NOTION DE FONCTION

(1)

NOTION DE FONCTION

I) N

OTATIONS ET VOCABULAIRE

● « Une approche : le processus »

Pour transformer des nombres, un mathématicien utilise trois processus :

 Le processus f calcule le double du nombre introduit.

 Le processus g calcule la racine carrée du nombre introduit.

 Le processus h calcule le carré du nombre introduit.

1) Qu’obtient-on après avoir utilisé le nombre 9 avec :

Le processus f ? : …….. Le processus g ? : ……… Le processus h ? : ……….

2) Qu’obtient-on après avoir utilisé le nombre 4 avec :

3) Qu’obtient-on après avoir utilisé le nombre x avec :

● « Le vocabulaire des fonctions »

On dit que :

→ l’image de 𝑥 par la fonction 𝑓 est 𝑓(𝓍). 𝑓 : 𝑥  𝑓(𝓍)

→ 𝑥 est un antécédent de 𝑓(𝓍) par 𝑓.

♫ L’expression de 𝑓(𝓍) dépend de la valeur de 𝑥 et varie en fonction de 𝑥. 𝑥 est aussi appelée la variable.

♫ Remarque : 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒 𝑙𝑖𝑡 « 𝑓 𝑑𝑒 𝑥 ».

♫ Exemple : Soit la fonction f :x2x.

→ Cette fonction f, au nombre 5, associe son double, c’est-à-dire 10.

𝑓, 𝑔 𝑜𝑢 ℎ sont appelées des fonctions.

C’est un programme de calculs (un processus) qui, à un nombre donné, fait correspondre un autre nombre.

𝑓

x 𝑓(𝓍)

nombre de départ nombre obtenu

Antécédent de 𝑓(𝓍)

Image de 𝓍 𝑝𝑎𝑟 𝑓

(2)

→ On dit que : l’image de 5 par la fonction f est 10 et on note f ( 5 ) = 10.

→ 5 est un antécédent de 10 par la fonction f.

1) En utilisant les fonctions f , g et h définies dans la première partie, compléter :

L’image de 3 par la fonction f est …… On a : f ( 3 ) = …….

L’image de 8 par la fonction f est …… On a : f ( ….. ) = …….

L’image de 49 par la fonction g est …… On a : g ( ….. ) = …….

L’image de – 6 par la fonction h est …… On a : h ( ….. ) = …….

Un antécédent de 30 par la fonction f est ………. On a : f ( ….. ) = …….

Un antécédent de 11 par la fonction g est ………. On a : g ( ….. ) = …….

2) Remarque importante : L’image de 4 par la fonction h est …..

L’image de (− 4) par la fonction h est …..

Compléter : « Les nombres 4 et – 4 ont la même ……… par la fonction h.

Le nombre ………. admet deux ……… 4 et – 4 par la fonction h » Un nombre peut-il avoir plusieurs images ? : …………

Un nombre peut-il avoir plusieurs antécédents ? : ………….

EXEMPLE

Considérons la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 5𝑥 − 𝓍² (ATTENTION : 𝑓 n’est plus le double…)

On note ainsi : 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 𝓍² (c’est un nombre, l’image de 𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑓) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑠 𝑑𝑒 2,5 𝑒𝑡 1 𝑝𝑎𝑟 𝑓 ?

𝑓(2,5) = 5 × 2,5 − 2,5² = 12,5 − 6,25 = 6,25 𝑒𝑡 𝑓(1) = 5 × 1 − 1² = 5 − 1 = 4

METHODE

Soit la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = √𝑥 1) Compléter le tableau de valeurs :

2) Compléter alors :

a) L’image de 4 par 𝑓 est ………

b) Un antécédent de 4 par 𝑓 est ………

c) 𝑓 : ……… 3,2 d) 𝑓 (20,25) = ………

x

⁴ ^10,24 ¹⁶ ^20,25

√𝑥

(3)

3) Calculer 𝑓 (4,41) et 𝑓 (1 310,44)

II) R

EPRESENTATION GRAPHIQUE D

’

UNE FONCTION

● « TABLEAU ET REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION » Soit la fonction f :x x²

1) Compléter le tableau suivant : on l’appelle : un TABLEAU DE VALEURS.

x –5 –4,5 –3,5 –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,7 –0,5 –0,3 0

y = f(x)

x 0,3 0,5 0,7 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

y = f(x)

2) Représentation graphique :

 Sur une feuille de papier millimétré, trace un repère en prenant le cm comme unité sur chaque axe. (On tracera l’axe des abscisses en bas de la feuille)

 Placer les points de coordonnées (x ; y), avec y = f ( x ), calculées précédemment dans le tableau de la question 1).

 Relier à main levée les points obtenus par une courbe régulière.

On admet que le tracé effectué est la courbe représentative de la fonction f.

𝑓 (4,41) =

𝑓 (1 310,44) =

(4)

𝐶_𝑓

x

𝑓(

x

)

(4 ; 𝑓(4)) En reliant les points, on obtient une

courbe 𝐶_𝑓.

Tout point de la courbe 𝐶_𝑓 possède donc des coordonnées de la forme (𝑥; 𝑓(𝑥))

Ou alors :

(𝒂𝒏𝒕é𝒄é𝒅𝒆𝒏𝒕 ; 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒆) 3) Lecture graphique

a. Quelle est l’image du nombre  1 ? : f (  1 ) = ……..

b. Quelle est l’image du nombre  3 ? : ……… = ……..

c. Quelle est l’image du nombre 4 ? : ……… = ……..

d. Quels semblent être les antécédents du nombre 5 ? : ………..

Vérifier en résolvant l’équation f ( x ) = 5

………

e. Déterminer les antécédents du nombre 2, puis résoudre l’équation correspondante pour vérifier la réponse.

………

f. Déterminer approximativement, par lecture graphique, les antécédents du nombre 4.

Quelles sont les valeurs exactes de ces antécédents ?

………

BILAN :

Pour représenter graphiquement une fonction, on construit un tableau de valeurs :

Puis on utilise un repère : on trouve en abscisse l’antécédent 𝑥 et en ordonnée son image 𝑓(𝑥) Reprenons la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 5𝑥 − 𝓍² du paragraphe I).

x

¹ ^1,5 ² ^2,5 ³ ^3,5 ⁴ ^4,5

𝒇(𝔁) 4 5,25 6 6,25 6 5,25 4 2,25

exemple

(5)

III) Exercices

1) Voici des renseignements sur une fonction f . Compléter :

En français En mathématique

L’image de 5 est 2. f ( …….. ) = ……..

 3 est l’image de 7. f ( …….. ) = ……..

13 est l’antécédent de 9. f ( …….. ) = ……..

 6 a pour antécédent 2. f ( …….. ) = ……..

2) Soit g la fonction définie par

4 1 ) 2

(  x x

g . Compléter le tableau de valeurs suivant :

x  1 0

4 1

2

1 1 2

g(x)

3) g est une fonction définie par ce graphique.

a. Lire les images de 0, de 2, de 5.

………

b. Lire les antécédents de 1, de – 1.

………

c. Citer un nombre qui n’a pas d’antécédent.

………

4) Ce graphique définie une fonction f . a. Lire f (0,5), f (  2) et f (0).

………

b. Citer un nombre qui :

 n’a aucun antécédent : ……….

 a un seul antécédent : ………

 a trois antécédents : ………..

 a deux antécédents : ……….

 a plus de trois antécédents : …..

0 1 4 6 - 3

1 2

0 1 - 1

1

(6)

5) On a représenté une fonction h pour des valeurs de x comprises entre  3 et 9.

Par lecture graphique, déterminer :

a) L’image par h du nombre 8 : ………

b) h ( 1) : ……….

c) Les antécédents par h du nombre 0 : ………

d) L’image par h du nombre  3 : ……….

e) Les antécédents par h du nombre  2 : ….

f) Les antécédents par h du nombre 2 : …….

6)

Soit la fonction linéaire g : x ↦ 3x.

a. Calculer l’image de (–4).

Donc : g(……) = … b. Calculer le nombre dont l’image est (–15).

Donc : g(……) = …

Soit la fonction linéaire h : x ↦ –7x.

a. Calculer l’image de (-2).

Donc : h(……) = … b. Calculer le nombre dont l’image est 35.

Donc : h(……) = …

7) Compléter le tableau suivant, sachant que f est la fonction définie par 𝑓(𝑥) = – 5 𝑥 + 3

x – 3 – 1 0 2 5 8

f ( x )

8) Soit la fonction linéaire f : x ↦ 2 x.

x f(x) Questions :

x 2 x ^-Quelle est l’image de 2 ? ……

- Quel nombre a pour image 2 ? ……

- Compléter : f(20) = ……

f(……) = 20 1

4 10

40

Soit la fonction linéaire g : x ↦ – 3 x.

x g(x) Questions :

x –3 x ^-Quelle est l’image de 3 ? ……

- Quel nombre a pour image 12 ?

……

- Compléter :

g(–5) = ……

g(……) = –9 3

–6 –4

15

0 1 2 - 2 - 1

1

-1

(7)

C’est un TABLEAU DE PROPORTIONNALITE.

IV) F

ONCTION

L

INEAIRE

●DEFINITION

Soit 𝒂 un nombre donné.

Le « PROCEDE » qui à tout nombre 𝒙 fait correspondre le produit 𝒂𝒙 s’appelle la FONCTION LINEAIRE DE COEFFICIENT 𝒂.

On note cette fonction 𝒙 ⟼ 𝒂𝒙 (à 𝒙 on « ASSOCIE » 𝒂𝒙). 𝒂𝒙 est appelé IMAGE de 𝒙.

EXEMPLE

Soit la fonction linéaire 𝑓 ∶ 𝑥  − 3 𝑥

• Calculons l’image de 2 par la fonction 𝑓 : 𝑓 (2) = − 3  2 = − 6 L’image de 2 par la fonction 𝒇 est −𝟔

• Calculer 𝑓(4) 𝑒𝑡 𝑓(−3) : 𝑓 (4) = − 3  4 = − 12

 4 a pour image − 12 par la fonction 𝒇 et − 12 est l’image de 4 par la fonction 𝒇.

𝑓 (− 3) = − 3  (− 3 ) = 9

• Déterminer l’antécédent de 4 par la fonction 𝑓 : on doit résoudre une équation afin de déterminer l’antécédent

𝑓(𝑥) = 4 → −3𝑥 = 4 → 𝑥 = −4 3

Un antécédent de 4 par la fonction 𝒇 est − ^𝟒 𝟑. REMARQUE

On peut regrouper ces résultats dans un tableau :

𝒙 2 − 3 4

𝒇 ( 𝒙 ) − 6 9 − 12

Et le coefficient de proportionnalité qui permet d’exprimer 𝑓(𝑥) en fonction de 𝑥 est −3 !!!!!!

D’où l’égalité : 𝑓(𝑥) = − 3  𝑥.

● « REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION LINEAIRE » SOIT 𝒇 LA FONCTION LINEAIRE DEFINIE PAR : 𝒙 ⟼ 𝒂𝒙

L’ENSEMBLE DES POINTS DE COORDONNEES (𝒙 ; 𝒂𝒙) EST APPELE REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA FONCTION LINEAIRE.

Dans un repère, cette représentation est LA droite passant par :

- L’origine du repère - Le point de coordonnées (𝟏 ; 𝒂) ou (𝒙 ; 𝒇(𝒙))

(8)

• On dit que cette droite a pour équation : 𝑦 = 𝑎𝑥.

« 𝑎 » est le COEFFICIENT DIRECTEUR de la droite. Il indique « L’INCLINAISON » de la droite.

REMARQUE

• Si 𝒂 = 0, sur la représentation, la DROITE SE CONFOND AVEC L’AXE DES ABSCISSES.

•Pour déterminer le coefficient directeur d’une droite, donc le coefficient d’une fonction linéaire associée, connaissant le tracé de la droite, il suffit de connaitre les coordonnées d’un point se situant sur la droite, et on calcule le coefficient ainsi :

𝒂 = 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒆 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒆𝒏𝒕

EXEMPLES

● On donne : 𝑓(x) = x + 2 𝑔(x) = 2 ℎ(x) = 2x

1) Parmi les quatre droites tracées ci-dessous, trois représentent les fonctions 𝑓, 𝑔 𝑒𝑡 ℎ.

Laquelle représente 𝑓 ? Laquelle représente 𝑔 ? Laquelle représente ℎ ?

2) Parmi ces fonctions, l'une est linéaire, laquelle ?

1 1

𝑎 𝑎

𝑎

𝑎 𝑎 « petit et positif » 𝑎 « grand et positif » 𝑎 « petit et négatif » 𝑎 « grand et négatif »

(9)

0 1 1

x y

● Sur la feuille de papier millimétré ci-dessous, tracer les représentations graphiques des fonctions suivantes :

f : x ⟼ 5x ; g : x ⟼ – 2x ; h : x ⟼ 1

3 x.

(10)

● «

APPLICATION AUX POURCENTAGES

^»

Prendre 5% de 𝒙. Augmenter 𝒙 de 5%. Diminuer 𝑥 de 5%.

CALCUL A

EFFECTUER Multiplier par 0,05 Multiplier par 1,05 Multiplier par 0,95 FONCTION

LINEAIRE f : x  0,05 x g : x  1,05 x h : x  0,95 x EXEMPLE : Prendre 5% de 20 :

𝑓 ( 20 ) = 0,05  20 = 1 Augmenter 20 de 5% :

g ( 20 ) = 1,05  20 = 21 Diminuer 20 de 5% : h ( 20 ) = 0,95  20 = 19

→PRENDRE UN POURCENTAGE D'UN NOMBRE

Pour prendre 13 % d'un nombre, on multiplie le nombre par 100

13 , c'est-à-dire 0,13.

1) Pour prendre 18 % d'un nombre, on multiplie le nombre par … 2) Pour prendre 25 % d'un nombre, on multiplie le nombre par … 3) Pour prendre 7 % d'un nombre, on multiplie le nombre par … 4) Pour prendre 40 % d'un nombre, on multiplie le nombre par … 5) Pour prendre 1 % d'un nombre, on multiplie le nombre par …

6) 6 % de 3200 : … 7) 80 % de 340 : … 8) 20 % de 24 : …

→ AUGMENTER UN NOMBRE D'UN POURCENTAGE

𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑎𝑢𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 15 %, 𝑜𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑒 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑝𝑎𝑟 1,15 (1,15 = 1 + 15 100)

1) Pour augmenter un nombre de 30 %, on multiplie le nombre par … 2) Pour augmenter un nombre de 14 %, on multiplie le nombre par … 3) Pour augmenter un nombre de 19,6 %, on multiplie le nombre par …

4) Augmenter 256 de 8 % : … 5) Augmenter 45 700 de 60 % : …

6) Je paie un article 990 €, après une augmentation de 20 %. Combien coûtait-il ? …

7) Multiplier un nombre par 1,2 a pour effet de l’augmenter de …

(11)

→ DIMINUER UN NOMBRE D'UN POURCENTAGE

𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑖𝑛𝑢𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 15 %, 𝑜𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑒 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑝𝑎𝑟 0,85 (0,85 = 1 − 15 100) 1) Pour diminuer un nombre de 23 %, on multiplie le nombre par …

2) Pour diminuer un nombre de 6 %, on multiplie le nombre par … 3) Pour diminuer un nombre de 10 %, on multiplie le nombre par … 4) Pour diminuer un nombre de 36 %, on multiplie le nombre par … 5) Pour diminuer un nombre de 5,8 %, on multiplie le nombre par … 6) Multiplier un nombre par 0,70 a pour effet de le diminuer de …

→ EXERCICES : 1)

5 % de 40 : … Augmenter 150 de 20 % : … Diminuer 600 de 15 % : …

Prix HT : 120€ Prix TTC : … Prix HT : … Prix TTC : 750 €

 Prix d'un litre d'essence à 1,035 € après une hausse de 3 % : …

 Prix après remise de 30 % : 63 € Prix avant la remise : …

 Prix de 100 € après une baisse de 10 % puis une hausse de 10 % : …

 Augmenter de 30 % puis diminuer de 30 % équivaut à …

 Une baisse de 10 % suivie d'une baisse de 20 % correspond à une baisse de …

 Une baisse de 20 % suivie d'une baisse de 30 % correspond à …

2) « C'est la période des soldes ! »

a) J'achète un pull dont le prix est 60 € . Combien vais-je payer ce pull sachant qu'à la caisse, on me fera une remise de 20% ?

b) J'achète aussi une chemise que je paie 60 €. Quel était le prix de la chemise avant la réduction de 20%?

(12)

c) Le magasin opère une deuxième démarque de 10%. Combien vais-je payer un article qui coûtait 80 euros avant les soldes ? Quel aura été le pourcentage de réduction ?

3) Dans un magasin, le prix affiché sur une armoire est 900 €. Après remise, l'armoire est vendue 738 €. Quel pourcentage de réduction a été accordé ?

4) Le 1^er octobre 1993, le débit de la Durance (un affluent du Rhône) était de 𝑥 m³ par seconde. Après une semaine de pluie, le débit était alors de 143 m³ par seconde en ayant augmenté de 30 %. Calculer le débit initial 𝑥.

V) FONCTION AFFINE

1) Définition

DEFINITION

Une fonction affine est une fonction définie par

𝒇 ( 𝒙 ) = 𝒂 𝒙 + 𝒃 (où a et b sont des nombres réels)

EXEMPLES :

𝑓 ( 𝑥 ) = 2𝑥 + 1 (ici a = 2 et b = 1) ; 𝑔 ( 𝑥 ) = −3𝑥 + 7 (ici a = − 3 et b = 7) ℎ ( 𝑥 ) =1

2 𝑥 – 7 (𝑖𝑐𝑖 𝑎 =1

2 𝑒𝑡 𝑏 = −7) ; 𝑖 ( 𝑥 ) = 𝑥 √2 + 3 (𝑖𝑐𝑖 𝑎 = √2 𝑒𝑡 𝑏 = 3)

REMARQUE :

• Si 𝒃 = 𝟎 alors la fonction affine est une fonction linéaire : 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙.

UNE FONCTION LINEAIRE EST UNE FONCTION AFFINE PARTICULIERE.

• Si 𝒂 = 𝟎 alors la fonction affine est appelée fonction constante : 𝒇(𝒙) = 𝒃.

2) Représentation graphique

 THEOREME : La courbe représentative notéeC f d’une fonction affine f est une droite.

(13)

CONSEQUENCE :

Deux valeurs de f suffisent pour tracer sa courbe représentative mais dans la pratique, on en choisit trois (en cas d’erreur).

 DEFINITION : a est appelé COEFFICIENT DIRECTEUR de la droite et b son ORDONNEE A L’ORIGINE.

 PROPRIETE :

L’ordonnée à l’origine b de la droite D f correspond à l’ordonnée du point d’intersection de la droite D f avec l’axe des ordonnées (𝑶𝒚). Le point B(0 ;b) appartient donc à la droite D f .

EXEMPLES

La représentation graphique de la fonction affine 𝑓 : 𝑥 ⟼ 𝑥 + 1 est la droite D1 d’équation 𝑦 = 𝑥 + 1.

𝑓(1) = 2 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐷₁ 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐴(1 ; 2) 𝑓(3) = 4 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐷₁ 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐵(3 ; 4)

Le coefficient directeur de la droite 𝐷₁ est a = 1 et son ordonnée à l’origine est 𝒃 = 𝟏 (ordonnée du point d’intersection de 𝐷₁ avec l’axe (𝑂𝑦)) On lit sur la représentation graphique que :

→ l’image de 1 par f est 2

→ l’antécédent de 4 par f est 3.

3) SENS DE VARIATION

1

1 1 1

a a

a positif b positif

a négatif b positif 1

1 a

a positif b négatif

1 1

a

a négatif b négatif b

b

(14)

VI) Fonctions et Informatique

Il faut s’entrainer !!!