Le théorème spectral pour le problème de Steklov sur un domaine euclidien

Le théorème spectral pour le problème de Steklov sur

un domaine euclidien

Le théorème spectral pour le problème de Steklov sur

un domaine euclidien

Mémoire

Marc-Antoine Labrie

Sous la direction de:

Alexandre Girouard, directeur de recherche Jérémie Rostand, codirecteur de recherche

Résumé

Le problème de Steklov est un problème spectral dont l’origine se situe en mécanique des fluides (oscillations de faibles amplitudes). En géométrie spectrale, on s’intéresse aux liens entre les fréquences de vibrations propres d’un espace et la géométrie de celui-ci. L’objet de ce mémoire consiste à donner une preuve succincte et accessible du théorème spectral pour le problème de Steklov qui stipule, entre autres, que le spectre de ce problème est discret. En effet, ce théorème est très important puisqu’il est le point de départ de toute étude du problème de Steklov en géométrie spectrale. Néanmoins, la preuve n’est pas facilement accessible dans la littérature et demande un travail bibliographique considérable.

Table des matières

Résumé iii

Table des matières iv

Remerciements v

Introduction 1

1 Théorème spectral pour les formes bilinéaires 3

1.1 Préalables . . . 3

1.2 Ensemble orthogonal et opérateur adjoint . . . 8

1.3 Formes bilinéaires. . . 11

2 Compacité des opérateurs d’inclusion et de trace d’espaces de Sobolev 20

2.1 Préalables . . . 20

2.2 Théorème de Rellich . . . 31

2.3 Opérateur trace . . . 37

3 Théorème spectral pour le problème de Steklov 41

Conclusion 50

Remerciements

Tout d’abord, j’aimerais remercier mon directeur de recherche, Alexandre Girouard, pour le soutien moral, financier et intellectuel tout au long de ma maîtrise.

J’aimerais remercier mon codirecteur de recherche, Jérémie Rostand, pour son soutien finan-cier et intellectuel à partir de ma deuxième année de maîtrise.

Il ne faut pas oublier le soutien financier et moral apporté par mes parents, Normande Ville-neuve et Marco Labrie.

Finalement, j’aimerais remercier ma conjointe, Alison Boily, pour m’avoir soutenu moralement tout au long de mon parcours universitaire.

Introduction

Le but de ce mémoire est de présenter une preuve accessible du théorème spectral pour le problème de Steklov. Ce problème a été introduit au tout début du 20e siècle, par Vladimir Steklov, dans le contexte de la modélisation des vibrations d’un fluide soumis à la gravité. Depuis, il a attiré l’attention de mathématiciens tant à la recherche d’applications que d’un problème à la frontière de l’analyse et de la géométrie, en particulier en géométrie spectrale. Cette branche des mathématiques étudie les liens entre la forme d’un espace et les valeurs propres d’opérateurs naturellement définis sur celui-ci.

On introduit précisément le problème de Steklov. Étant donné un domaine Ω ⊂ RN suffisam-ment régulier, on cherche tous les nombres réels σ pour lesquels il existe une fonction non nulle f ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) qui vérifie les équations suivantes :

(

∆f = 0,

∂nf = σf.

Le théorème spectral pour ce problème stipule, entre autres, que les valeurs propres forment une suite 0 = σ0 < σ1 ≤ σ2 ≤ · · · % ∞. La convention veut que l’on répète chaque valeur

propre en fonction de sa multiplicité qui est finie. Dans ce mémoire, on s’intéressera à des domaines lipschitziens, de sorte qu’on utilisera une version affaiblie du problème de Steklov.

La preuve du théorème spectral pour le problème de Steklov est bien connue dans le monde des mathématiques, mais elle est inaccessible en un seul texte cohérent. Dans ce mémoire, on s’intéressera à établir les fondements analytiques qui permettent d’envisager cette étude pour le problème de Steklov. Le point de départ de presque tous les articles de géométrie spectrale traitant de ce problème est l’énoncé du fait suivant : lorsqu’un domaine euclidien est suffisamment régulier, les valeurs propres de Steklov forment une suite croissante qui tend vers l’infini.

Le but de mon travail est de présenter une preuve accessible et autonome de ce théorème. En particulier, ce texte se veut compréhensible à tout étudiant ayant complété un cours d’intro-duction à l’analyse fonctionnelle ainsi qu’un cours de théorie de la mesure. Des connaissances en géométrie différentielle et en équations aux dérivées partielles rendront probablement la lecture plus intéressante, mais elles ne sont pas nécessaires.

Dans le but de prouver le théorème spectral pour le problème de Steklov, on débutera ce mémoire par un chapitre présentant certains éléments d’analyse fonctionnelle nécessaires à la preuve principale. En particulier, on introduira un théorème spectral pour les formes bili-néaires. Le chapitre suivant traitera des espaces de Sobolev et de leurs plongements compacts. Ces propriétés sont au cœur du théorème spectral dont la démonstration sera finalement pré-sentée au troisième chapitre.

Chapitre 1

Théorème spectral pour les formes

bilinéaires

Le but de ce chapitre est de présenter quelques résultats préliminaires d’analyse fonctionnelle. Il culmine par la présentation d’un théorème spectral pour les formes bilinéaires, qui a été emprunté à [1]. Au troisième chapitre, ce théorème jouera un rôle clé dans la preuve du théorème spectral pour le problème de Steklov.

1.1

Préalables

Pour tout le chapitre, X et Y seront des espaces vectoriels normés sur R. On utilisera k · kX

pour la norme sur X et, lorsque le contexte est clair, on utilisera k · k. L’ensemble des opé-rateurs linéaires bornés (continus) T : X → Y sera désigné par B(X, Y ). La norme d’un opérateur T ∈ B(X, Y ) sera kT k := sup

x∈X\{0}

kT (x)kY

kxkX . On utilisera H pour désigner un espace

de Hilbert.

Le but de cette section est d’énoncer les résultats d’analyse fonctionnelle nécessaires à la démonstration du théorème spectral pour les formes bilinéaires. On réfère principalement au livre [8] si les bases de l’analyse fonctionnelle ne sont pas acquises. Certains résultats seront utilisés aux deuxième et troisième chapitres. On présente d’abord quelques définitions bien connues pour établir la notation.

Définition 1.1. Soit X un espace normé sur R. La boule centrée en x ∈ X de rayon r > 0

est l’ensemble

BX(x, r) := {y ∈ X : ky − xk < r}.

Définition 1.2. Soit Z un espace vectoriel réel. On dit que l’application h·, ·i : Z × Z → R

i) hx, xi ≥ 0,

ii) hx, xi = 0 ⇐⇒ x = 0, iii) hx, yi = hy, xi,

iv) hλx + y, zi = λhx, zi + hy, zi.

On notera kxk :=phx, xi la norme découlant du produit scalaire h·, ·i.

Définition 1.3. Soit Z un espace vectoriel réel muni des deux produits scalaires h·, ·i1 et

h·, ·i2. On dit que les deux produits scalaires sont équivalents si les normes découlant de ces

produits scalaires sont équivalentes. Deux normes sont équivalentes s’il existe des constantes

k, K > 0 telles que

kkxk1 ≤ kxk2≤ Kkxk1 (∀x ∈ Z) .

Les trois premiers lemmes sont présentés sans démonstration ni référence. Leur démonstration se déduit directement des définitions impliquées dans les énoncés.

Lemme 1.4

Soit h·, ·i un produit scalaire sur X, A ⊂ X avec A = X (on rappelle que A est l’adhérence de A) et y, z ∈ X. Si hx, yi = hx, zi pour tout x ∈ A, alors y = z.

Lemme 1.5

Soit T : X → Y un opérateur linéaire. Alors,

ker T = {0} ⇔ T est injectif.

Lemme 1.6

Soit T ∈ B(X, Y ). Alors, T (X) est un sous-espace vectoriel de Y .

La proposition qui suit est un des résultats les plus utilisés lorsqu’on travaille avec des produits scalaires. Elle sera utilisée tout au long du mémoire.

Proposition 1.7 (Inégalité de Cauchy-Schwarz, lemme 3.13 (a) dans [8])

Soit Z un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire h·, ·i. Alors, pour tout x, y ∈ Z, on a

|hx, yi| ≤ kxkkyk.

La définition d’« opérateur compact » est cruciale dans la démonstration du théorème spectral pour les formes bilinéaires. Les résultats qui suivent seront aussi utilisés dans la démonstration. D’autres résultats sur la compacité seront présentés au deuxième chapitre, mais ils ne sont pas utiles pour ce chapitre.

Définition 1.8. Soit T ∈ B(X, Y ). On dit que T est un opérateur compact si, pour toute

Proposition 1.9 (Partie (b) du théorème 7.3 dans [8])

Soient X, Y et Z des espaces vectoriels normés. Soit T ∈ B(Y, Z) et S ∈ B(X, Y ). Si T ou S est compact, alors T ◦ S ∈ B(X, Z) est compact.

Lemme 1.10

Soit X un espace vectoriel muni de deux normes équivalentes k·k₁et k·k₂. Soient Y un espace vectoriel normé et T ∈ B (X, k · k₁), Y

un opérateur compact. Alors, T : (X, k · k₂) → Y est

également compact. Démonstration.

La démonstration découle directement du fait que toute suite bornée dans (X, k · k2) est aussi

bornée dans (X, k · k₁).

Le théorème de Riesz-Fréchet est un classique de l’analyse fonctionnelle. Il sera utilisé dans tous les chapitres.

Théorème 1.11 (Théorème de Riesz-Fréchet, théorème 5.2 dans [8])

Soient H un espace de Hilbert et T ∈ B(H, R). Alors, il existe un unique w ∈ H tel que T (x) = hx, wi pour tout x ∈ H. De plus, kT k = kwkH.

Le prochain théorème a plusieurs versions dans le livre d’analyse fonctionnelle en référence ([8]). Cependant, aucune d’entre elles ne convient à l’utilisation que l’on en fera. On énonce donc une version qui convient à ce mémoire.

Théorème 1.12

Soient X et Z des espaces de Banach, soit Y ⊂ X un sous-espace vectoriel tel que Y = X et soit TY ∈ B(Y, Z). Alors, il existe une unique extension TX ∈ B(X, Z) de TY (i.e. TX(y) =

TY(y) pour tout y ∈ Y ).

Démonstration.

Existence

Soit x ∈ X. Alors, il existe (yn)n≥1⊂ Y telle que yn−−−→ x. Pour tout n, m ≥ 1, on an→∞

kT_Y(y_n) − T_Y(y_m)k_Z = kT_Y(y_n− y_m)k_Z ≤ kT_Ykky_n− y_mk_X.

Comme (yn)n≥1 est une suite de Cauchy, on en déduit de l’inégalité précédente que

(T_Y(y_n))_n≥1⊂ Z

en est une aussi. Comme Z est un espace de Banach, ∃z ∈ Z tel que TY(yn) −−−→ z. Onn→∞

pose T_X(x) := z. Il faut montrer que T_X est bien défini, que T_X est une extension de T_Y et que T_X ∈ B(X, Z).

1. T_X est bien défini.

Soit x ∈ X. Soient (y_n)_n≥1, (xn)n≥1 ⊂ Y deux suites telles que yn n→∞

−−−→ x et x_n−−−→ x.n→∞ Alors, il existe z1, z2 ∈ Z tels que TY(yn)−−−→ zn→∞ 1 et TY(xn)−−−→ zn→∞ 2. On a

kTY(yn) − TY(xn)kZ = kTY(yn− xn)kZ ≤ kTYkkyn− xnkX.

En prenant la limite quand n → ∞ des deux côtés de l’inégalité, on obtient

lim

n→∞kTY(yn) − TY(zn)kZ ≤ limn→∞kTYkkyn− xnkX,

=⇒ kz1− z2kZ ≤ kx − xkX = 0.

On obtient donc z1 = z2 et on en conclut que TX est bien défini.

2. TX est une extension de TY.

Soit y ∈ Y . La suite constante y_n:= y pour tout n ≥ 1 est une suite qui converge vers

y. Ainsi, TX(y) = lim

n→∞TY(yn) = limn→∞TY(y) = TY(y).

3. T_X ∈ B(X, Z).

Soient x, y ∈ X et λ ∈ R. Alors, il existe des suites (xn)n≥1, (yn)n≥1 ⊂ Y telles que

xn−−−→ x et yn→∞ n−−−→ y. Ainsi, on an→∞ TY(xn+ λyn)−−−→ Tn→∞ X(x + λy) et TY(xn+ λyn) = TY(xn) + λTY(yn) n→∞ −−−→ T_X(x) + λT_X(y).

On en conclut que TX(x + λy) = TX(x) + λTX(y). Ceci montre que TX est linéaire.

Soient x ∈ X et (y_n)_n≥1⊂ Y tels que y_n−−−→ x. On a kTn→∞ _Y(y_n)k_Z ≤ kT_Ykky_nk_X pour tout n ≥ 1. En laissant n tendre vers l’infini des deux côtés de l’inégalité, on obtient kTX(x)kZ ≤ kTYkkxkX. Ceci montre que TX est continu et termine la preuve de

l’exis-tence.

Unicité

Soit S ∈ B(X, Z) un autre opérateur tel que S(y) = T_Y(y) pour tout y ∈ Y . Soient x ∈ X et (yn)n≥1 ⊂ Y tels que yn −−−→ x. On a Tn→∞ X(x) = lim

n→∞TY(yn). Or, comme S est continu, on

doit avoir

S(x) = lim

n→∞S(yn) = limn→∞TY(yn) = TX(x).

Ceci montre que TX est unique.

Les notions de « valeurs propres » et de « base orthonormale » sont intimement liées en théorie spectrale. On en rappelle les définitions dans ce qui suit.

Définition 1.13. Soit T ∈ B(X, X). Un scalaire λ ∈ R est une valeur propre de l’opérateur

T s’il existe x ∈ X \ {0} tel que T (x) = λx. On dit que x est un vecteur propre associé à la

valeur propre λ.

Remarque

Le vecteur propre associé à λ n’est jamais unique. En effet, si T (x) = λx, alors on a

T (cx) = λcx pour tout c ∈ R. Pour le reste de ce document, lorsqu’on prendra un

vec-teur propre associé à une valeur propre, on supposera que kxk = 1.

Définition 1.14. On dit que {xn}n≥1⊂ H est une base orthonormale de H si

i) hx_n, xmi = (

1 si m = n, 0 sinon,

ii) ∀x ∈ H, ∃(λ_n)_{n≥1⊂ R telle que x =} P n≥1

λnxn.

Lemme 1.15 (Partie (b) ⇔ (d) du théorème 3.47 dans [8])

Soit {xn}n≥1 ⊂ H un ensemble orthonormal. Les énoncés suivants sont équivalents :

1) {xn}n≥1 est une base orthonormale de H,

2) x = ∞ P n=1 hx, xnixn ∀x ∈ H. Démonstration.

(⇐) Cette implication est évidente. (⇒) Soit x ∈ H. On a x =

∞

P n=1

λnxn pour une certaine suite (λn)n≥1 ⊂ R. De plus,

λnhxn, xmi = (

λn si n = m,

0 sinon.

Ainsi, pour tout m ≥ 1, on obtient

hx, xmi = * _∞ X n=1 λnxn, xm + = * lim k→∞ k X n=1 λnxn ! , xm + = lim k→∞ * _k X n=1 λnxn, xm + = lim k→∞ k X n=1 λnhxn, xmi = λ_m.

On en conclut que x = ∞ X n=1 hx, xnixn.

Le corollaire suivant se déduit directement du lemme 1.15.

Corollaire 1.16

Soit Y un sous-espace vectoriel de H tel que Y = H. On suppose qu’il existe un ensemble orthonormal {x_n}_n≥1 tel que

y = X

n≥1

hy, x_nix_n ∀y ∈ Y.

Alors, {x_n}_n≥1 est une base orthonormale de H.

1.2

Ensemble orthogonal et opérateur adjoint

Définition 1.17. Soit h·, ·i un produit scalaire sur X et B ⊂ X. L’ensemble orthogonal de

B est l’ensemble

B⊥:= {x ∈ X : hx, bi = 0, ∀b ∈ B}.

Lemme 1.18 (Lemme 3.29 dans [8])

Soient h·, ·i un produit scalaire sur X et A, B ⊂ X. On a i) 0 ∈ A⊥,

ii) 0 ∈ A ⇒ A ∩ A⊥= {0} et 0 6∈ A ⇒ A ∩ A⊥= ∅,

iii) {0}⊥ = X et X⊥= {0},

iv) s’il existe a ∈ A et r > 0 tel que {x ∈ X : kx − ak < r} ⊂ A, alors A⊥= {0},

v) B ⊂ A ⇒ A⊥⊂ B⊥,

vi) A⊥ est un sous-espace vectoriel fermé de X, vii) A ⊂ (A⊥)⊥.

Lemme 1.19 (Corollaire 3.36 dans [8])

Soient H un espace de Hilbert et Y ⊂ H un sous-espace vectoriel. On a

(Y⊥)⊥= Y .

Définition 1.20. Soit A ∈ B(H, H). L’adjoint de A est un opérateur A∗ ∈ B(H, H) tel que

hA(x), yi = hx, A∗(y)i, ∀x, y ∈ H.

Proposition 1.21

Soit A ∈ B(H, H). Alors, l’adjoint A∗ de A existe et est unique. De plus, kA∗k ≤ kAk.

Démonstration.

Existence

Soit y ∈ H. On construit l’opérateur

Ty : H −→ R

x 7−→ hA(x), yi. On montre que T_{y ∈ B(H, R). Soient x, z ∈ H et λ ∈ R. On a}

Ty(λx + z) = hA(λx + z), yi = hλA(x) + A(z), yi

= λhA(x), yi + hA(z), yi = λT_y(x) + T_y(z).

Aussi, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir proposition 1.7), on a

|Ty(x)| = |hA(x), yi| ≤ kA(x)kHkykH≤ kAkkykHkxkH

et donc T_y est borné avec kT_yk ≤ kAkkykH. Ainsi, par le théorème de Riesz-Fréchet (voir

théorème1.11), il existe un unique zy ∈ H tel que

Ty(x) = hx, zyi (∀x ∈ H)

et kzykH = kTyk ≤ kAkkykH. On pose A∗(y) := zy pour tout y ∈ H. Cette application est

bien définie puisque, pour tout y ∈ H, le z_y trouvé est unique. De plus, on a

hA(x), yi = Ty(x) = hx, zyi = hx, A∗(y)i (∀x, y ∈ H).

On doit montrer que A∗ _{∈ B(H, H). Soit y, w ∈ H et λ ∈ R. Pour tout x ∈ H, on a} hx, A∗(λy + w)i = T_λy+w(x) = hA(x), λy + wi

= λhA(x), yi + hA(x), wi = λT_y(x) + T_w(x)

= λhx, A∗(y)i + hx, A∗(w)i = hx, λA∗(y) + A∗(w)i.

Par le lemme1.4, on obtient A∗(λy + w) = λA∗(y) + A∗(w), ce qui montre que A∗est linéaire. Aussi, on a

kA∗(y)kH= kzykH≤ kAkkykH (∀y ∈ H),

=⇒ A∗ ∈ B(H, H) et kA∗k ≤ kAk.

Ceci termine la preuve de l’existence de A∗ ∈ B(H, H). Unicité

Soit B ∈ B(H, H) tel que

Soit y ∈ H. On a

hx, A∗(y)i = hA(x), yi = hx, B(y)i (∀x ∈ H).

Par le lemme 1.4, on a A∗(y) = B(y). Comme y ∈ H était quelconque, on a A∗= B.

Proposition 1.22

Soit A ∈ B(H, H) et A∗ l’adjoint de A. On a les propriétés suivantes : i) (A∗)∗ = A,

ii) kA∗k = kAk,

iii) ker A∗= (A(H))⊥. Démonstration.

On démontre les trois propriétés une par une.

i) Comme A∗∈ B(H, H), on a, par le théorème1.21, qu’il existe un unique (A∗)∗ ∈ B(H, H) tel que

hA∗(x), yi = hx, (A∗)∗(y)i (∀x, y ∈ H).

Or, on a aussi pour tout x, y ∈ H,

hA∗(x), yi = hy, A∗(x)i = hA(y), xi = hx, A(y)i.

Par l’uncité de (A∗)∗, on conclut que (A∗)∗ = A.

ii) Par le théorème1.21, kA∗k ≤ kAk et k(A∗₎∗_{k ≤ kA}∗_{k. Or, par i), on a kAk = k(A}∗₎∗_{k et}

donc kAk = kA∗k.

iii) Soient x ∈ ker A∗ et y ∈ A(H) (i.e. ∃z ∈ H tel que A(z) = y). On a

hy, xi = hA(z), xi = hz, A∗(x)i = hz, 0i = 0

et donc x ∈ (A(H))⊥ car y ∈ A(H) était quelconque. On en conclut que

ker A∗ ⊂ (A(H))⊥.

Soit x ∈ (A(H))⊥. Ainsi, ∀z ∈ H, on a

hA(z), xi = 0.

Ainsi, pour tout z ∈ H, on a

hz, A∗(x)i = hA(z), xi = 0.

Le prochain théorème est la clé pour démontrer le théorème spectral pour les formes bilinéaires à la fin du chapitre. La démonstration de ce théorème est donnée dans tout bon cours d’analyse fonctionnelle. On peut aussi la trouver dans le livre de Rynne et Youngson [8].

Théorème 1.23 (Corollaire 7.35 dans [8])

On suppose que la dimension de H est infinie. Soit T ∈ B(H, H) un opérateur auto-adjoint compact injectif. L’ensemble des valeurs propres non nulles de T est une suite réelle posi-tive décroissante (λn)n≥1 telle que λn −−−→ 0 et dont les vecteurs propres associés {en→∞ n}n≥1

forment une base orthonormale de H.

1.3

Formes bilinéaires

Définition 1.24. On dit que φ : H × H → R est une forme bilinéaire si ∀x, y, z ∈ H et

∀λ ∈ R, on a

i) φ(x + y, z) = φ(x, z) + φ(y, z), ii) φ(x, y + z) = φ(x, y) + φ(x, z), iii) φ(λx, y) = φ(x, λy) = λφ(x, y).

Définition 1.25. Soit φ : H × H → R une forme bilinéaire. On dit que φ est bornée s’il existe

C ≥ 0 tel que pour tout x, y ∈ H, on a

|φ(x, y)| ≤ Ckxkkyk.

Le prochain théorème est en fait un résultat qui est démontré dans le lemme 6.3.1 de [1]. Ce dernier sera énoncé et démontré un peu plus bas dans ce mémoire. On a préféré séparer les deux résultats pour rendre les preuves moins longues et plus faciles à suivre.

Théorème 1.26

Soit φ : H × H → R une forme bilinéaire bornée (avec borne C). Alors, il existe d’uniques opérateurs A, B ∈ B(H, H) tels que

φ(x, y) = hA(x), yi = hx, B(y)i (∀x, y ∈ H)

avec kAk ≤ C et kBk ≤ C. Démonstration.

Existence de A

Pour chaque x ∈ H, on définit l’application

φx : H −→ R

Pour tout y, w ∈ H et pour tout λ ∈ R, on a

φx(λy + w) = φ(x, λy + w) = λφ(x, y) + φ(x, w) = λφx(y) + φx(w).

De plus, on a

|φx(y)| = |φ(x, y)| ≤ CkxkHkykH.

On en conclut que φx ∈ B(H, R) et kφxk ≤ CkxkH. Par le théorème de Riesz-Fréchet

(théo-rème1.11), il existe un unique z_x∈ H tel que

φx(y) = hy, zxi (∀y ∈ H)

avec kφ_xk = kz_xkH. On construit l’opérateur

A : H −→ H

x 7−→ zx

qui est bien défini, car le zx trouvé est unique pour chaque x ∈ H. Soient x, y ∈ H. On a

φ(x, y) = φx(y) = hy, zxi = hy, A(x)i = hA(x), yi.

Si on montre que A est un opérateur linéaire borné avec borne plus petite ou égale à C, on aura montré l’existence de A. Soient y, v, w ∈ H et λ ∈ R. On a

hA(λv + w), yi = φ(λv + w, y) = λφ(v, y) + φ(w, y)

= λhA(v), yi + hA(w), yi = hλA(v) + A(w), yi.

Comme ceci est vrai pour tout y ∈ H, on a

A(λv + w) = λA(v) + A(w)

par le lemme 1.4. Ainsi, A est linéaire. De plus, on a

kA(x)kH = kzxkH= kφxk ≤ CkxkH

et donc A est borné avec kAk ≤ C. Unicité de A

Soit A1 ∈ B(H, H) tel que φ(x, y) = hA1(x), yi pour tout x, y ∈ H. On a

hA(x), yi = φ(x, y) = hA₁(x), yi (∀x, y ∈ H).

Par le lemme 1.4, on obtient A1(x) = A(x) pour tout x ∈ H.

Existence et unicité de B

L’opérateur B est simplement l’adjoint de A dont l’existence et l’unicité sont assurées par le théorème1.21. De plus, par la proposition 1.22, on a

Définition 1.27. Soit φ : H × H → R une forme bilinéaire. On dit qu’elle est coercive s’il

existe une constante K > 0 telle que φ(x, x) ≥ Kkxk2 pour tout x ∈ H.

Lemme 1.28

Soit φ une forme bilinéaire bornée (avec borne C > 0) et coercive (avec constante K > 0) sur

H. Soient u, w ∈ H tels que φ(u, v) = φ(w, v) pour tout v ∈ H. Alors, u = w.

Démonstration.

On a φ(w − u, v) = 0 pour tout v ∈ H. Comme φ est coercive, on a

0 = φ(w − u, w − u) ≥ Kkw − uk2 ⇒ w = u.

Théorème 1.29 (Lemme 6.3.1 dans [1])

Soit φ : H × H → R une forme bilinéaire bornée (avec borne C) et coercive (avec constante K). Alors, il existe un unique A ∈ B(H, H) bijectif tel que

φ(x, y) = hA(x), yi (∀x, y ∈ H).

De plus, A−1 ∈ B(H, H).

Démonstration.

Par le théorème1.26, il existe un unique A ∈ B(H, H) tel que

φ(x, y) = hA(x), yi = hx, A∗(y)i (∀x, y ∈ H),

où A∗ est l’adjoint de A. Il reste à montrer que A est bijectif et que son inverse A−1 est continu.

Bijectivité

Soit x ∈ ker A. On a

Kkxk2_H≤ φ(x, x) = hA(x), xi = h0, xi = 0 ⇒ kxkH= 0 ⇒ x = 0.

Ainsi, ker A = {0} et par le lemme 1.5, A est injectif. On peut montrer ceci de la même manière pour l’opérateur A∗. Ainsi, par la partie iii) de la proposition1.22, on a

(A(H))⊥= ker A∗ = {0}.

Par le lemme 1.6, A(H) est un sous-espace vectoriel et donc, par le lemme 1.19,

A(H) = A(H)⊥
⊥

Si on montre que A(H) est fermé, on pourra conclure que A(H) = A(H) = H et donc que

A est surjectif. Soit (yn)n≥1 ⊂ A(H) une suite de Cauchy. Il existe (xn)n≥1 ⊂ H tel que

A(xn) = yn pour tout n ≥ 1. Pour tout m, n ≥ 1, on a

Kkxm− xnk2H ≤ φ(xm− xn, xm− xn) = hA(xm− xn), xm− xni

= hA(xm) − A(xn), xm− xni = hym− yn, xm− xni

≤ kym− ynkHkxm− xnkH.

La dernière inégalité a été obtenue grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir proposition

1.7). On obtient

kx_m− x_nkH≤

1

Kkym− ynkH

et donc (xn)n≥1 est aussi Cauchy. Comme H est complet, il existe x ∈ H tel que xn−−−→ x.n→∞

Comme A est continu, on a y_n= A(x_n)−−−→ A(x). On en conclut que (yn→∞ _n)_n≥1converge dans

A(H). Ceci montre que A(H) est complet. Un sous-ensemble complet d’un ensemble fermé

est fermé. Ainsi, A(H) est fermé. Inverse continu

Comme A est bijectif, son inverse A−1 est bien défini. On a

KkA−1(y)k2_H≤ |φ(A−1(y), A−1(y))| = |hA(A−1(y)), A−1(y)i| = |hy, A−1(y)i| ≤ kykHkA−1(y)kH.

Ainsi, on a kA−1(y)kH≤ 1 KkykH ⇒ A −1 est borné. Lemme 1.30

Soit φ : H × H → R une forme bilinéaire symétrique, bornée et coercive (avec constante K) sur (H, h·, ·i). Alors, φ est un produit scalaire équivalent à h·, ·i.

Démonstration.

On doit seulement vérifier que les parties i) et ii) de la définition d’un produit scalaire sont respectées pour montrer que φ en est un. Soit u ∈ H. Comme φ est coercive, on a

0 ≤ Kkuk2_H≤ φ(u, u).

De plus, si φ(u, u) = 0, alors on a Kkuk2_H ≤ 0 et donc u = 0. Il reste à montrer que φ est équivalente à h·, ·i. Par le théorème 1.29, il existe A ∈ B(H, H) bijectif dont l’inverse est continu tel que

On obtient

Kkuk2H≤ φ(u, u) = hA(u), ui ≤ kAkkuk2H.

Ainsi, φ est un produit scalaire équivalent à h·, ·i.

Théorème 1.31 (Théorème de Lax-Milgram, lemme 1.3.1 dans [6])

Soit H un espace de Hilbert réel et φ : H × H → R une forme bilinéaire bornée et coercive. Alors, pour tout T ∈ B(H, R), il existe un unique u ∈ H tel que

φ(u, v) = T (v) (∀v ∈ H).

Démonstration.

Existence

Par le théorème de Riesz-Fréchet (voir théorème 1.11), il existe un unique u_T ∈ H tel que

T (v) = huT, vi pour tout v ∈ H. Soit A ∈ B(H, H) l’application bijective dont l’existence est

assurée par le théorème1.29. Pour tout v ∈ H, on a

φ(A−1(uT), v) = hA A−1(uT)
, vi = huT, vi = T (v).

On pose u := A−1(uT) et l’existence est démontrée.

Unicité

Soit w ∈ H tel que φ(w, v) = T (v) pour tout v ∈ H. On a

hA(w), vi = φ(w, v) = φ(u, v) = hA(u), vi ∀v ∈ H.

Par le lemme 1.4, A(w) = A(u) et comme A est bijectif, u = w.

Le prochain résultat est crucial dans la démonstration du théorème spectral pour les formes bilinéaires.

Théorème 1.32 (Corollaire 6.3.3 dans [1])

Soient (H1, h·, ·i1) et (H2, h·, ·i2) deux espaces de Hilbert sur R avec H1 ⊂ H2 tels que le

plongement identité

i : H₁ −→ H₂

v 7−→ i(v)

est continu et i(H1) = H2. Si φ : H1× H1 → R est une forme bilinéaire bornée et coercive

(avec constante K), alors pour tout ξ ∈ H2, il existe un unique uξ ∈ H1 tel que

φ(uξ, v) = hξ, i(v)i2 (∀v ∈ H1).

Démonstration.

Existence

Soit ξ ∈ H2. On va montrer que l’application

fξ : H1 −→ R

v 7−→ hξ, i(v)i2

est continue et linéaire. La linéarité provient directement du fait que i : H₁→ H₂ est linéaire et qu’un produit scalaire est bilinéaire. Soit v ∈ H₁. On a

|f_ξ(v)| = |hξ, i(v)i₂| ≤ kξk₂ki(v)k₂ ≤ kξk₂kikkvk₁.

Ainsi, f_ξ ∈ B(H_{1, R). Par le lemme de Lax-Milgram (voir théorème}1.31), il existe un unique

uξ∈ H1 tel que

fξ(v) = φ(uξ, v) (∀v ∈ H1).

Ainsi, φ(u_ξ, v) = hξ, i(v)i2 pour tout v ∈ H1.

Unicité

Soit wξ∈ H1 tel que φ(wξ, v) = hξ, i(v)i2 pour tout v ∈ H1. On a

φ(wξ, v) = φ(uξ, v) (∀v ∈ H1)

et donc, par le lemme 1.28, on a uξ = wξ.

Si ξ 6= η, alors uξ6= uη

On suppose le contraire. Soient ξ, η ∈ H₂ avec ξ 6= η, mais tels que u_ξ= u_η. On a

hξ, i(v)i₂= hη, i(v)i₂ (∀v ∈ H₁).

Comme i(H1) = H2, on obtient ξ = η par le lemme 1.4. #

Le prochain résultat est le but de ce chapitre. Dans le troisième chapitre, il sera utilisé conjoin-tement avec des résultats du deuxième chapitre pour montrer l’existence du spectre d’une forme bilinéaire bien choisie.

Théorème 1.33 (Théorème 6.3.4 dans [1])

Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert sur R avec dim H1 = ∞. On suppose qu’ils sont

munis des produits scalaires h·, ·i₁et h·, ·i₂respectivement. Aussi, on suppose que les hypothèses suivantes sont respectées :

i) le plongement identité i : H₁ → H₂ est continu et compact ; ii) l’image du plongement identité est dense dans H2.

Alors, pour toute forme bilinéaire φ : H₁ × H_{1 → R bornée (avec borne C), symétrique et}

coercive (avec constante K), il existe une suite (λ_n)_n≥1 avec

0 < λ₁ ≤ λ₂≤ · · · % ∞

et une base orthonormale {i(e_n)}_n≥1 de H₂ (où e_n∈ H₁ pour tout n ≥ 1) telles que φ(en, v) = λnhi(en), i(v)i2 (∀v ∈ H1 et ∀n ∈ N).

De plus, l’ensemble {v_n}_n≥1 := {√1

λnen}n≥1 forme une base orthonormale de H1 par rapport

au produit scalaire φ(·, ·) (voir lemme 1.30). On dit que les λ_n sont les valeurs propres de la forme bilinéaire φ et que les en sont les vecteurs propres associés.

Démonstration.

Par le lemme 1.30, φ est un produit scalaire équivalent à h·, ·i₁. On note par k · k_φ la norme associée au produit scalaire φ(·, ·). On a donc des constantes M, m > 0 telles que

mkvk1 ≤ kvkφ≤ M kvk1 (∀v ∈ H1).

Par le théorème1.32, pour tout ξ ∈ H₂, il existe un unique u_ξ ∈ H₁ tel que

φ(uξ, v) = hξ, i(v)i2 (∀v ∈ H1).

Ainsi, l’opérateur

B : H₂ −→ (H₁, φ) ξ 7−→ u_ξ est bien défini. On montre que B ∈ BH₂, (H1, φ)

 et est injectif. Linéarité Soient λ ∈ R et ξ, η ∈ H2. On a φ(B(λξ + η), v) = hλξ + η, i(v)i2 = λhξ, i(v)i2+ hη, i(v)i2= λφ(B(ξ), v) + φ(B(η), v) = φ(λB(ξ) + B(η), v) (∀v ∈ H₁). Par le lemme 1.4, B(λξ + η) = λB(ξ) + B(η). Continuité On a kB(ξ)k2_φ= φ(B(ξ), B(ξ)) = hξ, i(B(ξ))i2 ≤ kξk2ki(B(ξ))k2 ≤ kξk2kikkB(ξ)k1 ≤ 1 mkikkB(ξ)kφkξk2 =⇒ kB(ξ)k_φ≤ 1 mkikkξk2

=⇒ B est continu.

Injectivité

Soit ξ ∈ H₂ tel que B(ξ) = 0. On a

0 = φ(B(ξ), v) = hξ, i(v)i₂ (∀v ∈ H₁).

Comme i(H1) = H2, on a ξ = 0 par le lemme 1.4 et par le lemme 1.5, B est injectif. Par le

lemme 1.10, on a i : H1, φ
→ H2 est compact. Ainsi,

C := B ◦ i : H1, φ
→ H1, φ

est un opérateur continu, linéaire et compact (voir proposition1.9). Aussi, pour tout u, v ∈ H₁, on a

φ(C(u), v) = φ(B(i(u)), v) = hi(u), i(v)i2= hi(v), i(u)i2

= φ(B(i(v)), u) = φ(C(v), u) = φ(u, C(v)).

Ceci montre que C est un opérateur autoadjoint sur H₁, φ

. Comme B et i sont injectifs (i est injectif par définition d’un plongement identité), C est injectif. Toutes les hypothèses du théorème 1.23 étant respectées, il existe une base orthonormale {vn}n≥1 de H1, φ) de

vecteurs propres associés à une suite décroissante de valeurs propres positives (µ_n)_n≥1 avec lim

n→∞µn= 0 telles que

C(vn) = µnvn (∀n ≥ 1).

On construit la suite λ_n:= _µ1

n. On a limn→∞λn = ∞ et 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . On construit aussi

l’ensemble de vecteurs {e_n}_n≥1 := {√λnvn}n≥1 ⊂ H1. On a λnC(en) = en pour tout n ≥ 1

et donc

φ(en, u) = λnφ(C(en), u) = λnhi(en), i(u)i2. (1.1)

Ainsi, il reste seulement à montrer que {i(e_n)}_n≥1 est une base orthonormale de H₂ pour compléter la preuve. De l’égalité (1.1), on obtient

φ(en, em) = λnhi(en), i(em)i2.

Comme φ(en, em) = p λnλmφ(vn, vm) = ( √ λnλm si n = m, 0 si n 6= m, on a hi(en), i(em)i2= 1 λn p λnλmφ(vn, vm) = δn,m,

où δn,m est le delta de Kronecker. Ceci montre que {i(en)}n≥1 est un ensemble orthonormal

de H₂. Soit i(u) ∈ i(H₁). Comme {v_n}_n≥1 est une base de (H₁, φ), on a u =

∞

X

n=1

Ainsi, i(u) = ∞ X n=1 1 λn φ(en, u)i(en) = ∞ X n=1

hi(en), i(u)i2i(en)

en utilisant l’équation (1.1). On en conclut que {i(e_n)}_n≥1 est une base orthonormale de

i(H1). Comme i(H1) est dense dans H2, on a par le lemme 1.16 que i(en)n≥1 est une base

Chapitre 2

Compacité des opérateurs

d’inclusion et de trace d’espaces de

Sobolev

Pour la totalité de ce chapitre, Ω est un domaine (ouvert et connexe) borné de RN avec (N ∈ N) avec une frontière suffisamment régulière (cela sera défini plus rigoureusement plus loin). L’ensemble des fonctions lisses à support compact dans Ω sera noté C₀∞(Ω). Pour permettre l’application du théorème1.33au problème de Steklov, il faudra vérifier certaines hypothèses de compacité pour certains espaces de fonctions que l’on introduira dans ce chapitre.

2.1

Préalables

2.1.1 Quelques résultats connus

Les trois premiers théorèmes de cette sous-section sont des théorèmes classiques d’analyse.

Théorème 2.1 (Théorème de flux-divergence, théorème 10.51 dans [7])

Soit F un champ de vecteurs dérivable sur un ouvert E ⊂ RN avec Ω ⊂ E. Alors,

Z Ω div(F (x)) dx = Z ∂Ω hF, ~ni_RN d∂Ω,

où ~n est le vecteur normal à la frontière pointant vers l’extérieur.

Étant donné une bijection φ, on notera J_φ(x) la matrice jacobienne de φ.

Théorème 2.2 (Théorème de changement de variables, théorème 10.9 dans [7])

Soient E ⊂ RN un ouvert et φ : E → φ(E) ⊂ RN une bijection dérivable telle que

pour tout x ∈ E. Alors, pour toute fonction continue f : φ(E) → R, on a Z φ(E) f (x)dx = Z E f (φ(x)) det(Jφ(x))dx.

Théorème 2.3 (Théorème de dérivation en chaîne, théorème 9.15 dans [7])

Soient E ⊂ Rn un ouvert, f : E → Rm une fonction dérivable en x0∈ E, U ⊂ Rm un ouvert

avec f (E) ⊂ U et g : U → Rk _{une fonction dérivable en f (x}

0). Alors, la fonction

h : E −→ Rk

x 7−→ g(f (x))

est dérivable en x0 et

Dx0h = Df (x0)g ◦ Dx0f.

Le prochain lemme est simplement l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans RN muni de la norme euclidienne appliquée à un vecteur quelconque et au vecteur (1, . . . , 1). On l’utilisera à plu-sieurs reprises dans le reste du chapitre.

Lemme 2.4 Soient a₁, a2, . . . , an∈ R. Alors, n X i=1 ai !2 ≤ n n X i=1 a2_i ! . 2.1.2 Espaces Lp_(Ω)

Les résultats de cette section sont, pour la plupart, des résultats classiques sur les espaces

Lp(Ω). Les plus connus auront des références et les moins connus seront démontrés. On rappelle que les espaces Lpsont des espaces complets et L2(Ω) est un espace de Hilbert muni du produit scalaire

hf, gi_L2_(Ω)= Z

Ω

f g dx.

Proposition 2.5 (Corollaire 4.23 dans [2])

Soit C₀∞(Ω) l’ensemble des fonctions lisses sur Ω et dont le support est compact et inclus

dans Ω. Alors, C₀∞(Ω) = L2(Ω) (où la fermeture est prise par rapport à la norme usuelle sur

L2(Ω)). Remarque

De façon similaire, il est standard que C∞(∂Ω) est dense dans L2(∂Ω) (comme ∂Ω est compact dans RN, on a C₀∞(∂Ω) = C∞(∂Ω)).

Théorème 2.6 (Inégalité de Hölder, théorème 4.6 dans [2])

Soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, f ∈ Lp(Ω) et g ∈ Lq(Ω). Alors, f g ∈ L1(Ω) et kf gk_L1_(Ω)≤ kf k_Lp_(Ω)kgk_Lq_(Ω).

Proposition 2.7

Si 1 ≤ q ≤ p < ∞, alors il existe une constante C > 0 telle que

kuk_Lq_(Ω)≤ Ckuk_Lp_(Ω) (∀u ∈ Lp(Ω))

et donc Lp(Ω) ⊂ Lq(Ω).

Démonstration.

Soit u ∈ Lp(Ω). Le cas p = q est trivial, alors on suppose que p 6= q. Par l’inégalité de Hölder (voir théorème 2.6) avec p∗ = p/q et q∗ = p/(p − q), on a

kukq_Lq_(Ω) = Z Ω |u|q_{dx = ku}q_{· 1k} L1_(Ω) ≤  Z Ω |u|q
p/q dx q/p Z Ω 1
p/(p−q) dx (p−q)/p =  Z Ω |u|p
1/p dx q (V (Ω))(p−q)/q = Ckukq_Lp_(Ω),

où V (Ω) est le volume de Ω (qui est fini, car Ω est borné) et où C := (V (Ω))(p−q)/q. Ceci veut dire que

kuk_Lq_(Ω) ≤ C1/qkuk_Lp_(Ω) < ∞

et donc u ∈ Lq(Ω).

De cette proposition, on conclut directement le corollaire suivant.

Corollaire 2.8

Soient 1 ≤ q ≤ p < ∞. Soient (un)n≥1⊂ Lp(Ω) et u ∈ Lq(Ω) tels que

kun− ukLp_(Ω) −−−→ 0.n→∞

Alors, ku_n− uk_Lq_(Ω) −−−→ 0.n→∞

Le lemme suivant sera utilisé dans la démonstration du lemme 2.29, où le rôle de A sera joué par des cubes qui recouvrent un domaine borné Ω ⊂ RN.

Lemme 2.9

Soit A ⊂ Ω un ensemble mesurable. Si ku_n− uk_Lp_(Ω)−−−→ 0, alorsn→∞

Z A |u_n|pdx
1/p n→∞ −−−→ Z A |u|pdx
1/p .

Démonstration.

Soit 1_A la fonction caractéristique de l’ensemble A (elle vaut 1 sur A et 0 ailleurs). On a

Z Ω (|un− u|1A)p dx = Z A |un− u|pdx ≤ Z Ω |un− u|pdx−−−→ 0.n→∞

Ainsi, k(un− u)1AkLP_(Ω)−−−→ 0. En utilisant l’inégalité triangulaire, on obtientn→∞

0 ≤ kun1AkLp(Ω)− ku1AkLp(Ω)   ≤ k(un− u)1AkLp(Ω) n→∞ −−−→ 0 =⇒ kun1AkLp_(Ω) −−−→ ku1n→∞ _Ak_Lp_(Ω) =⇒ Z A |un|pdx−−−→n→∞ Z A |u|pdx. 2.1.3 Espace de Sobolev H1(Ω)

Dans cette sous-section, on cherche à définir l’espace de Sobolev H1(Ω) et donner quelques résultats sur celui-ci. Cet espace sert à généraliser la notion de dérivée. De plus, il possède de bien meilleures propriétés fonctionnelles que C∞(Ω). Par exemple, on verra qu’il est natu-rellement muni d’un produit scalaire qui en fait un espace de Hilbert. On donnera la même définition que celle donnée dans [6]. On désignera par C∞(Ω) l’ensemble des fonctions infini-ment dérivables sur Ω qui peuvent être étendues de façon continue avec toutes leurs dérivées à Ω. On rappelle la définition de dérivée pour des fonctions f ∈ C∞(Ω).

Définition 2.10. Soient f ∈ C∞(Ω), y ∈ Ω et i ∈ {1, . . . , N }. On rappelle que

∂f ∂xj (y) = lim h→0 f (y1, . . . , yj+ h, . . . , yN) − f (y1, . . . , yN) h .

Parfois, on utilisera la notation ∂xjf au lieu de

∂f ∂xj.

Définition 2.11. On définit le produit scalaire suivant pour tout f, g ∈ C∞(Ω) :

hf, gi_H1_(Ω)= Z Ω f g dx + N X i=1 Z Ω ∂f ∂xi ∂g ∂xi dx = hf, gi_L2_(Ω)+ N X i=1 h∂f ∂xi , ∂g ∂xi i_L2_(Ω).

La norme induite par ce produit scalaire est

kf k_H1_(Ω)= v u u tkf k2 L2_(Ω)+ N X j=1 k∂xjf k 2 L2_(Ω).

Définition 2.12. On définit l’espace de Sobolev H1(Ω) comme étant la complétion de C∞(Ω) par rapport à la norme k · k_H1_(Ω).

En prenant la complétion, l’espace H1_{(Ω) est un espace vectoriel complet muni d’un produit}

scalaire et donc un espace de Hilbert. On peut bien voir les fonctions de H1(Ω) comme des fonctions de L2(Ω). En effet, en utilisant le fait que l’inclusion i : C∞(Ω) → L2(Ω) soit continue et le lemme 1.12 (avec C∞_{(Ω) = H}1_{(Ω)), on trouve l’inclusion}

i : H1(Ω) → L2(Ω).

Cependant, avec cette définition, il peut sembler difficile de déterminer quelle serait la « dérivée » d’une fonction f ∈ H1(Ω) (on rappelle que le but de l’espace H1(Ω) était de généraliser la notion de dérivée). C’est le but de la prochaine proposition.

Proposition 2.13 (Cas particulier de la proposition 1.1.1 dans [6])

Soit f ∈ L2(Ω). Les énoncés suivants sont équivalents :

i) f ∈ H1(Ω),

ii) Pour tout i ∈ {1, 2, . . . , N }, il existe une unique g_i ∈ L2_{(Ω) telle que, pour tout}

φ ∈ C₀∞(Ω), Z Ω f ∂φ ∂xi dx = − Z Ω giφ dx. Démonstration.

On démontre seulement i) ⇒ ii). L’autre implication n’étant pas importante pour le reste de ce mémoire, on l’a mentionnée pour le lecteur intéressé.

Existence

Soit {e₁, e2, . . . , eN} ⊂ RN la base canonique de RN. Soient f ∈ H1(Ω), φ ∈ C0∞(Ω) et

i ∈ {1, 2, . . . , N }. Par la définition de H1(Ω), il existe une suite (u_n)_n≥1 ⊂ C∞_{(Ω) telle que}

kun− f kH1_(Ω)−−−→ 0. En appliquant le théorème de flux-divergence (voir théorèmen→∞ 2.1) au

champ de vecteurs u_nφei, on obtient Z Ω div(unφei) dx = Z ∂Ω hunφei, −→n i_RN d(∂Ω). (2.1)

On a div(unφei) = ∂(u_∂xn_iφ) = φ∂u_∂xn_i +un_∂x∂φ_i. De plus, φ    ∂Ω= 0 car φ ∈ C ∞ 0 (Ω). Ainsi, l’équation (2.1) devient Z Ω  φ∂un ∂xi + un ∂φ ∂xi  dx = 0 =⇒ Z Ω un ∂φ ∂xi dx = − Z Ω φ∂un ∂xi dx =⇒ hu_n, ∂xiφiL2(Ω)= −hφ, ∂xiuniL2(Ω).

Cette égalité est vraie pour tout n ≥ 1 et pour tout φ ∈ C₀∞(Ω). Pour tout n, m ≥ 1, on a k∂_xiun− ∂xiumk

2

L2_{(Ω) (car (u}

n)n≥1 en est une dans H1(Ω)). Comme L2(Ω) est complet, il existe gi ∈ L2(Ω)

telle que k∂_xiun− gikL2_(Ω)−−−→ 0. Ainsi, en utilisant le fait quen→∞

ku_n− f k2_L2_(Ω)≤ kun− f kH1_(Ω)−−−→ 0,n→∞ on obtient hf, ∂_xiφi_L2_(Ω)= lim n→∞hun, ∂xiφiL2(Ω) = − lim_n→∞hφ, ∂xiuniL2(Ω) = −hφ, giiL2(Ω) =⇒ Z Ω f∂φ ∂xi dx = − Z Ω φgi dx (∀φ ∈ C0∞(Ω)). Unicité

Soit h ∈ L2(Ω) telle que R

Ωf ∂xiφ dx = − R Ωφh dx pour tout φ ∈ C ∞ 0 (Ω). Ainsi, Z Ω φh dx = Z Ω φgidx (∀φ ∈ C0∞(Ω)) =⇒ hφ, hi_L2_(Ω)= hφ, g_ii_L2_(Ω) (∀φ ∈ C₀∞(Ω)).

Comme C₀∞(Ω) est dense dans L2_{(Ω) (voir proposition2.5), on obtient par le lemme1.4que}

h = gi.

Remarques

1. Pour i ∈ {1, 2, . . . , N }, on dit que la fonction g_i de la proposition précédente est la dérivée de f dans la direction xi au sens faible. Pour le reste du mémoire, on notera

∂f

∂xi := gi ou ∂xif = gi (la même notation que la dérivée usuelle).

2. On aurait pu définir H1(Ω) comme étant l’ensemble des fonctions de L2(Ω) telles que la dérivée faible dans la direction xi existe et est dans L2(Ω) pour tout i ∈ {1, 2, . . . , N }.

Cependant, on a choisi la définition de complétion puisqu’elle répond mieux aux besoins de ce mémoire.

Lemme 2.14

Soient i ∈ {1, . . . , N }, (fn)n≥1⊂ H1(Ω) et f ∈ H1(Ω) tels que

kfn− f kH1_(Ω) −−−→ 0.n→∞ Alors, Z Ω f_n2  n→∞ −−−→ Z Ω f2  et Z Ω (∂xifn) 2 n→∞ −−−→ Z Ω (∂xif ) 2_.

Démonstration.

On déduit immédiatement kf_n− f k_L2_(Ω)−−−→ 0 et donc ∀i ∈ {1, . . . , N }, on an→∞

k∂xifn− ∂xif kL2(Ω)

n→∞

−−−→ 0.

En utilisant l’inégalité triangulaire, on obtient

|kfnkL2_(Ω)− kf k_L2_(Ω)| ≤ kf_n− f k_L2_(Ω)−−−→ 0n→∞

et donc kf_nk_L2_(Ω) n→∞

−−−→ kf k_L2_(Ω). On peut en déduire de même pour les suites (∂_xif_n)_n≥1.

La prochaine proposition sera seulement utilisée au troisième chapitre pour démontrer l’in-égalité de Friedrichs (voir théorème 3.8). Néanmoins, ce chapitre est plus adéquat pour la présenter.

Proposition 2.15

Soit (fn)n≥1 ⊂ H1(Ω) une suite telle qu’il existe f, g1, . . . , gN ∈ L2(Ω) pour lesquelles

kfn− f kL2_(Ω)−−−→ 0n→∞ et k∂_xifn− gikL2_(Ω)−−−→ 0.n→∞ Alors, f ∈ H1(Ω) et ∂xif = gi pour i = 1, 2, . . . , N . Démonstration. Les suites (f_n)_n≥1, ∂fn ∂x1  n≥1, . . . , _∂f n ∂xN 

n≥1 sont de Cauchy dans L

2_{(Ω) par hypothèse.} Puisque kf_n− f_mk2 H1_(Ω)= N X i=1 k∂fn ∂xi −∂fm ∂xi k2 L2_(Ω)+ kfn− fmk2L2_(Ω),

la suite (f_n)_n≥1 est une suite de Cauchy dans H1(Ω). L’espace H1(Ω) étant complet par définition, il existe h ∈ H1(Ω) telle que kfn− hkH1_(Ω) −−−→ 0. De plus, on a ∂n→∞ _xih = g_i. Par

le lemme 2.14, fn −−−→ h dans Ln→∞ 2(Ω). Une limite étant unique, on obtient h = f ∈ H1(Ω)

et aussi ∂_xif = ∂xih = gi pour tout i ∈ {1, . . . , N }.

2.1.4 Repère orthonormé et frontière continue

Définition 2.16. Soient B := {v1, . . . , vN} ⊂ RN une base orthonormale et p ∈ RN. Le

repère orthonormé donné par (B, p) permet de représenter chaque élément x ∈ RN par

x = p +

N X

j=1

(pour certains w_{j ∈ R). Soit B la matrice N × N ayant le vecteur vi} comme i-ème rangée (c’est une matrice orthogonale puisque la base B est orthonormée). L’application

φ : RN −→ RN

x 7−→ B(x − p)

est appelée le paramétrage du repère orthonormé puisqu’elle envoit p+PN j=1

wjvjvers (w1, . . . , wN)t.

L’inverse de φ est bien défini. En effet, on peut facilement calculer que φ−1(w) := B−1w + p.

La prochaine proposition permet d’intégrer et de dériver à travers les repères orthonormés.

Proposition 2.17

Soit ({v1, . . . , vN}, p) un repère orthonormé (avec paramétrage φ). Alors, pour tout f ∈

C∞(Ω), on a 1) R Ωf (x) dx = R φ(Ω)(f ◦ φ −1_{)(w) dw,} 2) Pour tout x ∈ RN, on a N X i=1 _∂f ∂xi (x) 2 = N X i=1 ∂(f ◦ φ−1) ∂vi (w) !2 , où _∂x∂

i est la dérivée partielle usuelle dans R

N _{et w := φ(x).}

Démonstration.

1) On a J_φ−1(w) = B−1. Par le théorème de changement de variables (théorème 2.2), on a

Z Ω f (x) dx = Z φ(Ω) (f ◦ φ−1)(w)| det(J_φ−1(w))| dw = Z φ(Ω) (f ◦ φ−1)(w)| det(B−1)| dw = Z φ(Ω) (f ◦ φ−1)(w) dw

(où det(B−1) = 1 car B−1 est orthogonale). 2) Soit u ∈ RN. On a Dw(f ◦ φ−1)(u) = ∂(f ◦ φ−1) ∂v1 (w), . . . ,∂(f ◦ φ −1₎ ∂vN (w) !      u1 .. . uN      .

Par le théorème de dérivation en chaîne (théorème2.3), on obtient

Dw(f ◦ φ−1)(u) = 

D_φ−1_(w)f ◦ D_wφ−1 

On a D_wφ−1(u) = B−1u et  D_φ−1_(w)f ◦ D_wφ−1  (u) = D_φ−1_(w)f  B−1u = _∂f ∂x1 (x), . . . , ∂f ∂xN (x)  B−1      u1 .. . uN      .

Ainsi, l’équation (2.2) devient :

∂(f ◦ φ−1) ∂v1 (w), . . . ,∂(f ◦ φ −1₎ ∂vN (w) ! = _∂f ∂x1 (x), . . . , ∂f ∂xN (x)  B−1. On écrit _∂x1∂f (x), . . . ,_∂x∂f N(x) 

= ∇f (x) pour simplifier l’écriture. Comme B−1 est une matrice orthogonale, on a ∇f (x)B −1 2 RN = ∇f (x)B−1∇f (x)B−1t = ∇f (x)B−1B (∇f (x))t= ∇f (x) (∇f (x))t= N X i=1 _∂f ∂xi (x) 2 . On en conclut que N X i=1 _∂f ∂xi (x) 2 = N X i=1 ∂(f ◦ φ−1) ∂vi (w) !2 .

On introduit maintenant la notion qui définira le domaine suffisamment régulier qui a été mentionné dans l’introduction.

Définition 2.18. Soit Ω ⊂ RN un domaine borné. On suppose qu’il existe α, β > 0, M ∈ N, des repères orthonormaux ({v₁r, vr₂, . . . , vr_N}, pr) avec paramétrage

φr(x) = (wr1, . . . , wrN)

(on notera (w_r0, wrN) := (wr1, . . . , wrN)) et des fonctions continues ar : ∆r → R pour

r = 1, . . . , M (où ∆r := {(w0r∈ RN −1: |wri| < α ∀i = 1, 2, . . . , N − 1}) tels que :

i) pour tout x ∈ ∂Ω, il existe r ∈ {1, · · · , M } et φr(x) = (wr0, ar(w0r)) avec w0r∈ ∆r,

ii) pour tout w0_r∈ ∆_r, on a φ−1_r (w0_r, ar(w0r)) ∈ ∂Ω,

iii) si w0_r∈ ∆r et ar(wr0) < wrN < ar(w 0 r) + β, alors x = φ−1r (w0r, wrN) ∈ Ω, iv) si w0_r∈ ∆r et ar(wr0) − β < wrN < ar(w 0 r), alors x = φ−1r (w0r, wrN) 6∈ Ω.

Si tel est le cas, on dit que la frontière de Ω est continue. De plus, si les fonctions a_r sont lipschitziennes, on dit que Ω est un domaine à frontière lipschitzienne.

On donne une figure permettant d’imager la définition précédente. Cette figure représente un domaine borné de R2 auquel on montre l’un des paramétrages pouvant servir à déterminer si la frontière de ce domaine est continue ou non.

Figure 2.1 – Représentation d’un domaine à frontière continue

Théorème 2.19 (Théorème de Rademacher, théorème 2 (section 3.1) dans [3])

Soient m, n ∈ N et f : Rn → Rm _{une fonction lipschitzienne. Alors, f est dérivable presque}

partout.

La prochaine proposition sert à rappeler comment intégrer sur une « surface » lorsque cette « surface » est paramétrée par le graphe d’une fonction dérivable. Tout bon livre de géométrie différentielle en donne la démonstration, c’est pourquoi on l’omet ici.

Proposition 2.20

Soit S ⊂ RN une « surface » paramétrée par

ψ : U ⊂ RN −1 −→ S

w0 7−→ (w0, a(w0)),

où a : U → R est une fonction dérivable. Alors, pour f ∈ C(S), on a

Z S f dS = Z U (f ◦ ψ)(w0) v u u t1 + N −1 X i=1 _∂a ∂xi (w0₎ 2 dw0.

En combinant la proposition précédente avec une partition de l’unité, il est possible de définir une mesure naturelle d(∂Ω) sur ∂Ω. Pour les besoins de ce mémoire, on se contentera de donner une borne supérieure pour la norme de fonctions f ∈ L2(∂Ω).

Proposition 2.21

que, pour tout f ∈ C∞(Ω), Z ∂Ω f2 d(∂Ω) ≤ K M X r=1 Z ∆r  f (φ−1_r (w0_r, ar(w0r))) 2 dw_r0. Démonstration.

Par le théorème de Rademacher (théorème 2.19), a_r : ∆_{r→ R est dérivable presque partout} pour tout r ∈ {1, . . . , M }. Ainsi, l’ensemble Sr := φ−1r (∆r) ⊂ ∂Ω est une « surface »

paramé-trée par le graphe d’une fonction dérivable presque partout. On peut donc écrire (en utilisant la proposition 2.20avec φ−1= ψ) : Z Sr f2dSr = Z ∆r  f (φ−1_r (w_r0, ar(w0r))) 2 v u u t1 + N −1 X i=1 _∂a r ∂xi (w0 r) 2 dw0_r. (2.3) De plus, comme chaque ar est lipschitzienne (avec constante Kr), pour tout i = 1, . . . , N , on

a     ∂ar ∂xi (w0_r)     = lim h→0     ar(wr1, . . . , wri+ h, . . . , wrN) − a(w 0 r) h     = lim h→0 |a_r(w_r1, . . . , wri + h, . . . , wrN) − a(w 0 r)| |(wr1, . . . , wri+ h, . . . , wrN) − w 0 r| ≤ K_r.

On peut donc trouver une constante K telle que, pour tout i ∈ {1, . . . , N − 1} et pour tout

r ∈ {1, . . . , M }, v u u t1 + N −1 X i=1 _∂a r ∂xi (w0 r) 2 ≤ K.

En combinant l’inégalité précédente et l’égalité (2.3), on obtient

Z Sr f2 dS_r≤ K Z ∆r  f (φ−1_r (w0_r, ar(wr0))) 2 dw_r0 =⇒ M X r=1 Z Sr f2dS_r≤ K M X r=1 Z ∆r  f (φ−1_r (w0_r, ar(w0r))) 2 dw_r0. Comme ∂Ω = MS r=1 Sr, on obtient Z ∂Ω f2 d(∂Ω) = Z M S r=1 Sr f2d(∂Ω) ≤ M X r=1 Z Sr f2 dS_r ≤ K M X r=1 Z ∆r  f (φ−1_r (w0_r, ar(w0r))) 2 dw_r0.

2.2

Théorème de Rellich

Le théorème de Rellich dit que l’opérateur inclusion i : H1(Ω) → L2(Ω) est compact. Pour le démontrer, on a besoin de plusieurs résultats, dont l’inégalité de Poincaré pour les cubes.

Théorème 2.22 (Inégalité de Poincaré pour les cubes, théorème 1.1.3 dans [6])

Soit a > 0. On pose C := {(x₁, . . . , xN) ∈ RN : |xi| < a ∀i = 1, . . . , N }, le cube de dimension

N et d’arête de longueur 2a. Pour tout f ∈ H1(C), on a

Z C f2dx ≤ 2a2N Z C N X i=1 (∂_xif )2dx + 1 (2a)N Z C f dx 2 . Démonstration.

Soient u ∈ C∞(C) et y, z ∈ C. On a l’égalité suivante :

     N X i=1 Z yi zi

∂xiu(y1, . . . , yi−1, ξi, zi+1, . . . , zN) dξi

     =      N X i=1 

u(y1, . . . , yi, zi+1, . . . , zN) − u(y1, . . . , yi−1, zi, . . . , zN)       = |u(y) − u(z)|.

On en déduit ce qui suit par le lemme 2.4et l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir lemme1.7) dans L2((z_i, yi)) (ou dans L2((yi, zi)) si zi> yi) :

u(y)
2 − 2u(y)u(z) + u(z)
2 = u(y) − u(z)
2 =      N X i=1 Z yi zi

∂xiu(y1, . . . , yi−1, ξi, zi+1, . . . , zN) dξi

     2 ≤ N N X i=1 Z yi zi

∂xiu(y1, . . . , yi−1, ξi, zi+1, . . . , zN) dξi

2 ≤ N N X i=1 Z yi zi 12 dξi  Z yi zi 

∂xiu(y1, . . . , yi−1, ξi, zi+1, . . . , zN)

2 dξi ! ≤ N N X i=1 |yi− zi| Z yi zi 

∂xiu(y1, . . . , yi−1, ξi, zi+1, . . . , zN)

2 dξi ≤ 2aN N X i=1 Z a −a 

∂xiu(y1, . . . , yi−1, ξi, zi+1, . . . , zN)

2

dξi.

On a donc l’inégalité suivante :

u(y)
2 − 2u(y)u(z) + u(z)
2 ≤ 2aN N X i=1 Z a −a 

∂xiu(y1, . . . , yi−1, ξi, zi+1, . . . , zN)

2

Pour démontrer le théorème, on veut intégrer cette inégalité sur C × C par rapport à (y, z). D’abord, on remarque que pour tout i ∈ {1, 2, . . . , N }, on a

Z

C×C Z a

−a



∂xiu(y1, . . . , yi−1, ξi, zi+1, . . . , zN)

2 dξidydz = Z C 2a
N −i+1 Z a −a i−1Z a −a 

∂xiu(y1, . . . , yi−1, ξi, zi+1, . . . , zN)

2 dξidy1. . . dyi−1dz = 2a
N +1 Z a −a N −iZ a −a i  ∂xiu(ξ1, . . . , ξi, zi+1, . . . , zN) 2 dξ₁. . . dξidzi+1. . . dzN = 2a
N +1 Z a −a N_ ∂xiu(ξ1, . . . , ξN) 2 dξ₁. . . dξN = 2a)N +1 Z C ∂xiu(x)
2 dx.

En remplaçant l’égalité précédente dans l’inégalité, on obtient

Z

C×C 

u(y)
2

+ u(z)
2

− 2u(y)u(z)dydz ≤ 2aN

N X i=1 (2a)N +1 Z C ∂xiu(x)
2 dx.

En utilisant le fait que y et z sont des variables indépendantes, on obtient

2(2a)N Z C u(x)
2 dx − 2 Z C u(x) dx 2 ≤ (2a)N +2_N N X i=1 Z C ∂xiu(x)
2 dx ⇒ Z C (u(x))2dx ≤ 2a2N N X i=1 Z C ∂xiu(x)
2 dx + 1 (2a)N Z C u(x) dx 2 .

L’énoncé du théorème est donc démontré pour tout u ∈ C∞(C). Soit f ∈ H1(C). Par défi-nition de H1(C), il existe (un)n≥1 ⊂ C∞(C) telle que kun− f kH1_(C)−−−→ 0. Par le lemmen→∞

2.14 et le corollaire 2.8, on obtient la convergence de la suite (u_n)_n≥1 vers f dans L2_{(Ω) et}

L1(Ω). On en conclut que lim n→∞ Z C u2_ndx ≤ lim n→∞ 2a 2_N N X i=1 Z C ∂xiun
2 dx + 1 (2a)N Z C undx 2! =⇒ Z C f2 dx ≤ 2a2N N X i=1 Z C ∂xif
2 dx + 1 (2a)N Z C f dx 2 .

Pour démontrer le théorème de Rellich, on a aussi besoin de quelques rappels et résultats sur la compacité des ensembles et des opérateurs.

Lemme 2.23 (Partie a) du théorème 7.5 dans [8])