Les diapositives

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Séries entières et équations di

fférentielles

Jean-Pierre Becirspahic Lycée Marcelin Berthelot

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Séries entières

Rayon de convergence

Il existe un réel R ∈ R+∪ {+∞} tel que

• _{|z|< R =⇒} X_a

nzn converge absolument ;

• _{|z|> R =⇒} X_a

nzn diverge grossièrement.

Définitions d’Abel: R= supnρ > 0

 la suite (|an|ρ

n_{) est majorée}o

= supnρ > 0

 lim|an|ρ

n_{= 0}o

Si possible, on applique le critère de d’Alembert à la suite un= anzn pour

calculer R . Déterminer le rayon de CV deXch(n)z2n. un = ch(n)z2n =⇒     un+1 un     ∼e n+1 en |z| 2_{= e|z|}2_{donc :} • _|z|<√1 e =⇒ lim     un+1 un    < 1 =⇒ X unCV donc R > 1 √ e; • _|z|>√1 e =⇒ lim     un+1 un    > 1 =⇒ X unDV donc R 6 1 √ e;

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Séries entières

Rayon de convergence

Il existe un réel R ∈ R+∪ {+∞} tel que

• _{|z|< R =⇒} X_a

nzn converge absolument ;

• _{|z|> R =⇒} X_a

nzn diverge grossièrement.

Définitions d’Abel: R= supnρ > 0

 la suite (|an|ρ

n_{) est majorée}o

= supnρ > 0

 lim|an|ρ

n _{= 0}o

Si possible, on applique le critère de d’Alembert à la suite un= anzn pour

calculer R . Déterminer le rayon de CV deXch(n)z2n. un = ch(n)z2n =⇒     un+1 un     ∼e n+1 en |z| 2_{= e|z|}2_{donc :} • _|z|<√1 e =⇒ lim     un+1 un    < 1 =⇒ X unCV donc R > 1 √ e; • _|z|>√1 e =⇒ lim     un+1 un    > 1 =⇒ X unDV donc R 6 1 √ e;

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Séries entières

Rayon de convergence

Il existe un réel R ∈ R+∪ {+∞} tel que

• _{|z|< R =⇒} X_a

nzn converge absolument ;

• _{|z|> R =⇒} X_a

nzn diverge grossièrement.

Définitions d’Abel: R= supnρ > 0

 la suite (|an|ρ

n_{) est majorée}o

= supnρ > 0

 lim|an|ρ

n _{= 0}o

Si possible, on applique le critère de d’Alembert à la suite un= anzn pour

calculer R . Déterminer le rayon de CV deXch(n)z2n. un = ch(n)z2n =⇒     un+1 un     ∼e n+1 en |z| 2_{= e|z|}2_{donc :} • _|z|<√1 e =⇒ lim     un+1 un    < 1 =⇒ X unCV donc R > 1 √ e; • _|z|>√1 e =⇒ lim     un+1 un    > 1 =⇒ X unDV donc R 6 1 √ e;

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Séries entières

Rayon de convergence

Il existe un réel R ∈ R+∪ {+∞} tel que

• _{|z|< R =⇒} X_a

nzn converge absolument ;

• _{|z|> R =⇒} X_a

nzn diverge grossièrement.

Définitions d’Abel: R= supnρ > 0

 la suite (|an|ρ

n_{) est majorée}o

= supnρ > 0

 lim|an|ρ

n _{= 0}o

Si possible, on applique le critère de d’Alembert à la suite un= anzn pour

calculer R . Déterminer le rayon de CV deXch(n)z2n. un = ch(n)z2n =⇒     un+1 un     ∼e n+1 en |z| 2_{= e|z|}2_{donc :} • _|z|<√1 e =⇒ lim     un+1 un    < 1 =⇒ X unCV donc R > 1 √ e; • _|z|>√1 e =⇒ lim     un+1 un    > 1 =⇒ X unDV donc R 6 1 √ e;

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Séries entières

Rayon de convergence

Il existe un réel R ∈ R+∪ {+∞} tel que

• _{|z|< R =⇒} X_a

nzn converge absolument ;

• _{|z|> R =⇒} X_a

nzn diverge grossièrement.

Définitions d’Abel: R= supnρ > 0

 la suite (|an|ρ

n_{) est majorée}o

= supnρ > 0

 lim|an|ρ

n _{= 0}o

Si possible, on applique le critère de d’Alembert à la suite un= anzn pour

calculer R . Déterminer le rayon de CV deXch(n)z2n. un = ch(n)z2n =⇒     un+1 un     ∼e n+1 en |z| 2_{= e|z|}2_{donc :} • _|z|<√1 e =⇒ lim     un+1 un    < 1 =⇒ X unCV donc R > 1 √ e; • _|z|>√1 e =⇒ lim     un+1 un    > 1 =⇒ X unDV donc R 6 1 √ e;

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Séries entières

Rayon de convergence

Il existe un réel R ∈ R+∪ {+∞} tel que

• _{|z|< R =⇒} X_a

nzn converge absolument ;

• _{|z|> R =⇒} X_a

nzn diverge grossièrement.

Définitions d’Abel: R= supnρ > 0

 la suite (|an|ρ

n_{) est majorée}o

= supnρ > 0

 lim|an|ρ

n _{= 0}o

Si possible, on applique le critère de d’Alembert à la suite un= anzn pour

calculer R . Déterminer le rayon de CV deXch(n)z2n. un = ch(n)z2n =⇒     un+1 un     ∼e n+1 en |z| 2_{= e|z|}2_{donc :} • _|z|<√1 e =⇒ lim     un+1 un    < 1 =⇒ X unCV donc R > 1 √ e; • _|z|>√1 e =⇒ lim     un+1 un    > 1 =⇒ X unDV donc R 6 1 √ e;

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Séries entières

Utilisation de la définition d’Abel

Comparer les rayons de CV deXanzn et

X bnzn avec bn= nαan (α> 0). • _{ρ< R} b =⇒ lim bnρn = 0 =⇒ lim b_n nαρ n = 0 =⇒ ρ 6 Ra.

On a montré que[0, Rb[⊂ [0, Ra] donc Rb 6Ra.

• _{ρ< R}

a =⇒ lim anρn= 0 =⇒ lim nαanρn=? ? ? Échec !

• _{Nouvelle tentative. Soitρ< r < R}

a. On a anρn= anrn _ρ r n donc nαanρn= (anrn) × nα _ρ r n . r< Ra =⇒ lim anrn = 0 et ρ r < 1 =⇒ lim n αρ r n = 0 donc lim nαanρn = 0 et ρ 6 Rb.

On a montré queρ< Ra =⇒ ρ 6 Rb donc[0, Ra[⊂ [0, Rb] et Ra 6Rb.

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Séries entières

Utilisation de la définition d’Abel

Comparer les rayons de CV deXanzn et

X bnzn avec bn= nαan (α> 0). • _{ρ< R} b =⇒ lim bnρn = 0 =⇒ lim b_n nαρ n = 0 =⇒ ρ 6 Ra.

On a montré que[0, Rb[⊂ [0, Ra] donc Rb 6Ra.

• _{ρ< R}

a =⇒ lim anρn= 0 =⇒ lim nαanρn=? ? ? Échec !

• _{Nouvelle tentative. Soitρ< r < R}

a. On a anρn= anrn _ρ r n donc nαanρn= (anrn) × nα _ρ r n . r< Ra =⇒ lim anrn = 0 et ρ r < 1 =⇒ lim n αρ r n = 0 donc lim nαanρn = 0 et ρ 6 Rb.

On a montré queρ< Ra =⇒ ρ 6 Rb donc[0, Ra[⊂ [0, Rb] et Ra 6Rb.

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Séries entières

Utilisation de la définition d’Abel

Comparer les rayons de CV deXanzn et

X bnzn avec bn= nαan (α> 0). • _{ρ< R} b =⇒ lim bnρn = 0 =⇒ lim b_n nαρ n = 0 =⇒ ρ 6 Ra.

On a montré que[0, Rb[⊂ [0, Ra] donc Rb 6Ra.

• _{ρ< R}

a =⇒ lim anρn= 0 =⇒ lim nαanρn=? ? ? Échec !

• _{Nouvelle tentative. Soitρ< r < R}

a. On a anρn= anrn _ρ r n donc nαanρn= (anrn) × nα _ρ r n . r< Ra =⇒ lim anrn = 0 et ρ r < 1 =⇒ lim n αρ r n = 0 donc lim nαanρn = 0 et ρ 6 Rb.

On a montré queρ< Ra =⇒ ρ 6 Rb donc[0, Ra[⊂ [0, Rb] et Ra 6Rb.

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Séries entières

Utilisation de la définition d’Abel

Comparer les rayons de CV deXanzn et

X bnzn avec bn= nαan (α> 0). • _{ρ< R} b =⇒ lim bnρn = 0 =⇒ lim b_n nαρ n = 0 =⇒ ρ 6 Ra.

On a montré que[0, Rb[⊂ [0, Ra] donc Rb 6Ra.

• _{ρ< R}

a =⇒ lim anρn= 0 =⇒ lim nαanρn=? ? ? Échec !

• _{Nouvelle tentative. Soitρ< r < R}

a. On a anρn= anrn _ρ r n donc nαanρn= (anrn) × nα _ρ r n . r< Ra =⇒ lim anrn = 0 et ρ r < 1 =⇒ lim n αρ r n = 0 donc lim nαanρn = 0 et ρ 6 Rb.

On a montré queρ< Ra =⇒ ρ 6 Rb donc[0, Ra[⊂ [0, Rb] et Ra 6Rb.

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Séries entières

Utilisation de la définition d’Abel

Comparer les rayons de CV deXanzn et

X bnzn avec bn= nαan (α> 0). • _{ρ< R} b =⇒ lim bnρn = 0 =⇒ lim b_n nαρ n = 0 =⇒ ρ 6 Ra.

On a montré que[0, Rb[⊂ [0, Ra] donc Rb 6Ra.

• _{ρ< R}

a =⇒ lim anρn= 0 =⇒ lim nαanρn=? ? ? Échec !

• _{Nouvelle tentative. Soitρ< r < R}

a. On a anρn= anrn _ρ r n donc nαa_nρn= (a_nrn) × nα _ρ r n . r< Ra =⇒ lim anrn = 0 et ρ r < 1 =⇒ lim n αρ r n = 0 donc lim nαa_nρn = 0 et ρ 6 Rb.

On a montré queρ< Ra =⇒ ρ 6 Rb donc[0, Ra[⊂ [0, Rb] et Ra6Rb.

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Séries entières

Utilisation de la définition d’Abel

Comparer les rayons de CV deXanzn et

X bnzn avec bn= nαan (α> 0). • _{ρ< R} b =⇒ lim bnρn = 0 =⇒ lim b_n nαρ n = 0 =⇒ ρ 6 Ra.

On a montré que[0, Rb[⊂ [0, Ra] donc Rb 6Ra.

• _{ρ< R}

a =⇒ lim anρn= 0 =⇒ lim nαanρn=? ? ? Échec !

• _{Nouvelle tentative. Soitρ< r < R}

a. On a anρn= anrn _ρ r n donc nαa_nρn= (a_nrn) × nα _ρ r n . r< Ra =⇒ lim anrn = 0 et ρ r < 1 =⇒ lim n αρ r n = 0 donc lim nαa_nρn = 0 et ρ 6 Rb.

On a montré queρ< Ra =⇒ ρ 6 Rb donc[0, Ra[⊂ [0, Rb] et Ra6Rb.

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Séries entières

Utilisation de la définition d’Abel

Comparer les rayons de CV deXanzn et

X bnzn avec bn= nαan (α> 0). • _{ρ< R} b =⇒ lim bnρn = 0 =⇒ lim b_n nαρ n = 0 =⇒ ρ 6 Ra.

On a montré que[0, Rb[⊂ [0, Ra] donc Rb 6Ra.

• _{ρ< R}

a =⇒ lim anρn= 0 =⇒ lim nαanρn=? ? ? Échec !

• _{Nouvelle tentative. Soitρ< r < R}

a. On a anρn= anrn _ρ r n donc nαa_nρn= (a_nrn) × nα _ρ r n . r< Ra =⇒ lim anrn = 0 et ρ r < 1 =⇒ lim n αρ r n = 0 donc lim nαa_nρn = 0 et ρ 6 Rb.

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Séries entières

Théorèmes de comparaisons

• _{Lorsque a}

n=O(bn), Rb 6Ra; lorsque an ∼ bn, Rb = Ra.

• _{La somme et le produit de deux séries entières possèdent un rayon}

de convergence au moins égal au minimum des deux rayons de convergence.

• _{La dérivation formelle d’une série entière a même rayon de}

convergence que la série initiale.

Comparer les rayon de CV deXanzn et

X bnzn avec bn = nnan n! z n_. b_n∼ e n √ 2πn a_n donc R_b = R_cavec c_n=√an ne n_.

Exercice précédent −→ R_c= R_d avec d_n = a_nen.

d_nzn= a_n(e z)ndonc |z|<Ra e =⇒ X d_nzn CVA donc Ra e 6Rd |z|< Rd =⇒ X

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Séries entières

Théorèmes de comparaisons

• _{Lorsque a}

n=O(bn), Rb 6Ra; lorsque an ∼ bn, Rb = Ra.

• _{La somme et le produit de deux séries entières possèdent un rayon}

de convergence au moins égal au minimum des deux rayons de convergence.

• _{La dérivation formelle d’une série entière a même rayon de}

convergence que la série initiale.

Comparer les rayon de CV deXanzn et

X bnzn avec bn = nnan n! z n_. b_n∼ e n √ 2πn a_n donc R_b = R_cavec c_n=√an ne n_.

Exercice précédent −→ R_c= R_d avec d_n = a_nen.

d_nzn= a_n(e z)ndonc |z|<Ra e =⇒ X d_nzn CVA donc Ra e 6Rd |z|< Rd =⇒ X

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Séries entières

Théorèmes de comparaisons

• _{Lorsque a}

n=O(bn), Rb 6Ra; lorsque an ∼ bn, Rb = Ra.

• _{La somme et le produit de deux séries entières possèdent un rayon}

de convergence au moins égal au minimum des deux rayons de convergence.

• _{La dérivation formelle d’une série entière a même rayon de}

convergence que la série initiale.

Comparer les rayon de CV deXanzn et

X bnzn avec bn = nnan n! z n_. b_n∼ e n √ 2πn a_n donc R_b = R_cavec c_n=√an ne n_.

Exercice précédent −→ R_c= R_d avec d_n = a_nen.

d_nzn= a_n(e z)ndonc |z|<Ra e =⇒ X d_nzn CVA donc Ra e 6Rd |z|< Rd =⇒ X

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Séries entières

Théorèmes de comparaisons

• _{Lorsque a}

n=O(bn), Rb 6Ra; lorsque an ∼ bn, Rb = Ra.

• _{La somme et le produit de deux séries entières possèdent un rayon}

de convergence au moins égal au minimum des deux rayons de convergence.

• _{La dérivation formelle d’une série entière a même rayon de}

convergence que la série initiale.

Comparer les rayon de CV deXanzn et

X bnzn avec bn = nnan n! z n_. b_n∼ e n √ 2πn a_n donc R_b = R_cavec c_n=√an ne n_.

Exercice précédent −→ R_c= R_d avec d_n = a_nen.

d_nzn= a_n(e z)ndonc |z|<Ra e =⇒ X d_nzn CVA donc Ra e 6Rd |z|< Rd =⇒ X

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Séries entières

Théorèmes de comparaisons

• _{Lorsque a}

n=O(bn), Rb 6Ra; lorsque an ∼ bn, Rb = Ra.

• _{La somme et le produit de deux séries entières possèdent un rayon}

de convergence au moins égal au minimum des deux rayons de convergence.

• _{La dérivation formelle d’une série entière a même rayon de}

convergence que la série initiale.

Comparer les rayon de CV deXanzn et

X bnzn avec bn = nnan n! z n_. b_n∼ e n √ 2πn a_n donc R_b = R_cavec c_n=√an ne n_.

Exercice précédent −→ R_c= R_d avec d_n = a_nen.

d_nzn= a_n(e z)ndonc |z|<Ra e =⇒ X d_nzn CVA donc Ra e 6Rd |z|< Rd =⇒ X

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Séries entières

Théorèmes de comparaisons

• _{Lorsque a}

n=O(bn), Rb 6Ra; lorsque an ∼ bn, Rb = Ra.

• _{La somme et le produit de deux séries entières possèdent un rayon}

de convergence au moins égal au minimum des deux rayons de convergence.

• _{La dérivation formelle d’une série entière a même rayon de}

convergence que la série initiale.

Comparer les rayon de CV deXanzn et

X bnzn avec bn = nnan n! z n_. b_n∼ e n √ 2πn a_n donc R_b = R_cavec c_n=√an ne n_.

Exercice précédent −→ R_c= R_d avec d_n = a_nen.

d_nzn= a_n(e z)ndonc |z|<Ra e =⇒ X d_nzn CVA donc Ra e 6Rd |z|< Rd =⇒ X

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Séries entières

Théorèmes de comparaisons

• _{Lorsque a}

n=O(bn), Rb 6Ra; lorsque an ∼ bn, Rb = Ra.

• _{La somme et le produit de deux séries entières possèdent un rayon}

de convergence au moins égal au minimum des deux rayons de convergence.

• _{La dérivation formelle d’une série entière a même rayon de}

convergence que la série initiale.

Comparer les rayon de CV deXanzn et

X bnzn avec bn = nnan n! z n_. b_n∼ e n √ 2πn a_n donc R_b = R_cavec c_n=√an ne n_.

Exercice précédent −→ R_c= R_d avec d_n = a_nen.

d_nzn= a_n(e z)ndonc |z|<Ra e =⇒ X d_nzn CVA donc Ra e 6Rd |z|< Rd =⇒ X

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Séries entières d’une variable réelle

La CV d’une série entière est normale sur tout segment inclus de] − R, R [ ;

en conséquence de quoi la somme d’une série entière est de classeC∞

sur] − R, R [, et on peut dériver terme à terme.

Unicité du développement en série entière. Deux séries entières ont des

sommes égales au voisinage de 0 ssi elles ont même coefficients.

Application :

• _{Une fonction DSE paire au voisinage de zéro a tous ses coefficients}

impairs nuls. Si f(x) =X n a_nxn alors f(−x) =X n (−1)na_nxn donc a_n= (−1)na_n (unicité du DSE).

• _{Une fonction DSE impaire au voisinage de zéro a tous ses}

coefficients pairs nuls (idem).

Produit de Cauchy. lorsque |x|< min(Ra, Rb),

X+∞ n=0 a_nxn X+∞ n=0 b_nxn  = +∞ X n=0 c_nxn avec c_n = n X k=0 a_kb_n−k

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Séries entières d’une variable réelle

La CV d’une série entière est normale sur tout segment inclus de] − R, R [ ;

en conséquence de quoi la somme d’une série entière est de classeC∞

sur] − R, R [, et on peut dériver terme à terme.

Unicité du développement en série entière. Deux séries entières ont des

sommes égales au voisinage de 0 ssi elles ont même coefficients.

Application :

• _{Une fonction DSE paire au voisinage de zéro a tous ses coefficients}

impairs nuls. Si f(x) =X n a_nxn alors f(−x) =X n (−1)na_nxn donc a_n= (−1)na_n (unicité du DSE).

• _{Une fonction DSE impaire au voisinage de zéro a tous ses}

coefficients pairs nuls (idem).

Produit de Cauchy. lorsque |x|< min(Ra, Rb),

X+∞ n=0 a_nxn X+∞ n=0 b_nxn  = +∞ X n=0 c_nxn avec c_n = n X k=0 a_kb_n−k

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Séries entières d’une variable réelle

La CV d’une série entière est normale sur tout segment inclus de] − R, R [ ;

en conséquence de quoi la somme d’une série entière est de classeC∞

sur] − R, R [, et on peut dériver terme à terme.

Unicité du développement en série entière. Deux séries entières ont des

sommes égales au voisinage de 0 ssi elles ont même coefficients.

Application :

• _{Une fonction DSE paire au voisinage de zéro a tous ses coefficients}

impairs nuls. Si f(x) =X n a_nxn alors f(−x) =X n (−1)na_nxn donc a_n= (−1)na_n (unicité du DSE).

• _{Une fonction DSE impaire au voisinage de zéro a tous ses}

coefficients pairs nuls (idem).

Produit de Cauchy. lorsque |x|< min(Ra, Rb),

X+∞ n=0 a_nxn X+∞ n=0 b_nxn  = +∞ X n=0 c_nxn avec c_n = n X k=0 a_kb_n−k

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Séries entières d’une variable réelle

La CV d’une série entière est normale sur tout segment inclus de] − R, R [ ;

en conséquence de quoi la somme d’une série entière est de classeC∞

sur] − R, R [, et on peut dériver terme à terme.

Unicité du développement en série entière. Deux séries entières ont des

sommes égales au voisinage de 0 ssi elles ont même coefficients.

Application :

• _{Une fonction DSE paire au voisinage de zéro a tous ses coefficients}

impairs nuls. Si f(x) =X n a_nxn alors f(−x) =X n (−1)na_nxn donc a_n= (−1)na_n (unicité du DSE).

• _{Une fonction DSE impaire au voisinage de zéro a tous ses}

coefficients pairs nuls (idem).

Produit de Cauchy. lorsque |x|< min(Ra, Rb),

X+∞ n=0 a_nxn X+∞ n=0 b_nxn  = +∞ X n=0 c_nxn avec c_n = n X k=0 a_kb_n−k

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Séries entières d’une variable réelle

La CV d’une série entière est normale sur tout segment inclus de] − R, R [ ;

en conséquence de quoi la somme d’une série entière est de classeC∞

sur] − R, R [, et on peut dériver terme à terme.

Unicité du développement en série entière. Deux séries entières ont des

sommes égales au voisinage de 0 ssi elles ont même coefficients.

Application :

• _{Une fonction DSE paire au voisinage de zéro a tous ses coefficients}

impairs nuls. Si f(x) =X n a_nxn alors f(−x) =X n (−1)na_nxn donc a_n= (−1)na_n (unicité du DSE).

• _{Une fonction DSE impaire au voisinage de zéro a tous ses}

coefficients pairs nuls (idem).

Produit de Cauchy. lorsque |x|< min(Ra, Rb),

X+∞ n=0 a_nxn X+∞ n=0 b_nxn  = +∞ X n=0 c_nxn avec c_n = n X k=0 a_kb_n−k

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Séries entières d’une variable réelle

La CV d’une série entière est normale sur tout segment inclus de] − R, R [ ;

en conséquence de quoi la somme d’une série entière est de classeC∞

sur] − R, R [, et on peut dériver terme à terme.

Unicité du développement en série entière. Deux séries entières ont des

sommes égales au voisinage de 0 ssi elles ont même coefficients.

Application :

• _{Une fonction DSE paire au voisinage de zéro a tous ses coefficients}

impairs nuls. Si f(x) =X n a_nxn alors f(−x) =X n (−1)na_nxn donc a_n= (−1)na_n (unicité du DSE).

• _{Une fonction DSE impaire au voisinage de zéro a tous ses}

coefficients pairs nuls (idem).

Produit de Cauchy. lorsque |x|< min(Ra, Rb),

X+∞ n=0 a_nxn X+∞ n=0 b_nxn  = +∞ X n=0 c_nxn avec c_n = n X k=0 a_kb_n−k

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Un exemple de fonction non DSE

Soit f: R → R définie par f (x) =

       0 si x 6 0 e−1/x si x> 0.

• _{f est continue sur R et de classeC}∞

sur R∗.

• _{Pour tout x> 0, pour tout n ∈ N, f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/x. Récurrence : • _P 0= 1 • _{si f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/xalors f(n+1)(x) = 1 x2 −P 0 n ₁ x  + Pn ₁ x ! e−1/x donc Pn+1= X2(Pn− P 0 n).

• _{Pour tout n ∈ N,lim}

0+f

(n)_{(x) = 0 (croissances comparées).}

• _{On en déduit que f estC}∞

sur R (récurrence +th. de la limite de la

dérivée) avec pour tout n ∈ N, f(n)(0) = 0.

Si f était DSE au vois. de 0 on aurait ∀x ∈] − r, r[, f (x) =

+∞ X n=0 f(n)(0) n! x n_.

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Un exemple de fonction non DSE

Soit f: R → R définie par f (x) =

       0 si x 6 0 e−1/x si x> 0.

• _{f est continue sur R et de classeC}∞

sur R∗.

• _{Pour tout x> 0, pour tout n ∈ N, f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/x. Récurrence : • _P 0= 1 • _{si f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/xalors f(n+1)(x) = 1 x2 −P 0 n ₁ x  + Pn ₁ x ! e−1/x donc Pn+1= X2(Pn− P 0 n).

• _{Pour tout n ∈ N,lim}

0+f

(n)_{(x) = 0 (croissances comparées).}

• _{On en déduit que f estC}∞

sur R (récurrence +th. de la limite de la

dérivée) avec pour tout n ∈ N, f(n)(0) = 0.

Si f était DSE au vois. de 0 on aurait ∀x ∈] − r, r[, f (x) =

+∞ X n=0 f(n)(0) n! x n_.

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Un exemple de fonction non DSE

Soit f: R → R définie par f (x) =

       0 si x 6 0 e−1/x si x> 0.

• _{f est continue sur R et de classeC}∞

sur R∗.

• _{Pour tout x> 0, pour tout n ∈ N, f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/x. Récurrence : • _P 0= 1 • _{si f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/xalors f(n+1)(x) = 1 x2 −P 0 n ₁ x  + Pn ₁ x ! e−1/x donc Pn+1= X2(Pn− P 0 n).

• _{Pour tout n ∈ N,lim}

0+f

(n)_{(x) = 0 (croissances comparées).}

• _{On en déduit que f estC}∞

sur R (récurrence +th. de la limite de la

dérivée) avec pour tout n ∈ N, f(n)(0) = 0.

Si f était DSE au vois. de 0 on aurait ∀x ∈] − r, r[, f (x) =

+∞ X n=0 f(n)(0) n! x n_.

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Un exemple de fonction non DSE

Soit f: R → R définie par f (x) =

       0 si x 6 0 e−1/x si x> 0.

• _{f est continue sur R et de classeC}∞

sur R∗.

• _{Pour tout x> 0, pour tout n ∈ N, f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/x. Récurrence : • _P 0= 1 • _{si f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/xalors f(n+1)(x) = 1 x2 −P 0 n ₁ x  + Pn ₁ x ! e−1/x donc P_n+1= X2(P_n− P_n0).

• _{Pour tout n ∈ N,lim}

0+f

(n)_{(x) = 0 (croissances comparées).}

• _{On en déduit que f estC}∞

sur R (récurrence +th. de la limite de la

dérivée) avec pour tout n ∈ N, f(n)(0) = 0.

Si f était DSE au vois. de 0 on aurait ∀x ∈] − r, r[, f (x) =

+∞ X n=0 f(n)(0) n! x n_.

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Un exemple de fonction non DSE

Soit f: R → R définie par f (x) =

       0 si x 6 0 e−1/x si x> 0.

• _{f est continue sur R et de classeC}∞

sur R∗.

• _{Pour tout x> 0, pour tout n ∈ N, f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/x. Récurrence : • _P 0= 1 • _{si f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/xalors f(n+1)(x) = 1 x2 −P 0 n ₁ x  + Pn ₁ x ! e−1/x donc P_n+1= X2(P_n− P_n0).

• _{Pour tout n ∈ N,lim}

0+f

(n)_{(x) = 0 (croissances comparées).}

• _{On en déduit que f estC}∞

sur R (récurrence +th. de la limite de la

dérivée) avec pour tout n ∈ N, f(n)(0) = 0.

Si f était DSE au vois. de 0 on aurait ∀x ∈] − r, r[, f (x) =

+∞ X n=0 f(n)(0) n! x n_.

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Un exemple de fonction non DSE

Soit f: R → R définie par f (x) =

       0 si x 6 0 e−1/x si x> 0.

• _{f est continue sur R et de classeC}∞

sur R∗.

• _{Pour tout x> 0, pour tout n ∈ N, f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/x. Récurrence : • _P 0= 1 • _{si f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/xalors f(n+1)(x) = 1 x2 −P 0 n ₁ x  + Pn ₁ x ! e−1/x donc P_n+1= X2(P_n− P_n0).

• _{Pour tout n ∈ N,lim}

0+f

(n)_{(x) = 0 (croissances comparées).}

• _{On en déduit que f estC}∞

sur R (récurrence +th. de la limite de la

dérivée) avec pour tout n ∈ N, f(n)(0) = 0.

Si f était DSE au vois. de 0 on aurait ∀x ∈] − r, r[, f (x) =

+∞ X n=0 f(n)(0) n! x n_.

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Un exemple de fonction non DSE

Soit f: R → R définie par f (x) =

       0 si x 6 0 e−1/x si x> 0.

• _{f est continue sur R et de classeC}∞

sur R∗.

• _{Pour tout x> 0, pour tout n ∈ N, f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/x. Récurrence : • _P 0= 1 • _{si f}(n)_{(x) = P} n ₁ x  e−1/xalors f(n+1)(x) = 1 x2 −P 0 n ₁ x  + Pn ₁ x ! e−1/x donc P_n+1= X2(P_n− P_n0).

• _{Pour tout n ∈ N,lim}

0+f

(n)_{(x) = 0 (croissances comparées).}

• _{On en déduit que f estC}∞

sur R (récurrence +th. de la limite de la

dérivée) avec pour tout n ∈ N, f(n)(0) = 0.

+∞ _(n)

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Equations di

fférentielles linéaires

Équations du premier ordre

En dimension 1 (fonctions numériques) :

• _{Les solutions de x}0

= u(t )x forment un espace vectoriel de dimension 1 :x(t ) = λ eU(t )avec U0(t ) = u(t ).

• _{Les solutions de x}0

= u(t )x + v(t ) forment un espace affine de

dimension 1 :x(t ) = (V (t ) + λ) eU(t )avec V0(t ) = v(t ) e−U (t ).

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, x0) il existe

une unique solution vérifiant x(t₀) = x₀.

En dimension n (systèmes différentiels) :

• _{Les solutions dans R}n _{de X}0

= A (t )X forment un espace vectoriel de dimension n.

• _{Les solutions de X}0

= A (t )X + B (t ) forment un espace affine de

dimension n :X(t ) = X_part(t ) + eX(t )où eX est solution de eX0= A (t )eX .

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, X0) il existe

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Equations di

fférentielles linéaires

Équations du premier ordre

En dimension 1 (fonctions numériques) :

• _{Les solutions de x}0

= u(t )x forment un espace vectoriel de dimension 1 :x(t ) = λ eU(t )avec U0(t ) = u(t ).

• _{Les solutions de x}0

= u(t )x + v(t ) forment un espace affine de

dimension 1 :x(t ) = (V (t ) + λ) eU(t )avec V0(t ) = v(t ) e−U (t ).

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, x0) il existe

une unique solution vérifiant x(t₀) = x₀.

En dimension n (systèmes différentiels) :

• _{Les solutions dans R}n _{de X}0

= A (t )X forment un espace vectoriel de dimension n.

• _{Les solutions de X}0

= A (t )X + B (t ) forment un espace affine de

dimension n :X(t ) = X_part(t ) + eX(t )où eX est solution de eX0= A (t )eX .

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, X0) il existe

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Equations di

fférentielles linéaires

Équations du premier ordre

En dimension 1 (fonctions numériques) :

• _{Les solutions de x}0

= u(t )x forment un espace vectoriel de dimension 1 :x(t ) = λ eU(t )avec U0(t ) = u(t ).

• _{Les solutions de x}0

= u(t )x + v(t ) forment un espace affine de

dimension 1 :x(t ) = (V (t ) + λ) eU(t )avec V0(t ) = v(t ) e−U (t ).

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, x0) il existe

une unique solution vérifiant x(t₀) = x₀.

En dimension n (systèmes différentiels) :

• _{Les solutions dans R}n _{de X}0

= A (t )X forment un espace vectoriel de dimension n.

• _{Les solutions de X}0

= A (t )X + B (t ) forment un espace affine de

dimension n :X(t ) = X_part(t ) + eX(t )où eX est solution de eX0= A (t )eX .

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, X0) il existe

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Equations di

fférentielles linéaires

Équations du premier ordre

En dimension 1 (fonctions numériques) :

• _{Les solutions de x}0

= u(t )x forment un espace vectoriel de dimension 1 :x(t ) = λ eU(t )avec U0(t ) = u(t ).

• _{Les solutions de x}0

= u(t )x + v(t ) forment un espace affine de

dimension 1 :x(t ) = (V (t ) + λ) eU(t )avec V0(t ) = v(t ) e−U (t ).

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, x0) il existe

une unique solution vérifiant x(t₀) = x₀.

En dimension n (systèmes différentiels) :

• _{Les solutions dans R}n _{de X}0

= A (t )X forment un espace vectoriel de dimension n.

• _{Les solutions de X}0

= A (t )X + B (t ) forment un espace affine de

dimension n :X(t ) = X_part(t ) + eX(t )où eX est solution de eX0= A (t )eX .

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, X0) il existe

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Equations di

fférentielles linéaires

Équations du premier ordre

En dimension 1 (fonctions numériques) :

• _{Les solutions de x}0

= u(t )x forment un espace vectoriel de dimension 1 :x(t ) = λ eU(t )avec U0(t ) = u(t ).

• _{Les solutions de x}0

= u(t )x + v(t ) forment un espace affine de

dimension 1 :x(t ) = (V (t ) + λ) eU(t )avec V0(t ) = v(t ) e−U (t ).

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, x0) il existe

une unique solution vérifiant x(t₀) = x₀.

En dimension n (systèmes différentiels) :

• _{Les solutions dans R}n _{de X}0

= A (t )X forment un espace vectoriel de dimension n.

• _{Les solutions de X}0

= A (t )X + B (t ) forment un espace affine de

dimension n :X(t ) = X_part(t ) + eX(t )où eX est solution de eX0= A (t )eX .

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, X0) il existe

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Equations di

fférentielles linéaires

Équations du premier ordre

En dimension 1 (fonctions numériques) :

• _{Les solutions de x}0

= u(t )x forment un espace vectoriel de dimension 1 :x(t ) = λ eU(t )avec U0(t ) = u(t ).

• _{Les solutions de x}0

= u(t )x + v(t ) forment un espace affine de

dimension 1 :x(t ) = (V (t ) + λ) eU(t )avec V0(t ) = v(t ) e−U (t ).

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, x0) il existe

une unique solution vérifiant x(t₀) = x₀.

En dimension n (systèmes différentiels) :

• _{Les solutions dans R}n _{de X}0

= A (t )X forment un espace vectoriel de dimension n.

• _{Les solutions de X}0

= A (t )X + B (t ) forment un espace affine de

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Équations di

fférentielles linéaires

Équations du second ordre

• _{Les solutions de x}00

= u(t )x0+ v(t )x forment un espace vectoriel de

dimension 2.

• _{Les solutions de x}00

= u(t )x0+ v(t )x + w(t ) forment un espace affine

de dimension 2 :x(t ) = x_part(t ) +_ex(t )avec_ex00= u(t )_ex0+ v(t )_ex.

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, x0, x 0 0) il

existe une unique solution vérifiant x(t₀) = x₀et x0(t₀) = x₀0.

Méthode de Lagrange (HP). Si on connait une solution x₁(t ) ne

s’annu-lant pas, poser x(t ) = x₁(t )y(t ) pour trouver toutes les autres.

Résoudre sur]0, 1[ l’équation t(1 − t)x00+ (1 − 3t )x0− x = 0 en commençant par chercher une solution DSE.

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Équations di

fférentielles linéaires

Équations du second ordre

• _{Les solutions de x}00

= u(t )x0+ v(t )x forment un espace vectoriel de

dimension 2.

• _{Les solutions de x}00

= u(t )x0+ v(t )x + w(t ) forment un espace affine

de dimension 2 :x(t ) = x_part(t ) +_ex(t )avec_ex00= u(t )_ex0+ v(t )_ex.

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, x0, x 0 0) il

existe une unique solution vérifiant x(t₀) = x₀et x0(t₀) = x₀0.

Méthode de Lagrange (HP). Si on connait une solution x₁(t ) ne

s’annu-lant pas, poser x(t ) = x₁(t )y(t ) pour trouver toutes les autres.

Résoudre sur]0, 1[ l’équation t(1 − t)x00+ (1 − 3t )x0− x = 0 en commençant par chercher une solution DSE.

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Équations di

fférentielles linéaires

Équations du second ordre

• _{Les solutions de x}00

= u(t )x0+ v(t )x forment un espace vectoriel de

dimension 2.

• _{Les solutions de x}00

= u(t )x0+ v(t )x + w(t ) forment un espace affine

de dimension 2 :x(t ) = x_part(t ) +_ex(t )avec_ex00= u(t )_ex0+ v(t )_ex.

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, x0, x 0 0) il

existe une unique solution vérifiant x(t₀) = x₀et x0(t₀) = x₀0.

Méthode de Lagrange (HP). Si on connait une solution x₁(t ) ne

s’annu-lant pas, poser x(t ) = x₁(t )y(t ) pour trouver toutes les autres.

Résoudre sur]0, 1[ l’équation t(1 − t)x00+ (1 − 3t )x0− x = 0 en commençant par chercher une solution DSE.

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Équations di

fférentielles linéaires

Équations du second ordre

• _{Les solutions de x}00

= u(t )x0+ v(t )x forment un espace vectoriel de

dimension 2.

• _{Les solutions de x}00

= u(t )x0+ v(t )x + w(t ) forment un espace affine

de dimension 2 :x(t ) = x_part(t ) +_ex(t )avec_ex00= u(t )_ex0+ v(t )_ex.

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, x0, x 0 0) il

existe une unique solution vérifiant x(t₀) = x₀et x0(t₀) = x₀0.

Méthode de Lagrange (HP). Si on connait une solution x₁(t ) ne

s’annu-lant pas, poser x(t ) = x₁(t )y(t ) pour trouver toutes les autres.

Résoudre sur]0, 1[ l’équation t(1 − t)x00+ (1 − 3t )x0− x = 0 en commençant par chercher une solution DSE.

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Équations di

fférentielles linéaires

Équations du second ordre

• _{Les solutions de x}00

= u(t )x0+ v(t )x forment un espace vectoriel de

dimension 2.

• _{Les solutions de x}00

= u(t )x0+ v(t )x + w(t ) forment un espace affine

de dimension 2 :x(t ) = x_part(t ) +_ex(t )avec_ex00= u(t )_ex0+ v(t )_ex.

• _{Problème de Cauchy. Pour toute condition initiale(t}

0, x0, x 0 0) il

existe une unique solution vérifiant x(t₀) = x₀et x0(t₀) = x₀0.

Méthode de Lagrange (HP). Si on connait une solution x₁(t ) ne

s’annu-lant pas, poser x(t ) = x₁(t )y(t ) pour trouver toutes les autres.

Résoudre sur]0, 1[ l’équation t(1 − t)x00+ (1 − 3t )x0− x = 0 en commençant par chercher une solution DSE.

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Un exemple d’exercice

Résoudre sur]0, 1[ l’équation t(1 − t)x00+ (1 − 3t )x0− x = 0 en commençant par chercher une solution DSE.

On pose x(t ) =X

n>0

a_ntn en supposant R> 0. x est solution ssi : X n>2 n(n − 1)a_ntn−1−X n>2 n(n − 1)a_ntn+X n>1 na_ntn−1−X n>1 3na_ntn−X n>0 a_ntn= 0 ⇐⇒ X n>1 n2a_ntn−1−X n>0 (n + 1)2a_ntn= 0 ⇐⇒ +∞ X n=0 (n + 1)2(a_n+1− a_n)tn= 0.

On a pour tout n ∈ N, an+1= an donc x(t ) =

a0

1 − t. On vérifie que R= 1

donct 7→ 1

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Un exemple d’exercice

Résoudre sur]0, 1[ l’équation t(1 − t)x00+ (1 − 3t )x0− x = 0 en commençant par chercher une solution DSE.

On pose x(t ) =X

n>0

a_ntn en supposant R> 0. x est solution ssi : X n>2 n(n − 1)a_ntn−1−X n>2 n(n − 1)a_ntn+X n>1 na_ntn−1−X n>1 3na_ntn−X n>0 a_ntn= 0 ⇐⇒ X n>1 n2a_ntn−1−X n>0 (n + 1)2a_ntn= 0 ⇐⇒ +∞ X n=0 (n + 1)2(a_n+1− a_n)tn= 0.

On a pour tout n ∈ N, an+1= an donc x(t ) =

a0

1 − t. On vérifie que R= 1

donct 7→ 1

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Un exemple d’exercice

Résoudre sur]0, 1[ l’équation t(1 − t)x00+ (1 − 3t )x0− x = 0 en commençant par chercher une solution DSE.

On pose x(t ) =X

n>0

a_ntn en supposant R> 0. x est solution ssi : X n>2 n(n − 1)a_ntn−1−X n>2 n(n − 1)a_ntn+X n>1 na_ntn−1−X n>1 3na_ntn−X n>0 a_ntn= 0 ⇐⇒ X n>1 n2a_ntn−1−X n>0 (n + 1)2a_ntn= 0 ⇐⇒ +∞ X n=0 (n + 1)2(a_n+1− a_n)tn= 0.

On a pour tout n ∈ N, an+1= an donc x(t ) =

a0

1 − t. On vérifie que R= 1

donct 7→ 1

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Un exemple d’exercice

Résoudre sur]0, 1[ l’équation t(1 − t)x00+ (1 − 3t )x0− x = 0 en commençant par chercher une solution DSE.

On pose x(t ) =X

n>0

a_ntn en supposant R> 0. x est solution ssi : X n>2 n(n − 1)a_ntn−1−X n>2 n(n − 1)a_ntn+X n>1 na_ntn−1−X n>1 3na_ntn−X n>0 a_ntn= 0 ⇐⇒ X n>1 n2a_ntn−1−X n>0 (n + 1)2a_ntn= 0 ⇐⇒ +∞ X n=0 (n + 1)2(a_n+1− a_n)tn= 0.

On a pour tout n ∈ N, an+1= an donc x(t ) =

a0

1 − t. On vérifie que R= 1

donct 7→ 1

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Un exemple d’exercice

Résoudre sur]0, 1[ l’équation t(1 − t)x00+ (1 − 3t )x0− x = 0 en commençant par chercher une solution DSE.

On pose x(t ) = y(t )

1 − t. Alors x est solution ssi : ty

00

+ y0= 0.

On résout (eq. du premier ordre) : y0(t ) =λ

t, puis y(t ) = λ ln(t ) + µ donc x(t ) = λln(t )

1 − t + µ

1 1 − t. C’est bien un espace vectoriel de dimension 2.

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Un exemple d’exercice

Résoudre sur]0, 1[ l’équation t(1 − t)x00+ (1 − 3t )x0− x = 0 en commençant par chercher une solution DSE.

On pose x(t ) = y(t )

1 − t. Alors x est solution ssi : ty

00

+ y0= 0.

On résout (eq. du premier ordre) : y0(t ) =λ

t, puis y(t ) = λ ln(t ) + µ donc x(t ) = λln(t )

1 − t + µ

1 1 − t. C’est bien un espace vectoriel de dimension 2.

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Wronskien

d’un système différentiel

Si(X1, . . . , Xn) est une famille de n solutions de X 0

= A (t )X , on pose w(t ) = detX₁(t ), . . . , Xn(t )



. Il y a équivalence entre :

1 (X₁, . . . , X_n) est un système fondamental de solution ; 2 pour tout t ∈ I , w(t ) , 0 ;

3 il existe t₀∈ I tel que w(t₀) , 0.

• _{(2) =⇒ (3)est évident.}

• _{(3) =⇒ (1)par contraposée : s’il existe(λ}

1, . . . , λn) , (0, . . . , 0) tel que n X i=1 λ₁X_i= 0 alors ∀t ∈ I , n X i=1 λ_iX_i(t ) = 0 et donc w(t ) = 0.

• _{(1) =⇒ (2)par contraposée : on suppose qu’il existe t}

0∈ I tq w(t0) = 0. Il existe(λ₁, . . . , λn) , (0, . . . , 0) tq n X i=1 λ_iX_i(t₀) = 0. La fonction X= n X i=1

λiXiest solution et vérifie la cond. de Cauchy X(t0) = 0

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Wronskien

d’un système différentiel

Si(X1, . . . , Xn) est une famille de n solutions de X 0

= A (t )X , on pose w(t ) = detX₁(t ), . . . , Xn(t )



. Il y a équivalence entre :

1 (X₁, . . . , X_n) est un système fondamental de solution ; 2 pour tout t ∈ I , w(t ) , 0 ;

3 il existe t₀∈ I tel que w(t₀) , 0. • _{(2) =⇒ (3)est évident.}

• _{(3) =⇒ (1)par contraposée : s’il existe(λ}

1, . . . , λn) , (0, . . . , 0) tel que n X i=1 λ₁X_i= 0 alors ∀t ∈ I , n X i=1 λ_iX_i(t ) = 0 et donc w(t ) = 0.

• _{(1) =⇒ (2)par contraposée : on suppose qu’il existe t}

0∈ I tq w(t0) = 0. Il existe(λ₁, . . . , λn) , (0, . . . , 0) tq n X i=1 λ_iX_i(t₀) = 0. La fonction X= n X i=1

λiXiest solution et vérifie la cond. de Cauchy X(t0) = 0

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Wronskien

d’un système différentiel

Si(X1, . . . , Xn) est une famille de n solutions de X 0

= A (t )X , on pose w(t ) = detX₁(t ), . . . , Xn(t )



. Il y a équivalence entre :

1 (X₁, . . . , X_n) est un système fondamental de solution ; 2 pour tout t ∈ I , w(t ) , 0 ;

3 il existe t₀∈ I tel que w(t₀) , 0. • _{(2) =⇒ (3)est évident.}

• _{(3) =⇒ (1)par contraposée : s’il existe(λ}

1, . . . , λn) , (0, . . . , 0) tel que n X i=1 λ₁X_i= 0 alors ∀t ∈ I , n X i=1 λ_iX_i(t ) = 0 et donc w(t ) = 0.

• _{(1) =⇒ (2)par contraposée : on suppose qu’il existe t}

0∈ I tq w(t0) = 0. Il existe(λ₁, . . . , λn) , (0, . . . , 0) tq n X i=1 λ_iX_i(t₀) = 0. La fonction X= n X i=1

λiXiest solution et vérifie la cond. de Cauchy X(t0) = 0

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d’un système différentiel

Si(X1, . . . , Xn) est une famille de n solutions de X 0

= A (t )X , on pose w(t ) = detX₁(t ), . . . , Xn(t )



. Il y a équivalence entre :

1 (X₁, . . . , X_n) est un système fondamental de solution ; 2 pour tout t ∈ I , w(t ) , 0 ;

3 il existe t₀∈ I tel que w(t₀) , 0. • _{(2) =⇒ (3)est évident.}

• _{(3) =⇒ (1)par contraposée : s’il existe(λ}

1, . . . , λn) , (0, . . . , 0) tel que n X i=1 λ₁X_i= 0 alors ∀t ∈ I , n X i=1 λ_iX_i(t ) = 0 et donc w(t ) = 0.

• _{(1) =⇒ (2)par contraposée : on suppose qu’il existe t}

0∈ I tq w(t0) = 0. Il existe(λ₁, . . . , λn) , (0, . . . , 0) tq n X i=1 λ_iX_i(t₀) = 0. La fonction X= n X i=1

λ_iX_iest solution et vérifie la cond. de Cauchy X(t₀) = 0

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d’un système différentiel

Si(X1, . . . , Xn) est une famille de n solutions de X 0

= A (t )X , on pose w(t ) = detX₁(t ), . . . , Xn(t )



. Il y a équivalence entre :

1 (X₁, . . . , X_n) est un système fondamental de solution ; 2 pour tout t ∈ I , w(t ) , 0 ;

3 il existe t₀∈ I tel que w(t₀) , 0. • _{(2) =⇒ (3)est évident.}

• _{(3) =⇒ (1)par contraposée : s’il existe(λ}

1, . . . , λn) , (0, . . . , 0) tel que n X i=1 λ₁X_i= 0 alors ∀t ∈ I , n X i=1 λ_iX_i(t ) = 0 et donc w(t ) = 0.

• _{(1) =⇒ (2)par contraposée : on suppose qu’il existe t}

0∈ I tq w(t0) = 0. Il existe(λ₁, . . . , λn) , (0, . . . , 0) tq n X λ_iX_i(t₀) = 0. La fonction X= n X i=1

λ_iX_iest solution et vérifie la cond. de Cauchy X(t₀) = 0

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d’un système différentiel

Si(X1, . . . , Xn) est une famille de n solutions de X 0

= A (t )X , on pose w(t ) = detX₁(t ), . . . , Xn(t )



. Il y a équivalence entre :

1 (X₁, . . . , X_n) est un système fondamental de solution ; 2 pour tout t ∈ I , w(t ) , 0 ;

3 il existe t₀∈ I tel que w(t₀) , 0. • _{(2) =⇒ (3)est évident.}

• _{(3) =⇒ (1)par contraposée : s’il existe(λ}

1, . . . , λn) , (0, . . . , 0) tel que n X i=1 λ₁X_i= 0 alors ∀t ∈ I , n X i=1 λ_iX_i(t ) = 0 et donc w(t ) = 0.

• _{(1) =⇒ (2)par contraposée : on suppose qu’il existe t}

0∈ I tq w(t0) = 0. Il existe(λ₁, . . . , λn) , (0, . . . , 0) tq n X i=1 λ_iX_i(t₀) = 0. La fonction X= n X i=1

λ_iX_iest solution et vérifie la cond. de Cauchy X(t₀) = 0

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d’une équation du second ordre

Si x1et x2sont deux solutions de x

00

= u(t )x0+ v(t )x, on pose w(t ) = x₁0(t )x₂(t ) − x₁(t )x₂0(t ). Il y a équivalence entre :

1 (x₁, x₂) est un système fondamental de solution ;

2 pour tout t ∈ I , w(t ) , 0 ; 3 il existe t₀∈ I tel que w(t₀) , 0.

C’est pareil car w(t ) =      x₁0(t ) x₂0(t ) x1(t ) x2(t )      .

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d’une équation du second ordre

Si x1et x2sont deux solutions de x

00

= u(t )x0+ v(t )x, on pose w(t ) = x₁0(t )x₂(t ) − x₁(t )x₂0(t ). Il y a équivalence entre :

1 (x₁, x₂) est un système fondamental de solution ;

2 pour tout t ∈ I , w(t ) , 0 ; 3 il existe t₀∈ I tel que w(t₀) , 0.

C’est pareil car w(t ) =      x₁0(t ) x₂0(t ) x1(t ) x2(t )      .

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d’une équation du second ordre

Si x1et x2sont deux solutions de x

00

= u(t )x0+ v(t )x, on pose w(t ) = x₁0(t )x₂(t ) − x₁(t )x₂0(t ). Il y a équivalence entre :

1 (x₁, x₂) est un système fondamental de solution ;

2 pour tout t ∈ I , w(t ) , 0 ; 3 il existe t₀∈ I tel que w(t₀) , 0.

C’est pareil car w(t ) =      x₁0(t ) x₂0(t ) x1(t ) x2(t )      . • _{(3) =⇒ (1)par contraposée : siλ} 1x1+ µx2= 0 alors λx 0 1+ µx 0 2= 0 et pour tout t ∈ I ,λ x 0 1(t ) x1(t ) ! + µ x 0 2(t ) x2(t ) ! donc w(t ) = 0. • _{(1) =⇒ (2)par contraposée : si w(t} 0) = 0, il existe (λ, µ) , (0, 0) tel queλ x 0 1(t0) x₁(t₀) ! + µ x 0 2(t0) x₂(t₀) ! = 0 et la fonction x = λx1+ µx2est

solution et vérifie la cond. de Cauchy x(t₀) = 0 et x0(t₀) = 0 donc x= 0 et la famille (x₁, x2) est liée.

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Wronskien

d’une équation du second ordre

Si x1et x2sont deux solutions de x

00

= u(t )x0+ v(t )x, on pose w(t ) = x₁0(t )x₂(t ) − x₁(t )x₂0(t ). Il y a équivalence entre :

1 (x₁, x₂) est un système fondamental de solution ;

2 pour tout t ∈ I , w(t ) , 0 ; 3 il existe t₀∈ I tel que w(t₀) , 0.

C’est pareil car w(t ) =      x₁0(t ) x₂0(t ) x1(t ) x2(t )      . • _{(3) =⇒ (1)par contraposée : siλ} 1x1+ µx2= 0 alors λx 0 1+ µx 0 2= 0 et pour tout t ∈ I ,λ x 0 1(t ) x1(t ) ! + µ x 0 2(t ) x2(t ) ! donc w(t ) = 0. • _{(1) =⇒ (2)par contraposée : si w(t} 0) = 0, il existe (λ, µ) , (0, 0) tel queλ x 0 1(t0) x₁(t₀) ! + µ x 0 2(t0) x₂(t₀) ! = 0 et la fonction x = λx1+ µx2est

solution et vérifie la cond. de Cauchy x(t₀) = 0 et x0(t₀) = 0 donc x= 0 et la famille (x₁, x2) est liée.

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Wronskien

d’une équation du second ordre

Si x1et x2sont deux solutions de x

00

= u(t )x0+ v(t )x, on pose w(t ) = x₁0(t )x₂(t ) − x₁(t )x₂0(t ). Il y a équivalence entre :

1 (x₁, x₂) est un système fondamental de solution ;

2 pour tout t ∈ I , w(t ) , 0 ; 3 il existe t₀∈ I tel que w(t₀) , 0.

C’est pareil car w(t ) =      x₁0(t ) x₂0(t ) x1(t ) x2(t )      .

Remarque. On calcule w0(t ) = x₁00(t )x₂(t ) − x₁(t )x₂00(t ) = u(t )w(t ) donc il existeλ ∈ R tel quew(t ) = λ eU(t )avec U0= u.

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Racines d’une équation di

fférentielle

Un résultat à savoir redémontrer

Soit x une solution non identiquement nulle de x00= u(t )x0+ v(t )x, et t0

une racine de x. Il existeη> 0 tel que sur l’intervalle ]t0− η, t0+ η[, t0est

l’unique racine de x.

On raisonne par l’absurde : on suppose pour tout n ∈ N∗,

 t0− 1 n, t0+ 1 n 

contient une autre racine t_n, t0.

On alim t_n= t₀et pour tout n > 1, x(tn) − x(t0)

t_n− t₀ = 0 donc en passant à la

limite : x0(t0) = 0.

x est l’unique solution vérifiant x(t₀) = 0 et x0(t₀) = 0 donc (Pb de Cauchy)

x= 0,absurde.

On dit que t0est une racineisoléede x. Cette notion permet de parler de

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Racines d’une équation di

fférentielle

Un résultat à savoir redémontrer

Soit x une solution non identiquement nulle de x00= u(t )x0+ v(t )x, et t0

une racine de x. Il existeη> 0 tel que sur l’intervalle ]t0− η, t0+ η[, t0est

l’unique racine de x.

On raisonne par l’absurde : on suppose pour tout n ∈ N∗,

 t0− 1 n, t0+ 1 n 

contient une autre racine t_n, t0.

On alim t_n= t₀et pour tout n > 1, x(tn) − x(t0)

t_n− t₀ = 0 donc en passant à la

limite : x0(t0) = 0.

x est l’unique solution vérifiant x(t₀) = 0 et x0(t₀) = 0 donc (Pb de Cauchy)

x= 0,absurde.

On dit que t0est une racineisoléede x. Cette notion permet de parler de

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Racines d’une équation di

fférentielle

Un résultat à savoir redémontrer

Soit x une solution non identiquement nulle de x00= u(t )x0+ v(t )x, et t0

une racine de x. Il existeη> 0 tel que sur l’intervalle ]t0− η, t0+ η[, t0est

l’unique racine de x.

On raisonne par l’absurde : on suppose pour tout n ∈ N∗,

 t0− 1 n, t0+ 1 n 

contient une autre racine t_n, t0.

On alim t_n= t₀et pour tout n > 1,x(tn) − x(t0)

t_n− t₀ = 0 donc en passant à la

limite : x0(t₀) = 0.

x est l’unique solution vérifiant x(t₀) = 0 et x0(t₀) = 0 donc (Pb de Cauchy)

x= 0,absurde.

On dit que t0est une racineisoléede x. Cette notion permet de parler de

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Racines d’une équation di

fférentielle

Un résultat à savoir redémontrer

Soit x une solution non identiquement nulle de x00= u(t )x0+ v(t )x, et t0

une racine de x. Il existeη> 0 tel que sur l’intervalle ]t0− η, t0+ η[, t0est

l’unique racine de x.

On raisonne par l’absurde : on suppose pour tout n ∈ N∗,

 t0− 1 n, t0+ 1 n 

contient une autre racine t_n, t0.

On alim t_n= t₀et pour tout n > 1,x(tn) − x(t0)

t_n− t₀ = 0 donc en passant à la

limite : x0(t₀) = 0.

x est l’unique solution vérifiant x(t0) = 0 et x 0

(t0) = 0 donc (Pb de Cauchy)

x= 0,absurde.

On dit que t0est une racineisoléede x. Cette notion permet de parler de

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Racines d’une équation di

fférentielle

Un résultat à savoir redémontrer

Soit x une solution non identiquement nulle de x00= u(t )x0+ v(t )x, et t0

une racine de x. Il existeη> 0 tel que sur l’intervalle ]t0− η, t0+ η[, t0est

l’unique racine de x.

On raisonne par l’absurde : on suppose pour tout n ∈ N∗,

 t0− 1 n, t0+ 1 n 

contient une autre racine t_n, t0.

On alim t_n= t₀et pour tout n > 1,x(tn) − x(t0)

t_n− t₀ = 0 donc en passant à la

limite : x0(t₀) = 0.

x est l’unique solution vérifiant x(t0) = 0 et x 0

(t0) = 0 donc (Pb de Cauchy)

x= 0,absurde.

On dit que t0est une racineisoléede x. Cette notion permet de parler de

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Entrelacement des racines

Soit(x₁, x2) un système fondamental de solutions de x

00

+ q(t )x = 0.

Montrer qu’entre deux racines consécutives de x₁se trouve une racine

de x₂.

On supposex₁(a) = x₁(b ) = 0et ∀t ∈]a, b [, x1(t )> 0 (quitte à considérer

−x₁, qui est aussi solution).

a b

On ax₁0(a)> 0 et x₁0(b )< 0: x₁0(a) = lim

t →0+

x1(a + t ) − 0

t >0.

On suppose ∀t ∈]a, b [, x2(t ) > 0 (quitte à considérer −x2 qui est aussi

solution) et on pose w= x₁0x2− x1x 0 2.

On calcule w0= 0 donc w = λ.

Or w(a) = x0(a)x₂(a) > 0 et w(b ) = x₁0(b )x₂(b ) 6 0 donc w = 0 et (x₁, x2)

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Entrelacement des racines

Soit(x₁, x2) un système fondamental de solutions de x

00

+ q(t )x = 0.

Montrer qu’entre deux racines consécutives de x₁se trouve une racine

de x₂.

On supposex₁(a) = x₁(b ) = 0et ∀t ∈]a, b [, x1(t )> 0 (quitte à considérer

−x₁, qui est aussi solution).

a b

On ax₁0(a)> 0 et x₁0(b )< 0: x₁0(a) = lim

t →0+

x1(a + t ) − 0

t >0.

On suppose ∀t ∈]a, b [, x2(t ) > 0 (quitte à considérer −x2 qui est aussi

solution) et on pose w= x₁0x2− x1x 0 2.

On calcule w0= 0 donc w = λ.

Or w(a) = x0(a)x₂(a) > 0 et w(b ) = x₁0(b )x₂(b ) 6 0 donc w = 0 et (x₁, x2)

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Entrelacement des racines

Soit(x₁, x2) un système fondamental de solutions de x

00

+ q(t )x = 0.

Montrer qu’entre deux racines consécutives de x₁se trouve une racine

de x₂.

On supposex₁(a) = x₁(b ) = 0et ∀t ∈]a, b [, x1(t )> 0 (quitte à considérer

−x₁, qui est aussi solution).

a b

On ax₁0(a)> 0 et x₁0(b )< 0: x₁0(a) = lim

t →0+

x1(a + t ) − 0

t >0.

On suppose ∀t ∈]a, b [, x2(t ) > 0 (quitte à considérer −x2 qui est aussi

solution) et on pose w= x₁0x2− x1x 0 2.

On calcule w0= 0 donc w = λ.

Or w(a) = x0(a)x₂(a) > 0 et w(b ) = x₁0(b )x₂(b ) 6 0 donc w = 0 et (x₁, x2)

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Entrelacement des racines

Soit(x₁, x2) un système fondamental de solutions de x

00

+ q(t )x = 0.

Montrer qu’entre deux racines consécutives de x₁se trouve une racine

de x₂.

On supposex₁(a) = x₁(b ) = 0et ∀t ∈]a, b [, x1(t )> 0 (quitte à considérer

−x₁, qui est aussi solution).

a b

On ax₁0(a)> 0 et x₁0(b )< 0: x₁0(a) = lim

t →0+

x1(a + t ) − 0

t >0.

On suppose ∀t ∈]a, b [, x2(t ) > 0 (quitte à considérer −x2 qui est aussi

solution) et on pose w= x₁0x2− x1x 0 2.

On calcule w0= 0 donc w = λ.

Or w(a) = x0(a)x₂(a) > 0 et w(b ) = x₁0(b )x₂(b ) 6 0 donc w = 0 et (x₁, x2)

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Entrelacement des racines

Soit(x₁, x2) un système fondamental de solutions de x

00

+ q(t )x = 0.

Montrer qu’entre deux racines consécutives de x₁se trouve une racine

de x₂.

On supposex₁(a) = x₁(b ) = 0et ∀t ∈]a, b [, x1(t )> 0 (quitte à considérer

−x₁, qui est aussi solution).

a b

On ax₁0(a)> 0 et x₁0(b )< 0: x₁0(a) = lim

t →0+

x1(a + t ) − 0

t >0.

On suppose ∀t ∈]a, b [, x2(t ) > 0 (quitte à considérer −x2 qui est aussi

solution) et on pose w= x₁0x2− x1x 0 2.