5.3 Ondes dans un hydrogel et instabilit´e de Faraday
5.3.2 Instabilit´e de Faraday
Nous nous int´eressons dans cette derni`ere partie `a une autre mani`ere de g´en´erer des ondes dans le gel : l’instabilit´e param´etrique de Faraday.
R´esultats exp´erimentaux ´
Etudier une instabilit´e hydrodynamique en utilisant un gel mou plutˆot qu’un liquide n’est pas une id´ee neuve. Ainsi l’instabilit´e de Rayleigh-Taylor a ´et´e observ´ee dans un ´echantillon d’hydrogel retourn´e et soumis `a la gravit´e [144]. De mˆeme, l’instabilit´e de Rayleigh-Plateau a ´et´e report´ee dans de minces cylindres de gels d’agar, qui se d´estabilisent en “perles” [145].
Figure 5.12 – Vue de dessus de l’instabilit´e de Faraday obtenue dans deux gels d’agar de concentra- tions diff´erentes. (a) 2.5 g/L et 2 cm de profondeur pour 40 Hz, 60 Hz et 90 Hz. (b) 2g/L et 2 cm de profondeur pour 40 Hz, 60 Hz, 100 Hz.
Encore plus r´ecemment, l’instabilit´e de Faraday a ´et´e observ´ee entre 30 Hz et 100 Hz dans des gels d’agar de modules de cisaillement compris entre 1 Pa et 260 Pa [146].
Nous ´etudions l’instabilit´e de Faraday en r´ealisant des exp´eriences pour lesquelles nous coulons le gel dans une cuve carr´ee fix´ee sur un pot vibrant (Br¨uel et Kjær). La cuve est ensuite vibr´ee verticalement `a une fr´equence donn´ee, et nous observons la surface du gel, soit directement par r´eflexion (comme pour les clich´es des figures 5.4(b-c), 5.5(b) et 5.6(a-b)) soit en utilisant un damier et la technique de Schlieren synth´etique pr´esent´ee au chapitre 1.
Nous repr´esentons dans la figure 5.12 six clich´es choisis montrant les motifs obtenus `a diff´erentes fr´equences pour deux gels de concentrations respectives 2 g/L et 2.5 g/L. Les exp´eriences avec les gels de 3g/L n’ont montr´e aucune d´eformation de la surface du gel : ce dernier est trop rigide, le seuil d’apparition de l’instabilit´e est trop ´elev´e pour notre syst`eme exp´erimental. Pour les deux gels ´etudi´es, nous observons un motif carr´e pour chacun des clich´es pr´esent´es. Leur orientation peut ˆetre de 0◦ ou 45◦, comme report´e pour les liquides [126]. Pour les deux gels, la longueur d’onde diminue avec la fr´equence. Nous remarquons en outre qu’`a fr´equence donn´ee la longueur d’onde est plus courte lorsque le gel est plus mou, autrement dit la vitesse de propagation des ondes ω/k est d’autant plus importante que le module d’Young est grand. Si nous diminuons d’avantage la fr´equence (<40 Hz pour le gel de 2.5 g/L ou <20Hz pour le gel de 2 g/L) la longueur d’onde est trop grande pour la cuve, et nous n’observons pas de d´eformation p´eriodique de l’interface. `A trop grande fr´equence le seuil devient trop important et nous n’arrivons pas `a d´eclencher l’instabilit´e de Faraday. Combin´es, ces deux effets rendent la plage d’´etude assez r´eduite : moins d’une d´ecade en fr´equence.
et 200 Hz, soit une oscillation sous-harmonique du gel entre 10 Hz et 100 Hz. Pour chaque fr´equence d’excitation nous enregistrons une s´equence d’images dont nous tirons les champs de hauteur. Une transform´ee de Fourier temporelle nous permet d’isoler la fr´equence de Faraday (moiti´e de la fr´equence de for¸cage), puis une transform´ee de Fourier spatiale nous permet d’extraire le nombre d’onde correspondant au motif de Faraday. Nous superposons les r´esultats obtenus `a la relation de dispersion mesur´ee dans le mˆeme gel sur la figure 5.10(c) (o`u la relation de dispersion a ´et´e mesur´ee avec un point source). Nous constatons un excellent accord entre les deux s´eries de donn´ees exp´erimentales, ce qui confirme que les ondes que nous g´en´erons avec l’instabilit´e de Faraday (en vibrant verticalement la cuve) sont les mˆemes que celles envoy´ees avec un point source.
5.4
Conclusion
L’instabilit´e de Faraday apparait `a la surface d’un bain liquide vibr´e verticalement. Au- del`a d’un certain seuil de l’amplitude de vibration, un motif stationnaire d’ondes de surface se forme. En pr´esence d’une membrane ´elastique flottant `a la surface de l’eau, nous avons montr´e qu’il ´etait possible d’obtenir la mˆeme instabilit´e : la membrane se d´eforme et oscille `
a la fr´equence moiti´e de la fr´equence de for¸cage. Bien que les motifs obtenus ne soient pas bien r´eguliers, la longueur d’onde mesur´ee correspond bien `a la relation de dispersion des ondes hydro´elastiques. En ´etudiant le seuil d’apparition des ondes nous avons montr´e qu’il d´ependait de l’´epaisseur de la membrane. Cela signifie qu’il existe une source de dissipation diff´erente des pertes dues `a la viscosit´e du fluide. Pour comprendre la valeur du seuil que nous mesurons il faut donc comparer les diff´erentes sources de dissipation envisageables.
Dans la deuxi`eme partie de ce chapitre, nous nous sommes int´eress´es `a la propagation d’ondes dans un hydrogel. Nous avons r´ealis´e d’une part des exp´eriences avec un point source vibrant `a la surface du gel, et d’autre part des exp´eriences en vibration, pour ´etudier l’in- stabilit´e de Faraday dans un hydrogel. Nous avons montr´e que les ondes que nous g´en´erons sont des ondes de cisaillement qui d´eforment la surface du gel. Bien que nous ne puissions pas pr´edire la relation de dispersion `a ce stade, nous comprenons l’origine des multiples branches
que nous observons. Nous pensons que la th´eorie des ondes de Lamb en pr´esence de tension de surface est une bonne approche pour comprendre nos observations exp´erimentales.
En vibrant verticalement une mince couche d’hydrogel nous avons montr´e que l’interface pouvait se d´eformer selon des motifs carr´es, plus ou moins r´eguliers. L’instabilit´e de Faraday ´etant une instabilit´e param´etrique, on peut comprendre l’apparition du motif d’ondes de sur- face en partant de leur relation de dispersion. Si l’un des termes est p´eriodique en fonction du temps, une instabilit´e param´etrique est susceptible d’apparaˆıtre. Dans le cas de l’instabilit´e de Faraday “classique”, c’est la gravit´e qui est modul´ee dans le temps dans la relation de dispersion des ondes gravito-capillaires. Il est ´egalement possible d’observer l’instabilit´e avec d’autres formes de for¸cages, par exemple avec un champ magn´etique oscillant dans un ferro- fluide [147] ou avec un champ ´electrique [148]. Dans le cas des ondes se propageant dans un gel, la gravit´e n’apparaˆıt a priori pas dans la relation de dispersion (voir ´equation E.8 page 183), pourtant nous pouvons forcer l’instabilit´e de Faraday en vibrant le gel, c’est `a dire en modulant la gravit´e. Pour comprendre l’existence de l’instabilit´e, nous pouvons alors consid´e- rer qu’en vibrant le gel nous le comprimons p´eriodiquement, c’est `a dire que sa densit´e ρ est modul´ee au cours du temps1. Pour confirmer cette hypoth`ese, il convient de mener une ´etude de stabilit´e pour d´eterminer les langues de stabilit´e de cette instabilit´e param´etrique [131]. De plus, nous avons vu que la pr´esence d’un seuil d’apparition de l’instabilit´e renseigne sur la dissipation dans le mat´eriau consid´er´e. En ´etudiant ce seuil exp´erimentalement et th´eori- quement pour un hydrogel nous pensons qu’il sera possible d’en d´eduire le module de perte G00 (ou une grandeur ´equivalente).
Conclusion
Dans cette th`ese nous avons pr´esent´e plusieurs aspects exp´erimentaux sur les ondes se propageant `a la surface d’un liquide. Nous avons cherch´e `a les contrˆoler dans l’espace et dans le temps et nous avons mis en ´evidence diff´erents ph´enom`enes physiques expliquant nos observations exp´erimentales. De nombreuses questions restent encore ouvertes, la plupart ont ´et´e d´etaill´ees au fil du texte, et nous les consignons dans ce qui suit.
Sur la th´eorie des ondes hydro´elastiques
Nous avons ´etabli la relation de dispersion des ondes hydro´elastiques ; cela n´ecessite de combiner des calculs hydrodynamiques (´equation de Navier-Stokes) et ´elastiques (´equation de F¨oppl-von K`arm`an). Nous avons d´etaill´e les diff´erents r´egimes de propagation, ainsi que les longueurs caract´eristiques `a consid´erer pour dimensionner un syst`eme exp´erimental hy- dro´elastique. Nous avons pr´esent´e les montages exp´erimentaux que nous avons utilis´es, no- tamment les techniques d’analyse utilis´ees. Celles-ci jouent un rˆole crucial pour les ´etudes pr´esent´ees, car elles ont permis des mesures extrˆemement pr´ecises, qui font entre autres l’in- t´erˆet des r´esultats que nous avons obtenus. Nous avons ´egalement expliqu´e les algorithmes de post-traitement que nous avons d´evelopp´es.
Dans toute l’approche que nous avons d´evelopp´ee nous n’avons pas mentionn´e les pro- bl`emes de dissipation. Ceux-ci sont bien moins importants que pour une surface libre, puisqu’il n’existe pas d’´ecoulement de Marangoni `a la surface. Une cons´equence en est que les ondes hydro´elastiques s’att´enuent sur une longueur caract´eristique plus longue que pour les ondes gravito-capillaires. Nous introduisons par contre une couche limite sous la surface (condition de non-glissement au niveau de la membrane), o`u il existe une dissipation d’origine visqueuse. Il existe ´egalement une dissipation interne au film, en raison de son caract`ere visco-´elastique. Ces deux aspects restent encore `a aborder, notamment pour ´etablir l’expression du seuil de l’instabilit´e de Faraday, dont nous avons parl´e au chapitre 5.
Sur la r´efraction et la focalisation
Nous avons v´erifi´e exp´erimentalement la relation de dispersion ´etablie au chapitre pr´e- c´edent pour plusieurs membranes. Nous avons ensuite tir´e parti des r´esultats obtenus pour d´efinir un indice de r´efraction effectif, bas´e sur le contraste de vitesse de propagation entre deux membranes diff´erentes. Cela nous a servi pour r´ealiser une exp´erience de r´efraction, dans laquelle nous pouvons directement observer les ondes incidentes et transmises. En va- riant l’angle d’incidence nous avons pu mesurer qualitativement l’´evolution du coefficient de transmission T , qui d´ecroit comme attendu avec l’angle d’incidence. Les exp´eriences que nous avons men´ees ne nous ont pas permis de mesurer le coefficient de r´eflexion R, dont nous voyons qu’il est proche de un dans le cas de la r´eflexion totale interne (voir figure 2.5(b)). De nouvelles exp´eriences sont donc n´ecessaires pour d´eterminer le coefficient de r´eflexion R, en parall`ele `a une approche th´eorique pour pr´edire ces coefficients. Nous pouvons notamment chercher `a adapter `a notre syst`eme les calculs de la litt´erature pour la banquise [60–62].
En nous appuyant sur ces r´esultats sur la r´efraction nous avons con¸cu et r´ealis´e des lentilles hydro´elastiques permettant de focaliser l’´energie des ondes. Les r´esultats que nous
Figure 6.2 – (a) Sch´ema montrant le principe d’une lentille `a gradient d’indice. (b) Profil parabolique pour le rapport des indices n0/n. (c) Profil en x−10/3 pour le rapport des ´epaisseurs h0/h .
avons obtenus ´etant tr`es prometteurs, nous avons voulu les valoriser en faisant appel `a la Soci´et´e d’Acc´el´eration de Transfert Technologique SATT-Lutech. L’id´ee serait `a terme de permettre de focaliser l’´energie de la houle oc´eanique afin de pouvoir r´ecup´erer l’´energie houlomotrice plus efficacement. Nous avons pu breveter cette invention, et le projet est en cours de maturation avec notamment une collaboration avec l’IFREMER pour r´ealiser un prototype moyenne ´echelle et le tester dans l’un de leurs bassins brestois (voir clich´e dans la figure 6.1) dans le cadre d’un post-doctorat pr´evu pour 2019-2020.
Dans la derni`ere partie de ce chapitre nous avons r´ealis´e exp´erimentalement un nanojet hydro´elastique en propageant une onde plane `a travers un disque de polym`ere plus fin que le milieu ext´erieur. Nous obtenons alors une focalisation sub-longueur d’onde derri`ere le disque, analogue aux r´esultats observ´es en optique.
Notons qu’il est possible de r´ealiser une lentille avec des dioptres droits en r´ealisant une lentille `a gradient d’indice (GRIN lens en anglais). De telles lentilles ont d´ej`a ´et´e r´ealis´ees pour les ondes gravito-capillaires en 2014, par Wang et al. [8]. Une membrane dont l’´epaisseur varie continˆument sur une largeur donn´ee devrait permettre de focaliser un front d’onde plan en un point donn´e, comme illustr´e sur le sch´ema (a) de la figure 6.2. L’un des profils les plus utilis´es est un profil parabolique x2, o`u x est la distance perpendiculaire `a l’axe optique (figure 6.2(b)). L’indice vaut n `a l’ext´erieur de la lentille, et n0 `a sa valeur la plus importante. Cela conduit, d’apr`es l’´equation 2.2, `a un profil d’´epaisseur h0/h en x−10/3, repr´esent´e dans la figure 6.2(c).
De mani`ere plus g´en´erale, varier continˆument l’indice de r´efraction permet de r´ealiser des structures aux propri´et´es int´eressantes, comme par exemple les lentilles de Luneberg [149] ou de Maxwell [150].
Sur les cristaux artificiels
Dans le troisi`eme chapitre nous avons ´etudi´e la propagation d’ondes hydro´elastiques en milieu p´eriodique, c’est `a dire dans des cristaux artificiels. Nous avons pour cela structur´e
que nous avons ´evoqu´es au chapitre 4.
Le comportement hydrodynamique des perforations dans la membrane est encore mal compris. Nous pensons qu’il serait int´eressant de l’´etudier `a la fois exp´erimentalement (par exemple en r´ealisant des exp´eriences de PIV sous la membrane perfor´ee) et th´eoriquement. Ceci devrait nous permettre de pr´edire pr´ecis´ement les fr´equences propres d’une cavit´e circu- laire dans la membrane, mais ´egalement le type d’interaction entre deux perforations proches l’une de l’autre. Plus g´en´eralement, une mod´elisation plus pouss´ee, prenant en compte no- tamment les conditions au bord et les pertes, devrait permettre de d´ecrire quantitativement la plupart des ph´enom`enes observ´es. De la mˆeme mani`ere, les nombreux outils de simulation num´erique `a destination de la m´ecanique des fluides devraient nous permettre de comprendre la propagation d’ondes de surface dans un milieu p´eriodique tel que celui d’un cristal artificiel hydro´elastique.
Une autre piste de recherche concerne le ph´enom`ene de “cloaking”, c’est-`a-dire une cape d’invisibilit´e pour les ondes. Pendry et al. et Leonhardt ont introduit en 2006 une nouvelle m´ethode de contrˆole des ondes ´electromagn´etiques, bas´ee sur l’optique transformationnelle [151, 152]. Cette approche consiste `a utiliser des transformations conformes de l’espace pour projeter une forme sur une autre, par exemple un disque (resp. une sph`ere `a 3D) sur un disque creux (resp. une sph`ere creuse). Si un objet est plac´e `a l’int´erieur de cette structure creuse, aucun observateur ext´erieur ne pourra le d´etecter car les fronts d’onde seront d´evi´es de part et d’autre de la zone centrale. Ces transformations conformes produisent la plupart du temps des propri´et´es anisotropes du milieu, en optique il s’agira de la permittivit´e di´electrique et de la perm´eabilit´e magn´etique µ. Des exp´eriences de cloaking ont ´et´e r´ealis´ees dans d’autres syst`emes physiques, l’anisotropie concerne alors la conductivit´e ´electrique ou thermique [153], le module de flexion pour une plaque [154] ou encore pour les ondes `a la surface d’un liquide la viscosit´e effective du milieu [6] ou la profondeur d’eau [155].
Dans notre cas, les m´etamat´eriaux que nous avons pr´esent´es dans ce chapitre devraient nous permettre d’envisager de r´ealiser des exp´eriences de cloaking. En effet, si nous parvenons `
a obtenir des modules de flexion radiaux et orthoradiaux diff´erents pour notre membrane flottante, nous pourrions obtenir un effet de cloaking [156].
Sur les effets topologiques
Dans le quatri`eme chapitre nous avons envisag´e la pr´esence d’effets topologiques pour les ondes hydro´elastiques. Pour cela nous avons reproduit l’exp´erience de cristaux artificiels sur une cuve tournante, afin d’explorer l’effet d’une rotation solide de tout le fluide sur la propagation des ondes. Ces exp´eriences n’ont pas ´et´e concluantes, en raison de plusieurs probl`emes exp´erimentaux. En effet, le moteur de la cuve en rotation vibre lorsqu’il fonctionne, de sorte que des ondes parasites sont g´en´er´ees par les bords de la cuve. En outre, nous avons fabriqu´e le cristal artificiel triangulaire au milieu d’une membrane homog`ene, dans laquelle les ondes peuvent se propager. Cette configuration n’est pas id´eale, en g´en´eral on choisit plutˆot de placer le cristal dans un milieu isolant pour mettre en ´evidence les effets de bord. En rendant la zone ext´erieure isolante, par exemple au moyen de perforations dont la fr´equence propre se situe `a la fr´equence d’int´erˆet (nous utiliserions alors la bande d’hybridation, voir chapitre 3), nous pourrions observer les ´eventuels effets de bords li´es `a la rotation.
Une autre strat´egie utilis´ee pour observer des effets topologiques est de r´ealiser des isolants topologiques dont les propri´et´es proviennent de la g´eom´etrie du cristal lui-mˆeme et plus d’un champ magn´etique (ou rotation) ext´erieur. Lu et al. [157] ont par exemple utilis´e des diffuseurs triangulaires plutˆot que circulaires dans un cristal hexagonal (voir figure 6.3(a)). Ils ont ainsi montr´e que le cˆone de Dirac (en noir dans la figure 6.3(b)) s’ouvre pour donner une bande interdite lorsque les triangles sont tourn´es d’un angle α (voir figure 6.3(a)). Les champs d’ondes obtenus (montr´es dans la figure 6.3(b) pour α = 10◦) ne sont pas les mˆemes selon le signe de α : les modes ne sont pas identiques pour α et−α. En ´etudiant la fronti`ere entre deux cristaux, l’un avec α > 0 et l’autre avec α < 0, les auteurs ont mis en ´evidence l’existence d’un mode de bord topologiquement prot´eg´e. En perforant des cavit´es triangulaires arrang´ees selon un motif hexagonal nous pourrions donc observer des effets topologiques pour les ondes hydro´elastiques, sans avoir besoin de faire tourner l’ensemble de l’exp´erience.
Sur les exp´eriences en rotation
L’un des principaux probl`emes que nous avons rencontr´es dans cette exp´erience en rotation est de pr´evoir la forme de l’interface afin de pouvoir obtenir des r´esultats quantitatifs sur l’amplitude des ondes. C’est ce que nous d´ecrivons dans la deuxi`eme partie du chapitre 4. Nous avons montr´e que cette forme est proche de la parabole obtenue pour une surface libre. Pour la d´eterminer exactement nous pouvons d’une part mesurer cette forme exp´erimentalement (par exemple avec un vibrom`etre laser), et d’autre part poursuivre le travail th´eorique pour pr´edire la forme attendue. Notamment, les calculs de la litt´erature [44, 45] partent plutˆot de l’´equation de F¨oppl-Von K´arm´an (´equation 1.1) pour ´etablir la forme d’une membrane et la pr´esence ´eventuelle de plis.
Figure 6.3 – (a) Exemple de cristal phononique hexagonal r´ealis´e avec des diffuseurs triangulaires. Les diffuseurs sont orient´es d’un angle α par rapport `a la direction principale du cristal a1. (b) Trois
premi`eres bandes de la relation de dispersion pour α = 0 (courbe noire en traits pleins) et pour α = 10◦ (courbes en tirets). Les deux champs d’ondes correspondant aux modes au point K sont ´egalement montr´es. Adapt´e de [157] .
Nous avons ´egalement rapport´e l’existence d’une instabilit´e de flambage sur le bord ex- terne de la membrane : des plis radiaux apparaissent. `A mesure que la vitesse de rotation augmente ces plis progressent vers l’int´erieur de la membrane. Nous avons pu expliquer quali- tativement l’apparition de ces plis en invoquant le theorema egregium de Gauss, c’est-`a-dire la cr´eation de contraintes orthoradiales du fait du changement de courbure gaussienne. Il reste cependant `a comprendre exactement leur longueur d’onde, et le rˆole des diff´erents param`etres sur leur nombre et leur position dans la membrane.