se rapporte au cas du partage entreenfants légitimes et enfants naturels. Lorsque des enfants naturels concourent avec des ascendants ou des collatéraux, la loi a des conséquences bizarres et même absurdes, dont je ne parlerai pas ici. {Voyez une brochure intitulée : l'Article 757, — Application de VAlgèbre au Code civil.).

(3) Soient : / le nombre des enfants légitimes ; n le nombre des enfants naturels ; xiin la part d'un enfant légitime 5 ,?/,» la part d'un enfant naturel. On a d'abord, en prenant pour unité la somme à partager entre les / -+- n enfants,. D'un autre côté, conformément à la prescription ci-dessus,. De ces deux relations, on conclut aisément la formule suivante, connue depuis longtemps (*),. ( ".-=f-. n. #*(« — i ). 3"/(/-M)...(/-H«/. II. La complication de celte formule est peut-être ce qui empêche les jurisconsultes d'obéir, sinon à l'esprit, du moins au texte de la loi, quand il s'agit pour eux d'effectuer un partage entre enfants légitimes et enfants naturels. Mais on peut la remplacer par une autre expression beaucoup plus commode. On a en effet. _ ). .1. f f (i —. 1.2.3. . .p Jo. ((*)) Elle a été donnée d'abord par M. Cournot (Bulletin de Férussad n 3) 3V l. XV!. XVI, p..

(4) donc. ± £('-•>•] d'où enfin i. .,. i F. [xitHz=-\. i. «. i. 2--H--2»-1—;. n In — i ). V~ 2 -. h -i. i. II est visible que, pour former la quantité entre parenthèses, il suffit de développer ( s», -f- i) n et de diviser par /, l-\- i, / -4- 2 , . . . , / -h n les termes du développement. Du reste, il est facile de vérifier, par un procédé purement algébrique, l'équivalence des deux expressions de III. Cette équivalence étant démontrée, il en résulte que Ton a /. /(/•+• I). /(/+F)(/+2) n(n. — i)(n. — 2). (5). même quand les deux membres, au lieu d'être composés d'un nombre fini de termes, deviennent des séiics con-.

(5) ( «o) vergentes. Par exemple, en supposant '=. n = — 1,. i,. I. Z. 2'. on trouve i -f- 2. G)-. V. ?G. I. • ) " - • . • •. I. "2+ 3~. cc qui est exact. IV. Si Ion pose z 1. Z. d'où résulte ^ I— t. l'équation (5) devient 1. «. n {n — 1). 1. i. 1. 1.2. I / 4- I. n. z. n{n — \). /. t. \2. ou plutôt, par le changement de t en z : I. n [n — 1). 1. I .2. /-j-2. z. (6). /. I l-\-l. Cette seconde transformation est, pour ainsi dire, conjuguée de la première. On peut Ie3 renfermer dans la.

(6) double formule : in. n z /(/+,),-z. /. (7). i. i. /z. i»(n-i). f. n[n — i) /(/+i)(/-+-a)\i —. » [n — i). ____ I /. /II S l / H - I I —Z. //(« l) I / 2 V 1.2 / - + - 2 \ I — Z/. Celle-ci a d'assez nombreuses conséquences, sur lesquelles je pourrai revenir dans une autre occasion..

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