Imprécision et modèles gravitaires de comportement

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Bernard Fustier

To cite this version:

Bernard Fustier. Imprécision et modèles gravitaires de comportement. [Rapport de recherche] Institut de mathématiques économiques (IME). 1984, 17 p., bibliographie. �hal-01542408�

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EQUIPE DE RECHERCHE ASSOCIEE AU C.N.R.S.

DOCUMENT DE TRAVAIL

INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES

UNIVERSITE DE DIJON

FACULTE DE SCIENCE ECON OMIQUE ET DE GESTION 4, BOULEVARD GABRIEL - 21000 DIJON

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I M P R E C I S I O N ET M O D E L E S G R A V I T A I R E S DE C O M P O R T E M E N T B e r n a r d F U S T I E R m ai 1984 Le but de c e t t e C o l l e c t i o n est de d i f f u s e r r a p i d e m e n t une p r e m i è r e v e r s i o n de t r a v a u x p o u r s u i v i s d a n s le c a d r e de l'I.M.E. a f i n de p r o v o q u e r des d i s c u s s i o n s s c i e n t i f i q u e s . Les le c t e u r s d é s i r a n t e n t r e r en r ap po r t avec un a u t e u r s ont p r i é s d ' é c r i r e à l ' a d r e s s e s u i v a n t e :

I n s t i t u t de M a t h é m a t i q u e s - 4, Bd G a b r i e l 210 00 D i j o n (France)

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I M P R E C I S I O N ET M O D E L E S G R A V I T A I R E S DE C O M P O R T E M E N T

B e r n a r d F U S T I E R

I N T R O D U C T I O N

L o r s q u ' u n e p e r s o n n e e n v is ag e de se d é p l a c e r da n s un

but donné, le c h o i x du lieu de d e s t i n a t i o n ne d é p e n d pas s e u l e m e n t de la d i s t a n c e plu s ou m o i n s longue que l' a g e n t f r a n c h i r a , m a i s é g a l e m e n t d e s c a r a c t é r i s t i q u e s a t t r a c t i v e s du lie u en q u e s t i o n . C e l l e s - c i i n t e r v i e n n e n t g é n é r a l e m e n t avec des p o i d s d i f f é r e n t s dans la d é f i n i t i o n d ' u n e c a r a c t é r i s t i q u e s y n t h é t i q u e . Plu s s i m p lement, le p o u v o i r a t t r a c t i f de la d e s t i n a t i o n est a s s i m i l é à la c a r a c t é r i s t i q u e p r é p o n d é r a n t e . Bref, l ' e n s e m b l e des c a r a c t é r i s t i ques a t t r a c t i v e s d ' u n lieu est ré duit à une c a r a c t é r i s t i q u e u n i q u e dont la v a l e u r d é f i n i t la m a s s e de la d e s t i n a t i o n . Il ne r es te plus q u' à r a p p o r t e r la m a s s e à la d i s t a n c e p o u r d i s p o s e r d ' u n i n d i c a t e u r - le p o t e n t i e l - d ont le rôle est d é t e r m i n a n t q u a n t au cho ix de la d e s t i n a t i o n f i n a l e m e n t r e t e n u e : l ' a g e n t o r i e n t e r a son d é p l a c e m e n t v e r s le lieu p r o d u i s a n t le p l u s f ort p o t e n t i e l . Pour a f f i n e r l' an al y s e , on u t i l i s e so uvent le p o t e n t i e l r e l a t i f qui a s s o c i e une m e s u r e r i g o u r e u s e à la force d ' a t t r a c t i o n e x e r c é e par un p o i n t de l ' e s p a c e sur u n autre ; la r è g l e p r é c é d e n t e n ' e s t pas m o d i f i é e p u i s q u e la d e s t i n a t i o n a s s o c i é e au p o t e n t i e l le p l u s élevé ex e r c e le m a x i m u m d ' a t t r a c t i o n sur l ' a g e n t c o n s i d é r é .

A in si , p a r t a n t d ' u n e q u a n t i t é d ' i n f o r m a t i o n i m p o r t a n t e (relative aux c a r a c t é r i s t i q u e s a t t r a c t i v e s p o n d é r é e s , aux d i s t ances qui les s é p a r e n t du lieu de l o c a l i s a t i o n de l ' a g e n t ) ,

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l ' a n al ys e g r a v i t a i r e c la ss iq ue , es q ui ss ée p r é c é d e m m e n t , a b o u t i t à un c o e f f i c i e n t p r é c i s - le p o t e n t i e l ou le p o t e n t i e l r e l a t i f - dont la v a l e u r dict e le c o m p o r t e m e n t spatial de l 'agent. Les

règles d ' o r i e n t a t i o n des d é p l a c e m e n t s d é c o u l e n t d ' u n m o d è l e m a t h é m a t i q u e exa ct et e x p r i m e n t de ce fait un c o m p o r t e m e n t p ré cis. N é a n moins on pe u t se d e m a n d e r si le traite me nt de l ' i n f o r m a t i o n i n i tiale est c o m p a t i b l e avec le c h e m i n e m e n t m e n t a l e m p r u n t é par l ' a gent d é c i d e u r ?

Il ne n ous a p p a r t i e n t pas de d on ne r une r é p o n s e à la question, ig n o r a n t en r é a l i t é la façon dont une p e r s o n n e p e r ç o i t puis c o m b i n e l ' i n f o r m a t i o n u t i l e à une déci si on . On se l i m i t e r a par c o n s é q u e n t à c o m p a r e r les m o d è l e s de c o m p o r t e m e n t les pl us c onnus au c o m p o r t e m e n t spatial que nous q u a l i f i e r o n s d ' i m p r é c i s . Ce n o u v e a u type de c o m p o r t e m e n t est imprécis da n s la m e s u r e où, comme nou s le v e rr on s, il s ' a da pt e plus que tout a u t r e à l ' i m p r é c i s i o n n a t u r e l l e c a r a c t é r i s a n t la n o t i o n d ' a t t r a c t i o n .

La p r e m i è r e p a r t i e de l'exposé r e c e n s e les d i f f é r e n t e s c o m p o s a n t e s de l ' a t t r a c t i o n qui c o n t r i b u e n t à son i m p r é c i s i o n . La s e co n de p a r t i e est r é s e r v é e à l' analyse g r a v i t a i r e c l a s s i q u e des c o m p o r t e m e n t s : l' a g e n t d é c i d e u r est s u pp os é t r a i t e r l ' a t t r a c tion i m p r é c i s e c o n f o r m é m e n t aux normes de la s t a t i s t i q u e t r a d i tionnelle. L ' a n a l y s e du c o m p o r t e m e n t spatial i m p r é c i s fait l ' o b j e t de la d e r n i è r e p a r t i e ; sa f o r m a l i s a t i o n r ep os e sur le c o n c e p t de s o u s - e n s e m b l e flou qu 'i l c o n v i e n t de rappeler. P our i n t r o d u i r e la n o t i o n de s o u s - e n s e m b l e flou, c o n s i d érons u n e x e m p l e s im pl e en d eh or s de toute c o n s i d é r a t i o n s pa t ia le . Soit E un e n s e m b l e - a p pe lé r é f é r e n t i e l - d o n t les é l é me nt s r e p r é s e n t e n t les âges de qu at re pe r s o n n e s . Par e x e m p l e : E = C o n s i d é r o n s le " s o u s - e n s e m b l e des e n t a n t s " n o t é A tel que : A = {2, 4 ] La d é f i n i t i o n de A ne pose a u c u n p r o b l è m e , car l ' a p p a r tenance ou la n o n - a p p a r t e n a n c e d'un é l é m e n t de E au s o u s - e n s e m b l e c o n s i d é r é est bi e n tr an c hé e. D ans ces c o n d i t i o n s on p e u t a d o p t e r

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- 4

-I - D O N N E E S ET D E F -I N -I T -I O N S 1-1- L ' i n f o r m a t i o n de b a s e .

- On c o n s i d è r e une ré g i o n ou toute a u t r e p o r t i o n d ' e s p a c e servant de ca dr e de r é f é r e n c e aux élém en ts d ' u n e n s e m b l e de l o c a lisations, not é I = | l . . . i ... n j,et aux c e n t r e é c o n o m i q u e s d ' u n en s e m b l e de d e st i na ti on s noté K = ^ 1 . . . k ... m j . A t it r e de s i m p l i f i c a t i o n , on r é s e r v e une n o t a t i o n un iq ue p o u r c a r a c t é r i s e r l ' a s pect c o n t e n u et c o n t e n a n t de l'espace : i r e p r é s e n t e , par e xe mple, un ag e n t é c o n o m i q u e et sa l o c a l i s a t i o n dans l ' e s p a c e u r o a i n , ou e ncore une p o p u l a t i o n et sa c o mm un e de r é s i d e n c e dans un e s p a c e d é b o r d a n t le ca dr e u r b a i n ; de même k peut r e p r é s e n t e r u n c e n t r e c o m m e r c i a l et son lieu d ' i m p l a n t a t i o n dans u n e v i l l e d o n n é e ou encore une p o p u l a t i o n l o c a l i s é e dans une v i l l e d ' u n e r é g i o n d é t e r m i n é e .

- J = |l . . . j . . . p j e s -; un e n s e m b l e de f a c t e u r s s u s c e p t i b l e s d ' e x p l i q u e r l ' o r i e n t a t i o n des é l é m e n t s de I v e r s c eu x de K. Pour fi xe r les idées, c o n s i d é r o n s l ' a t t r a c t i o n c o m m e r c i a l e i n t r a - u r b a i n e . D ans ces co nd it i o n s , les f a c i l i t é s de s t a t i o n n e m e n t , la s o u p l e s s e des h o r a i r e s d ' o u v e r t u r e du m a g a s i n , le n o m b r e et la q u a l i t é des a r t i c l e s o f f e r t s etc... sont a u t a n t de f a c t e u r s sur l e s q u e l s r e p o s e le c h o i x des p o i n t s de ven te k p ar les c o n s o m m a teurs i. Pour l 'i ns t an t, il n' e s t pas tenu c o m p t e du f a c t e u r p r o x i m i t é qui sera i n t r o d u i t ap rè s coup.

- Quel que soit le type d ' a t t r a c t i o n é t ud ié , il a p p a r a î t n or ma l de c o n s i d é r e r que les f a c t e ur s m o t i v a n t les d é p l a c e m e n t s n ' i n t e r v i e n n e n t pas avec la m e m e i mp or t a n c e : ("^ = (7j (i) ,j = 1 . . .p) r e p r é s e n t e le v e c t e u r des p o n d é r a t i o n s a c c o r d é e s par l ' a g e n t ou le g r o u p e d ' a g e n t s l o c a l i s é en i à c haque fa c t e u r de l ' e n s e m b l e J. La faç on d ' e s t i m e r ces c o e f f i c i e n t s va r i e en f o n c t i o n du p r o b l è m e e n v i s a g é et de la t e c h n i q u e ut ilisée. (FUSTIER, 1979 [4] p. 521 et s, 1981 [5] ). Dan s la suite de l'exposé, n o u s s u p p o s e r o n s s e u lement que Tj(i) p r e n d ses v a l e u r s dans l ' i n t e r v a l l e [0, i] en f o n c t i o n de l ' i m p o r t a n c e que i co n f è r e à j . O n n o t e r a , c e p e n d a n t , que si V j £ J : 0 (ij < 1 , 1 ' é g al it é ? 7 (i) = 1 n ' e s t p a s

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n é c e s s a i r e m e n t s a t i s f a i t e (1). Il en r és ul te que l ' a p p l i c a t i o n

ï

ne doit pas être a s s i m i l é e à une p r o b a bi li té .

- On s u p p o s e que ch aq ue facteur de m o t i v a t i o n fait l 'o b j e t d'une q u a n t i f i c a t i o n en tout lieu de l ' e n s e m b l e K. A c h a q u e é l é m e n t

k on a s s o c i e le v e c t e u r ^ = (m^Cj), j = i...p) où m ^ U ) est l ' e x p r e s s i o n q u a n t i f i é e de j en k. Ex e m p l e : en ce qui c o n c e r n e l ' a t t r a c t i o n c o m m e r c i a l e i n t r a - u r b a i n e ,si le f a c t e u r j est a s s i m i lé à l ' i m p o r t a n c e des a r t i c l e s o ff er ts par le p o i n t de v e n t e k, alors m^Cj) pe u t être e s t i m é e par la surface de v e n t e du m a g a s i n k qui tr a d u i t assez f i d è l e m e n t la n o t i o n d ' a s s o r t i m e n t c o n t e n u e dans le fa c t e u r p r é c é d e m m e n t cité. D'u ne faç o n g é n é r a l e ,

s ' i n t e r p r è t e co m m e la c a r a c t é r i s t i q u e a t t r a c t i v e - ou m a s s e p a r t i e l l e - du lieu de d e s t i n a t i o n k selon le f a c t e u r j. 1-2- La n o t i o n d '" a t t r a c t i o n i m p r é c i s e ".

L ' a t t r a c t i o n e x e r c é e par une d e s t i n a t i o n k sur un a g en t (ou un g r o u p e d 'a gents) l o c a l i s é en i est e s t i m é e p a r le v e c t e u r i P k = *-i^k ^ = 1 * * dont les composantes ^p^ (j) r e p r é s e n tent les p o t e n t i e l s r e l a t i f s p r o d u i t s par les m a s s e s p a r t i e l l e s de k sur l ' un it é de m a s s e l o c a l i s é e en i, soit :

'

d“k U )

d) iPk (j) *

--- j—rrr ■

j = 1---

p

l [ - k u ) / d“k ( l J i

où d ^ ^ est une e x p r e s s i o n de la d i s t a n c e s u b j e c t i v e s é p a r a n t i et k : a (i) tie nt po u r la v a r i a b l e d i s t a n c e u n rô l e s y m é t r i q u e à celui de Tj (i) po u r le f a c t e u r j .

La v a l e u r de ^p^ (j) m e s u r e o b j e c t i v e m e n t l ' i n t e n s i t é de l ' a t t r a c t i o n e x e r c é e par la d e s t i n a t i o n k sur u n a g e n t m o t i v é par le f a c t e u r j. E lle est é g a l e m e n t interprétée c o m m e la p r o b a b i l i t é que i e f f e c t u e - c o n f o r m é m e n t à j - un d é p l a c e m e n t en k p u i s q u e le p o t e n t i e l r e l a t i f s a t i s f a i t aux p r o p r i é t é s s u i v a n t e s :

- V j £- J : 0 < ^p^ (j) < 1 (k donné) P £ “ V k € K : 2 ^p^ (j) = 1 (j donné)

k

(1) Il suffit que deux facteurs seulement présentent une importance traduite individuellement par un poids supérieur à 0,5 pour que la somme des pondé rations soit supérieure à l ’unité. Elle pourra être inférieure à l Tunité si tous les poids sont très proches de zéro.

(8)

- 6

-Il a p p a r a î t i m p o r t a n t de signaler que la v a l e u r de -Pv (j)

1 K

s ' i mp os e d ' a u t a n t p l u s à l ' ag en t que le f a ct eu r j est p r é p o n d é r a n t . I nv ersement, elle sera m o i n s f o r t e me nt r e s s e n t i e si le f a c t e u r e x p r i me une m o t i v a t i o n m o i n s p r o f o n d e quant au c h o i x des d e s t i n a t i o n s (1). Par c o n s é q u e n t , il c o n v i e n t d ' a s s o c i e r au v e c t e u r des a t t r a c t i o n s o b j e c t i v e s cel ui des p o n d é r a t i o n s s u b j e c t i v e m e n t d é t e r m i n é e s par l' agent d é c id eu r.

L ' i n f o r m a t i o n c o n c e r n a n t l ' a t t r a c t i o n de k sur i est

donc c o m p l è t e m e n t s p é c i f i é e par la s t r u ct ur e ( ^Pj, , I ¿) • En d ' a u t r e s termes, un f a i s c e a u d 'a t t r a c t i o n s - d i v e r s e m e n t r e s s e n t i e s - p e u t

é maner d' u n e d e s t i n a t i o n un ique. Cette s t r u c t u r e est p a s s i b l e d ' u n e f o r m a l i s a t i o n en te rm es de s.e.f.

E n effet, d é s i g n o n s par P l ' e n s e m b l e des p o u r c e n t a g e s d ' a t t r a c t i o n d é f i n i s par les v a l e u r s de ^p^ (j). En p a r t i c u l i e r , l ' a t t r a c t i o n c a l c u l é e sur la base du f a ct eu r j a p p a r t i e n d r a p l u s ou m oi n s au f a i s c e a u d ' a t t r a c t i o n s , le degré d ' a p p a r t e n a n c e é t a n t e s

timé par la v a l e u r de

y^

( i ) . D' u n e façon g é n é ra l e, l ' a t t r a c t i o n e x e r c é e p a r k sur i est d é f i n i e par le s.e.f. de P, n o t é

tel que :

(2) iEk ((iPk ü) ' Tj (i) > 1 ipk*

6 P]

avec p a r d é f i n i t i o n :

(3) V iPk (j) £ P : 0 <

y.

(i) < 1

.P n est u n s.e.f. au sens de Z A D E H . L a n o t i o n d ' a t t r a c t i o n i~k

n ' e s t pas r é d u c t i b l e à la v a l e u r o b j e c t i v e d ' u n c o e f f i c i e n t p r é c i s elle s ' e x p r i m e par u n e m u l t i p l i c i t é de v a l e u r s s u b j e c t i v e m e n t a p p r é ciées. Pour re n d r e c o m p t e de ce fait on p a r l e r a " d ' a t t r a c t i o n impr é -

i)

c i s e . A titre d ' e x e m p l e , c o n s i d é r o n s u n e n s e m b l e de q u a t r e f a c t e u r s J ^ [1> 2, 3, 4j a u q u e l l'agent i a s s o c i e le v e c t e u r de p o n d é r a t i o n s

r ±

= (0,2 * 0,8 r 0,9 • 0,5). Les f a i s c e a u x d ' a t t r a c t i o n s é m a n a n t de d e u x d e s t i n a t i o n s p o s s i b l e s k et 1 sont d o n n é s d a n s le t a b l e a u su i v a n t :

(1) Considérons , par exemple, un consommateur qui ne se déplace jamais en voiture et qui, de ce fait, accorde une pondération nulle au facteur "facilité de stationnement". Dans ces conditions un point de vente - situé à une certaine distance - et dont la masse partielle "étendue du parking" est très importante exercera objectivement une attraction de très forte intensité. Mais en réalité le choix de ce point de vente ne s'imposera pas obligatoirement au consomma teur qui rejette le facteur sur lequel repose le calcul du taux d'attraction.

(9)

at'tr. J e x e r c é e ^ \ . ^ 1 2 3 4 par k : _i£k 80/0,2 30/0,8 50/0,9 90/ 0, 5 par 1 : _i£l 20/0,2 70/0,8 50/0,9 10/0,5 T a b l e a u 1 Ce t a b l e a u r e c e n s e l ' i n f o r m a t i o n d o n t d i s p o s e l ' a g e n t pour e f f e c t u e r le choi x d 'u n e d es ti nation. Se p o s e al o r s le p r o b l è m e du t r a i t e m e n t de l ' i n f o r m a t i o n dont la n a t u r e est é t r o i t e m e n t d é p e n d a n t e du type du c o m p o r t e m e n t spatial étudié. L ' e x e m p l e p r é c é d e n t

servira d ' i l l u s t r a t i o n à l ' e x a m e n de deux c a t é g o r i e s de c o m p o r t e m e n t dans l ' e s p a c e : le c o m p o r t e m e n t spatial pr é c i s et le c o m p o r t e m e n t spatial imprécis.

II - A N A L Y S E S P A T I A L E DES C O M P O R T E M E N T S PRECIS.

En r é s u m a n t c h a q u e fa i s c e a u d ' a t t r a c t i o n s p a r un c o e f f i cient uniq ue , l ' a n a l y s e g r a v i t a i r e a p po rt e une s o l u t i o n r i g o u r e u s e au cho ix de la d e s t i n a t i o n : l 'a gent o r i e n t e r a son d é p l a c e m e n t v e r s le lieu p r o d u i s a n t la plus for te attraction. L ' i m p r é c i s i o n de l ' a t t r a c t i o n d i f f u s é e par une d e s t i n a t i o n se ré d u i t p ar c o n s é q u e n t , à la v al eu r n é c e s s a i r e m e n t p r é c i s e d'un p a r a m è t r e de p o s i t i o n c a r a c t é r i sant l ' a t t r a c t i o n fi n a l e du lieu. En ce sens, le c o m p o r t e m e n t s p a tial de l' a g e n t d é c i d e u r est précis.

D e u x types de p a r a m è t r e s de p o s i t i o n sont h a b i t u e l l e m e n t r etenus - l ' a t t r a c t i o n m o y e n n e qui c o r r e s p o n d à u n c o m p o r t e m e n t spati al s y n t h é t i q u e , - l ' a t t r a c t i o n m o d a l e qui donne n a i s s a n c e à un c o m p o r t e m e n t u n i c r i t è r e . 11 — 1 - Le c o m p o r t e m e n t sp atial s y n t h é t i q u e .

L ’ag e n t d é c i d e u r est supposé p o s s é d e r u n e c o n n a i s s a n c e p a r f a i t e de la s t r u c t u r e d ' a g r é g a t i o n des a t t r a c t i o n s i n d i v i d u e l l e s .

La s t r u c t u r e s y n t h é t i q u e la plus s o u v e n t u s i t é e est une m o y e n n e a r i t h m é t i q u e p o n d é r é e .

(10)

- 8

-i " M i - 1 iPk ^

(4 j iPj. * ---- L ----Î_J--- ^ 7 . m

J J

ou toute aut re f o n c t i o n s a t i s f a i s a n t aux p r o p r i é t é s du p o t e n t i e l re l a t i f : P, - V k & K : 0 < .p, < 1 1 ir k 2 k 2

^p^ p eu t donc s ' i n t e r p r é t e r comme la p r o b a b i l i t é que i e f f e c t u e un d é p l a c e m e n t v ers k sur la base d ' u n f a c t e u r e x p l i c a t i f r é s u l t a n t de la s y n t h è s e de la s t r u ct u re p o n d é r é e (. P,, l - ).

1 K 1

Dans ces c o n d i t i o n s la m a x i m i s a t i o n de la p r o b a b i l i t é du d é p l a c e m e n t p o t e n t i e l c o n d u i t au ch o i x o p t i m a l du lieu de d e s t i n a t i o n .

A in si , lo r s q u e l ' e n s e m b l e K ne c o m p r e n d que d e u x é l é m e n t s k et 1, nou s so mmes r a m e n é s aux r é s u l ta ts b i e n c o n n u s :

iPk > 0 , 5 : d é p l a c e m e n t o r i en té v er s k (5)

)

^Pj, < 0 , 5 ; d é p l a c e m e n t o r i en té v e r s 1

= 0,5 : i n d i f f é r e n c e

van ts :

Les d o n n é e s du t a b l e a u 2 c o n d u i s e n t aux r é s u l t a t s

sui-J>k =

0 ,542 ¿Pi = 0,458 d e s t i n a t i o n c h o i s i e : k C et t e a n a l y s e d i r e c t e du c o m p o r t e m e n t s p a t i a l d o i t être r a p p r o c h é e des t r a v a u x é c o n o m é t r i q u e s v i s a n t à a d a p t e r les m o d è l e s d ' a t t r a c t i o n au c o m p o r t e m e n t observé. Les m a s s e s p a r t i e l l e s , a i n si que la d i s t a nc e, sont a f f e c t é e s d ' e x p o s a n t s do n t les v a l e u r s e s t i mée s s t a t i s t i q u e m e n t p e u v e n t être c o n s i d é r é e s c o m m e des p o n d é r a t i o n s d é t e r m i n é e s par le r e p r é s e n t a n t "moye n" d ' u n é c h a n t i l l o n (voir par e xe mple l' é t u d e de D E S C H E N et alli, 1967, [2] p o r t a n t sur la c i r c u lation a u t o m o b i l e à l ' i n t é r i e u r de l ' a g g l o m é r a t i o n l y o n n a i s e ) .

On p r o g r e s s e dan s la s y nt hè se du c o m p o r t e m e n t lo rs q ue , outre les e x p o s a n t s a f f e c t é s aux v a r i a b l e s du m o d è l e , ces d e r n i è r e s sont m u l t i p l i é e s par des c o e f f i c i e n t s - ap p e l é s " p o i d s m o l é c u l a i r e s "

(11)

(STEWART, 1 950 [ 12 ]) - qui d é f i n i s s e n t une a u t r e forme de p o n d é r a tion. Dans c e r t a i n s cas ces n o u v e l l e s p o n d é r a t i o n s sont a f f e c t é e s d ' e x p o s a n t s p r o p r e s (voir en p a r t i c u l i e r le m o d è l e de LOWRY, 1966

[8 ] r e l a t i f à l'ét ud e des m i g r a t i o n s ) .

A ce stade e x t r ê m e d ' a g r é g a t i o n des v a r i a b l e s on pe ut se de mander, avec Pi e r r e M ORAN, si les s t r u c t u r e s m a t h é m a t i q u e s

u t i l i s é e s " n' on t plu s pou r ob j et que de d é c r i r e des p h é n o m è n e s , sans p a r v e n i r à n ous les faire c o m p r e n d r e d a v a n t a g e " (1966,1 10] , p. 160) . 11 — 2 — Le c o m p o r t e m e n t spatial u n i c r i t è r e .

R e j e t a n t l ' u t i l i s a t i o n de s t r u c t u r e s c o m p l e x e s , c e r t a i n s a u te ur s c o n s i d è r e n t q u ' u n e m a s s e p a r t i e l l e et une seu le p e r m e t de ré s u m e r assez f i d è l e m e n t le c o m p o r t e m e n t o b s e r v é (Par e xe mp le , le m o d è l e de HUFF, 1933 [6] u t i l i s e la su rface de v e n t e des c e n t r e s c o m m e r c i a u x co mm e m a s s e u n i q u e : l'auteur j u s t i f i e c e t t e h y p o thèse en r e m a r q u a n t que la n o t i o n d ' a s s o r t i m e n t d ' a r t i c l e s o f f e r t s est le f a c t e u r le plus e x p l i c a t i f en ce qui c o n c e r n e le c h o i x des p oi n t s de v e n t e ) .

Si, po u r un p r o b l è m e donné, j ® a p p a r a î t d é t e r m i n a n t d an s l ' e x p l i c a t i o n des d é p l a c e m e n t s (7-©(i) = max 7-(i) ) on r e t i e n t la

o 3 î £ j J

m as s e qui lui c o r r e s p o n d (m^ (j ) d'où J l ' a t t r a c t i o n f i n a l e de la d e s t i n a t i o n k : a (i) ffil „» . 1 d ik 1 k S C m k (j*3 / qui r e p r é s e n t e la v a l e u r m o d a l e de la d i s t r i b u t i o n des a t t r a c t i o n s p a r t i e l l e s p o n d é r é e s . ^p°k s a t i s f a i t aux p r o p r i é t é s P^ et P^ du p o t e n t i e l r e l a t i f et p e u t d o n n e r lieu à u ne i n t e r p r é t a t i o n p r o b a b i l i s t e

(pr ob ab il i té que i e n t r e p r e n n e u n d é p l a c e m e n t en k sur la base du f a ct eu r le pl u s e x p l i c a t i f de l ' e n s e m b l e J ) . Par c o n s é q u e n t , les r ègles d ' o r i e n t a t i o n d é f i n i e s par la r e l a t i o n (5) s ' a p p l i q u e a u s s i au c o m p o r t e m e n t spati al u n i c r i t è r e . L ' e x e m p l e f o u r n i t par le ta b l e a u 1 m o n t r e que le c h o i x de la d e s t i n a t i o n est i n d i f f é r e n t à l'age nt p u i s q u e = ^P°^=0,50. La s o l u t i o n d ' i n d i f f é r e n c e ne d oi t pas être c o n f o n d u e a ve c l ' i n d é t e r m i n a t i o n du p r o b l è m e qui a p p a r a i t r a i t si tous les f a c t e u r s

(12)

- 10

-possédaientle m ê m e poids. Le m o d e d'une série s t a t i s t i q u e n' e s t pas n é c e s s a i r e m e n t unique, et le r isque d ' i n d é t e r m i n a t i o n est éle vé po ur le c o m p o r t e m e n t spatial u n i cr it èr e.

Dan s le cas p r é s e n t la s o lu ti on f o u r n i e p ar ce type de c o m p o r t e m e n t est d i f f é r e n t e de celle donnée par le c o m p o r t e m e n t spatial s y nt h é t i q u e . A cela r i e n d' ét o n n a n t p u i s q u e l ' a g e n t t r a i t e l ' i n f o r m a t i o n d'u n e f a ç o n d i ff é re nt e. Le c o m p o r t e m e n t u n i c r i t è r e

repose sur une h y p o t h è s e m o i n s forte que celle du p r é c é d e n t : l ' a g e n t est ce ns é c o n n a î t r e s e u l e m e n t le facteur le p l u s e x p l i c a t i f de ses d é p l a c e m e n t s .

Dans la s e c t i o n suivante, la prise de d é c i s i o n est d é c r i te se lo n c e r t a i n s p r i n c i p e s de la théorie des s.e.f. ; le c o m p o r t e m e n t qui en r é s u l t e s ' a c c o m o d e de l ' i m p r é c i s i o n i n h é r e n t e au p h é n o m ène d ' a t t r a c t i o n .

111 " F O R M A L I S A T I O N D ' U N T YP E DE C O M P O R T E M E N T S P A T I A L IMPR EC IS .

R e m a r q u o n s tout d ' a b o r d que le p r o b l è m e d ' u n c o m p o r t e m e n t spatial d 'u n e q u e l c o n q u e n a t u r e ne se pose pa§ si, quel que soit ce f acte ur de m o t i v a t i o n c o n s i d é r é , l ' a t t r a c t i o n o b j e c t i v e d ' u n e d e s t i n a t i o n est t o u j o u r s supérieure à celle d'une autre. L ' a g e n t c o n cerné c h o i s i r a la p r e m i è r e , à m o i n s qu'il ne f a s s e p r e u v e d ' u n e

i r r a t i o n a l i t é totale, ce que n ou s excluons dans le c a d r e du p r é s e n t a r t i c l e (en p a r t i c u l i e r , l ' i m p r é c i s i o n du c o m p o r t e m e n t s p at ia l ne

sign if ie pas a b s e n c e de c o m p o r t e m e n t ) . En d ' a u t r e s terme s, l ' i m p r é c i s i o n des f a i s c e a u x d ' a t t r a c t i o n s est o r g a n i s é e d ' u n e f a ç o n fort claire et ne n é c e s s i t e pas u n t r a i t e m e n t sp éc i f i q u e .

Dan s les cas m o i n s p a r t i c u l i e r s que le p r é c é d e n t , on r em ar qu er a, c e p e n d a n t , q u ' u n e p a r t i e s e u l em en t de l ' i n f o r m a t i o n c o n t e n u e p a r le f a i s c e a u d ' a t t r a c t i o n s d'une d e s t i n a t i o n est u t i l e à la p r i s e de d é c i s i o n dan s u n e n v i r o n n e m e n t i m p r é c i s . Par c o n s é quent, av an t d ' e x a m i n e r le m é c a n i s m e de c o m p o s i t i o n f l o u e des f a c teurs qui d é b o u c h e r a e n s u i t e sur le choix d ' u n e d e s t i n a t i o n , il convient, en p r e m i e r lieu, de r é d u i r e la n o t i o n g é n é r a l e d ' a t t r a c tion i m p r é c i s e au c o n c e p t d ' a t t r a c t i o n utile.

(13)

1 1 1-1- Le c o n c e p t d 1" a t t r a c t i o n u t i l e "

L ' i m p r é c i s i o n des f a i s c e a u x d ' a t t r a c t i o n s peu t être rédui te si l'on a c c e p t e le p r i n c i p e de bon sens s u i v a n t lequel l'agent c h o i s i t la d e s t i n a t i o n de plus forte a t t r a c t i o n p o u r un facteur donné.

A i n s i d ' a p r è s l ' e x e m p l e p r é c é d e n t l ' a g e n t s ' o r i e n t e r a v ers k po u r le f a c t e u r 1 p u i s q u e .pv (1) > - p -, C1D - L a c o m p a r a i s o n

1 K. I X

po r t a n t sur deux taux d ' a t t r a c t i o n p o s s è d e un c o n t e n u o b j e c t i f l o r s q u ' e l l e est e f f e c t u é e p o u r u n même fa cteur (le sens de l ' i n é galité est i n v a r i a n t q u e l l e que soit la va l e u r p o s i t i v e du c o e f f i cient de p o n d é r a t i o n a t t r i b u é au facteur). T o u t e f o i s , le c h o i x de la d e s t i n a t i o n ne s ' i m p o s e pas d é f i n i t i v e m e n t , car les a u t r e s c o m p o s a n t e s de l ' e n s e m b l e J d o i v e n t intervenir dans le p r o c e s s u s de d é c i s i o n finale.

En p r o c é d a n t de la m ê m e façon pour les a u t r e s f ac t e u r s , on d é f i n i t le f a i s c e a u d ' a t t r a c t i o n uti le de la d e s t i n a t i o n k par le s.e.f. .A, tel que :

i~k M

où les taux d ' a t t r a c t i o n s u p é r i e u r s ou éga ux à 0,5 sont d o n n é s par les f a c t e u r s qui ne n ' o p p o s e n t p a s au choix de la d e s t i n a t i o n k

(étant e n t e n d u que d eu x d e s t i n a t i o n s p o s s i b l e s sont c o n s i d é r é e s ) . Les f a i s c e a u x d ' a t t r a c t i o n s ut i l e s de k et 1 sont d é d u i t s du t a b l e a u 1 : ''attract, j u t i l e ^ ^ _ 1 2 3 4 e x e r c e e par k : i A k 80/0,2 - 50/0,9 90/0,5 e x e r c é e par l:-jAi - 70/0,8 50/0,9 -T a b l e a u 2 La p e r t e d ' i n f o r m a t i o n e n r e g i s t r é e en p a s s a n t du t a b l e a u 1 au t a b l e a u 2 ne c o n c e r n e que les f acteurs qui m a n i f e s t e n t u n e o p p o sition au c h o i x d 'u n e d e s t i n a t i o n d on n ée ; elle ne r e n t r e pas dans

(14)

- 12

-le schéma d 'a g r é g r a t i o n floue des a t t r a c t i o n s e f f e c t i v e s d ' u n e d e s ti na ti on . Les f a i s c e a u x d 'attractions ut i l e s f o u r n i s s e n t la q u a n t i t é m i n i m a l e d ' i n f o r m a t i o n uti le à la p r i s e de d é c i s i o n f l o u e . 111 — 2 — C o m p o s i t i o n floue des f a c t e u r s . On s u pp os e que l ' ag en t ne p o s s è d e pas la c a p a c i t é de c o m p a r e r s i m u l t a n é m e n t les f a c te ur s sur l e s q u e l s r e p o s e la d é f i n i t i o n de l ' a t t r a c t i o n u t i l e d'une d e s t i n a t i o n : les c o m p a r a i s o n s s ' e f f e c t u e n t sur la b as e de deux fact eu rs s e u l e m e n t .

C o n c r è t e m e n t , le résumé de l ' a t t r a c t i o n u t i l e d ' u n e d e s t i n a t i o n c o n s i s t e tout d ' a b o r d à d é t e r m i n e r l ' a t t r a c t i o n i m p r é c i s e r é s u l t a n t de c h a q u e c o m b i n a i s o n de f a c t e u r s , p u i s à r e t e nir la c o m b i n a i s o n qui do n n e le p o u r c e n t a g e d ' a t t r a c t i o n le pl us f o r t e m e n t r e s s e n t i par l'agent.

C ' e s t dan s la p r e m i è r e étape du r a i s o n n e m e n t que r é s i d e à p r o p r e m e n t p a r l e r le p r i n c i p e de c o m p o s i t i o n f l o u e des f a ct eu rs . 1) D é s i g n o n s par x la pai re j j ' . L ' a t t r a c t i o n i m p r é c i s e de la d e s t i n a t i o n k est d o n n é e par l ' o p é r a t e u r (1) s u i v a n t : fSÏ ip k (;j) + i P k ^ ' ) m _J_Jç---LJS--- / 7 (i)A 7 (i) 2 J J où A do n n e le m i n i m u m des d e g r é s d ' a p p a r t e n a n c e . - Le p r e m i e r terme r e p r é s e n t e une o p é r a t i o n a r i t h m é t i q u e i P k (j) + i P k U ' ) o r d i n a i r e : ^p^ (x) = --- est l ' a t t r a c t i o n m o y e n n e de k c a l c u l é e d ' a p r è s les c o m p o s a n t e s de la c o m b i n a i s o n x - le se c o n d te rm e est une o p é r a t i o n c o r r e s p o n d a n t au "et" de la l o g i q u e flou e (.2). Il a p p a r a î t normal, en effet, de r e t e n i r comme p o n d é r a t i o n du taux moyen, le po id s m i n i m u m des f a c t e u r s ayant c o n t r i b u é à son ca l c u l : ce p o i d s m i n i m u m , n o t é

y

(i)

X

c a r a c t é r i s e a f o r t i o r i le f a c t e u r le plus d é t e r m i n a n t de la p a i r e x

(1) Utilisé par C. PONSARD, 1984 [11J pour additionner des quantités floues (2) Pour une introduction à la logique floue : KAUFMANN, 1973 [7] , chap. III.

Pour un examen plus détaillé : BALDWIN, 1979 [l] , MIZUMOTO et alli, 1979,[2] TSUKAMOTO, 1979,113].

(15)

L ' é c r i t u r e s u i v a n t e est a do pt ée p o u r s y m b o l i s e r le p r o c e s s u s de c o m p o s i t i o n floue de la pa ir e x p o u r la d e s t i n a t i o n k

rsS

i P k ( j ) + i P k U ’ J / . — --- ' C i j = i P k ( x ) / - yx ( . i ) D ' a p r è s les d o n n é e s du t ab le au 2, on o b t i e n t les r é s u l tats s u iv an ts : - p o u r la d e s t i n a t i o n k : 1 et 3 ---- > 80 + 50 / 0,2 A 0,9 = 65 / 0,2 ~ 2 1 et 4 ---

)

80 +- 90 / 0,2 A 0,5 = 85 / 0,2 ~ 2 3 et 4 ---

)

— + 90 / 0,9 A 0,5 = 70 / 0,5 - p ou r la d e s t i n a t i o n 1 : 2 et 3 ---> 70 -+-.50 / 0,8 A 0,9 = 60 / 0,8 ~ 2 La s e c o n d e é t a p e vise à d é t e r m i n e r l ' a t t r a c t i o n f i n a l e de c h a q u e d e s t i n a t i o n . 2) Il a p p a r a î t n a t u r e l de c a r a c t é r i s e r l ' a t t r a c t i o n f inale d ' u n e d e s t i n a t i o n par le taux r é s u l t a n t de la c o m b i n a i s o n

de f a c t e u r s d ont la p o n d é r a t i o n est la plus i m p o r t a n t e .

P our e x p r i m e r ce ré sultat, un p r e m i e r a x i o m e de c o m p o r tement doi t être p osé :

A x i o m e 1 :

Eta nt do n n é d e u x c o m b i n a i s o n s de f a c t e u r s d i f f é r e m m e n t p o n d é r é e s l ' a g e n t p r i v i l é g i e la c o m b i n a i s o n p r é p o n d é r a n t e .

C o n s i d é r o n s la d e s t i n a t i o n k et d é s i g n o n s p a r Xq la

c o m b i n a i s o n p r é p o n d é r a n t e :

(9) 7 (ij = V 7 (ij ou 7 (i) = V (7 . ( i ) A 7 . , (i) )

Xq X X Xq X J J

(16)

- 14

-L ' a t t r a c t i o n f inale de k est d o n n é e par le c o u p l e : 11°) iPk (x0 )

Il

li)

0

Un se co nd ax i o m e de c o m p o r t e m e n t est n é c e s s a i r e si l'on veut é v i t e r des i n d é t e r m i n a t i o n s a n a l o gu es à c e l l e s du c o m p o r t e m e n t spatial p r é c i s et u n i c r i t è r e (si tous les f a c t e u r s p o s s è d e n t le même p o i d s

y

> la r e l a t i o n (8) a cc or de ce po i d s u n i q u e à t o u te s

les c o m b i n a i s o n s de f a c t e u r s pr i s deux à deux :

y A y = y )

A xi o m e 2 :

E t a n t donné de u x c o m b i n a i s o n s de f a c t e u r s é q u i - p o n d é r é e s , l'agent p r i v i l é g i e la c o m b i n a i s o n as s o c i é e au p l u s fort t aux d ' a t traction.

Le p r é s e n t e x e m p l e (tableau 2) n é c e s s i t e s e u l e m e n t l ' a p p l i c a t i o n du p r e m i e r a x i o m e :

- L ' a t t r a c t i o n f in al e de la d e s t i n a t i o n k est d é f i n i e par le c o u p l e 70/0,5 ; (xQ ) ^ 70 est le tau x d ' a t t r a c t i o n le plus f o r t e m e n t r e s s e n t i p ar l' agent dans le p r o c e s s u s de s y n t h è s e de l ' a t t r a c t i o n u t i l e de la d es ti na ti on .

- En ce qui c o n c e r n e la d e s t i n a t i o n c o n c u r r e n t e 1, la s o l u t i o n est t r i v i a l e : 60/0,8.

1 1 1 —15 - O r i e n t a t i o n des d é p l a c e m e n t s dans un e n v i r o n n e m e n t i m p r é c i s . Soit iP k (x0 J / et jPi (y0 ) / T y (-i) les a t t r a c t i o n s finales r e s p e c t i v e s de k et 1. Par d é f i n i t i o n les p a i r e s x Q et y Q sont d i f f é r e n t e s , la somme ¿ P ^ Uq) + ¿ Pi^ q^ n 'est do n c P as n é c e s

s a i r e m e n t é g a l e à 1. Les a t t r a c t i o n s fi nales ne s a t i s f o n t p a s à la p r o p r i é t é P 2 du p o t e n t i e l rel at if , par c o n s é q u e n t le c h o i x de la d e s t i n a t i o n dans un e n v i r o n n e m e n t imprécis r é p o n d à un e l o g i q u e plus g é n é r a l e que ce ll e d o n n é e par la r e l a t i o n (5) .

L ' a p p l i c a t i o n des ax i o m e s p r é c é d e n t s c o n d u i t aux r è g l e s é n o n c é e s c i - d e s s o u s : Cas 1 : V iP k (xQ ) et ^ (yQ ) fe p") -—^ d e s t i n a t i o n k 7 (i)

> y

(i) x 0 y 0 ( ax iome 1) /

(17)

Cas 2 : V ¿ P ^ X q ) et

±

p1

(yQ )

C

p] 7 X 0 0 : iP k (xO } > i P i (y o }

y v

U ) = 7 „ (.1) o o Ç a s _ £ _ : ^ ( X q ) < ¡ V ^ Yq ) y v ci) = 7 „ ci) o y o Ç ü _ 5 : iP k (x0 ) - i P l (y0 ) 7 Ci) = X 0 y V (il ' z=^ d e s t i n a t i o n 1 ( axiome 1) d e s t i n a t i o n k ( axiome 2) d e s t i n a t i o n 1 (axiome 2) — *> c h o i x i n d i f f é r e n t

On n o t e r a que la r e l a t i o n (5) c o ï n c i d e avec les cas 3, 4 et 5 du c o m p o r t e m e n t s p a ti al imprécis lorsq u e 7 (i) = 7 (i) = 1 .

X 0 y 0

Cette r e m a r q u e m et en é v i d e n c e l'a sp ec t p a r t i c u l i e r des d é p l a c e m e n t s p ré ci s dont les rè g l e s d ' o r i e n t a t i o n sont c o n t e n u e s p a r les p r é c é dentes.

On v é r i f i e ici que les a t t r a c t i o n s f i n a l e s de k( 70 / 0 , 5 ) et de 1(60/0,8) r é p o n d e n t au cas 2 : d é p l a c e m e n t o r i e n t é v e r s la d e s t i n a t i o n 1, s o l u t i o n e n c o r e d i f f é r e n t e de c e l l e s r e t e n u e s p o u r les deux types de c o m p o r t e m e n t précis.

C o n c l u s i o n :

Les tro is s o l u t i o n s p o s s i b l e s d' u n e x e m p l e commun ont ét s u c c e s s i v e m e n t a d o p t é e s p ar les trois types de c o m p o r t e m e n t a n a l y s Ce r é s u l t a t ne p e r m e t pas de d é g a g e r la s u p é r i o r i t é r é e l l e d ' u n c o m p o r t e m e n t par r a p p o r t à un autre.

On a c o u t u m e de r e p r o c h e r au c o m p o r t e m e n t s p a t i a l s y n thétique, l ' h y p o t h è s e fo rt e de la c o n n a i s s a n c e p a r f a i t e des s t r u c tures d ' a g r é g a t i o n de la p a r t de l'agent d é c i d e u r . Les m o d è l e s

\(D

(18)

- 16

-d ' i n t e r a c t i o n -d é r i v é s -de ce type -de c o m p o r t e m e n t p r é c i s sont g é n é rale me nt des m o d è l e s s t o c h a s t i q u e s d é c r i v a n t un c o m p o r t e m e n t m o y e n et dont le c a r a c t è r e est seu le m en t indicatif. F o r c e est de r e c o n naître, c ep en d a n t , que les r é s u l t a t s a u x qu el s ils p a r v i e n n e n t ne sont pas d é n u é s d ' i n t é r ê t (de n o m b r e u x p r o b l è m e s p r a t i q u e s , dans des d o m a i n e s aussi v a r i é s que le ma rk et in g, la l o c a l i s a t i o n , la p ré vi s i o n . . . ont été r é s o l u s par cette t e c h n i q u e : F U S T I E R , 1979,

[4], c h a p . 3) .

I n v e rs em en t, l ' h y p o t h è s e a p p a u v r i s s a n t e à la base du

c o m p o r t e m e n t spatial u n i c r i t è r e est la c r i t i q u e h a b i t u e l l e m e n t r é s e r vée aux m o d è l e s d ' a t t r a c t i o n qui en résultent. P o u r t a n t , les r é s u l tats ac qu is en ce d o m a i n e sont au moin s aussi s a t i s f a i s a n t s que les p r é c é d e n t s (Par exemple, le p r o g r a m m e P A P R I C A d é v e l o p p é par T A I E B et DI MEGLIO, 1971 [ 3 ] , s imule d'une façon c o r r e c t e l ' é v o l u t i o n des s t r u c t u r e s c o m m e r c i a l e s de l ' a g g l o m é r a t i o n m a r s e i l l a i s e ) .

C o m p t e tenu de la te n t a t i v e r é c e n t e de f o r m a l i s a t i o n de l ' i m p r é c i s i o n i n h é r e n t e à l ' a t t r a c t i o n dans l' e s p a c e , il n ' e x i s t e pas d ' e x e m p l e s , à ce jour, t e n d a n t à p r o u v e r 1 ' o p é r a t i o n a l i t é des m o d è l e s d é r i v é s d ' u n c o m p o r t e m e n t spatial impr éc is . M a i s il est pe rm is de p e n s e r que la g é n é r a l i t é d' u n tel c o m p o r t e m e n t lui c o n fère u n c e r t a i n a v a n t a g e sur le pl a n t hé or i qu e. Le ty p e de c o m p o r tement i m p r é c i s d é v e l o p p é ici re po se sur une h y p o t h è s e m o i n s s y n thé ti qu e que le p r e m i e r type de c o m p o r t e m e n t p r é c i s é vo qu é, et m o i n s a p p a u v r i s s a n t e que le s ec on d (puisque les c o m p a r a i s o n s

s ' e f f e c t u e n t en tr e p a i r e s de f a c te ur s ) : la s o l u t i o n r e t e n u e n ' e s t donc pas p lu s m a u v a i s e que les autres.

(19)

B I B L I O G R A P H I E :

[1] J.F. B A L D W I N : " F u z z y Logic and its A p p l i c a t i o n to F u z z y

R e a s o n i n g " in : A d v a n c e s in Fu zz y Set T h e o r y and A p p l i c a t i o n s E d i t e d by GUPTA, R A G A D E et YAGER, N o r t h - H o l l a n d , 1979, pp. 93- 116. [ 2 ] J. D E S C H E N E et alii : " C i r c u l a t i o n et t r a n s p o r t d an s l ' a g g l o m é r a t i o n ly o n n a i s e " , Tome 2, M i n i s t è r e de 1 ' E q u i p e m e n t , j u i l l e t 1967. [3] P. D I M E GL IO , F. T A I E B :"Un m o d è l e de l o c a l i s a t i o n des s u r faces c o m m e r c i a l e s : PAPRICA", Ur b a n i s m e , n° 126, 1971, p p . 10 - 17. [4] B. F U S T I E R : "Les i n t e r a c t i o n s s p a t i a l e s en E c o n o m i e " , C o l l e c t i o n de l ' I . M .E ., n~ 21, E d i t i o n s S irey, 1979, [5 ] B. F U S T I E R : " C o m m e n t éviter l'emploi d ' e n q u ê t e s l o n g u e s et c o û t e u s e s p o u r m e s u r e r l ' a t t r a c t i o n c o m m e r c i a l e ?". D o c u m e n t i nt er ne de l ' I . M .E ., Dijon, n o v e m b r e 1981. [6] D.L. H U F F : "A P r o b a b i l i s t i c A n a l y s i s of S h o p p i n g C e n t e r T r a d e A r e a s " . La n d E c o n o m i c s , fé vrier 1963, pp. 81-90. [ 7 ] A. K A U F M A N N : " I n t r o d u c t i o n à la th é o r i e des s o u s - e n s e m b l e s f l o u s ”, tome 1, M a s s o n et Cie, 1973.

[8] I.S. L O W R Y : " M i g r a t i o n and M e t r o p o l i t a n G r o w t h : Two A n a l yt ic al M o d e l s " . S a n Fr an si sc o, Ch a n d l e r , 1966. [ 9] M. M I Z U M O T O , S. F U K A M I , K. T A N A K A : " S o m e M e t h o d s of F u z z y R e a s o n i n g " in GUPTA, R A G A D E et Y A G E R (déjà c i t é s ) ,p p . 1 1 7- 13 6 . [10 ] P. M O R A N : " L ' a n a l y s e sp a t i a l e en S c i e n c e E c o n o m i q u e " , E d i t i o n s Cujas, 1966. [11] C, P O N S A R D : "A T h e o r y of Spatial Ge n e r a l E q u i l i b r i u m in a F u z z y E c o n o m y ". C o m m u n i c a t i o n p r é s e n t é e au s e c o n d c o n g r è s des A r t s et S c i e n c e s , R ot te rd am , 3-16 j u i n 1984. [ 12 ] J.Q. S T E W A R T : "The d e v e l o p m e n t of So ci al P h y s i c s " , A m e r i c a n J o u r n a l of Ph y s i c s " , vol. 18, n° 5, 1950, pp. 239- 2 5 3 . [ 1 3 ] Y. T S U K A M O T O : " A n a p p r o a c h to F u z z y R e a s o n i n g M e t h o d " , in GUPTA, R A G A D E et Y A G E R (déjà cités), pp. 1 3 7-149.