Contrôle et manipulation d'ondes hydroélastiques

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de l’Université de recherche Paris Sciences et Lettres 

PSL Research University

Préparée à l’École Supérieure de Physique

et de Chimie de la Ville de Paris

Contrôle et manipulation d’ondes hydroélastiques

COMPOSITION DU JURY :


Mme. CHARLAIX Élisabeth

Université de Grenoble Présidente du jury

Mme. BIANCE Anne-Laure

ENS Lyon Rapportrice

M. EDDI Antonin

ESPCI Paris Co-directeur de thèse

M. ENOCH Stefan

Université Aix-Marseille Rapporteur

M. FERMIGIER Marc

ESPCI Paris Directeur de thèse

M. MOISY Frédéric

Université Paris-Sud Examinateur

M. SALEZ Thomas

Université de Bordeaux Examinateur

Soutenue par

Lucie DOMINO

le 6 novembre 2018


h

Ecole doctorale n°564

École Doctorale Physique en Île-de-France

Spécialité

PHYSIQUE

Dirigée par Antonin EDDI

Je tiens tout d’abord `a remercier Anne-Laure Biance et Stefan Enoch d’avoir accept´e d’ˆetre rapporteurs de cette th`ese, et Elisabeth Charlaix, Thomas Salez et Fr´ed´eric Moisy qui m’ont fait l’honneur de l’examiner. Leurs commentaires ont largement am´elior´e ce manuscrit, et je leur en suis grandement reconnaissante.

Ces trois derni`eres ann´ees sous la direction d’Antonin Eddi ont ´et´e un r´eel plaisir. Le bon-heur que j’ai eu chaque jour `a travailler au laboratoire lui est grandement dˆu. Par sa pr´esence quotidienne au laboratoire, Antonin a su m’apprendre quantit´e de choses, scientifiques mais aussi humaines, et m’insuffler son enthousiasme. Nous nous sommes lanc´es dans une aventure in´edite pour nous deux, et j’esp`ere qu’en tant que premi`ere th´esarde je lui ai donn´e envie d’en encadrer plein d’autres dans le futur, autant qu’il m’a donn´e envie de continuer la recherche. Marc Fermigier nous a ´epaul´es pendant trois ans, s’est pris au jeu de nos id´ees folles et a finalement rendu possible ce projet. Enseigner `a ses cˆot´es a ´et´e tr`es inspirant, et j’esp`ere continuer nos ´echanges scientifiques, et qui sait, peut-ˆetre que ce sera dans la Rade de Brest. En travaillant avec l’´equipe d’Emmanuel Fort j’ai d´ecouvert que la recherche peut ˆetre ´electrique mˆeme sans ´electricit´e, tant Emmanuel regorge d’id´ees, d’´energie et de volont´e. Il rend toutes les id´ees possibles, le squeezing, le cryptage quantique, le nouvel ´etat de la mati`ere, l’ordinateur avec des gouttes ! J’ai ´egalement eu le plaisir d’interagir avec Yves Couder lors de ses passages au laboratoire, et j’ai pu profiter de ses pr´ecieux conseils. Guillaume d’Hardemare a partag´e les d´eboires et les r´eussites des exp´eriences plus ou moins ais´ees de cette th`ese, et j’ai pu b´en´eficier de son extraordinaire d´ebordement d’´energie et de sa joie de vivre constante. J’ai en outre eu le plaisir de travailler pr`es de Sander Wildeman, dont j’ai pu appr´ecier la rigueur, la bonne humeur flegmatique, mais surtout la redoutable efficacit´e scientifique dont il m’a fait profiter. Surabhi KS a rejoint notre folle ´equipe, nous l’esp´erons pour longtemps, car sa gait´e tr`es communicative et sa curiosit´e scientifique en font une coll`egue inoubliable (not to mention the Stick God !).

Une partie cach´ee de cette th`ese a ´et´e de travailler sur un projet annexe avec Pierre Chan-telot et Martin Coux. Lorsqu’ils m’ont invit´ee `a prendre part `a leur projet de trampoline `a gouttes ( !), nous ne pensions pas que tout cela nous m`enerait si loin. Je leur dois beaucoup,

particulier son directeur, Arnaud Tourin, pour leur accueil chaleureux.

Je remercie ´egalement Na¨ıma Lebal, de la SATT LUTECH, de nous ´epauler dans la vaste entreprise qu’est la valorisation et la maturation de notre (embryon d’)id´ee. L’ensemble des ´el`eves de CPES ont rendu le difficile exercice de l’enseignement tr`es agr´eable, je les en remercie. Enfin, dans le d´esordre, un grand nombre de coll`egues ont particip´e `a l’avanc´ee scientifique de cette th`ese et de son auteure, j’aimerais donc remercier : DucMinh Ta, Simon Yves, Vincent Bacot, Emmanuel Sieffert, Manon L’estim´e, Ambre Bouillant, Joachim De-lannoy, Joachim Trosseille, Gabriel Dumy, Fabrice Lemoult, Marine Da¨ıeff, Sylvain Patinet,

´

Edouard Civel, F´elix Esclangon, les petits dej des doctorants, ´Etienne Guyon, Emmanuel Labbey, et toutes les personnes que j’oublie ici.

Enfin, plus personnellement, j’adresse toute ma gratitude `a mes proches, qui me sou-tiennent inconditionnellement depuis bien avant cette th`ese. Ma famille et mes amis ne savent sans doute pas tout ce que je leur dois.

Et pour finir, je remercie H et H d’avoir ´et´e l`a, pour leur contribution scientifique `a cette th`ese, et bien sˆur pour tout le reste.

1.1.1 D´erivation en loi d’´echelles . . . 17

1.1.2 Calcul complet : 1) M´ecanique des plaques, ´equation de F¨oppl-Von K´arm´an . . . 21

1.1.3 Calcul complet : 2) ´Ecoulement hydrodynamique potentiel . . . 23

1.2 Les diff´erents r´egimes . . . 26

1.2.1 Influence de la profondeur . . . 26

1.2.2 Trois r´egimes de propagation . . . 26

1.2.3 Les longueurs caract´eristiques . . . 28

1.3 Dispositif exp´erimental & m´ethodes d’analyse . . . 29

1.3.1 Dispositif . . . 29

1.3.2 Algorithmes d’analyse . . . 30

1.3.3 Films ´elastiques . . . 35

1.4 Analyses des donn´ees . . . 37

1.5 Conclusion . . . 40 6

2 Contrˆole spatial : r´efraction et focalisation d’ondes hydro´elastiques 42

2.1 Relation de dispersion : r´esultats exp´erimentaux . . . 42

2.2 R´efraction et loi de Snell-Descartes . . . 44

2.2.1 D´efinition d’un indice de r´efraction effectif . . . 44

2.2.2 Loi de Snell-Descartes . . . 46

2.2.3 R´efraction d’ondes hydro´elastiques . . . 47

2.2.4 R´eflexion totale interne . . . 48

2.2.5 Coefficients de r´eflexion et de transmission . . . 50

2.2.6 Catadioptre . . . 51

2.3 Focalisation . . . 52

2.3.1 Lentilles . . . 53

2.3.2 Lentilles hydro´elastiques . . . 54

2.3.3 Tache focale . . . 55

2.4 Contrˆole sub-longueur d’onde . . . 56

2.5 Conclusion . . . 59

3 Cristaux artificiels et cristaux de r´esonateurs 62 3.1 Milieux structur´es p´eriodiquement . . . 64

3.1.1 A une dimension : le miroir de Bragg . . . .` 64

3.1.2 A deux dimensions : le cristal carr´e . . . .` 65

3.2 Cristal artificiel de piliers . . . 67

3.2.1 Cristal carr´e de cylindres . . . 67

3.3 Modes propres d’un cavit´e circulaire . . . 69

3.3.1 Calcul th´eorique des modes propres . . . 69

3.3.2 R´esultats exp´erimentaux sur une cavit´e circulaire unique . . . 71

3.6.1 R´esultats exp´erimentaux . . . 80

3.6.2 R´efraction dans un cristal carr´e . . . 83

3.6.3 Influence du param`etre de maille et de la taille du r´esonateur . . . 85

3.6.4 Comparaison avec le mod`ele qualitatif . . . 87

3.7 Cristaux hydro´elastiques hexagonaux et en nid d’abeille . . . 88

3.7.1 Quelques ´el´ements th´eoriques . . . 88

3.7.2 R´esultats exp´erimentaux : cristal hexagonal . . . 91

3.7.3 R´esultats exp´erimentaux : cristal en nid d’abeille . . . 94

3.8 Conclusion . . . 95

4 Exp´eriences en rotation 98 4.1 Motivation : les ´etats topologiques . . . 98

4.1.1 ...Et pour les ondes hydro´elastiques ? . . . 101

4.2 R´esultats exp´erimentaux en rotation . . . 102

4.2.1 La force de Coriolis en m´ecanique des fluides . . . 102

4.2.2 Relation de dispersion . . . 103

4.2.3 Structure de bande de cristaux . . . 105

4.3 Forme de la surface . . . 107

4.3.1 Pr´esentation du probl`eme . . . 107

4.3.2 Estimation en loi d’´echelle . . . 109

4.3.3 Plis radiaux . . . 113

5 Instabilit´e de Faraday et ´elasticit´e 120

5.1 Instabilit´e de Faraday dans un liquide . . . 120

5.1.1 Pr´esentation de l’instabilit´e . . . 120

5.1.2 Equation de Matthieu . . . 121´

5.1.3 Seuils . . . 123

5.1.4 Instabilit´e secondaire . . . 125

5.2 Instabilit´e de Faraday pour les ondes hydro´elastiques . . . 126

5.2.1 D´etails exp´erimentaux . . . 126

5.2.2 Relation de dispersion et motifs . . . 127

5.2.3 Seuils . . . 129

5.3 Ondes dans un hydrogel et instabilit´e de Faraday . . . 131

5.3.1 Ondes propagatives : avec un point source . . . 132

5.3.2 Instabilit´e de Faraday . . . 136

5.4 Conclusion . . . 138

6 Conclusion 141

Annexe A - Articles publi´es 150

Annexe B - Note sur le r´egime de tension et la r´efraction n´egative 167

Annexe C - R´esolution d’une ´equation diff´erentielle d’ordre 4 en sym´etrie

cylindrique avec bvp4c 171

Annexe D - Relation de dispersion des ondes hydro´elastiques en rotation 177

Annexe E - Proposition de calcul de la relation de dispersion des ondes dans

Le concept d’onde est universel en physique ; il regroupe un ensemble tr`es ´epars de ph´e-nom`enes allant des phonons `a l’´echelle des atomes, jusqu’`a la propagation de la lumi`ere, des s´eismes, d’ultrasons pour l’´echographie ou encore d’ondes gravitationnelles dans l’espace-temps. Les ondes sont aussi au coeur d’enjeux actuels majeurs, par exemple pour les t´el´e-communications et l’imagerie de milieux inaccessibles (que ce soient nos organes ou le centre de la Terre), ou encore pour la production d’´energie plus “propres”. En d´epit de ces grandes disparit´es d’´echelles et de milieu de propagation, les ondes ob´eissent toutes `a la mˆeme loi, qui r´egit leur propagation : l’´equation de d’Alembert [1]

∆Φ₋ 1 c2

∂2_Φ

∂t2 = 0. (1)

Introduite au XVIII`eme <sub>si`ecle par Jean le Rond d’Alembert pour d´ecrire les vibrations</sub> d’une corde tendue, elle traduit le couplage entre les propri´et´es spatiales (`a travers l’op´erateur laplacien ∆) et temporelles (`a travers la d´eriv´ee seconde ∂2_/∂t2_{) de la variable Φ, appel´ee}

champ d’onde. Cette variable peut ˆetre `a valeurs vectorielles (´electrique E, magn´etique B...) ou scalaires (pression, densit´e ou encore d´eformation locale). L’universalit´e de cette ´equation encourage les analogies entre les diff´erents domaines cit´es, et ce sont certaines de ces analogies que nous allons ´evoquer au cours cette th`ese.

La premi`ere exp´erience que l’on pr´esente pour illustrer ce concept pour le moins abstrait est en g´en´eral celle d’ondes se propageant `a la surface d’un bain d’eau. En observant les vagues par ombroscopie au fond d’une cuve on peut effectivement appr´ehender cette notion de perturbation d’un milieu se propageant sans d´eplacement de mati`ere. Un autre exemple tr`es courant est celui de la diffraction d’ondes par une fente, observable en mer au niveau d’un port ou d’un estuaire par exemple ; nous pouvons l’observer dans le clich´e a´erien de la ville espagnole de San Sebasti´an pr´esent´e dans la figure 1(a). Les ondes `a la surface d’un liquide sont donc un bon syst`eme mod`ele pour ´etudier la physique des ondes : elles sont macroscopiques, faciles `a observer et `a comprendre. Avec un tel syst`eme, peut-on mettre en ´evidence des principes suffisamment g´en´eraux pour qu’ils soient v´erifiables pour toutes les ondes ? Est-il finalement si judicieux d’´etudier ces ondes de surface, dont Feynman disaient dans son cours de physique qu’elles sont “le pire exemple possible car elles pr´esentent toutes

diam`etre millim´etrique). (c) A´eroport flottant MegaFloat dans la baie de Tokyo.

les complications imaginables pour une onde” [2] ? Jusqu’o`u pourrons-nous pousser l’analogie avec les autres ondes ?

Nous pouvons d’ores et d´ej`a nous appuyer sur des ´etudes pass´ees utilisant les ondes capillaires `a la surface d’un liquide. Celles-ci ont d´emontr´e la validit´e des ondes de surface pour concevoir des exp´eriences pr´esentant des analogies tr`es fortes avec d’autres domaines de la physique. Ainsi, l’analogue hydrodynamique de l’effet Aharonov-Bohm a ´et´e observ´e en couplant des ondes de surface `a un ´ecoulement rotationnel (un vortex), ce dernier faisant office de champ magn´etique [3]. En observant l’interaction entre une goutte rebondissant sur un bain vibr´e et le champ d’onde qu’elle cr´ee (illustr´es dans la figure 1(b)), Couder et al. ont avanc´e l’hypoth`ese d’une dualit´e onde-particule `a l’´echelle macroscopique [4, 5]. Il est ´egalement possible d’obtenir des propri´et´es effectives in´edites, par exemple au moyen de piliers immerg´es pour r´ealiser une “cape d’invisibilit´e” (cloaking) [6], d´evier des fronts d’ondes [7] ou les focaliser [8] ; il s’agit de m´etamat´eriaux, c’est `a dire des mat´eriaux structur´es `a l’´echelle sub-longueur d’onde pour obtenir des propri´et´es globales nouvelles, notamment anisotropes ou n´egatives. En utilisant des obstacles immerg´es, soit naturels (bancs de sables [9]) soit artificiels (pilliers [10,11], trous [12], variations de la profondeur [13]) il est possible d’observer des effets de Bragg dus `a la p´eriodicit´e, ou encore la localisation d’Anderson dans un milieu d´esordonn´e [14].

`

A travers ces quelques exemples, nous voyons la grande richesse des syst`emes exp´erimen-taux utilisant les ondes se propageant `a la surface d’un liquide. Toutes les exp´eriences que nous avons cit´ees tirent profit du fait que les vagues `a la surface d’un liquide sont macro-scopiques et donc faciles `a observer. En changeant la profondeur d’eau ou en ajoutant des obstacles dans le bain il est possible de modifier d´elib´er´ement la propagation des ondes. Il existe toutefois plusieurs limitations exp´erimentales qui r´eduisent l’utilisation de ces ondes. Elles pr´esentent en effet une forte att´enuation en raison d’effets de tension de surface (ondes de Marangoni) ou de dissipation visqueuse, notamment lorsque la profondeur de liquide est de l’ordre de la longueur d’onde. Ces effets sont cons´equents, et restreignent grandement les exp´e-riences possibles. Les exp´erimentateurs sont alors contraints d’utiliser des fluides particuliers,

notamment les fluides fluor´es tels que le m´ethoxynonafluorobutane [6], le trichlorotrifluoro´e-thane [8], ou encore le mercure. En outre, le seul moyen de modifier localement la vitesse de propagation des ondes est de modifier la profondeur du bain, ce qui limite la gamme des fr´equences de travail pour un syst`eme exp´erimental donn´e. Pour pallier ces deux probl`emes nous nous proposons dans cette th`ese d’utiliser un syst`eme mod`ele dans lequel la surface du liquide est recouverte d’une membrane ´elastique ; les ondes se propageant dans un tel syst`eme sont des ondes hydro´elastiques.

Ce type d’onde a d´ej`a fait l’objet de nombreuses ´etudes, les plus importantes concernent les vagues oc´eaniques dans la banquise [15, 16]. En effet, la glace est un mat´eriau ´elastique, certes tr`es rigide, mais n´eanmoins d´eformable par une onde oc´eanique. On trouve d`es le d´ebut du XX`eme<sub>si`ecle des ´etudes exp´erimentales sur la propagation d’ondes de surface dans</sub> des lacs gel´es [17,18] ou dans la mer [19]. Ces ´etudes in situ s’int´eressent particuli`erement aux contraintes dans la glace. On peut par exemple citer les travaux de Squire et al. [20] qui ont cherch´e `a d´eterminer si un v´ehicule pouvait se d´eplacer sur la glace sans la briser. Ils ont pour cela men´e d’impressionnantes campagnes de mesures des contraintes dans la glace antarctique de McMurdo lors de l’atterrissage d’un avion de 50 tonnes. Il existe ´egalement une litt´erature fournie sur la propagation de vagues en pr´esence de glace discontinue, par exemple pour la glace fragment´ee en floes [21], la glace dite en pancake [22,23]. Les exp´eriences en laboratoires utilisant la glace sont ´evidemment d´elicates, mˆeme s’il existe quelques tentatives dans des bains r´efrig´er´es [24]. Les syst`emes ´etudi´es utilisent donc tr`es souvent des films ´elastiques flottants pour mod´eliser la glace, par exemple pour ´etudier l’interactions de plaques ´elastiques circulaires disjointes [25,26], la turbulence d’ondes [27,28] ou le ph´enom`ene de sillage [29,30]. D’autres applications importantes concernent les structures flottantes (Very Large Floa-ting Structures ou VLFS) [31], d´evelopp´ees par exemple pour les a´eroports en mer (projet MegaFloat au Japon, montr´e dans le clich´e de la figure 1(c)) ou les plateformes off-shore. Les ondes hydro´elastiques interviennent ´egalement pour des syst`emes de r´ecup´eration d’´ener-gie [32, 33] ou de nettoyage des oc´eans [34]. Citons enfin les ondes de flexion observ´ees dans des radeaux granulaires [35], o`u l’´elasticit´e de la couche en surface est due aux propri´et´es de mouillage des grains et de leur diam`etre [36, 37].

Au cours de cette th`ese nous nous sommes int´eress´es `a la propagation d’ondes dans le syst`eme hydro´elastique coupl´e d’un bain liquide couvert d’une membrane ´elastique. L’int´erˆet d’un tel syst`eme est d’obtenir un moyen de contrˆole des ondes au travers de la membrane ; en jouant sur ses propri´et´es ´elastiques nous pourrons modifier la propagation des ondes. Avec ce nouveau syst`eme mod`ele nous tenterons d’illustrer des ph´enom`enes physiques connus mais ´egalement d’aborder des probl´ematiques actuelles de la recherche en physique.

Plan de la th`ese

dence les diff´erents comportements pr´edits au chapitre 1. Nous mesurerons notamment la relation de dispersion des ondes pour plusieurs ´epaisseurs de films ´elastiques. Nous introdui-rons ensuite des diff´erences d’´epaisseurs dans le film flottant `a la surface de l’eau afin de modifier la vitesse de propagation des ondes. Ces sur-´epaisseurs correspondent `a des varia-tions d’indice dont nous nous servirons pour observer la r´efraction d’ondes planes, ob´eissant `

a la loi de Snell-Descartes. Toujours au moyen de ces sur-´epaisseurs nous montrerons deux exemples de focalisation des ondes, grˆace `a des lentilles sph´eriques dans un premier temps puis avec des nanojets, permettant la focalisation sub-longueur d’onde.

Dans le troisi`eme chapitre nous aborderons la physique des milieux structur´es p´eriodi-quement : les cristaux artificiels. En utilisant soit des piliers soit des perforations sur une membrane flottante nous verrons qu’il est possible d’observer des effets li´es `a la p´eriodicit´e et/ou `a la nature des objets formant le r´eseau r´egulier. En effet, les relations de dispersion que nous mesurerons pr´esentent une ou plusieurs bandes interdites de propagation, dont nous pourrons pr´edire la position en fr´equence. Nous ´etudierons des cristaux artificiels carr´es, hexagonaux et en nid d’abeille pour montrer comment la propagation est influenc´ee par la p´eriodicit´e du milieu.

Nous nous int´eressons dans le quatri`eme chapitre `a la propagation d’ondes dans un milieu p´eriodique (un cristal artificiel) en pr´esence d’une rotation. Nous esp´erons ainsi cr´eer une brisure de sym´etrie dans le mat´eriau, conduisant `a des effets topologiques, encore tr`es peu observ´es pour des ondes se propageant `a la surface d’un liquide. En r´ealisant l’exp´erience en rotation nous avons fait face `a plusieurs effets parasites. En effet, nous verrons que des plis radiaux apparaissent au bord de la membrane flottante lorsque l’ensemble de l’exp´erience est mise en rotation. Nous ne donnerons donc que des r´esultats pr´eliminaires sur la propaga-tion d’ondes en milieu p´eriodique et en pr´esence de rotapropaga-tion. Nous pr´esenterons ´egalement l’instabilit´e de flambage que nous avons observ´ee, ainsi que quelques ´el´ements de r´eponse permettant de comprendre son apparition.

Le cinqui`eme et dernier chapitre traitera d’une instabilit´e hydrodynamique appel´ee insta-bilit´e de Faraday. Elle apparait `a la surface d’un bain liquide vibr´e. Nous l’´etudierons dans un premier temps en pr´esence d’une membrane ´elastique flottant `a la surface de l’eau, en

explorant le motif d’ondes stationnaires se formant dans la membrane ainsi que le seuil d’ap-parition de l’instabilit´e. Nous aborderons ´egalement la propagation d’ondes dans un hydrogel mou, d’abord en utilisant un point source, puis au moyen de l’instabilit´e de Faraday.

Enfin, nous reviendrons sur l’ensemble des r´esultats pr´esent´es, en d´etaillant pour chacune des parties les futures pistes de recherche que nous souhaitons explorer, et plus g´en´eralement les perspectives envisageables.

Les ondes hydro´

elastiques

Dans ce chapitre nous pr´esenterons les ondes hydro´elastiques d’un point de vue th´eorique et exp´erimental. Nous commencerons par d´etailler les calculs permettant d’´etablir leur relation de dispersion, et les diff´erents r´egimes et leurs limites sont pr´esent´es. Nous pr´esenterons aussi le montage exp´erimental utilis´e et les m´ethodes de mesure et d’analyse mises en place durant cette th`ese.

1.1

Relation de dispersion

Le calcul de la relation de dispersion des ondes hydro-´elastiques requiert d’´ecrire l’´equation de F¨oppl-Von K´arm´an (qui d´ecrit la m´ecanique des plaques minces) et celle de Navier-Stokes (qui d´ecrit la m´ecanique des fluides) afin de comprendre le comportement de ce syst`eme coupl´e. Ces calculs sont d´etaill´es dans les parties 1.1.2 et 1.1.3 ci-dessous. Nous commencerons cependant avec des arguments en lois d’´echelle, qui nous permettront d’appr´ehender le sens physique des diff´erents termes et d’en d´egager les aspects les plus importants.

1.1.1 D´erivation en loi d’´echelles

Quels sont les coˆuts ´energ´etiques li´es `a la propagation d’une onde hydro´elastique ? ´ Ecri-vons en lois d’´echelle l’´energie cin´etique de l’onde d’une part et les ´energies de rappel li´ees `a la d´eformation de l’interface d’autre part. On suppose pour cela une forme d’onde unidimensionnelle harmonique (montr´ee dans la figure 1.1(a)) :

ζ(x) = ζ0. cos(ωt− kx),

o`u ζ est la d´eformation de l’interface, k = 2π/λ est le nombre d’onde et ω sa pulsation. 17

Figure 1.1 – (a) Sch´ema d’une onde hydro´elastique se propageant dans une profondeur d’eau H, la d´eformation ζ de l’interface recouverte d’une membrane ´elastique de module d’Young E et d’´epaisseur e. (b) Sch´ema de la d´eflexion de l’interface.

L’´energie cin´etique

L’´energie cin´etique de l’onde s’´ecrit en fonction de sa vitesse ωζ0 et de la masse de fluide

d´eplac´e M = ρV . Le volume V `a consid´erer tient compte du fait que l’onde d´eplace le fluide jusqu’`a une profondeur λ (et non ζ0) : l’onde de surface n’est pas purement unidimensionnelle,

et est ressentie jusqu’`a une profondeur λ. `A deux dimensions, le volume est r´eduit `a une surface, et la surface approch´ee `a prendre en compte s’´ecrit λ2. L’´energie cin´etique par unit´e de longueur selon y (et par longueur d’onde selon x) s’´ecrit donc

EC ∼ ρλ2.(ωζ0)2

EC ∼

ρ(ωζ0)2

k2

L’´energie ´elastique de la plaque se d´ecompose en :

• L’´energie d’´etirement

Dans le cas d’ondes planes, l’´energie d’´etirement li´ee `a la flexion est nulle si l’on consid`ere que la plaque ne change pas de longueur. Dans le cas d’ondes non planes, la courbure de Gauss est modifi´ee : elle est nulle quand l’interface est plate, et a priori non nulle si la plaque est d´eform´ee dans les deux dimensions. Elle sera n´eglig´ee ici, car les mat´eriaux utilis´es dans nos exp´eriences sont suffisamment fins [38]1. L’´energie d’´etirement (ou de compression) de la plaque est donc a priori nulle, sauf si la plaque est contrainte ext´erieurement, par exemple si la membrane est pr´e-´etir´ee. Dans ce cas, on calcule l’´energie volumique de d´eformation ´elastique en fonction de la contrainte associ´ee σ et de la d´eformation ε :

Eel = σε

La contrainte σ s’exprime en fonction de la tension m´ecanique appliqu´ee T : σ = T /e, o`u e est l’´epaisseur de la membrane. On peut trouver une expression approch´ee de la d´eformation ε de la membrane en utilisant le th´eor`eme de Pythagore sur le sch´ema de la figure 1.1(b) :

ε_∼ L− λ λ ∼ λp1 + ζ2 0/λ2− λ λ ∼ ζ2 0 λ2

On peut alors ´ecrire l’´energie d’´etirement (par unit´e de longueur selon y et par p´eriode) :

ET ∼ σε.λe ∼ T λ.

ζ2 0

λ2

soit ET ∼ T kζ02.

• L’´energie de flexion de la plaque

La propagation de l’onde n´ecessite de courber la membrane sur une distance λ avec une amplitude ζ0. L’´energie de flexion surfacique est ´egale au module de flexion D multipli´e par

le carr´e de la courbure locale. Le module de flexion s’exprime selon D =₁₂₍₁Ee_−ν32₎ [39], o`u E est le module d’Young de la membrane, e son ´epaisseur et ν son module de Poisson. On peut ´ecrire l’expression approch´ee de l’´energie de flexion (par unit´e de longueur selon y et par p´eriode) : EB ∼ λ.D  ∂2_ζ ∂x2 2 soit EB ∼ Dk3ζ02

L’´energie potentielle de gravit´e

Pour que l’onde se propage il faut soulever une certaine masse d’eau M0 = ρV0 sur une hauteur ζ0. Le volume V0 s’´ecrira ici comme la surface approch´ee λζ0 (on fait un bilan par

unit´e de longueur selon y). L’´energie potentielle de gravit´e Eg par unit´e de longueur selon y

s’´ecrit donc :

Eg ∼ ρg.(λζ0).ζ0

Eg ∼

ρgζ02

C’est le r´egime gravitaire, qui existe ´egalement pour les ondes gravito-capillaires (sur-face libre). C’est le r´egime que l’on attend pour les plus grandes longueurs d’onde, par exemple pour les vagues oc´eaniques.

(ii) Si l’´energie d’´etirement domine (ET  {EB, Eg}), de la mˆeme mani`ere que

pr´ec´edem-ment on peut ´ecrire :

EC ∼ ET ρ(ωζ0)2 k2 ∼ T kζ 2 0 ω2∼T ρk 3

C’est le r´egime de tension, qui est analogue au r´egime capillaire des ondes gravito-capillaires, pour lequel ω2 _∼ γ

ρk3, o`u γ est la tension de surface air-liquide.

(iii) Si l’´energie de flexion domine (EB {ET, Eg}), on peut ´ecrire :

EC ∼ EB ρ(ωζ0)2 k2 ∼ Dk 3_ζ 02 ω2_∼D ρk 5

Nous verrons que cela correspond aux longueurs d’ondes les plus courtes, pour lesquelles il est tr`es couteux en ´energie de fl´echir la membrane. C’est le r´egime de flexion, sp´ecifique aux ondes hydro´elastiques, sur lequel nous porterons une attention particuli`ere dans cette th`ese.

Pour d´eriver la relation de mani`ere plus rigoureuse nous ´etudierons dans un premier temps la membrane ´elastique en utilisant le formalisme de la m´ecanique des plaques minces (partie 1.1.2), puis nous ´ecrirons les ´equations hydrodynamiques r´egissant l’´ecoulement du fluide sous la membrane (partie 1.1.3). C’est la solution g´en´eralement adopt´ee pour calculer la relation de dispersion des ondes hydro´elastiques [40–42].

1.1.2 Calcul complet : 1) M´ecanique des plaques, ´equation de F¨oppl-Von K´arm´an

Nous nous int´eressons ici `a une plaque mince (son ´epaisseur e est n´egligeable devant les autres dimensions de la plaque) ; nous cherchons `a ´ecrire la d´eflexion ζ de la plaque en fonction des forces ext´erieures auxquelles la plaque est soumise. Pour ce faire il faut ´ecrire d’une part l’´equilibre des contraintes dans le plan, ainsi que l’´equilibre des moments [39]. En utilisant les relations de Hooke (reliant la contrainte `a la d´eformation) on obtient alors un couple d’´equations appel´ees ´equations de F¨oppl-Von K´arm´an, qui s’´ecrivent dans le cas g´en´eral (en coordonn´ees cart´esiennes) [39, 43–45] : D∆2ζ<sub>− e</sub> ∂ ∂xβ  σα,β ∂ζ ∂xα  = P ∂σα,β ∂xβ = 0, (1.1) o`u D = Ee3

12(1−ν2₎ est le module de flexion de la plaque, α et β sont les deux directions

(orthogonales) du plan, σα,β la contrainte selon la direction xα s’exer¸cant sur la face de

normale xβ et P la force ext´erieure appliqu´ee par unit´e de surface (homog`ene `a une pression).

La premi`ere ´egalit´e correspond `a l’´equilibre des moments, tandis que l’´equilibre dans le plan de la plaque correspond `a la deuxi`eme ´egalit´e. La premi`ere ´equation peut se comprendre comme la combinaison de deux th´eories [46]. Celle de Kirchhoff-Love [47] d’une part, qui d´ecrit la flexion pure d’une plaque, on a alors D∆2ζ = P . Et celle de F¨oppl [48] d’autre part qui d´ecrit des plaques dans la limite de tr`es faible ´epaisseur (on parle alors de membranes), pour laquelle la flexion est n´eglig´ee, et les ´equations r´eduisent alors `a e_∂x∂

β



σα,β∂x∂ζα



+P = 0.

Int´eressons-nous `a la premi`ere ´equation ; le premier terme D∆2ζ correspond `a l’´energie de flexion, bri`evement mentionn´ee dans la partie pr´ec´edente. Le deuxi`eme terme e_∂x∂

β



σα,β_∂x∂ζ_α

 correspond `a l’´energie d’´etirement de la plaque dˆu `a la d´eformation. Ces deux quantit´es sont en fait li´ees, ainsi que l’´enonce le Theorema Egregium de Carl Friedrich Gauss ; ce “th´eor`eme remarquable” stipule que la courbure de Gauss d’une surface est invariante par transformation isom´etrique (ie. une transformation ne modifiant pas les distances). Il est plus courant de trouver la contrapos´ee de ce th´eor`eme : modifier la courbure de Gauss d’une plaque ´elastique n´ecessite de l’´etirer ou la comprimer localement. Dans certains cas, nous pourrons cependant n´egliger les contraintes g´en´er´ees par les effets de courbure et simplifier l’expression des ´equations de F¨oppl-Von K´arm´an. Comparons en ce sens les ´energies surfaciques de flexion et d’´etirement pour une d´eflexion d’amplitude ζ ´etendue sur une longueur caract´eristique λ. Nous avions Ef lexion = D

 ζ λ2 2 et Eetirement = Ee2 = Ee  ζ2 λ2 2

. Pour pouvoir n´egliger l’´etirement cr´e´e par la flexion de la plaque nous voulons que

d’o`u ζ _{e .}

Ce r´esultat signifie que si la d´eflexion de la plaque ´elastique (ici l’amplitude des ondes) est n´egligeable devant son ´epaisseur nous pourrons ne consid´erer que l’´energie de flexion. Si ce n’est pas le cas des contraintes planaires apparaitront dans la membrane, et des plis sont susceptibles de se former [38, 44]. On comprend d’ores et d´ej`a que ceci nous empˆechera de travailler avec des membranes trop fines, sous peine de devoir trop r´eduire l’amplitude des ondes. Sauf mention contraire, nous veillerons tout au long de cette th`ese `a toujours nous placer dans la situation o`u l’amplitude des d´eformations consid´er´ees est tr`es petite devant l’´epaisseur de la membrane.

Que se passe-t-il maintenant si la membrane est soumise `a une pr´econtrainte avant sa d´eformation ? Consid´erons par exemple une membrane pr´e-´etir´ee, c’est-`a-dire soumise `a une tension m´ecanique T appliqu´ee le long de sa circonf´erence (T est homog`ene `a une force par unit´e de longueur). Nous pouvons directement exprimer les contraintes σα,β avec l’´egalit´e

eσα,β = T δα,β,

o`u δα,β est le symbole de Kronecker. On a donc σαα = σββ = T /e. Les ´equations de

F¨oppl-von K´arm´an se simplifient alors sous la forme [39, 43, 45] :

D∆2ζ−T ∆ζ = P. (1.2)

On remarque que la tension m´ecanique multipli´ee par la courbure locale est homog`ene `a une pression, `a l’image de la tension de surface γ qui cr´ee une surpression lorsqu’une interface est courb´ee (pression de Laplace). C’est cette expression de l’´equation des plaques que nous r´eutiliserons par la suite pour obtenir la relation de dispersion.

Mentionnons rapidement que dans le bilan des forces transverses (premi`ere ´egalit´e des ´equations 1.1) nous avons n´eglig´e l’inertie de la membrane, c’est-`a-dire sa masse. Cette hy-poth`ese est valable pour des membranes fines devant la longueur d’onde, mais dans le cas contraire la premi`ere ´egalit´e des ´equations de F¨oppl-von K´arm´an s’´ecrit [40] :

D∆2ζ + ρpe ∂2ζ ∂t2 − e ∂ ∂xβ  σα,β ∂ζ ∂xα  = P, (1.3)

o`u le terme inertiel correctif d´epend de la densit´e de la membrane ρp et de l’acc´el´eration

de la surface ∂_∂t22ζ. On trouve donc parfois dans la litt´erature des expressions diff´erentes pour

la relation de dispersion (voir par exemple [41]), et nous discuterons un peu plus loin des conditions `a respecter pour pouvoir effectivement n´egliger ce terme.

1.1.3 Calcul complet : 2) ´Ecoulement hydrodynamique potentiel

Int´eressons-nous maintenant `a l’´ecoulement sous la membrane. Cet ´ecoulement est initia-lement irrotationnel (au repos), nous pouvons donc faire l’hypoth`ese2 que rotv = 0. Dans ce cas l’´ecoulement est potentiel, c’est-`a-dire que l’on peut d´efinir un potentiel des vitesses φ, tel que v = ∇φ. Le fluide peut ˆetre consid´er´e comme incompressible (∇.v = 0), le potentiel des vitesses φ ob´eit donc `a l’´equation de Laplace : ∆φ = 0.

On suppose une forme d’onde harmonique se propageant dans le sens des x croissants : φ(x, z, t) = ϕ(z). cos(ωt_{− kx).}

L’´equation de Laplace ∆φ = 0 conduit `a

ϕ(z) = Aekz+ Be−kz.

Deux conditions aux limites sont n´ecessaires pour trouver A et B. La premi`ere est en z =<sub>−H (figure 1.1(a)), o`u v</sub>z = ∂φ_∂z = 0, soit :

kAe−kH _{− kBe}kH _{= 0,}

A = Be2kH

On a donc

φ(x, z, t) = B.ek(z+2H)+ e−kz. cos(ωt− kx). (1.4)

La seconde condition aux limites est `a l’interface, en z = ζ, o`u il faut ´ecrire la condition cin´ematique (voir sch´ema 1.2) :

2. Cette approximation correspond en r´ealit´e `a n´egliger la g´en´eration de vorticit´e par dissipation visqueuse. Le temps caract´eristique d’advection sur une distance λ s’´ecrit en fonction de la viscosit´e cin´ematique du fluide ν : τ ∼ λ2

ν. Pour des longueurs d’onde centim´etriques dans l’eau (ν = 10

−6 _m2_{/s et f ∼ 100 Hz) ce temps}

vaut environ 102 s, ce qui est quatre ordres de grandeur plus grand que la p´eriode des ondes. Nous pourrons donc bien n´egliger la cr´eation de vorticit´e.

soit vz= vx.

∂ζ ∂x+

∂ζ ∂t.

En n´egligeant le terme d’ordre 2 (hypoth`ese de faibles amplitudes), il reste : vz = ∂φ ∂z     z=ζ = ∂ζ ∂t (1.5)

Nous avons donc obtenu un syst`eme de trois ´equations [1.2, 1.4, 1.5] :

(i) l’expression du potentiel des vitesses φ d’une part (pour lequel il nous reste `a trouver la constante B) (´equation 1.4)

(ii) la condition cin´ematique `a l’interface (´equation 1.5)

(iii) l’´equation de F¨oppl-von K´arm´an (´equation 1.2)

L’´ecoulement du fluide li´e `a la propagation de l’onde est d´ecrit par l’´equation de Navier-Stokes [49] :

ρ∂v

∂t + ρ(v.∇)v = −∇P + η∆v + ρg (1.6)

En n´egligeant la viscosit´e et en utilisant le fait que l’´ecoulement est incompressible et irrotationnel on peut utiliser l’´equation de Bernoulli :

ρ∂φ ∂t + ρ

v2

2 + P + ρgz = C,

o`u C est une constante. On s’int´eresse `a la limite des faibles amplitudes (ζ0  λ), on

continuit´e des contraintes le terme de pression P `a consid´erer est donc celui de l’´equation 1.2, li´ee `a la plaque, de sorte que l’´equation de Bernoulli s’´ecrit :

ρ∂φ ∂t + D∆

2_{ζ− T ∆ζ + ρgζ = C. (1.7)}

On d´erive alors cette ´equation par rapport `a t et on y injecte l’expression 1.5 :

ρ∂ 2_φ ∂t2 + D∆ 2∂φ ∂z − T ∆ ∂φ ∂z + ρg ∂φ ∂z = 0. (1.8)

On r´eutilise ensuite l’expression de φ (equation 1.4) `a la surface, que l’on approche par l’expression en z = 0 (grˆace `a l’hypoth`ese d’ondes de faibles amplitudes), soit :

φ(x, z = ζ, t)∼ φ(x, z = 0, t)

= B.e2kH+ 1. cos(ωt− kx).

Ici, `a une dimension, ∆2 = ∂4/∂x4 = k4 et ∆ = ∂2/∂x2 =−k2_{. Avec ces expressions de}

φ, ∆ et ∆2, on trouve

−ρω2 e2kH+ 1cos(ωt− kx) +hDk4+ T k2+ ρgi.ke2kH− 1cos(ωt− kx) = 0.

Soit apr`es simplification

ω2=  D ρk 5₊T ρk 3_{+ gk}  tanh kH (1.9)

C’est la relation de dispersion des ondes hydro´elastiques, o`u l’on retrouve les trois termes d´eriv´es par l’analyse dimensionnelle sur les ´energies (partie 1.1.1). Nous la r´eutiliserons tr`es largement au cours de cette th`ese.

Rappelons que nous avons suppos´e l’inertie de la plaque n´egligeable devant celle de la masse d’eau d´eplac´ee. Si nous ne sommes pas dans ce cas, il faut utiliser l’´equation des plaques 1.3. On peut montrer dans ce cas que la relation de dispersion devient [42] :

ω2= Dk

5_{/ρ + T k}3_{/ρ + gk}

ekρ/ρp+ coth kH

. (1.10)

Nous pouvons donc pr´eciser notre approximation pr´ec´edente : l’´equation 1.9 est valable si ek_ρρ

p coth kH. Comme la fonction coth est toujours sup´erieure `a 1, cette condition sera toujours v´erifi´ee tant que ek_ρρ

p 1, soit e 

ρp

ρ λ

2π. Pour des densit´es proches, nous retrouvons

Le r´egime d’eau peu profonde (λ H)

On a alors tanh kH _{' kH, et la relation de dispersion s’´ecrit} ω2 = H  D ρk 6₊T ρk 4_{+ gk}2 

Le r´egime d’eau profonde (λ_H)

Dans cette limite tanh kH ' 1, et la relation de dispersion devient ω2 =  D ρk 5₊T ρk 3_{+ gk}  (1.11)

Sauf mention contraire, nous nous placerons toujours dans ce r´egime pour les exp´eriences de cette th`ese.

Remarquons ´egalement que dans le r´egime d’eau profonde l’´equation 1.10 (relation de dispersion prenant en compte l’inertie de la membrane) s’´ecrit

ω2 = Dk

5_{/ρ + T k}3_{/ρ + gk}

ekρ/ρp+ 1

.

Nous retrouvons que l’´equation 1.11 est valable tant que ek_ρρ p 1.

1.2.2 Trois r´egimes de propagation

La figure 1.3 repr´esente l’allure de la relation de dispersion en ´echelle log-log. Nous pouvons y distinguer trois pentes : _{−1/2 pour les plus grandes longueurs d’onde, −5/2 pour les plus} courtes et _{−3/2 entre les deux. Ces trois pentes correspondent `a trois r´egimes, li´es soit `a la} gravit´e, `a la flexion de la membrane, ou `a la tension m´ecanique.

Figure 1.3 – Sch´ema de la relation de dispersion des ondes hydro´elastiques en ´echelle logarithmique.

Le r´egime gravitaire

Dans la limite de tr`es grandes longueurs d’ondes, le terme gk devient dominant dans la relation de dispersion 1.11. On peut alors approcher cette derni`ere par ω2 <sub>∼ gk , d’o`u une</sub> pente 1/2 attendue `a grande longueur d’onde et basse fr´equence. Il s’agit du mˆeme r´egime gravitaire qui existe pour les ondes gravito-capillaires (surface libre).

Le r´egime de flexion

Pour les longueurs d’ondes les plus courtes, le terme D_ρk5 pr´edomine dans la relation de dispersion 1.11. Nous pouvons alors ´ecrire ω2_∼ D

ρk

5 _{, d’o`u une pente 5/2 attendue `a petite}

longueur d’onde et haute fr´equence.

Dans ce r´egime il est possible de modifier directement la relation de dispersion en chan-geant les propri´et´es de la membrane (le coefficient de flexion D), c’est donc `a ce r´egime que nous allons nous int´eresser dans la suite.

Le r´egime de tension

Pour les longueurs d’ondes interm´ediaires (pente _{−3/2 dans la figure 1.3), la relation de} dispersion peut s’approcher par ω2 _∼ T

ρk

3 _{, d’o`u une pente 3/2 attendue pour ce r´egime.}

Dans nos exp´eriences nous aurons souvent des films flottant librement `a la surface de l’eau, auquel cas la seule force tirant sur la membrane est la tension de surface de eau-air γ. On retrouve alors le r´egime capillaire des ondes gravito-capillaires : ω2 <sub>∼</sub> γ<sub>ρ</sub>k3. On peut choisir `

a l’inverse de travailler dans le r´egime de tension en ´etirant volontairement la membrane. En variant la valeur de la tension m´ecanique T , par exemple en fixant la membrane aux bords de la cuve, on peut contrˆoler la dispersion des ondes hydro´elastiques dans ce r´egime [27].

ρ

de la longueur d’onde de coupure entre les deux r´egimes :

λgT = 2π

s T

ρg (1.12)

Si la tension dans nos films vaut la tension de surface de l’eau γ, λgT devient

q

ρg

= l

aussi appel´ee longueur capillaire, qui compare les effets capillaires et gravitaires.

Longueur tenso-´elastique λT D

En comparant les ´energies de flexion et de tension : D_ρ

k

∼

k

λT D = 2π

r D

T (1.13)

Longueur ´elasto-gravitaire λDg

Dans le cas o`u la tension T dans le mat´eriau est nulle ou mˆeme tr`es faible (compar´ee `a une valeur critique Tc que l’on pr´ecisera par la suite), on peut n´egliger le terme de tension

dans la relation de dispersion. Celle-ci devient alors ω2 ∼ D

ρk5+ gk. En comparant l’´energie

de flexion et l’´energie de gravit´e, on obtient D ρk 5 _{∼ gk} soit λDg= 2π4 s D ρg (1.14)

Pour des tensions suffisamment grandes, cette longueur de coupure est comprise entre les deux longueurs trouv´ees ci-dessus, comme illustr´e dans la figure 1.3, de sorte que λT D< λDg <

Figure 1.4 – (a) Sch´ema du montage exp´erimental utilisant un pot vibrant comme point source. (b) Sch´ema montrant l’aimant et l’´electroaimant utilis´es pour g´en´erer des ondes.

λgT. Ces deux in´egalit´es donnent l’une comme l’autre T > Tc=√Dρg. Si cette in´egalit´e est

bien respect´ee, c’est `a dire si la tension est tr`es faible voire nulle ou si le module de flexion de la membrane est grand, alors le r´egime de tension est n´egligeable et la longueur de coupure `a prendre en compte est λDg; ce sera notamment le cas pour certaines des exp´eriences r´ealis´ees

au cours de cette th`ese, pour lesquelles aucune tension autre que la tension de surface n’est appliqu´ee `a la membrane.

Notons que cette longueur caract´eristique est importante dans tous les probl`emes faisant intervenir un film ´elastique flottant. Ainsi, des rides form´ees `a la surface d’un tel syst`eme auront une longueur d’onde proportionnelle `a cette grandeur [50–52]. Nous reviendrons sur ces ph´enom`enes de plis dans le chapitre 4.

1.3

Dispositif exp´

erimental & m´

ethodes d’analyse

Nous d´ecrivons ici en d´etail les techniques exp´erimentales et d’analyse utilis´ees au cours de cette th`ese. Nous avons en effet d´evelopp´e plusieurs m´ethodes n´ecessaires aux exp´eriences que nous souhaitions r´ealiser. Cette section portera donc sur la g´en´eration des ondes, leur observation et les mesures quantitatives de champs d’onde. Nous expliquons aussi le type de film que nous avons choisi, et en dernier lieu les techniques d’analyses mises en place pour extraire l’information des s´equences de champs d’onde.

1.3.1 Dispositif

Nous utilisons une cuve en verre rectangulaire (80cm _{× 40cm × 20cm) remplie d’une} hauteur d’eau h0. Les grandes dimensions de cette cuve nous permettent d’´etudier `a la fois

est amplifi´e grˆace `a un amplificateur (Bruel et Kjaer 2718 pour le pot vibrant ou un simple amplificateur audio pour le haut-parleur). Le vibreur est ensuite directement plac´e au-dessus de la surface (figure 1.4(a)), et appuie l´eg`erement sur cette derni`ere.

• ´Electroaimant :

Nous utilisons ´egalement un ´electroaimant pour g´en´erer un champ magn´etique oscillant (figure 1.4(b)). Cet ´electroaimant est contrˆol´e au moyen d’un GBF et d’un amplificateur adapt´e, et est plac´e sous la cuve ou au dessus de la surface, selon les configurations. Un aimant permanent (au n´eodyme) plac´e dans ce champ va donc osciller `a la fr´equence de for¸cage de l’´electroaimant. En pla¸cant cet aimant `a la surface du milieu `a exciter, soit sur un flotteur (sur l’eau) soit directement sur la surface (pour une membrane ou pour un hydrogel), il agit comme un point source permettant d’exciter ponctuellement le milieu.

Les vibreurs permettent en g´en´eral d’atteindre les fr´equences les plus ´elev´ees (f > 200 Hz) et les fr´equences les plus basses (f < 5 Hz) et des d´eplacements importants. Les ´electroaimants sont moins puissants (il sont adapt´es `a la g´en´eration de son), mais ils sont plus rapides `a mettre en place, et permettent de solliciter le milieu de diff´erentes mani`eres en orientant le champ, par exemple parall`element `a la surface.

L’exp´erience est film´ee vue du dessus au moyen de cam´eras CCD (Basler, 2048_{× 2048} pixels) permettant des fr´equences d’acquisition (FPS) assez grandes (jusqu’`a une centaine de Hertz) pour obtenir si besoin plusieurs images par p´eriode. Les images obtenues sont ensuite analys´ees au moyen des routines d´ecrites dans les sections suivantes.

1.3.2 Algorithmes d’analyse

Nous pla¸cons sous la cuve en verre un motif que l’on filme vu du dessus. Celui-ci peut-ˆetre soit un motif al´eatoire de points noirs sur fond blanc (m´ethode Free-Surface Synthetic Schlieren, FS-SS [53]) soit un damier r´egulier noir et blanc (m´ethode Fast Checkerboard De-modulation, FCD [54]). Ces deux techniques, que nous allons d´etailler dans ce qui suit, tirent

i' I i K C I 0 n n' A i+ θ θ θ θ B" s ^ n ^ H

Figure 1.5 – R´efraction d’un rayon lumineux `a la surface. On mesure la pente locale θ de l’interface en mesurant le d´eplacement apparent δr. D’apr`es [53].

parti de la r´efraction des rayons lumineux `a l’interface eau-air : en mesurant le d´eplacement apparent du motif li´e `a cette r´efraction on peut obtenir la pente locale de l’interface, et donc reconstruire le champ d’onde. La diff´erence entre les deux m´ethodes d´ecrites ci-dessous r´eside dans la fa¸con dont ce d´eplacement est mesur´e, soit par analyse de Fourier (FCD), soit par mesure de corr´elation (FS-SS).

Free-Surface Synthetic Schlieren

Cette m´ethode, introduite en 2009 par Moisy et al. [53], permet de mesurer quantitative-ment la d´eformation d’une interface entre deux milieux, en analysant le d´eplacequantitative-ment apparent d’un motif al´eatoire de points (figure 1.6 (a)). En se pla¸cant dans le r´egime appropri´e (faibles pentes), ce d´eplacement est directement proportionnel `a la pente locale de l’interface, avec un facteur de proportionnalit´e qui d´epend de la distance h0 entre le motif et la surface, et

des diff´erents indices optiques des milieux travers´es, nous prendrons ici nair et neau. Plusieurs

approximations sont n´ecessaires pour garantir cette proportionnalit´e : l’approximation pa-raxiale (la distance H entre le motif et la cam´era est tr`es grande devant la taille du champ mesur´e), l’approximation des faibles pentes (l’amplitude des ondes est faible devant leur longueur d’onde λ, c’est le r´egime lin´eaire des ondes de surface dans lequel nous nous pla-cerons dans toute cette th`ese), l’approximation des faibles amplitudes (l’amplitude des ondes est faible devant la profondeur d’eau h0). Ces crit`eres restent valables pour la technique

FCD, et seront, sauf mention contraire, toujours v´erifi´es pour les exp´eriences pr´esent´ees dans cette th`ese.

Nous repr´esentons dans la figure 1.5 une construction g´eom´etrique montrant la r´efraction d’un rayon `a l’interface entre deux milieux. Nous cherchons ici `a mesurer la pente locale

Figure 1.6 – Exemple d’analyse par algorithme Free-Surface Synthetic Schlieren. (a) Image brute (_{' 500 × 700 pixels). (b) R´esultat de la corr´elation d’image entre (a) et l’image de r´ef´erence ('} 30_{× 45 vecteurs de d´eplacement). (c) Champ de hauteur obtenu apr`es int´egration 2D du champ de} d´eplacement (b) (_{' 30 × 45 points).}

θ = _∇ζ0 de la surface. Dans le cadre des approximations ´evoqu´ees, les lois de l’optique

g´eom´etrique permettent d’exprimer directement la pente locale θ en fonction du vecteur de d´eplacement apparent au niveau de la cam´era δr = M M0_{, o`u M (resp. M’) est le point}

apparent du motif lorsque la surface est plane (resp. d´eform´ee d’une hauteur ζ0). On peut

alors montrer [53] que

∇ζ0=− δr h∗ , o`u 1 h∗ = 1 (1₋ nair neau).h0 −_H1 (1.15)

Arrˆetons-nous un instant sur cette ´equation : il est important de noter que le d´eplacement apparent δr est d’autant plus important que la hauteur d’eau h0 est grande. La sensibilit´e

de cette m´ethode n’est cependant pas infinie. En effet, mˆeme si l’on augmente ind´efiniment la profondeur d’eau nous serons limit´es par le fait que, pour des pentes trop grandes, les rayons lumineux peuvent se croiser (caustique) [53], ce qui rend l’analyse impossible. Pour de tr`es grandes pentes (m´enisques, ondes de forte amplitude...), il faut r´eduire la profondeur d’eau h0 pour que l’analyse soit possible. En d’autres termes, il est possible de mesurer une

certaine gamme de d´eflexions ; en optimisant les param`etres, il nous est possible de mesurer des amplitudes microm´etriques, mais pas plus d’une centaine de microm`etres.

Pour mesurer le d´eplacement ~δr, on r´ealise un calcul de corr´elation standard (Digital Image Correlation, DIC), traditionnellement utilis´e pour la Particle Image Velocimetry (PIV). Il s’agit de comparer chaque image `a une image de r´ef´erence (pour laquelle l’interface est plate) ; pour ce faire, on d´ecoupe l’image en sous-unit´es, sur lesquelles le calcul de corr´elation est effectu´e. La corr´elation est fiable si certains crit`eres sont respect´es, notamment sur la taille des points (qui ne doivent pas exc´eder quelques pixels) et leur densit´e (quelques points par sous-unit´e de l’image). Ces mesures de corr´elation sont effectu´ees avec la routine Matlab PIVlab (en libre acc`es) [55,56]. On obtient alors un vecteur de d´eplacement moyen pour chaque sous-unit´e. Ceci donne une matrice de d´eplacements (figure 1.6(b)) dont les dimensions d´ependent

du nombre de ces sous-unit´es. On reconstruit ensuite la forme de l’interface (figure 1.6(c)) en int´egrant le gradient local ∇ζ0 dans les deux dimensions. Cette inversion ´etant sensible au

bruit, il est souvent n´ecessaire de filtrer `a la fois les hautes et les basses fr´equences. Toutes ces ´etapes sont r´ealis´ees avec les algorithmes pivmat (en libre acc`es [57]).

Fast Checkerboard Demodulation

Cette m´ethode a ´et´e d´evelopp´ee par Sander Wildeman dans le cadre de son post-doctorat au laboratoire. Elle s’inspire directement de la m´ethode d´ecrite ci-dessus, mais a ´et´e adapt´ee pour contourner les limitations que nous avons rencontr´ees au fil de nos exp´eriences. Cette technique a donc eu une importance consid´erable dans cette th`ese (et connaˆıtra sans aucun doute un tr`es large succ`es).

On remplace le motif al´eatoire par un motif en damier [54] (figure 1.7(a)). Math´ematique-ment, la d´eformation du motif li´ee `a la r´efraction `a l’interface est en fait une modulation du motif en damier, `a l’image d’une modulation en fr´equence (FM) d’une porteuse (de fr´equence ´elev´ee) par un signal (de fr´equence plus faible). Dans ce cadre, le signal de la porteuse est celui du damier, r´egulier, de nombre d’onde k0, et le signal d’int´erˆet est celui du d´eplacement

apparent δr, de mˆeme p´eriodicit´e que l’onde. Sch´ematiquement, si la fr´equence spatiale de la porteuse est k0, le signal de r´ef´erence f0 s’´ecrit :

f0 = ejk0.r.

Il s’agit simplement d’un signal p´eriodique de p´eriode spatiale 2π/k0. Le signal modul´e

par un d´eplacement δr s’´ecrit `a partir de f0 :

f = ejk0.(r−δr)_.

Nous pouvons ensuite exprimer le d´eplacement δr `a partir des expression de f0 et f [54] :

k0.δr =−Im(ln (f.f0∗)). (1.16)

Concr`etement, pour chaque image I on isole la composante `a la fr´equence porteuse k0

au moyen d’une transform´ee de Fourier discr`ete (FFT) spatiale (figure 1.7 (b)), o`u k0 =

k1 + k2 (k1 et k2 sont les directions principales du damier, voir figure 1.7(b)). On r´ealise

cette transform´ee de Fourier sur l’image de r´ef´erence ainsi que sur l’image d´eform´ee. Nous multiplions la FFT ˆI de l’image d´eform´ee au complexe conjugu´e de la FFT de l’image de r´ef´erence ˆI0. Nous en prenons ensuite le logarithme, puis la partie imaginaire, nous obtenons

alors les deux composantes du d´eplacement δr selon k1 et k2. Nous obtenons apr`es toutes

modul´ee. Ici k0 = k1+ k2. (c) Champ de d´eplacement |δr| reconstruit `a partir (b). Images tir´ees

de [54].

calculer le champ de hauteur ζ0(r) nous int´egrons ce d´eplacement dans les deux dimensions, de

mani`ere analogue `a l’int´egration de la m´ethode FS-SS, mentionn´ee dans la partie pr´ec´edente. `

A noter que Sander Wildeman propose ´egalement une m´ethode alternative pour l’int´egration bidimensionnelle du gradient, elle aussi bas´ee sur une analyse en Fourier, qui est donc plus rapide et tout aussi pr´ecise [54]. Toutes ces ´etapes sont r´ealis´ees avec les algorithmes FCD (en libre acc`es [58]).

Comparaison des deux m´ethodes

Pour la m´ethode utilisant la corr´elation d’images (Free-Surface Synthetic Schlieren), les dimensions du champ obtenu d´ependent de la taille de la fenˆetre d’interrogation (typiquement 8× 8 pixels). On obtient donc 64 fois moins de points que de pixels dans l’image initiale. En outre, les calculs de corr´elation sont tr`es longs, et rendent les analyses tr`es fastidieuses. Ces deux aspects sont les principales limitations de la technique FS-SS.

`

A l’inverse, pour la m´ethode utilisant un damier, le r´esultat obtenu a intrins`equement les mˆemes dimensions que l’image brute (pas de calcul de corr´elation). D’autre part, toutes les analyses ´etant bas´ees sur des FFT, les analyses sont consid´erablement plus rapides que les corr´elations. Ce sont les principaux atouts de la technique Fast Checkerboard Demodulation qui en font une alternative avantageuse `a la technique FS-SS. `A titre d’exemple, l’analyse d’un mˆeme film est environ 100 fois plus rapide avec le calcul de FCD qu’avec la reconstruction par PIV [54], cette derni`ere permettant d’analyser plusieurs dizaines d’images par seconde.

La sensibilit´e en hauteur des deux m´ethodes est identique, elle repose en effet sur les mˆemes lois d’optique g´eom´etrique. La pr´ecision horizontale est en revanche bien meilleure pour la technique FCD puisqu’on obtient un vecteur d´eplacement par pixel. En outre, les m´ethodes FFT ´etant des calculs globaux, cette technique est plus robuste `a la pr´esence de d´efauts ou de zones masqu´ees [54].

Figure 1.8 – Test en traction : mesure de la contrainte en fonction de la d´eformation pour un ´echantillon de polym`ere de silicone de 298 µm utilis´e pour nos exp´eriences. La pente mesur´ee est le module d’Young E.

Quelques d´etails informatiques

Nous avons d´etaill´e dans la partie pr´ec´edente les algorithmes d’analyse, en comparant la rapidit´e de calcul des deux techniques pr´esent´ees. Utiliser une m´ethode plus rapide est un aspect crucial dans l’analyse d’images, car celles-ci mesurent 2048 _{× 2048 pixels, et nous} enregistrons des films pouvant faire plusieurs milliers d’images. Cela repr´esente plusieurs giga-octets par film, ce qui, apr`es trois ans, s’additionne `a pr`es de 15 tera-octets de donn´ees... L’analyse d’un tel volume de donn´ees n´ecessite donc un ´equipement informatique suffisam-ment puissant. Nous avons utilis´e successivesuffisam-ment deux ordinateurs, avec 32 GB de RAM et 16 coeurs, puis avec 128 GB de RAM et 20 coeurs. Avec cet ´equipement, et en parall´elisant les calculs, l’analyse de s´equences d’images prend typiquement entre quelques heures (m´ethode FS-SS) et quelques minutes (m´ethode FCD).

1.3.3 Films ´elastiques

Dans la plupart des exp´eriences r´ealis´ees dans cette th`ese, la surface du liquide est re-couverte d’un mince film ´elastique. Le choix de cette membrane s’est av´er´e ˆetre une ´etape cruciale dans l’´elaboration de nos exp´eriences. Rappelons les diff´erentes contraintes que nous devons respecter :

• Transparence optique, pour pouvoir utiliser les techniques d’analyse d´ecrites ci-dessus.

propagation d’une onde non plane (´etirement et compression locaux), condition que nous avons d´etaill´ee dans la section 1.1.2.

• ek_ρρ

p  coth kH, approximation qui nous permet de n´egliger l’inertie de la membrane. En pratique nous serons la plupart du temps en eau profonde, ce qui nous permet de simplifier cette condition en ek _ρρ

p  1.

Nous pouvons par exemple utiliser des membranes de Mylar (plastique PET), transpa-rents, et dont l’´epaisseur (pour les feuillets commercialis´es) peut descendre jusqu’au dixi`eme de millim`etre. Leur module d’Young est de quelques GP a, il faut donc une ´epaisseur d’une dizaine de microm`etres pour obtenir un module de flexion de l’ordre de 10−7 P a.m3. Les exp´eriences pr´eliminaires men´ees avec ce type de films ont montr´e qu’il ´etait impossible de g´en´erer des ondes circulaires sans former de plis : ces films sont trop fins (voir condition e ζ0). Pour gagner un facteur 10 sur l’´epaisseur, il nous faut gagner un facteur 10−3 sur le

module d’Young. Nous cherchons donc un mat´eriau assez mou (de module d’Young quelques M P a), d’´epaisseur quelques centaines de microm`etres, peu dense et transparent.

Nous avons rapidement opt´e pour des polym`eres de silicone ; ces polym`eres sont large-ment disponibles dans les laboratoires, notamlarge-ment sous la forme de polydim´ethilsiloxane, plus connu sous le nom de PDMS. Ils sont faciles `a manipuler : apr`es m´elange du monom`ere `

a l’agent r´eticulant, une polym´erisation de quelques heures `a chaud suffit pour obtenir un polym`ere de la forme d´esir´ee. Les films que nous voulons r´ealiser sont toutefois assez grands, tout en ´etant tr`es fins (id´ealement une centaine de microm`etres), et apr`es de nombreuses ten-tatives infructueuses de fabrication de fines membranes de PDMS au laboratoire, nous avons opt´e pour des feuilles de polym`ere de silicone commercialis´ees par l’entreprise Silex (films Superclear et Ultrathin [59]), dont les propri´et´es sont tr`es bien contrˆol´ees. En particulier, leur ´epaisseur nominale varie entre 20 µm et 800 µm, leur module d’Young vaut quelques M P a et leur masse volumique ρp ∼ 965 kg/m3. Ils sont en outre tout `a fait transparents optiquement.

Compte-tenu de leur densit´e, la flottabilit´e est garantie. Leur ´epaisseur e_{∼ 10}−4 m nous permet de travailler avec des amplitudes d’onde ζ0 de l’ordre de 10−5 m, ce qui est tout

Figure 1.9 – (a) Repr´esentation 3D dans l’espace (ω, k1, k2). Les couleurs servent juste `a la

visua-lisation ici. (b) Relation de dispersion dans la direction r, soit une coupe dans le plan (ω, kr). (c)

Surface des lenteurs (ou isofr´equence), soit une coupe `a ω = ω0. (d) Exemple de deux paquets d’onde

unidimensionnels illustrant : `a gauche, la r´efraction positive (vϕet vg sont de mˆeme signe), et `a droite

la r´efraction n´egative (vϕet vg sont de signe oppos´e).

`

a fait acceptable avec nos techniques de mesure. Leur module de flexion D vaut en ordre de grandeur D_{∼ 10}−7 P a.m3_{, ce qui correspond `a la gamme recherch´ee. Enfin, la derni`ere}

condition `a remplir est ek _ρρ

p  1, ce qui sera toujours v´erifi´e puisque ρ ∼ ρp et que nous travaillerons avec des longueurs d’ondes centim´etriques.

Nous avons mesur´e l’´epaisseur des diff´erents films utilis´es au moyen d’un profilom`etre en salle blanche. Les membranes les plus utilis´ees au cours de cette th`ese mesurent respectivement 298 µm et 502 µm d’´epaisseur.

Nous avons ´egalement r´ealis´e des tests standards dans une machine de traction, dont le r´esultat est pr´esent´e dans la figure 1.8. Le module d’Young mesur´e vaut 1.6 MPa.

1.4

Analyses des donn´

ees

La plupart des exp´eriences r´ealis´ees dans cette th`ese visent `a comprendre la propagation des ondes en d´etail, au travers notamment d’analyses spatio-temporelles. Quelques aspects de ces analyses sont d´ecrits ici.

Par souci de simplicit´e, nous ne nous int´eresserons qu’`a des ondes monochromatiques, dont l’amplitude peut s’´ecrire ζ(t, r) = ζ0 cos(ωt− k.r), o`u ω = 2πf est la pulsation de l’onde

On peut d´efinir deux vitesses pour une onde : la vitesse de phase vϕ et la vitesse de

groupe vg. La vitesse de phase s’exprime comme le rapport entre ω et k : vϕ= ω/k. On peut

la mesurer directement sur la courbe de la relation de dispersion. Elle correspond `a la vitesse de propagation des fronts d’onde pour une fr´equence donn´ee. La vitesse de groupe vg = ∇kω

s’interpr`ete ici comme la pente locale de la relation de dispersion tridimensionnelle (c’est la pente locale du ’bol’ de la figure 1.9(a)). `A une dimension cela s’´ecrit plus simplement vg =∂ω_∂k. Elle correspond `a la vitesse de propagation de l’´energie, qui peut ˆetre de sens oppos´e

`

a la vitesse de propagation des fronts d’ondes.

Si ces deux vitesses sont colin´eaires (i.e. de mˆeme signe `a 1D), on parle d’indice positif ; c’est le cas de figure le plus courant en physique des ondes, que nous avons illustr´e dans la figure 1.9(d) (courbe de gauche). Si vϕ et vg sont de signes oppos´es, on parle d’indice

n´egatif. C’est un cas particulier relativement rare, qui n´ecessite des conditions particuli`eres. Le lecteur int´eress´e pourra se r´ef´erer `a l’annexe B, o`u nous expliquons comment obtenir un indice n´egatif en comprimant une membrane flottante. D’autre part, distinguer la vitesse de groupe de la vitesse de phase est essentiel pour comprendre la propagation de paquets d’ondes polychromatiques : la vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l’enveloppe, comme illustr´e dans la figure 1.9(d).

On s’int´eresse en g´en´eral `a la relation de dispersion dans une direction donn´ee r ; on repr´esente alors ω en fonction de la projection kr de k dans cette direction. On obtient

alors une courbe comme celle repr´esent´ee dans la figure 1.9(b). Nous repr´esentons souvent la relation de dispersion de cette mani`ere, plus lisible qu’une surface tridimensionelle. Notons que nous tracerons tr`es souvent f en fonction de λ (plutˆot que ω et k), afin de travailler avec des grandeurs plus tangibles. Lorsque l’on excite une onde, on peut le faire de mani`ere monochromatique, `a une fr´equence donn´ee ω0. On n’excite alors qu’un ’anneau’ de la relation

de dispersion, comme celui repr´esent´e dans la figure 1.9(c), il est alors tr`es facile d’isoler l’onde g´en´er´ee en filtrant en temps et/ou en espace. Il est ´egalement possible d’exciter l’onde de mani`ere polychromatique, en r´ealisant notamment des balayages en fr´equence (ou sweep). Si ce balayage en fr´equence est suffisamment lent devant les fr´equences d’excitation, on peut d´ecouper le film mesur´e en s´equences et les analyser comme si le signal ´etait monochromatique.

Figure 1.10 – Exemple de signal de sweep en fr´equence. En d´ecoupant le signal nous pouvons faire l’approximation que chaque partie est monochromatique.

L’id´ee g´en´erale de cette m´ethode d’analyse est pr´esent´ee dans la figure 1.10. En d’autres termes, on proc`ede comme si le signal ´etait monochromatique par blocs. Cette m´ethode oblige `a enregistrer des films assez longs, dont l’analyse peut s’av´erer fastidieuse, mais elle permet d’explorer toute la relation de dispersion en une seule exp´erience.

Mentionnons une subtilit´e exp´erimentale pour ces balayages ; la fr´equence d’un signal s’exprime `a partir de la d´eriv´ee temporelle du signal p´eriodique. Prenons un signal mono-chromatique g´en´erique d’amplitude a et de pulsation ω0 :

y(t) = a.ejω0t_.

Lorsque nous d´erivons cette expression par rapport au temps, nous trouvons :

y0(t) = ajω0.ejω0t,

de sorte que la fr´equence du signal s’exprime ω0= |y

0_(t)|

|y(t)|.

Dans un balayage en fr´equence la pulsation devient une fonction du temps, par exemple

ω(t) = ω0+ ω1−ω_τ 0t

= ω0+ αt,

ce qui correspond `a une augmentation lin´eaire de ω0`a ω1en un temps τ . Le signal temporel

ω(t) = ω0+ ω1_2τ−ω0t.

C’est ce que nous ferons pour tous les balayages en fr´equence r´ealis´es dans les exp´eriences que nous pr´esenterons.

1.5

Conclusion

Dans ce chapitre nous avons consign´e les bases th´eoriques permettant de comprendre la propagation des ondes hydro´elastiques. Nous avons d´etaill´e les calculs permettant d’obtenir leur relation de dispersion, apr`es en avoir donn´e une version en loi d’´echelle, plus intuitive. Cette ´equation particuli`ere sera tr`es largement utilis´ee dans tous les chapitres suivants. `A partir de cette relation de dispersion nous avons explicit´e les trois r´egimes de propagation de ces ondes : gravitaire, de tension et de flexion. Nous avons ´egalement mis en ´evidence les diff´erentes longueurs caract´eristiques d´elimitant ces r´egimes. Nous nous sommes appuy´es sur ces calculs th´eoriques pour concevoir un syst`eme exp´erimental adapt´e, notamment concernant le choix des films ´elastiques. Enfin, nous avons pr´esent´e quelques aspects ´el´ementaires des algorithmes d’analyse que nous utiliserons dans tous les chapitres suivants, en particulier en ce qui concerne l’analyse de Fourier de signaux p´eriodiques. L’ensemble de ce chapitre constitue donc une entr´ee en mati`ere qui nous servira de base pour aborder les chapitres suivants.

peut-on les d´evier, les focaliser ou les r´efl´echir ? En travaillant sur des membranes de diff´erentes ´epaisseurs nous ´etablirons la relation de dispersion exp´erimentale des ondes hydro´elastiques et la comparerons `a l’expression th´eorique. Nous utiliserons ensuite cette relation pour contrˆoler spatialement les ondes, au moyen de diff´erences d’´epaisseur produisant des diff´erences de vitesse de propagation des ondes.

2.1

Relation de dispersion : r´

esultats exp´

erimentaux

Nous commen¸cons par v´erifier exp´erimentalement la relation de dispersion ´etablie th´eo-riquement (´equation 1.9). Pour ce faire nous r´ealisons l’exp´erience sch´ematis´ee dans la figure 2.1(a), consistant `a recouvrir la surface de l’eau d’un film ´elastique fin. Nous utilisons une cuve de dimensions assez grandes (80 cm <sub>× 40 cm × 20 cm) de mani`ere `a toujours se placer</sub> dans la limite d’eau profonde (λ <sub> H) et `a pouvoir explorer les grandes longueurs d’onde</sub> (aux basses fr´equences). Le film ´elastique utilis´e est une membrane de silicone transparente disponible commercialement (Silex [59])) et dont les ´epaisseurs varient de 20 µm `a 800 µm. La plaque flotte librement `a la surface de l’eau afin de ne pas y introduire de tension m´ecanique autre que la tension de surface du liquide. Nous g´en´erons des ondes circulaires entre 3 Hz et 250 Hz au moyen d’un point source. Apr`es analyse des images brutes au moyen de la tech-nique de Schlieren synth´etique (pr´esent´ee au chapitre pr´ec´edent, partie 1.3.2), nous obtenons des champs d’onde comme celui pr´esent´e dans la figure 2.1(b). Pour isoler la longueur d’onde correspondant `a la fr´equence de for¸cage nous filtrons le film obtenu au moyen de transform´ees de Fourier temporelles. Nous analysons ensuite chaque champ d’onde filtr´e par transform´ee de