Estimation en loi d’´echelle

Le syst`eme que nous consid´erons est celui d’une cuve cylindrique remplie d’une hau- teur d’eau h0. La surface est recouverte d’une membrane ´elastique d’´epaisseur e, de module

d’Young E et de rayon L. La cuve est mise en rotation `a une fr´equence angulaire de Ω [rad.s−1]. Nous repr´esentons sch´ematiquement ce syst`eme physique dans la figure 4.7(a). Nous cherchons `a calculer la forme ζ de l’interface.

´

Ecrivons l’´energie du syst`eme en loi d’´echelle afin de comprendre les m´ecanismes physiques mis en jeu. Nous avons a priori quatre ´energies `a prendre en compte : l’´energie potentielle de gravit´e Eg, l’´energie potentielle due `a la rotation EΩ, l’´energie de flexion de la membrane ED

et l’´energie Ecompdue `a la compression du film dans la direction orthoradiale. Nous n´egligeons

ici l’extension de la membrane dans la direction radiale.

1/ Gravit´e

L’´energie potentielle de gravit´e s’´ecrit :

Eg= ρ× volume × g × hauteur

Nous n´egligeons la masse du film d´eplac´e car h_{ζ. Le volume d’eau `a prendre en compte} ici est ζR2 et la hauteur de cette masse est ζ.

Le volume est ici encore ζR2_{, mais la longueur que nous devons prendre en compte est R,}

car le vecteur r est colin´eaire `a l’orientation de l’acc´el´eration.

EΩ = ρΩ2R4ζ

3/ Flexion

L’´energie surfacique de flexion s’´ecrit comme le module de flexion D multipli´e par le carr´e de la courbure locale, l’´energie de flexion s’´ecrit donc :

EB = B  ζ R2 2 × surface En ordre de grandeur, la surface de la membrane est R2_{, d’o`u}

EB= B

ζ2

R2 .

4/ Compression

La rotation change la courbure de Gauss de la membrane, nous for¸cons donc cette der- ni`ere `a se d´eformer soit en s’´etirant soit en se comprimant. Comme nous l’avons mentionn´e ci-dessus, nous n´egligeons l’´etirement dans la direction radiale pour ne consid´erer que la com- pression orthoradiale. Nous partons d’une longueur initiale r que nous “enveloppons” sur la forme ζ(r). En notant ε la d´eformation li´ee `a ce changement, nous pouvons ´ecrire l’´ener- gie volumique ´elastique E <sub>× ε</sub>2, o`u E est le module d’Young. Pour ´evaluer ε nous utilisons la figure 4.7(b), o`u sont repr´esent´ees sch´ematiquement la membrane au repos et la mem- brane d´eform´ee. La d´eformation s’exprime alors ε = Lζ(r)−r

r , o`u Lζ(r) est la longueur de

l’arc d´eform´e (son abscisse curviligne). Nous pouvons faire l’approximation que r _{∼ R and} Lζ(R)∼ p R2_{+ ζ}2 _{∼ R(1 +}1 2 ζ2 R2) ; de sorte que

ε_∼ ζ

2

R2.

Pour obtenir l’´energie de compression nous multiplions l’´energie volumique par le volume h× R2_{, o`u h est l’´epaisseur du film. Finalement :}

Ecomp∼ E  ζ2 R2 2 hR2 _∼ Ehζ 4 R2

Comparaison terme `a terme

Pour comprendre le sens physique des diff´erentes ´energies, nous pouvons comparer les termes deux par deux. De cette mani`ere nous pourrons d´eterminer quels sont les termes dominants et quels termes pourront ˆetre n´eglig´es.

Gravit´e vs. Rotation

Lorsque nous comparons l’´energie li´ee `a la rotation (motrice) et celle li´ee `a la gravit´e (qui tend `a maintenir la surface plate), nous ne prenons pas en compte la membrane. En d’autres termes, il s’agit de l’estimation en loi d’´echelle qui devrait nous permettre de trouver la forme obtenue pour une surface libre, dont nous savons qu’il s’agit d’une parabole. Nous avons :

Eg∼ EΩ soit ρgζ2R2∼ ρΩ2R4ζ et ζ ∼ Ω 2 g R 2_.

Nous obtenons bien la forme attendue, puisque ζ ∝ R2_.

Flexion vs. Rotation

Nous comparons ici l’´energie li´ee `a la rotation (motrice) et celle li´ee `a la flexion (qui tend `

a maintenir la surface plate) :

EB ∼ EΩ Bζ 2 R2 ∼ ρΩ 2_R4_ζ ζ _∼ ρΩ 2 B R 6

Ecomp ∼ EΩ soit Ehζ 4 R2 ∼ ρΩ 2_R4_ζ ζ3 _∼ ρΩ 2 EhR 6 ζ _∼  ρΩ2 Eh 1/3 R2

Avec les mˆemes valeurs que ci-dessus et E ∼ 106 _{Pa et h ∼ 10}−4 _{m, nous obtenons}

ζ ∼ 4.6 cm. Ce r´esultat est plus raisonnable, et semble indiquer que l’´energie de compression orthoradiale de la membrane r´egira la forme de l’interface.

Il est important de noter qu’ici nous obtenons une parabole (ζ _{∝ R}2_{), comme dans le}

cas de la surface libre. Nous pouvons donc comparer les deux pr´efacteurs obtenus afin de pr´evoir quel terme sera dominant. Nous repr´esentons dans la figure 4.7(c) l’allure des courbes de la d´eflexion ζ en fonction de la vitesse de rotation Ω. Nous obtenons une d´ependance en Ω2/3 _{lorsque nous comparons l’´energie de compression `a l’´energie de rotation (nous notons}

la d´eflexion obtenue ζcomp), contre une d´ependance en Ω2 lorsque nous comparons l’´energie

de gravit´e `a celle de rotation (nous notons ζg la d´eflexion dans ce cas). Nous observons

sur la figure 4.7(c) que ζg est inf´erieur `a ζcomp pour des vitesses de rotation inf´erieures `a

une valeur critique que nous appelons Ωc. Ceci signifie que d´eplacer la masse d’eau est bien

plus couteux ´energ´etiquement que de comprimer orthoradialement la membrane. Pour ces vitesses de rotation, nous nous attendons donc `a avoir un comportement r´egi par la gravit´e, c’est-`a-dire `a observer une forme parabolique avec un pr´efacteur en Ω2. Au-dessus de Ωc,

nous nous attendons plutˆot `a un comportement r´egi par la compression orthoradiale, auquel cas nous obtiendrons ´egalement une parabole, avec cette fois un pr´efacteur en Ω2/3. Nous pouvons estimer la valeur de Ωc en ´egalant : ζg ∼ ζcomp, soit Ωc4 ∼ g3 _Ehρ

. Avec les valeurs donn´ees pr´ec´edemment, nous trouvons Ωc ∼ 6.7 rad/s. ´Etant donn´ees les vitesses

avec lesquelles nous avons travaill´e (Ω < 2 rad/s), nous nous attendons `a toujours observer une forme r´egie par la gravit´e, c’est `a dire une parabole ζ _∼ Ω_g2R2. Ce r´esultat est contraire

-2 -1 0 1 2 10-4

Figure 4.8 – Quatre champs de hauteur mesur´es `a quatre vitesses de rotation 1.1 rad/s (a), 1.3 rad/s (b), 1.5 rad/s (c) et 1.7 rad/s (d). La barre d’´echelle mesure 20 cm. La surface est corrig´ee par la d´eformation moyenne de l’interface de mani`ere `a apparaˆıtre presque plate ici. Les rides ondul´ees qui apparaissent en bas de chaque image sont un d´efaut de fabrication dans le film et ne doivent pas ˆetre prises en compte.

aux observations exp´erimentales, car nous observons des interfaces de formes diff´erentes pour une surface libre et pour une surface couverte d’une membrane ´elastique. Ceci signifie que l’argument en loi d’´echelle ne suffit pas, et qu’il faut d´eriver plus rigoureusement l’´equation diff´erentielle d´ecrivant le syst`eme.

Pour trouver la forme exacte, nous pouvons ´ecrire l’´energie compl`ete du syst`eme sous la forme d’un lagrangien. Nous esp´erons de cette mani`ere trouver une solution grˆace `a un calcul variationnel, en minimisant l’´energie. Malheureusement, l’´energie de compression orthoradiale (point 4/ dans notre estimation en loi d’´echelle) nous donne un terme int´egral complexe, qui rend la r´esolution de l’´equation diff´erentielle impossible. Nous pr´esentons tout de mˆeme en annexe C la solution que nous trouvons en n´egligeant ce terme (c’est-a-dire en ne conservant que les ´energies li´ees `a la gravit´e, la rotation et la flexion pure). Le lecteur pourra y trouver le calcul donnant l’´equation diff´erentielle compl`ete obtenue, ainsi que la r´esolution propos´ee pour sa forme simplifi´ee. Nous utilisons la routine de calcul Matlab bvp4c que nous avons adapt´ee pour trouver une solution malgr´e les singularit´es de l’´equation (voir annexe). Comme attendu, en n´egligeant l’´energie de compression la solution de l’´equation diff´erentielle donne une forme de l’interface qui tr`es proche d’une parabole (moins de 1% de diff´erence, voir annexe).