Étude théorique du jet de plasma supersonique à courant continu

UNIVERSITE DE SHERBROOKE

ETUDE THEORIQUE DU JET DE PLASMA SUPERSONIQUE A COURANT

CONTINU

These de doctorat es sciences appliquees Specialite: genie chimique

Bertrand Jbdoin

A mes parents, Alain et Solange A mon frere, Claude

On doit prevoir que, traitant des sujets aussi nouveaux, hasarde dans une voie aussi insolite, bien souvent des difficultes se sont presentees que je n ai pu vaincre. Aussi [...] trouvera-t-on souvent la formule "je ne sais pas". La classe de lecteur [...] ne manquera d'y trouver a rire. C'est que malheureusement on ne se doute pas que Ie

livre Ie plus precieux du plus savant serait celui ou il dirait tout ce qu il ne sait pas,

c'est qu'on ne se doute pas qu' un auteur ne nuit jamais tant a ses lecteurs que quand il dissimule une difficulte. Quand la concurrence c'est-a-dire 1 egoisme ne regnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour etudier, au lieu d'envoyer aux academies des paquets cachetes, on s'empressera de publier ses moindres observations pour peu qu'elles soient nouvelles, et on ajoutera: "je ne sais pas Ie reste".

Resume

La deposition par plasma supersonique a courant continu perraet d'obtenir une qualite de depot superieure au jet subsonique. Un modele numerique a ete developpe dans Ie but de

mieux comprendre les m.ecanismes de transfert a Pinterieur de la -fcuyere e-fc d'estiEcier

1'in-fluence des parametres d operation de la torche sur Ie jet a la sortie de la tuyere.

Les equations d Euler, auxquelles sont ajoutees 1 efFet Joule, la conduction et les pertes

par rayonnement sont resolues a 1'aide de la methode de Jameson. Un schema centre est

utilise pour resoudre les champs electriques. La sous-couche cathodique en desequilibre ther-modynamique est modelisee a, 1'aide du modele simple de Morrow et Lowke. Quelques details

sur les aspects numeriques facilitant la convergence du systeme sont donnes.

Le modele esi valide pour un ecoulement compressible classique et pour un jet de plasma supersonique a Paide de resultats de la litterature.

Les champs a Pinterieur de la tuyere sont analyses afin de determiner 1'influence de Phydrogene, de Pintensite du courant et de la geometrie de la tuyere sur les caracteristiques

Remerciements

Je tiens en premier lieu a, remercier mes co-directenrs, les professeurs Pierre Proulx et Yves M.ercadier pour leur soutien. Les precieux conseils du professeur Proulx m out ete utiles et

sa j ole de vivre reconfortante dans les moments difficiles ei m'ont permis de mener a bien ce

projet de recherche. Merci Boss.

Je me dois aussi de remercier les professeurs Guy Payre et Marcel Lacroix, qui m'on-fc toujours ouvert leur porte et qui on-fc contribue a la realisation de ce travail. Mere! de votre patience.

Un grand merci aux professeurs Gregoire Winckelmans et Martin Bronillette qui out con-tribue a. mon epanouissement scientifique au long de cette these e-fc sont devenus au fil des

ans de bons amis. Mere! pour tout.

Je remercie aussi tous les raembres du Centre de Recherche en Technologie des Plasmas (CRTP), tous mes amis et plus specialemen-fc Andre, Monsieur Pepin, Povre Bill, Denis, Le Bouyer, Sylvain, Jo, Mart, Ascii et Mat Votre amitie et les mom.ents passes ensemble on-fc cree une ambiance de travail des plus agreable et stimulantie. IVterci la gang.

J'exprime aussi mes remerciements aux professeurs Jean-Yves Trepanier, Fraii9ois Gitzhofer

et Stephane Cyr qui m'ont fait I'honnenr de participer au jury de ma these. Merci a vous.

Un merci tout special a Annie, qui a rendu les derniers raom.ents de la redaction des plus agreables.

En terminant, je dedie cette these a mon pere et a ma mere, qui m'on-t; appris la valeur du travail et m'ont -fcoujours encourage a me surpasser, ainsi qu'a raon frere. Je vous admire

Table des matieres

1.1.2 L'equilibre Uiermodynamique dans les plasmas ... 4

1.1.3 Les proprietes des plasmas ... 7

1.2 Le plasma a courant continu ... 9

1.2.1 Generation ... 9

1.2.2 La cathode ... 10

1.2.3 L'anode ... 11

1.2.4 Structure et caracteristique de I'arc electrique ... 11

1.2.5 Utilisations ... 13

1.3 Position du probleme et objectifs ... 16

^ 2 Ecoulements compressibles 18 2.1 Coirtinuum ... 18

2.2 Propagation des ondes dans un milieu elastique ou incompressible ... 19

2.5.1 Ecoulement a travers une conduite a aire variable ... 21

2.5.2 Proprietes de stagnation ... 23

2.5.3 Ecoulement compressible isentropique dans une tuyere convergente . 24 2.5.4 Ecoulement compressible isentropique dans une tuyere convergente-divergente ... 26

2.6 Ecoulement compressible avec apport de chaleur ... 28

2.7 Jet en sous-expansion ... 29

3 Modele mathematique 32 3.1 Modele matheraatique de 1'ecouleraent ... 32

3.1.1 Choix du niodele d Euler ... 35

3.1.2 Modele mathematique de 1'ecoulement; ... 37

3.2 Modele mathematique du champ elec-fcrique ... 38

3.3 Modele mathematique de la sous-couche cathodique ... 39

3.3.1 Modele de Morrow et Lowke ... 40

3.4 Traitement de 1 dttachement anodique ... 43

4 Resolution numerique 44 4.1 Type d'equation ... 44

4.2 Methodes de resolution des equations ... 45

4.3 Schemas numeriques ... 45

4.3.1 Revue des schemas nuraeriques ... 46

4.3.2 Schema numerique utilise ... 48

4.4 Maillage ... 50 4.5 Geometrie ... 52 4.6 Conditions limites ... 53 4.6.1 Champ aerodynamique ... 53 4.6.2 Champ electriques ... 55 4.6.3 Sous-couche cathodique ... 55 4.7 Algorithme ... 56 4.8 Remarques ... 58

5 Validation du modele numerique 61

5.1 Comparaison du modele avec un ecoulemen-fc transsonique classique ... 62

5.2 Comparaison du modele avec un jet de plasma d.c. supersonique ... 65

5.3 Etude de Pmfluence des parametres du modele ... 67

5.3.1 Le maillage ... 67

5.3.2 La viscosite artificielle ... 69

5.3.3 Le pas de temps ... 69

5.3.4 Les facteurs de relaxation ... 69

5.3.5 Les conditions initiales ... 70

6 Utilisation du modele coinine outil de prediction: resultats 71 6.1 Structure generale de 1 ecoulement ... 72

6.1.1 Zone du coeur chaud ... 73

6.1.2 Zone de transition ... 74

6.1.3 Zonefroide ... 74

6.1.4 IsoMach ... 75

6.2 Influence de Phydrogene sur Ie plasma d argon ... 83

6.3 Effet de 1 intensite du courant ... 91

6.4 Effet du diametre de sortie (ds) ... 100

6.5 Effet du diametre minirnal de I'anode da ... 108

Conclusion 114 Nomenclature 117

Liste des figures

1.1 Degred?ionisationdunplasi-nad''argonapressionatmospherique ... 2

1.2 Chaleur specifique de 1 argon ... 7

1.3 Rapport des chaleurs specifiques de 1'argon ... 8

1.4 Conductivite tliermique de 1'argon ... 8

1.5 Generateur de plasma a courant continu supersonique ... 9

1.6 Distribution du potentiel dans 1'arc electrique ... 11

1.7 Evolution de la temperature axiale dans un jet APS et LPPS... 15

1.8 Evolution de la vitesse axiale dans un jet APS et LPPS ... 15

2.1 Gone de Mach ... 21

2.2 Distribution de pression dans une tuyere convergente ... 25

2.3 Debit dans une tuyere convergente ... 25

2.4 Distribution de pression dans une tuyere convergente-divergente ... 27

2.5 Debit dans une tuyere convergente-divergente ... 27

2.6 Structure generate du jet en sous-expansion ... 29

2.7 Details de la premiere cellule de choc ... 30

2.8 Representation globale du jet en sous-expansion ... 30

2.9 Morphologie d'un choc dans un gaz partiellement ionise ... 31

4.1 Geometric etudiee ... 52

4.2 Caracteristiques ... 53

4.3 Algorhithme de calcul ... 57

5.2 Comparaison des iso-]V[ach raodele-raesure ... 64

5.3 Geometric ... 65

6.1 Champ de temperature du plasma d'argon-hydrogene (1=600 A) ... 77

6.2 Champ de vitesse du plasma d'argon-hydrogene (1=600 A) ... 77

6.3 Champ de potentiel du plasma d'argon-hydrogene (1=600 A)... ... 78

6.4 Profils radiaux de temperature du plasma d'argon-hydrogene (1=600 A) ... 78

6.5 Temperature a 1'axe et a la cathode du plasraa d'argon-hydrogene (1=600 A) 79 6.6 Distiribution de pression sur 1'axe et la cathode et a 1'anode du plasma d'argon-hydrogene (1=600 A) ... 79

6.7 Distribution de vitesse axlale sur 1 axe ei a la cathode du plasma d argon-hydrogene (1=600 A) ... 80

6.8 Profils radiaux de vitesse du plasma d'argon-hydrogene (1=600 A) ... 80

6.9 Champ de densite du plasma d'argon-hydrogene (1=600 A).. ... 81

6.10 IsoMachs du plasma d'argon-hydrogene (1=600 A).. ... 81

6.11 Profils radlaux du nombre de Mach du plasma d'argon-hydrogene (1=600 A) 82 6.12 Champ de temperature: comparaison entre un plasma d'argon (haut) et un plasma d'argon-hydrogene (bas) (1=600 A).. ... 86

6.13 Champ de vitesse: comparaison entre un plasma d'argon (haut) et un plasma d'argon-hydrogene (bas) (1=600 A) ... 86

6.14 Temperature du plasma a Paxe et a la cathode: comparaison entre un. plasma d'argon et un plasma d'argon-hydrogene (1=600 A) ... 87

6.15 Profils radiaux de temperature a, la sortie: comparaison entre un plasma d'argon et un plasma d'argon-hydrogene (1=600 A) ... 87

6.16 Distributions de vitesse axiale: comparaison entre un plasma d argon et un plasma d'argon-hydrogene (1=600 A) ... 88

6.17 Distribution de pression sur 1'axe et a 1'anode du plasma d'argon (1=600 A) 88 6.18 Profils de vitesse du plasma d'argon (1=600 A).. ... 89

6.22 Champ de temperature: comparaison entre un plasma d'argon-hydrogene a

600 A (bas) et a 1200 A (haut) ... 94

6.23 Champ de vitesse: comparaison entre un plasma d'argon-hydrogene a 600 A

(bas) et a 1200 A (haut) ... 94

6.24 Profils de temperature du plasma d'argon-hydrogene a Paxe et pres de la

cathode pour difFerents courants ... 95

6.25 Temperature maximale au bout de la cathode du plasma d argon-hydrogene

pour dlfferents courants ... 95

6.26 Profils radiaux de temperature a, la sortie du plasma d argon-hydrogene pour

differents courants ... 96

6.27 Profils radiaux de vitesse a la sortie du plasma d argon-hydrogene pour differents

courants ... 96

6.28 Debit total du plasma d'argon-hydrogene pour differents courants ... 97

6.29 Pourcentage du debit de plasma d'argon-hydrogene par rapport au debit total

pour differents courants ... 97

6.30 Pression a la sortie du plasma d'argon-hydrogene pour difFerents courants . . 98

6.31 Caracteristiques V-I du plasma d'argon-hydrogene pour difFerents courants . 98

6.32 IsoMach du plasma d'argon-hydrogene, 1=1000 A ... 99

6.33 Position sur Panode de 1'isoMach M=l du plasma d argon-hydrogene pour

difFerents courants ... 99

6.34 Champ de temperature du plasma d'argon-hydrogene, <^=5.7 mm (1=600 A) 102 6.35 Champ de vitesse du plasma d'argon-hydrogene, <^=5.7 mm (1=600 A) ... 102 6.36 Temperature a Paxe du plasma d'argon-hydrogene pour differents diametres

de sortie (1=600 A) ... 103

6.37 Temperature a la sortie, a 1'axe, du plasma d'argon-hydrogene pour differents

diametres de sortie (1=600 A) ... 103

6.38 Profils de temperature a la sortie du plasma d'argon-hydrogene pour differents

diametres de sortie (1=600 A) ... 104

6.39 Profils de vitesse a la sortie du plasma d'argon-hydrogene ponr differents

6.40 Vitesse axiale du plasma d'argon-hydrogene, comparaison pour deux diametres

de sortie (1=600 A) ... 105

6.41 Debit du plasma d'argon-hydrogene pour differents diametres de sortie (1=600

A) ... 105

6.42 Pression a la sortie du plasma d argon-hydrogene pour differents diam.etres de

sortie (1=600 A). ... 106

6.43 Voltage du plasma d'argon-hydrogene pour differents diametres de sortie (1=600

A) ... 106

6.44 Profils du norabre de Mach a la sortle du plasma d argon-hydrogene pour

differents diametres de sortie (1=600 A).... ... 107

6.45 Position de PisoMach M=l du plasma d'argon-hydrogene pour differents diame-fcres

de sortie (1=600 A).. ... 107

6.46 Profils de temperature a 1'axe du plasma d argon-hydrogene pour differents

diametres de Panode (1=600 A) ... 109

6.47 Temperature maximale du plasma d'argon-hydrogene pour differents diametres

de Panode (1=600 A) ... 109

6.48 Profils de temperature a la sortie du plasma d'argon-hydrogene pour differents

diametres de 1'anode (1=600 A) ... 110

6.49 Profil de vitesse axiale a 1'axe du plasma d'argon-hydrogene pour differents

diametres de Panode (1=600 A) ... 110

6.50 Profils de vitesse du plasma d'argon-hydrogene pour differents diametres de

Panode (1=600 A)... ... Ill

6.51 Debits du plasma d'argon-hydrogene pour differents diametres de 1'anode

(1=600 A) ... Ill

6.52 Pression a la sortie du plasma d'argon-hydrogene pour difFerents diametres de

Fanode (1=600 A)... ... 112

6.53 Voltage du plasma d'argon-hydrogene pour difFerents diametres de 1'anode

(1=600 A) ... 112

Liste des tableaux

5.1 Comparaison ... 66 5.2 Maillage ... 68

6.1 Influence de 1'hydrogene sur les caracteristiques du coenr chaud, region (i). . 83 6.2 Influence de 1'hydrogene sur la zone du coeur chaud dans la partie divergente,

region (ii). ... 84

Chapitre 1

Introduction

Les concepts physiques sont des creations libres de Pesprit humain et ne sont pas comme on pourrait Ie croire, uniquement determines par Ie monde exterieur.

-Albert Einstein Peu d'esprits s'inquietent d'examiner la question avant de fournir la reponse.

-Paul Valery Dans ce chapitre, une definition generale des plasmas sera presentee de raerae que les caracteristiques et proprietes des plasmas thermiques. Les plasmas a courant continu seront

ensuite abordes de fa^on plus precise en enon^ant entre autre la methode de generation et quelques applications. Une etude bibliographique des travaux portant sur Ie sujet sera finalement effectuee, menant a I'etablissement des objectifs de cette these.

1.1 Les plasmas

Les plasmas, souvent appeles Ie quatrieme etat de la matiere, sont des gaz partielleraent

ionises composes d'atomes, d'ions, d'electrons e-b de photons, Ie tout etant electriquement

neutre a I'echelle macroscopique [1]. Cette echelle macroscopique est representee par la dis-"fcance carac'beristique XD appelee longueur de Debye. Ainsi, toute perturbation de la neu'fcralite

Ao2= CQ ka T

He €2

(1.1)

A titre d exemple, la longueur de Debye pour un plasma d argon a pression atmospherique a 10 000 K est d'environ 7/um.

Dependant du niveau d'energie du plasma, Ie degre d'ionisation peut a-fcteindre des

ni-veaux tels que Ie gaz est completement ionise, c'est-a-dire qu'il n existe plus de particule a

Petat neutre. Le degre d'ionisation a du plasma est defini par:

n,

a

(1.2)

ni + na

La figure 1.1 illustre Ie degre d'ionisation d'un plasma d'argon a pression atniospherique.

sQ) D) (D

Q

0 5 10 15 20 25 30

Temperature (1000 K)

Les electrons libres du plasma, habituelleirLent produits par Ie gaz lui-meme par Ie biais d une variete de processus d'ionisation, lui conferent une conductivite electrique qui Ie

dis-tingue des gaz neutres.

A Petat de regime, Ie taux d ionisation est equilibre par Ie taux de recorabinaison. Les processus d ionisation possibles peuvent etre provoques entre autre par des radiations a haute energie (UV, rayons-X) ou cles collisions (entre atomes et electrons) a travers les decharges electriques ou dans les gaz chaufFes de fa§on intensive. On distingue deux types de colli-sion: elastiques et inelastiques. Lors des collisions elastiques, 1 energie cinetique totale des

particules impliquees est conservee. C'es-fc ce type de collision que 1 on retrouve

principa-lement dans les gaz neutres a la temperature ambiante. Quant aux collisions inelastiques, ce sont des collisions durant lesquelles 1 energie cinetique totale des particules impliquees

varie, engendrant une i-nodification de 1 energle mterne des particules. Les processus com.me

Pexcitation, Pionisation, la dissociation et la recorabmaison sont des exemples resultant de collisions inelastiques.

1.1.1 Types de plasmas

En general, on distingue deux types de plasma [1]: les plasmas thermiques (dit plasmas en equilibre ou plasmas chauds) et les plasmas hors-equilibre (dit plasmas froids). Les premiers sont caracterises par une enthalpie specifique elevee et 1'egalite des tempera-bures entre les particules lourdes (atomes et ions) et les electrons. Us sont generalement produits sous des

pressions avoisinant la pression atmospherique. Pour ces conditions, Ie nombre de collisions est suffisament eleve pour que les electrons puissent transferer aux particules lourdes 1 energie acquise des champs electriques. Ceci permet par consequent d'obtenir une temperatrLre des parUcules lourdes identiques a celle des elec-fcrons. Les plasmas froids sont caracterises par leur

forte deviation entre la temperature des particules lourdes et des electrons, suite au nombre insuffisant de collision entre ces deux types de particules. II en resulte une temperature plus faible des particules lourdes.

1.1.2 I/equilibre thermodynamique dans les plasmas

Le plasma a ete defini precedeniment comnie etant un melange de differentes particules et de photons, les particules pouvant etre divisees en particules lourdes et electrons, ces derniers se depla^ant a des vitesses beaucoup plus elevees que les particules lourdes. La -fcheorie cinetique des gaz s'applique au plasma [2] et permet de definir la temperature des particules i par:

JfcsT. = ^n^ (1.3)

Lorsque les conditions d'equilibre sont satisfaites (raicroreversibilite pour tous les proces-sus elementaires collisionnels et radiatifs), la distribution spectrale des photons suit la loi de

Planck, defmissant ainsi la "fcemperature de rayonneraent. Les correlations entre les differen'fces

Equilibre thermodynamique complet (ETC)

L'ETC regne dans un volume de plasma uniforme et homogene si 1'equilibre cinetique et chimique ainsi que toutes les proprietes du plasma sont fonction de la temperature [1, 3, 4]. La temperature (represent ant Ie niveau d'energie) doit etre la meme pour tous les consti'fcuants du plasma . Plus specifiquement :

• les fonctions de distribution de vitesse de chaque espece existant dans Ie plasma obeissen-fc a la loi de Maxwell. Les temperatures definies par ces fonc-fcions de distri-bution, Te pour les electrons et Th pour les particules lourdes, doivent etre les memes (equilibre cinetique) et cette temperature doit etre identique a la temperature du plasma Tp;;

• la densite des atomes excites sur un niveau d energie est donnee par la loi de Boltzmann. La temperature d excitation Tex defmie ainsi doit etre identique a la temperature du plasma;

• les densites des ions, des elec-fcrons e-fc des atiomes son-fc lies par la loi de S aha (equilibre chimique dans Ie plasma). La temperature qualifiant cet etat d'equilibre Treac doit anssi etre identique a la temperature du plasma;

• Ie rayonnement emis par Ie plasma obeit a la loi de Planck. La temperature de ce

rayonnemen-fc de corps noir Trad doit elle aussi etre identique a la tenapera-fcure du plasma.

En resume, pour avoir 1'ETC dans Ie plasma, 11 fau-fc que:

e J-h ^-ex -Lreac ± rad -L pl ^•1--'

Dans la pratique, les plasmas etant optiquement minces dans une gamnie de longueur d'onde et subissant des pertes d'energie irreversibles (par conduc-fcion, convection et diffusion), Pequilibre thermodynamique s'en trouve perturbe, si bien que 1 ETC n es-fc jamais atteint en

Equilibre thermodynamique local (ETL)

Les considerations qui sui vent sont restreintes aux plasmas optiquement minces, situation

que 1 on retrouve plus frequemraent en laboratoire. Contrairement a 1'ETC, 1'ETL dans

les plasmas optiquement minces ne necessite pas que Ie rayonnemen-fc suive celui du corps

noir a la temperature definie par 1'ETL [1, 3]. Get equilibre necessite cependant que les processus collisionnels dominent les processus radiatifs dans Ie plasma [4] et qu'il y alt microreversibilite dans les processus collisionnels. L'equilibre de chaque processns collisionnel est done necessaire et sera possible a condition que la densite electroniqne soit suffi.sarnnient

elevee pour que 1 echange d energie electron-particules lourdes soit efficace. L'ETL iiecessite

aussi que les gradients locaux des proprietes du plasma (temperature, densite, conductivitie, etc.) soient suffisamment faibles pour qu'une particule diffusant d'un point a un autre alt Ie temps de s equilibrer. Le temps de diffusion doit etre du m.em.e ordre de grandeur ou superieur au temps d'equilibre.

En resume, pour avoir PETL dans Ie plasma, 11 faut que:

tr __ rp_tr __ rp _ rp __

e -Lh •L ex J- reac J-pl \^-'

Plasma a deux temperatures

Si la, densite electronique esi plus faible que 10 electrons /cm [4] et/ou les gradients de temperature et de concentration sont suffisamment eleves [1] pour que la diffusion des

electrons devienne importante, alors la temperature des electrons sera generalement plus

elevee que celle des particules lourdes. Un modele a deux temperatnres doit alors etre utilise pour decrire Ie plasma [5, 6]. Ce type de condition esi toujours rencontre pres des parois, a

1.1.3 Les proprietes des plasmas

Contrairement au cas des gaz neutres, les proprietes des plasmas varient fortement et de fa,<xm non-lmeaire en fonction de la temperature . A titre d'exemple, les figures 1.2, 1.3 et

1.4 representent la chaleur specifique (7p, Ie rapport Cp/Cv et la conductivite thermique k de 1'argon en fonction de la temperature T 1]. On peut distinguer la preraiere ionisation, completee autour de 15 000 K.

10 15 20 25 30

Temperature (1000 K)

Temperature(x1000 K)

Figure 1.3: Rapport des chaleurs specifiqnes de Pargon

Temperature (1000 K)

1.2 Le plasma a courant continu

1.2.1 Generation

Le plasma a courant continu est genere en passant un courant electrique a travers un gaz, formant ainsi un arc electrique. Puisque les gaz sont d'excellents isolants electriques

a temperature ambiante, un nombre suffisant de charges doit etre generees afin de rendre Ie

gaz conducteur. Ce processus est connu sous Ie nom d'amor^age de 1'arc 1, 3] et de nom-breuses methodes sont utilisees ponr y parvenir: amorcage par contact d'electrodes, par etincelles haute tension ou haute frequence. Une fois Pamorcage coraple'fcee, 1'arc electrique est maintenu entre deux electrodes: la cathode et 1'anode. Pour Ie plasma a courant

con-tinu, la cathode est generalement de forme conique alors que I'anode est en fait la tuyere elle-meme, telle qu illustree a la figure 1.5. Le gaz est injecte a la peripherie de la cathode et

est chaufFe par 1'arc electrique pour en ressortir sous form.e de plasma.

Sortie d'eau Sorties d'eau Entree du gaz

Isolant

Entree d'eau

Anode

1.2.2 La cathode

La nature de la cathode est importante pour la caracterisation de 1'arc electrique et Fetude

de son comportement. C est pourquoi une attention particuliere est portee aux processus

cathodiques [2, 8, 9, 10, 11]. Le courant electrique est emis en totalite a la cathode, a partir d une surface appelee spot cathodique. Ce spot represente la surface a I'interieur de laquelle se trouvent les sites emissifs de tres petite dimension (d w 10/^m) qui injectent les electrons dans la decharge [3]. Une breve description des deux mecamsraes d'emission des electrons a

la cathode est presentee.

^

Emission thermoelectronique

Si 1'energie apportee a la ca.thode est snperieure au travail de sortie du m.at;eriau cathodique, 11 s en suivra une em-ission d electron de la surface de la cathode, processus nomme emission

thermoelectronique. Pour y parvenir, la temperature du spot caUiodique doit etre elevee et il devient necessaire de refroidir la ca-fchode pour eviter sa destruction. L'echaufFeraent du spot est principalement produi-fc par Ie bornbardement des ions positifs. Pour emettre selon Ie

mode thermoelectronique, Ie materiau de la cathode devra avoir une -fcemperature de fusion

elevee (ex: graphite, tungstene). En general, on observe que 1'arc est attache a la cathode

sur une region relativement diffuse, de dimension proportionelle au courant.

^

Emission par effet de champ

Contrairement a 1'emission thermoelectronique, les electrons sont essentiellement arraches

sous 1'effet de champs electriques eleves au voisinage du spot, la temperature de la ca-fchode

demeurant basse. II se produit sous ces conditions une evaporation intense et, a la cathode,

Parc fonctionne pratiquement dans une atmosphere de vapeur metallique [12]. Ce type de

cathode presente un a-fctachement ponctuel simple on multiple, ayant un mouveraent rapide. Bien que Pon distmgue les deux rnecamsines d'emission, en pratique I'emission par effet de champ et Pemission ten-noelectronique se snperpose toujours, dans des proportions variables.

1.2.3 I/anode

L'anode joue un role plus passif que la ca.thode. Elle sert a toute fin pratique de collecteur

d'electrons. On retrouve aussi a 1'anode des attachements diffus ou ponc-fcuels.

1.2.4 Structure et caracteristique de Parc electrique

La distribution typique du potentiel d'un arc long (longueur de 1'arc > diaraetre de Parc) est illustree a la figure 1.6. Cette representation suggere que 1 arc soit divise en trols regions: la, colonne de Fare, la region cathodique e-fc la region anodique.

Cathode

Zone cathodique Zone anodique

Figure 1.6: Distribution du potentiel dans 1'arc electrique

La colonne d'arc

comme quasi-neutre. La pression dans la colonne d'arc est uniforme et egale a, la pression du fluide 1 entourant, a 1 exception des arcs operes a fort courant ou 1'effe'fc de pmceraent

electromagnetique produit un gradient de pression radial provoquant une surpression dans

la colonne, pres de la cathode. Pour un courant donne, les conditions de la colonne d'arc

s'ajustent afin de minimiser Ie champ electrique requis (principe de SteinlDeck [13]). La region cathodique et la region anodique

A la cathode, sur une epaisseur de Pordre de la longueur de Debye, exlste une zone de charge d'espace electrique ou globalement la neutralite electrique n'est pas respectee [2]. Cette charge d'espace engendre nne chute du potentiel electrique, la chute cathodique Vc. Les modeles macroscopiques n'y sont plus valables puisque la "fcaille de cette zone est inferieure au libre parcours moyen des particules. Ainsi, les particules ne subissent pas de collision et

sont accelerees par un champ electrique eleve. Ceiie zone es-fc suivie d une zone d ionisation

ou les electrons redistribuent leur energie acquise par efFet Joule aux atomes qui seront

alors ionises. On y retrouve la quasi-neutralite mais les temperatures des diverses especes de particules n'y sont pas en equilibre. Cette zone est suivie par une zone d'homogeneisation

ou Ie nombre de collision esi suffisant pour avoir 1 ETL.

A Panode, on constate aussi une zone de charge d esp ace, provoquant la aussi une cliute de potentiel Va, appele chute anodique. Cette zone est suivie, comi-ne pour Ie cas de la zone

cathodique, d'une zone d'ionisation/recombinaison en desequilibre. Caracteristiques voltage-amperage de 15arc

Les caracteristiques voltage-araperage (^) des arcs de faible courant sont habituelleiTLent

negatives lorsque Parc peu-fc prendre de 1'expansion librement avec 1 augment ation du

cou-rant I ei que I'influence de 1'evaporation du materiau forraant la catliode est negligeable. Au contraire, pour les arcs a haute intensite, la caracteristique est habituelleraent nulle on

1.2.5 Utilisations

Le jet de plasma, d.c. supersonique est un outil "fcechnologique utilise pour plusieurs types d'applications dans Ie domaine de Pingenierie.

La deposition par plasma utilise avan-fcageusement cet outil en beneficiant de la basse pression regnan-fc dans la chambre de deposition (Low Pressure Plasma Spraying ou LPPS), des hautes vitesses du jet et de la longueur accrue de la zone a haute temperature [14, 15, 16]. A titre d'exemple, les figures 1.7 et 1.8 presentent les differences de temperature et de vitesse entre Ie jet issue de la technique de deposition a pression ambiante (Atmospheric Plasina Spraying ou APS) et la technique LPPS.

Cette configuration (LPPS) reduit Ie refroidissem.ent des particules en vol et accelere ces dernieres a des vitesses d'impact superieures au jet subsonique produisan-fc ainsi un depot de densite superieure, d'adhesion plus elevee et moins contamme [6, 17, 18]. Les reveternen-fcs de ceramiques, les composites ceramiques-metaux tel que Si-C^TiC-Co^Al^Os-Cu et ZrOy Cu^ les revetements reactifs tel que TiN et AIN, les processus reactifs utilisant Ti et Al e-b la formation de depots composes intermetalliques a gradient de composition on-b tous ete obtenus a Paide du plasma a courant continu supersonique [18, 19, 20]. Ces revetements resistant a la corrosion et/ou a 1'usure et/ou aux gradients therniiques sont utilises dans les

domaines aussi varies que les equipements de forage en hante mer, les vehicules spatiaux et orbitaux, les systemes de conversion d'energie, les puits de gaz et de petrole et les organes

artificiels.

Dans Pindustrie aerospatiale, les systemes de propulsion electrothermique out recus

beau-coup d'attention depuis la derniere decennie [21]. De plus, Ie lancement en decembre 1993 du premier satellite commercial de communication pour vu de mo-beurs auxiliaires a jet de plasma

a, marque Ie debut d'une nouvelle ere pour ce type de propulseur, releguant aux oubliettes les

nombreux echecs des annees 50 et 60. L'avantage principal des propulseurs electriques par rapport aux propulseurs chimiques reside dans leur plus grande irnpulsion speciflque [21]. II en resulte une masse de carburant considerablement reduite, permettant ainsi d accroitre la charge utile. Le plasma a courant continu supersonique est egaleraent u-tilise pour la

Les configurations (geometrie de la tuyere) et conditions d'operation (pression, debit, type de gaz plasmagene, puissance) du jet de plasma supersonique sont tres differentes selon les objectifs recherches. Ainsi, pour la propulsion electroUiermique, on cherche a m.aximiser

la poussee pour avoir une charge utile maximale. On cherche done a avoir les vitesses les

plus elevees possible a la sortie de la tuyere. Par contre, pour 1'application de la deposition par plasma LPPS, un juste equilibre entre Ie transfert de momentum, et d'energie doit etre obtenu. II faut eviter de trap accelerer Ie plasma afin de permettre un transfert tliermique adequat aux particules a projeter. La presente etude portera sur 1'application des plasma

1.3 Position du probleme et objectifs

Les caracteristiques du je-fc de plasma affectant directement les performances du systeme, Ie diagnostic du plasma est un outil important pour ameliorer Ie design de ces systemes. Cependant, etant donne la faible taille des systemes (quelques millimetres de diametre), la complexite de Pecoulement (gradients de temperature et de vitesse eleves) et son interac-bion avec les champs electromagnetiques, 1 etude non-intrusive de la generation des jets de plasma a courant continu supersonique est rendue difficile.

Bien que plusieurs etudes experiment ales et numeriques aient ete realisees, la plupart ne s attardaient qu aux caracteristiques du jet a la sortie de la tuyere ou negligeaient 1'effet du couplage des champs electromagnetiques et aerodynamiques.Ces etudes ne permettent done pas de mieux controler Ie precede, objectif ultime pour sa coramercialisa-fcion [22]. Ainsi, [14, 16, 23, 24, 25, 26, 27, 28] out mesures directenien-b, par sonde enthalpique et/ou spectroscopie cP emission, les profils de tenipera-fcure et de vitesse du jet de plasma a la

sortie d'une tuyere supersonique dans les cas de plasmas d'argon-hydrogene, d'hydrogene et d argon-helium.

Du cote theorique, [5, 15, 17, 29, 30, 31, 32] ont etudie de fa^on exhaustive Ie compor-tement du jet de plasma a la sortie de la tuyere et Ie couplage plasma-particules a 1 aide de modeles assumant les proflls de vitesse et de temperature a la sortie. Bien que tres utiles pour Petude detaillee des jets, ces raodeles demeurent; tout de ineme dependants des donnees utilisees en amont et ne permettent pas d'etudier Ie couplage des champs aerodynamiques

et elec-fcromagne-fciques.

[33, 34, 35, 36, 37] sont parmi les premiers a avoir etudie I'ecoulement a Pinterieur de

la tuyere, en rempla^ant Ie couplage cathode-gaz par une source unidiraensionnelle locale

d'energie. [38] out aussi etudies I'ecoulenient a Pinterieui- de la tuyere, en incorporant un

modele cinetique, mais en assumant un profil de vitesse et de temperature a 1'entree de la section divergente. Le couplage plasma-electrodes reste a, ce jour un sujet pen etudie, du moins dans Ie cas d'un plasma a courant contmu supersonique, laissant ainsi un vide dans Petude complete du plienomene. Pour ceiie raison, Ie design des tuyeres pour plasma supersonique se base encore de nos jours sur les hypotheses d'ecoulement unidimensionnel, ou au niieux sur les methodes des caracteris-fciques. Bien que superieures aux nietliodes a

une dimension, les methodes des caracteristiques reposent sur des hypotheses qui ne sont pas valables pour ce type d'ecoulement. Cela explique pourquoi 11 a ete jusqu'a present impossible de predire avec precision les proprietes du plasma a la sortie de la tuyere et done

de bien controler Ie pro cede.

Le present travail a pour objectif general 1'etude de Pecoulement a I'mterieur de la tuyere. Vu la dimension physique reduite du probleme et des nombreuses caracteristiques a etudier, 1 etude du phenomene se fera a 1 aide d un modele nuraerique.

Les objectifs specifiques de cette these sont:

• developper et valider un outil numerique capable de predire les caracteristiques a

1 interieur et a la sortie de la tuyere d une torche a plasma a couran-fc continu sn-persomque;

• utiliser cet outil afin de:

— determiner la structure de 1 ecoulemen-b a 1 interieur de la tuyere et expliquer les divers mecanismes y ayant lieu;

— etudier 1 influence de 1 hydrogene dans un plasma d argon;

— etudier Pinfluence de 1'intensite de courant sur 1'ecoulement et sa struc'fcure;

— etudier 1 influence de la geometrie de la tuyere sur 1 ecoulement et sa structure; — predire les conditions d'operations de la torche afin d'obtenir un regime

Chapitre 2

^

Ecoulements compressibles

II me sufEra id de poser en principe ce qui doit etre reconnu par tous. -Baruch Spinoza Les ecoulements traites etant corapressibles, ce chapitre presente une iDreve revue de la

theorie de la mecanique des fluides compressibles. L'hypothese de contmuuni est d'abord

abordee, suivie par une revue des rnecamsmes de propagation d'onde dans un milieu

com-pressible et 1'etude de differents cas classiques simples d ecoulements coracom-pressibles.

2.1 Continuum

Bien qu'en realite les plasmas soient composes d'un grand nombre de particules, 11 est plus simple de trailer et cPanalyser leur comportement d'apres Ie raodele du continuum. Par ce

modele, Ie plasma, est approxirae comnie etant une substance continue, en ne considerant que

les effets moyennes de toutes les particules d'une region flnie du plasma. A titre d'exemple, Papproche du continuum permet de definir la densite du plasma par:

P=.^^ (2.1)

ou Am esi la masse totale de toutes les particules contennes dans Ie volurae AY, ce dernier

est trop petit, cette definition de la densite perd son sens puisque Ie nombre de particules

dans Ie volume sera insuffisant pour pouvoir defmir une valeur nioyenne representative. Par contre, si VQ est trap grand, on perd Ie sens local de la variable. De la meme fa^on, la pression

et d autres proprietes moyennes du plasma sont defimes tel que decrit par la theorie classique de la mecanique des fluides [39].

Afin de traiter Ie plasma com.me un continuum, on doit satisfaire la condition necessitant

que les distances et volumes consideres soient grands comparativement aux libres parcours moyens des particules. L ecouleraent etudie dans ce travail satisfait ce critere. A ti-fcre d

exem-pie, Ie libre parcours moyen pour un plasma d'argon a, 10 000 K est de quelques microns.

2.2 Propagation des ondes dans un milieu

elastique ou incompressible

Les gaz et les liquides peuven-fc etre consideres conn-ne des substances elas-fciques dans lesquelles

des ondes peuvent se propager, de la memefacon que dans les solides [40]. Prenons 1'exemple

classique du gaz contenu dans un raontage cylindre-piston. Pour un milieu incompressible,

aucun chajigement de densite n'est possible de sorte que si 1'on deplace Ie piston, I'empilement du fluide ou un changeraent de densite n'est permis en aucun point. L enserable du fluide

doit suivre instantanement Ie piston. On conclut alors qzie la vitesse de propagaUon d'tine

onde dans un milieu incompressible est inflnie. Une perturbation creee en un point dans un

ecoulement incompressible est percue imraedia.ternent par tout les autres points du fluide.

Cependant, aucun fluide n'etant puremen-t; mcompressible, la vitesse de propagation de ceiie perturbation (vitesse du son) est toujours finie dans un fluide. Plus Ie fluide sera compressible, plus la vi-besse de propagation du son sera faible.

2.3 Vitesse du son

infl-rapide, rendant impossible tout transfert de chaleur entre Ie systeme des particules du fluide

et son environnement. Cette onde se propage selon un processus adiabatique et reversible, done isen-bropique, et sa vitesse est definie par:

(2.2)

2.4 Ecoulements subsonique et supersonique

La presence d une perturbation dans un ecoulement est signalee a travers ce dernier par des

ondes voyageant a, la vitesse locale du son par rapport au fluide dans lequel elles se propagent [41]. Si un corps se deplace dans un fluide a une vitesse plus grande que la vitesse du son,

Ie fluide precedant Ie corps ne peut recevoir 1'information avant Ie passage du corps et un

changement soudain des proprietes du fluide passant pres du corps en resulte, par opposition

au cas ou Ie corps se deplacerait a une vitesse moindre que celle du son. Dans ce dernier cas, Ie fluide peut s'ajuster au mouvem.ent du corps et il en resulte un changen-ient graduel des

proprietes du fluide.

Ce phenomene est illustre a, la figure 2.1, ou Pon observe Ie raouveinent d une perturbation

ponctuelle (source) dans un fluide initialeraent au repos.

On peu-fc distinguer deux regions que von Karman [42] a nomme zone d5 action e-fc zone de silence. La zone d'action determine la region du fluide ou les perturbations sont percues alors que dans la zone de silence, Ie fluide ne per^oit pas encore la presence des perturbations. Les

lignes ou se concentrent les perturbations de pression ei qui generent Ie cone son-fc nommees

lignes ou ondes de Mach. L'angle entre la ligne de Mach et la direction de la perturbation est Pangle de Mach

Um-Pour un ecoulement subsonique, ces zones de silence n'existent pas. Le fluide en entier

percoit la presence de 1'objet puisque les ondes signalant sa presence sont plus rapides que Ie fluide.

Zone d'action

Onde generee a t-3dt

Onde generee a t-2dt

Onde generee a t-dt

Figure 2.1: Gone de Mach

^

2.5 Ecoulement isentropique d?un gaz parfait

L'etude unidimensionnelle des ecoulem-entis isentropiques de gaz parfaits est tres utile. Elle

permet d'isoler certains facteurs corarae la section a aire variable, Ie transfert de chaleur et les champs electromagnetiques et de raieux comprendre leurs efFets sur les ecouleraents

compressibles. Bien que ce traiteraent distinct des facteurs entraine une perte de generalite, cette approche slmplifie grandement les equations du mouvement et perniet de comprendre Peffet de chacun de ces facteurs snr Pecoulement. Dans cette section, les efFets de friction, de transfert de chaleur et des champs electromagnetiques seront negliges afin d'isoler 1'effet de la section a aire variable sur les proprietes et Ie comportement du fluide.

2.5.1 Ecoulement a travers une conduite a aire variable

Pour un ecoulement isentropique, avec I'hypo-fchese d'ecouleraent umdimensionnel, les

dp(l - M2) = pV2^ (2.3)

Cette equation est "bres iraportan'fce pour la comprehension du compor'fcem.ent des

ecoule-ments compressibles. Elle demontre 1'influence du nombre de Mach M sur 1'ecoulement.

Pour M < 1, cas d'un ecoulement subsonique, Ie terrae 1 — M2 esi positif. Ainsi, une

augment ation de Paire de passage (dA) resulte en une augmentation de pression (dp). Par

consequent, une reduction de la vitesse est observee puisqu'une augmentation de pression

ra-lentit 1 ecoulement. Au contraire, une diminution de Paire de passage entraine une diminu-fcion

de la pression et une augmentation de la vitesse.

L'extrapolation de ces constatations n'est pas valide pour un ecoulement supersonique. Dans Ie cas supersonique M > 1, Ie terme 1 — M est negatif et Ie scenario est inverse. Une

diminution de Paire de passage entraine une augmentation de pression ei une reduction de la vitesse, tandis qu une augraentation de cette aire de passage conduit a une diminution de

pression et une augmentation de la vitesse.

De cette fa^on, un ecouleraent subsonique au depart ne peut etre accelere a nne vitesse superieure a la vi-fcesse du son dans une tuyere convergente, peu importe la difference de pression imposee a 1 ecoulement. Si on cherche a accelerer un fluide du regirae subsoniqne a. des vitesses supersoniques, une tuyere convergente-divergente devra etre utilisee.

2.5.2 Proprietes de stagnation

Les proprietes de stagnation sont utiles pour decrire la situation d'un ecoulement

compres-sible car elles definissent un etat de reference. Nous nous contenterons dans Ie cadre de ce

travail d enumerer quelques unes des proprietes de stagnation les plus utiles et d'en donner une breve definition.

• Enthalple de stagnation

L'enthalpie de stagnation esi defmie conime etant 1 enthalpie d un fluide amene au repos de fa^on adiabatique et esi definie par la relation:

y2

hi = h + — (2.4)

• Temperature de stagnation

Derivant de Penthalpie de stagnation, la temperature de stagnation est la temperature du fluide amene au repos de fa^on adiabatique. Pour nn gaz parfait ayant des chaleurs specifiques constantes, elle est definie par:

Tf = T(l + 1^-M2) (2.5)

• Pression de stagnation

La pression de stagnation est; la pression d'un fluide amene au repos de fagon

isentro-pique. Dans Ie cas d'un gaz parfait, elle est definie par:

2.5.3 Ecoulement compressible isentropique dans une tuyere

con-verge nt e

Examinons Ie cas ou Ie fluide contenu dans un grand reservoir doit etre expulse via une tuyere convergente. Pour une pression constante du reservoir, poi i la distribution de pression

et Ie debit masslque a travers la tuyere en fonction de la pression de sortie pb imposee sont presentes qualitativement aux figures 2.2 et 2.3. Pour une pression de sortie egale a la pression du reservoir (courbe a), aucun ecoulement ne se produit et la pression demeure constante dans la tuyere. Au fur et a mesure que la pression de sortie est reduite (courbe b) sous la pression du reservoir, de plus en plus de fluide traverse la tuyere et la pression statique diminue avec x: 1 ecoulement est subsonique. La vitesse dans Ie plan de sortie de la tuyere augmente elle aussi jusqu'a ce qu'elle atteigne la vitesse du son. Comme il a ete

demontre precedemment, cette vitesse est raaximale (courbe c), c'est Ie blocage.

L'explication physique du phenomene de blocage est la suivante: la presence d'une per-turbation, comme Ie changeraent de la pression de sortie, est "fcransniise au fluide par Ie biais

d'ondes voyageant a la vitesse du son par rapport au fiuide. Dans Ie cas d un ecoulement subsonique dans la tuyere, cette onde se propage a une vitesse plus elevee que Ie fluide. L 'information remonte vers Ie reservoir de sorte qu'un changement dans la pression de

sor-tie pent etre communique au fluide du reservoir. Par exemple, lorsqu une diminu-fcion de la pression de sortie est imposee, Ie changement est transmis jusqu au fluide con-fcenu dans Ie

reservoir et Ie reservoir repond a, cette information par une augmentation du debit.

Par centre, lorsque la pression conduit a une vitesse de sortie egale a la vitesse du son,la vitesse de propagation des ondes signalant tout changement est egale a la vitesse du fluide. La vitesse absolue du signal de correction esi alors nulle. Le signal ne peut pas voyager dans Ie fluide et remonter jusqu'au reservoir, empechant ainsi tout changement de 1 ecoulement

tant que cette condition prevau-fc au plan de sortie. Si la pression de sortie est abaissee encore plus, aucun effet n'est ressentit par l'>ecoulemen-fc; c esi Ie blocage de la -buy ere et 1 ecoulement ne peut s'ajuster au changement de pression. La distribution de pression demeure done la meme Ie long de la tuyere et Pecoulement s'ajuste a, la pression de sortie par une serie d'ondes

Pour un ecoulement bloque, Ie rapport des pressions du reservoir et de la pression de

sortie est donne par:

?=(1-^

(2.7)

WY/A

^%

^

pb/pq|

^

<^1

^

_^

_^

7

y/////////////.

y/////////////.

^/v—<

Figure 2.2: Distribution de pression dans une tuyere convergente

debit

d

\b

a _.^.

pb/po^

2.5.4 Ecoulement compressible isentropique dans une tuyere

con-vergente-divergente

Dans ce cas-ci, Ie fluide est contenu dans un grand reservoir, mais 11 sera ejecte a travers une tuyere convergente-divergente.

La distribution de pression dans la tuyere et Ie debit massique pour une garame de rapport pb/Po^ sont presentes aux figures 2.4 et 2.5.

Pour une pression de sortie egale a la pression du reservoir, aucun ecouleraent n apparatt

et la distribution de pression est constante a travers la tuyere (cas a). Pour des pressions de sortie legerement inferieures a la pression du reservoir (cas b), un ecoulement est produit

dans la tuyere, avec des vitesses subsoniques dans la partie convergente e-fc divergente. De Pequation 2.3, on tire que pour des ecoulements subsoniques, la pression diminue dans la sec-"fcion convergente et augniente dans la section divergente. A mesure que la pression de sortie

est reduite, Ie debit massique augmentejusqu'a ce que la vitesse au col (section m.inimale de la

tuyere) devienne sonique. Une fois ce regime atteint, 1'ecoulemen-fc dans la partie convergente

es-fc bloque et aucun changeraent (debit, distribution de pression) n'apparait, men-ie si la

pression est reduite.

Pour la partie divergente, deux solutions isentropiques sont possibles lorsque 1'ecoulement dans la partie convergen-fce est bloque: I'ecoulement sera subsonique (cas c) ou supersoniqne (cas f) selon la pression de sortie.

Pour des pressions de sortie differentes des solutions unidimensionnelles isentropiques, 11 y aura apparition d'ondes de chocs a Pm'fcerieur (cas d) ou a l'lex"fcerieur (cas e-f) de la tuyere atm d'ajuster la pression. Ces chocs sont de grandes perturbations irreversibles. Elle agissent sur de tres courtes distances (quelques libre parcours moyen pour les gaz neutres).

Figure 2.4: Distribution de pression dans une tuyere conver gent e-diver gent e

^

2.6 Ecoulement compressible avec apport de chaleur

_dA^ dq ^M2+l) , dM (M2-l)

A ' CpT2(l+^-M2) ' M1+^1M2-U v'"

Pour Ie cas dq = 0, cette equation se reduit a Pequation 2.3. Cependant, en presence d'un apport de chaleur a 1'ecoulement, Ie second terme est positif de telle sorte que Ie point sonique se situe a une position ou dA/A est positif, done dans la partie divergente d'un

conver gent-diver gent L'effet d'une source de chaleur se resume done a deplacer Ie point ou Pecoulement devien-fc sonique, et par consequent change directement les valeurs de sortie des

2.7 Jet en sous-expansion

La plupart des torches supersoniques utilisees en LPPS operent sons des conditions de

sous-expansion (cas g, figure 2.4). Les zones d'sous-expansion et de compression qui en resultent sont nefastes pour la qualite du depot. L analyse de la structure de ces zones est presentee id.

L'analyse de 1'interaction d'un jet snpersonique en sous-expansion avec son

environne-ment necessite la prise en consideration de plusieurs regions, distinctes par leur tailles et

caracteristiques. Le jet pres de la sortie esi caracterise par une cellule de choc non-visqueuse situee au centre, accompagnee de couches de cisaillement se developpant aux lirai-fces de cette

cellule (figure 2.6). Le disque de Mach provient de la reflexion sur la couche de cisaillement

des ondes d'expansion (emanant de la sortie de la tuyere) en oncle de compression qui coa-lescen-fc pour former une onde de choc normale pres du centre et une onde de choc oblique

pres de la couche de cisaillement visqueuse.

Couche de cisaillement

"Shock diamond"

Ligne sonique

^''//

Ondes cT expansion \ Ondes de choc (Disque de Mach)

Ondes de compression

Des regions subsoniques apparaissent den-iere Ie disqzie de Mach et forme une couche de cisaillement importan-fce (figure 2.7).

Ligne sonique de la couche de cisaillement

M~0

Premiere cellule de choc

du disque de Mach

-I

Figure 2.7: Details de la premiere cellule de choc

Demere Ponde de choc, la teraperatiure du gaz augmente e-fc on observe une structure

lumi-neuse, Ie "shock diamond". L'onde de choc oblique est reflechie par la couche de cisaillement

en une serie d'ondes d expansion.

Une zone de transition (figure 2.8) suit la zone non-visqueuse pres de la sortie.

Zone

"non-visqueuse"

Zone de transition , Zone parabolique

Dans cette region, les phenomenes visqueux sont importants e-b 1'ecoulem.ent; est turbulent.

L'mtensite des fronts d'ondes est afFaiblie par les effets de dissipation de la turbulence. Dans la region finale du jet, les fronts d'ondes sont disparus. L'ecoulement est comple-tement subsonique et Ie m.elange parabolique classique du jet prevaut. La figure 2.9 presente la morphologie d un choc dans un gaz partiellement ionise.

Couche thermique u ._z\_. Choc atome-ion

A

i\

\

Figure 2.9: Morphologie d'un choc dans un gaz partiellement ionise

En considerant la structure des chocs et du jet en sous-expansion, 11 devient clair que Ie

design d'une torche doit etre effectue de facon a minimiser ei meine eliminer ces structures

qui sont nefastes pour la qualite de la deposition. En efFet, ces structures conduisent a un jet plus court et accelerent Ie refroidissement du jet (couche de cisaillement), nuisan'b ainsi a la deposition.

Chapitre 3

Modele mathematique

Les propositions mathematiques sont regues comme vraies parce que personne n?a interet qu'elles soient fausses.

-Evariste Galois L'etude theorique du plasma a courant continn sera represente sous forme maUiemaUque

a I'aide des principes fondan-ientaux traduisant les phenomenes physiques impliques. Un choix de modele refle-fcant Ie realisrae avec lequel on veut traiter Ie probleme doit e-fcre efFectue avec

attention, en tenant compte du niveau de complexite de la mise en oeuvre de ce modele.

Les divers modeles existants sont presentes ainsi que Ie choix de celui qui a ete retenu. Les equations du modele sont ensulte etablies, formant ainsi Ie systerae d'equations a resoudre.

3.1 Modele mathematique de I'ecoulement

Equations de Navier-Stokes

Les equations representant Pecoulement turbulent d'un fluide en equilibre thermodynarriique

sont les equations de Navier-Stokes. Ponr un ecoulement bidimensionnel, elles sont exprimees par:

QQ ^ QF ^ QG ^ 9R, ^ QS.

Qt 9x 9y Qx Qy

Q represente Ie vecteur des variables dependantes, F et G les flux convectifs, donnes par:

Q=

p

F=

Q^

p(etjrp)v

(3.2)

Les flux visqueux Rv et Sv sont donnes par:

RV =

ou les tenseurs visquenx sont:

U^xx

0

0

%

(3.3)

T~xx = ^1-1'U^ — —(^a; -I- Vy

2^,

Tyy = 2{^Vy - -^-(U ^ + Vy )

T^y = f^(Uy + ^r)

(3.4)

Les ressources informa'fciques requises pour resoudre ces equations en "fcenant comp'fce des

echelles de longueur et de temps caracterisant la turbulence (qui varient sur plusieurs

ordres de grandeur) sont au-dela des ressources disponibles a ce jour. Par consequent, nous devons nous tourner vers d'autres types de modeles, raoins exacts raais qul permettent; neanmoins d'obtenir une sokition valable.

1 La turbulence est un mouvement irregulier apparaissant dans les fluides s'ecoulant sur des surfaces solides ou lorsque deux ecoulements se rencontrent [43]

Equations moyennees

Le premier niveau d approximation consiste a moyenner les fluctuations rapides de

1'ecoule-ment turbulent. Cette operation matheEaa-fcique conduit aux equations de Reynolds [45 , avec

des termes supplement aires qui necessitent un modele de turbulence pour la fermeture du

systeme d equations. Aucun modele universel de turbulence n'est encore disponible, puisque les modeles a ce jour (qu'ils soient algebriques [46, 47, 48, 49, 50, 51], a une eqna-fcion [52, 53, 54, 55, 56, 57], a deux equations [58, 59, 60, 61] ou de second ordre [62, 63, 64, 65, 66])

sont caucus pour des ecoulements particuliers. Ainsi, aucun modele n'a ete developpe pour

Ie cas d un jet de plasma. Bien que plusieurs travaux de modelisation dans Ie domaine cles plasmas aient ete effectues en utilisant des modeles de turbulence developpes pour d'autres types de fluide, Pexactitude de cette approche demeure discutable [61].

Les temperatures impliquees dans Ie phenomene que 1 on e-fcudie nous permettent de conclure qu'une partie seuleraent de 1'ecoulement (pres de Panode) est turbulent. En effet, la partie a haute temperature de Pecoulement est laminaire 67]. Nous ferons done 1'liypothese

que Pecoulement est laniinaire, en sachan'fc que cette hypo'fchese n'est plus valide pres de 1anode.

ft

Equations d'Euler

Le niveau d'approximation suivant consiste a negliger les effets visqueux et conductifs. II en resulte les equations d Euler donnees par:

<^-^=" (3.5)

Ces equations peuvent etre resolues avec les ressources actuelles, m.eia.e dans Ie cas

cPecoulemen-fcs tres complexes [68]. De plus, 38] out demontre que la solution avec I'hy-pothese de fluide non-visqueux esi tres pres de la solution visqueuse lam.inaire pour Ie type

de probleme etudie. Puisque Ie system.e mathematique a resoudre s'en trouve siraplifie mais qu'il est encore une bonne representation de la realite, nous abandonnerons I'liypotliese d'ecoulement laminaire au profit de 1'hypothese d'un ecoulement non-visqueux. La solntion sera surtout affec-bee pres des parois.

ft

Equations de potentiel

Si on suppose que Pecoulement est isentropique et irrotationnel, on peut definir un potientiel

de vitesse '0 e-fc poser u = ^, 'y = ^y.

Les equations d'Euler se reduisent alors aux equations de potentiel suivantes:

^W + ^W = 0 (3.6)

Cependant, nous ne pouvons adopter ce modele mathematique puisque notre ecoulement ne repond pas aux hypotheses de ce type d ecoulement.

3.1.1 Choix du modele (TEuler

Suite aux developpements precedents, 11 a ete etabli que Ie niodele matheraatique de 1

ecoule-ment convenant Ie raieux a la presente etude est Ie raodele d'Euler. II est un bon corapron-iis entre Ie realisme des resultats et la complexite de la mise en oeuvre. Cependant, certaines

modifications seront apportees a ce modele afin de tenir compte de la generation d energie et de la conduction dans Ie fluide. Quelques hypotheses doivent etre utilisees afin de completer ce modele. Elles sont; enumerees ici, en considerant leurs effets sur la validite des resultats

obtemis.

Hypotheses et implications

• ETL

L'hypothese de fluide en equilibre thennodynam.iqne local (ETL) necessite que les processus collisionels doiainen-fc les processus radiatifs et que la frequence des collisions

electrons-particules lourdes soit elevee. Cette hypotliese esi generalement adraise pour

ce type de plasma. Les densites des electrons, ions et atomes suivront done la loi de Saha, qui pourra etre utilisee pour calculer la composition du plasma. Cette hypothese ne sera pas valide dans la region pres des parois cathodiques et anodiques ainsi que dans les zones de forts gradients thermiques.

• Gaz parfait

Dans Ie but de fermer Ie systeme d'equations, I'hypothese de gaz parfait es-fc utilisee. Cette hypothese est en general valide pour des gaz ou la densite est faible. Pour un plasma, une comparaison des diverses echelles caracteristiques, en particulier celles des electrons, permettent de justifier cette hypothese [2]. Une comparaison entre I'hy-pothese de gaz parfait et les calculs de gaz reels de [69] a demontre une erreur de nioins de 3% pour la plage de temperatures du probleme.

• Ecoulement 2-D axisymetrique

Cette hypothese permet de traiter Ie systeme en deux dimensions, simplifiant ainsi Ie probleme. En efFet, sous cette hypothese, Ie maillage requis pour obtenir une solution valable est reduit de merae que Ie temps de calcul.

Le phenomene etudie est tridimensionnel. Par contre, du point de vue des champs

aerodynamiques, 1 hypothese 2-D axisymetrique est raisonnable puisqu'on peu-fc

con-siderer que Ie principal effet tridimensionnel (mis a part la turbulence, que I'on neglige) est provoque par I'attachenient de I'arc [13]. Ce point d'attachement fluctue

rapide-ment dans Ie temps de sorte qu'on peut considerer qne Ie cas bidiraensionnel represente

bien les champs aerodynamiques moyens [22].

• Rayonnement donne par la methode du coefB.cient net d'emission

Le coefficient d'emission nette d'un element de volume de plasma est la difference entre

la puissance rayonnee par cet element et la puissance rayonnee par les autres regions du plasma qui est absorbee dans cet element.

• Forces de Lorentz negligees

L'effet des forces electromagnetiques sera neglige. Ces forces modifien'fc 1'ecoulement

pres du bout de la cathode. Cependant, la nature convective de 1'ecoulement (flux de

convection eleves) indique que, dans une premiere approximation, les forces de Lorenz peuvent etre negligees.

3.1.2 Modele mathematique de I'ecoulement

Le choix du modele etant fai-t: et les hypotheses simplificatrices enoncees, I'ecoulement a Pinterieur de la tuyere est represente par Ie systeme d'equations suivant:

avec

QQ , 9F , 9G

9t 9x 9r

p

p(etjrp)u

G=

p(et +p)v

M=

0

0

0

N =

0

0

0

D=

-(ei+p)v^k^

Pour boucler ce systeme d'equations, la loi des gaz parfaits esi utilisee:

(3.7)

p= pRT

L'energie specifique totale est exprimee par:

p , (^ + v2)

et = ~7T—-^+_{-1) ' 2}

(3.8)

3.2 Modele mathematique du champ electrique

Comme pour Ie champ aerodynamique, un modele mathematique sera etabli afin de modeliser Ie champ electrique. Ce modele s'applique a Pecoulement et a la cathode mais exclut la zone

en desequilibre pres de la cathode. Id aussi un certain nom-bre d'hypotheses sont retenues.

Hypotheses et implications • Champs magnetiques negliges

Des champs magnetiques sont presents dans 1'ecouleraent, mais leurs effets seront

negliges. Ces efEets sont surtout concentres au bout de la cathode, ou la densite de

courant est elevee, ce qui modifie localement Ie champ elec-fcrique. Puisque cette zone

est en general petite, elle sera negligee. • Etat de regime

L hypothese de 1'etat de regime pour les champs electriques est utilisee puisque les temps caracteristiques de ces champs sont des ordres de grandeurs plus faibles que

ceux de Pecoulement.

Sous ces hypotheses, les equations de Maxwell et la loi d'Ohm se reduisent a:

V.J=0 (3.10)

VxE=0 (3.11)

J=aE (3.12)

Le champ electrique pent alors etre defini par Ie gradien-fc du potentiel, permettant d ecrire:

^)+^)=0 (3.13)

avec

3.3 Modele mathematique de la sous-couche

catho-dique

Plusieurs methodes theoriques out ete elaborees afin de predire les proprietes de 1'arc electri-que pour line densite de courant donnee, en connaissant les proprietes du plasma [70, 71]. Ces methodes out Ie desavantage d'avoir a specifier la distribution de la densite de courant

aux frontieres cathode-fluide, qui est habitnellement inconnue. II serait interessan-fc d'avoir

un modele permettan-fc d eviter cette situation, puisqn 11 permettrait d elirniner une part d empirisme.

A la, surface de la cathode, une mince zone est en desequilibre: la sous-couclie catliodique, telle que presentee a, la section 1.2.4. Dans cette zone Ie couran-fc electrique a une grandeur

finie done la conductivite electrique de ceiie zone doit avoir une valeur finie. Cependant, a une temperature pres de la temperature de fusion de la cathode, la valeur de la conductivite electrique du gaz a I'equilibre est ties faible. Cette zone doit done etre en desequilibre thermodynamique. Si on ne veut pas iraposer directement la densite de courant a, la surface de la cathode, 11 est necessaire de modeliser cette zone.

Plusieurs modeles detailles out ete developpes pour traiter la zone cathodique 2, 73, 74].

Cependant, puisque pour Ie present travail on ne s'interesse pas specifiquement a la structure

detaillee de la sous-couche cathodique, 1'utilisation de ces modeles complexes constitue un ef-fort de calcul supplement aire innaproprie. Le modele que 1'on cherche doit plutot representer

1'effet macroscopique de la presence de la sous-couche cathodique. Plus particulierement, Ie

modele devra donner une meilleure approximation du gradient de temperature dans Ie gaz pres de la surface de la cathode et la conductivitie electrique du gaz pres de la cathode.

Le modele developpe par [9], a ete developpe principalement dans cet op-fcique et a demontre de bon resultats, considerant sa siraplicite. Ce modele sera utilise dans Ie cadre de

3.3.1 Modele de Morrow et Lowke

Ce modele repose principalement sur la solution du bilan d'energie dans la cathode, Ie gaz et a 1'interface cathode-gaz ainsi qne la solution de 1'equation de conservation des electrons et de la loi d'Ohm. II ne tient pas compte de la zone de charge d'espace. L'hypothese d'uni-dimensionalite est utilisee. Le modele necessite de connaitre la densite de couran-fc a 1'entree de la cathode et pen-net d obtenir la distribution de temperature dans la sous-couche ainsi que sa conductivite electrique effective.

Bilan d energie dans Ie gaz et la cathode

Pour ces deux milieux, 1 equation d'energie est exprimee par:

^(€)

Dans Ie cas ou Ie milieu est Ie gaz, Ie terme S est donne par:

S=jE-U (3.16)

Pour Ie cas ou Ie milieu est la cathode, on a:

S=j2R, (3.17)

Bilan d'energie a I'interface cathode-gaz

Le bilan d'energie a 1 interface cathode-gaz peut etre exprime de fagon generale par la relation:

Ec = Evap + E\ + Eray + ^e (3.18)

Le terme Ec represente 1'energie apportee par les ions qui bombardent la surface de la catliode. II convient de noter que les ions qui retom.bent sur la cathode son-fc surtout des ions

La chaleur apportee par Ie bombardement ionique conduit a la vaporisation du materiau, transportant ainsi une quantite d energie Evap- Ce terme etant generalement faible dans Ie cas du type de cathode qui es-fc utilise dans cette etude, 11 sera neglige.

Une fraction de 1 energie deposee par les ions a la cathode esi dissipee par conduc-fcion

thermique dans la cathode, represen-fcee par:

^s(€)

Le terme Eray represente la difference entre 1 energie radiative provenant du plasma et celle emanant de la surface de la cathode ei est exprimee par:

Eray = ^0'T — Fy (3.'

Finalement, Ie terme Ee represente 1'energie totale dissipee par I'emission des electrons,

donnee par:

Ec = Je (^ + 2.5^T) (3.22)

e

Le bilan d'energie a 1'interface cathode-gaz est done donne par:

^-£(€)-£aT4+Fr-Je(^2-5T)=0 (3-23)

Ji=J-Jrich (3.24)

avec

Conservation des electrons

Afin d'evaluer Ie chauffage par effet Joule dans la sous-couche, il est necessaire de resoudre

Pequation de conservation des electrons. La densite electron! que est obtenue en resolvant cette equation, qui inclue les termes decrivant Pionisation du aux mouveraents des electrons

dans un champ electrique, Pionisation therraique, la recombinaison electron-ion et la diffusion ambipolaire.

<^.^r».(<m-^(^) M

Loi d'Ohm generalisee

Le champ electrique dans la sous-couche doit etre connu et est evalue par:

Qn^ \ ( Tin Tip*

E = [j + ^er^ | | ^ + e(^' + ne)^ | /en^m + 7Ze + ^,) (3.27)

.^e ' ' cr

qui est une forme de la loi d'Ohm permettan-fc nne transition continue entre la surface de la cathode et Ie plasma en desequilibre.

La resolution de ces equations permet d'obtenir la distribution de la densite electronique, la temperature et Ie champ electrique dans la sous-couche. De la, on en tire la conductivite electrique effective.

3.4 Traitement de Pattachement anodique

Tout comme dans Ie cas de la cathode, un attachement local de 1 arc se produit a 1'anode. Cependant, puisque I'hypothese d'un ecoulemen-fc axisymetrique est utilisee, un problerae se

pose concernant cet attachenient a 1'anode. Si on utilise un modele de sous-couche (anodique), il en resultera alors une couronne d'attachement, qui n'est pas physique et qui de surcroit deformera, Pecoulement, allant mei-nejusqu a Ie bloquer.

[75] out tout de meme reussi a contourner ce problerae en incluant la vitesse azimuUiale

dans Pequation de momentum e-fc en posant une tempera-fcnre locale a 1'anode elevee (12 000

K), permettant ainsi a I'ecoulement de contourner Ie pled de Parc. [13] out aussi incorpore

cet attachement, en for^ant 1 ecoulement a 1 aide de bilans macroscopiques.

[76] ont proposes une approche qui suggere de simuler 1'attachement de 1'arc a une anode fictive. Cette anode fictive est representee par un plan perpendiculaire a 1 axe de la tuyere, que Ron positionnera a la sortie de cette tuyere. [77] e-fc [13] out; montres que la structure generale de 1'ecoulement n'est pas afFectee par la position de ceiie anode fictlve.

Bien que certains [78] out decries vertement cette approche, la qualiflant d'approche camouflage, cette approche semble etre la plus sensee pour 1'application 2-D et sera utilisee.

II est cependant clair que cette fa^on de traiter Ie probleme engendrera des erreurs a,u niveau

du champ electrique (longueur de 1'arc et temperature surevaluees), erreurs que 1'on considere

Chapitre 4

Resolution numerique

La machine arithmetique fait des effets qui approchent plus de la pensee que tout

ce que font les animaux; mais elle ne fait rien qui puisse faire dire qu'elle a de la

volonte, comme les animaux.

-Blaise Pascal Une geometrie ne peut pas etre plus vraie qu'une autre, elle peut seulement etre plus

commode.

-Poincare

C'est pas facile Ie numerique, hein!

-Zouhir Njah

4.1 Type cTequation

L'approche a utiliser pour solutionner les equations differentielles partielles depend du type

d'equation a resoudre; il est done irtiperatif de connai'fcre Ie "type d'equation forraan'fc Ie systeme etudie. Les equations decrivant les champs aerodynamiques sont de type

parabo-lique-liyperbolique. Si les termes instationnaires sont omis, Ie systeme devient elliptique-hyperbolique. Ce systeme es-fc plus difficile a resoudre car les techniques numeriques uti-lisees pour les equations hyperboliques ne conviennent pas aux equations elliptiques. Par