Contribution à la modélisation à l'impact de pales d'hélicoptère

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Délivré par l'Université Toulouse III - Paul Sabatier Discipline ou spécialité : Génie Mécanique

JURY

BARRAU J.J. Directeur de thèse FERRERO J.F. Co-directeur de thèse WIELGOSZ C. Rapporteur COUTELIER D. Rapporteur SARTOR M. Membre RAUCH P. Membre

Ecole doctorale : MEGeP Unité de recherche :

Directeur(s) de Thèse : BARRAU J.J.-FERRERO J.F.

Présentée et soutenue par TAWK Issam Le 21 Janvier 2009

REMERCIEMENTS

Cette thèse a été effectuée conjointement au sein des laboratoires L.G.M.T et LMS de l’ISAE. Dans ce contexte, je tiens à remercier toutes les personnes ayant participé de près ou de loin à l’élaboration de ce travail.

J’exprime toute ma reconnaissance à chacun des membres du jury pour l’intérêt manifesté envers ce travail. Je remercie Monsieur Marc SARTOR de l’honneur qu’il m’a fait en présidant ce jury. J’exprime également toute ma gratitude à Messieurs Daniel COUTELLIER et Christian WIELGOSZ pour avoir accepté d’être rapporteurs. Je remercie également Monsieur Patrice RAUCH qui m’a fait l’honneur de participer à l’évaluation de ce travail.

Je continuerais en témoignant toute ma reconnaissance à mon directeur de thèse

Jean-Jacques BARRAU, qui m’a apporté tout son soutien et ses compétences, et à Monsieur Jean-François FERRERO pour m’avoir suivi au cours de ces années.

Je voudrais remercier Monsieur Serge CREZE pour son accueil chaleureux et les moyens d’essais qu’il a mis à ma disposition.

Je tiens à remercier vivement Christophe pour sa confiance en moi et pour m’avoir donné la chance d’enseigner. Merci pour ton amitié, ton aide, tes barbecues.

Je pense avec sympathie à toutes les personnes du laboratoire qui m’ont directement aidé ou qui ont tout simplement partagé ces quatre années de thèse dans une ambiance chaleureuse : l’ensemble des techniciens pour leur aide précieuse pour la fabrication des pales, et les essais, Mimi, Xavier, Marco, Marc, Paulo, Thierry, et Joël.

Mimi, merci également pour tes conseils de vol en parapente ; Xavier pour les réparations de ma voiture ; Marc, Marco, Paulo et Thierry pour les agréables pauses de café.

Je remercie également Elie et Sandrine pour leurs conseils et leur amitié; Elias pour son amitié, et ses encouragements ; Mathieu pour sa gentillesse et son écoute ; Sam pour son expérience partagée dans le domaine d’impact ; Guillaume pour sa gentillesse ; Joseph pour son amitié et son soutien ; Victorien pour sa sympathie et ses encouragements ; Javier pour les mots d’espagnol qu’il m’a appris ; Merci à mes coéquipiers de foot Damien, Amir, et Pierre pour tous les bons moments ; et merci à Bruno pour les discutions provenant d’un futur professeur.

Je remercie également Momo, Laura, et Olivier qui ont contribué, par leur stage, à l’avancement de ces travaux de recherche.

Je remercie tous mes amis libanais de Toulouse pour l’ambiance conviviale…

Je souhaiterais remercier l’ensemble de ma famille pour son soutien qui a pu m’amener à compléter mes études.

Enfin, merci à Florence pour m’avoir toujours soutenu et encouragé, et merci également pour la correction des fote d’ortograf…

TABLE DES MATIERES

CHAPITRE I-PRELIMINAIRES……….………..9

I-1.INTRODUCTION...9

I-2.PRESENTATION D’UNE PALE...10

I-3.PLAN DU RAPPORT DE THESE...11

CHAPITRE II-ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE………..13

II-1.INTRODUCTION...13

II-2.LES CODES DE CALCUL ELEMENTS FINIS EN DYNAMIQUE...14

II-2.1. Introduction...14

II-2.2. Les équations d’équilibre...14

II-2.3. Formulation variationnelle :...15

II-2.4. La formulation éléments finis...16

II-2.5. Schémas d’intégration...18

II-2.6. Schéma implicite...19

II-2.7. Schéma explicite...20

II-2.8. Stabilité du schéma explicite...21

II-2.9. Algorithme de calcul...21

II-2.10. Bilan...22

II-3.ENDOMMAGEMENTS DES STRATIFIES COMPOSITES...24

II-3.1. Introduction...24

II-3.2. Modes d’endommagement avec un aperçu des principaux critères de rupture existants...24

II-3.2.1. Fissuration matricielle...24

II-3.2.2. Délaminage...26

II-3.2.3. Rupture de fibres...29

II-3.2.4. Critère global...30

II-3.3. Modèles sans éléments d’interface...30

II-3.3.2. Modélisation par une couche d’éléments volumes par pli composite...32

II-3.4. Modèles avec éléments d’interface...33

II-3.4.1. Modèles basés sur les forces de liaison...34

II-3.4.2. Modèles basés sur la mécanique de l’endommagement...35

II-3.4.3. Modèles basés sur la mécanique de la rupture...38

II-3.5. Conclusion...41

II-4.ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE SUR LA CARACTERISATION DU DELAMINAGE...42

II-4.1. Délaminage en mode I :...42

II-4.2. Délaminage en mode II :...43

II-4.3. Délaminage en mode III :...44

II-4.4. Délaminage en mode mixte (mode I+II) :...44

II-4.4.1. Introduction...44

II-4.4.2. Les différents tests...44

II-4.5. Méthode de calcul du taux de restitution d’énergie :...46

II-4.5.1. Introduction...46

II-4.5.2. Sollicitations en mode I (test DCB)...46

II-4.5.3. Sollicitations en mode II (tests ENF et ELS) :...48

II-4.5.4. Sollicitations de mode mixte (TEST ADCB)...52

II-4.6. Conclusion...54

II-5.CONCLUSIONS...55

CHAPITREIII-ETUDEEXPERIMENTALE………..…………...57

III-1.INTRODUCTION...57

III-2.PRESENTATION GENERALE...58

III-2.1. Réalisation des tronçons de pale...58

III-2.1.1. Présentation du moule...58

III-2.1.2. Définition géométrique des éprouvettes...58

III-2.1.3. Drapage des éprouvettes...58

III-2.2. Dispositif expérimental...59

III-2.2.1. Canon à gaz comprimé...59

III-2.2.2. Projectiles...60

III-2.2.3. Mesure de vitesse...60

III-2.3. Conception du support de l’éprouvette...60

III-2.3.1. Objectifs...60

III-2.3.2. Solution adoptée...61

III-2.4. Réglages préliminaires...63

III-2.5. Mise en place des essais...63

III-2.6. Analyse et résultats des essais...64

III-2.6.1. Analyse de la vidéo...64

III-2.6.2. Tapping...65

III-2.6.3. Métrologie...65

III-2.6.4. Inclusion dans la résine...66

III-3.ESSAIS D’IMPACT DE REFERENCE....67

III-3.1. Définition des éprouvettes et caractéristiques d’essais...67

III-3.2. Observation générale des pales après impact...68

III-3.2.1. Analyse visuelle...68

III-3.2.2. Mesure avec la MMT...74

III-3.2.3. Analyse de la vidéo et Tapping...75

III-3.2.4. Conclusion...80

III-3.3. Etude et comparaison des coupes après inclusion dans la résine...81

III-3.3.1. Coupes des 8 pales au plan de l’impact...81

III-3.3.2. Etude géométrique des pales au plan de l’impact...83

III-3.3.3. Coupes des 8 pales à 10mm au plan de l’impact...84

III-3.3.4. Coupes des 8 pales à 20mm au plan de l’impact...85

III-3.3.5. Coupes des pales à 40mm au plan de l’impact...87

III-3.3.6. Coupes des pales des essais 5, 6, 8...88

III-3.3.7. Conclusion...89

III-4.ANALYSE DE L’INFLUENCE DE LA PEAU ET DE LA NERVURE...90

III-4.1. Définition des éprouvettes et caractéristiques d’essais...90

III-4.2. Essais d’impacts 9 et 10...91

III-4.2.1. Expertise visuelle...91

III-4.2.2. Inclusion dans la résine du bord d’attaque...92

III-4.2.3. Essai 10...94

III-4.2.4. Etude géométrique sur l’essai 9...95

III-4.3.1. Expertise visuelle de l’essai 11...97

III-4.3.2. Analyse sur les coupes...98

III-4.3.3. Expertise visuelle de l’essai 12...99

III-4.3.4. Analyse sur les coupes...100

III-4.3.5. Comparaison entre les pales des essais 8 et 10...101

III-4.3.6. Comparaison des pales des essais 5 et 11...103

III-4.4. Conclusion...105

III-5.MODIFICATION DU BORD D’ATTAQUE...106

III-5.1. Définition des éprouvettes...106

III-5.2. Essai 13 : bord d’attaque sans la protection inox...107

III-5.3. Essai 14 : bord d’attaque + 1 tissu de carbone...110

III-5.4. Essai 15 : bord d’attaque avec protection en carbone (3T.C.)...113

III-6.ADJONCTION D’UNE DEUXIEME NERVURE...116

III-6.1.1. Conclusions...119

III-7.CONCLUSIONS SUR LE CHAPITRE...120

CHAPITRE IV-MODELISATION ELEMENTS FINIS DE L'IMPACT…...121

IV-1.INTRODUCTION...121

IV-2.MODELE NUMERIQUE...122

IV-2.1. Introduction...122

IV-2.2. Problématique et modélisation...122

IV-2.3. L’impacteur...125

IV-2.4. Lois matériaux...125

IV-2.5. Les propriétés...131

IV-2.6. Les interfaces...131

IV-3.VALIDATION DE LA METHODE DE MODELISATION...132

IV-3.1. Impact pale référence à 18m/s...132

IV-3.2. Impact pale référence à 49.52 m/s...135

IV-3.3. Impact pale référence à 70.71 m/s...137

IV-3.4. Impact pale référence à 94.45 m/s...139

IV-3.5. Impact pale référence à 119 m/s...142

IV-3.6. Analyse des résultats...145

IV-5.ETUDE DE SENSIBILITE...152

IV-5.1. Sensibilité de la résine...152

IV-5.1.1. Influence du mécanisme de dégradation...152

IV-5.1.2. Influence de la rigidité de la résine...154

IV-5.2. Sensibilité de la résine d’interface...156

IV-5.3. Sensibilité de la mousse...158

IV-5.4. Sensibilité de la mousse d’interface...159

IV-6.DESIGN...161

IV-6.1. Apport d’un tissu en verre à la peau...161

IV-6.2. Bord d’attaque rigidifié...162

IV-6.3. Différents drapages de la peau...163

IV-7.CONCLUSION...165

CHAPITRE V-MODELISATION DE DELAMINAGE DANS L'ELEMENT PEC….167 V-1.INTRODUCTION...167

V-2.PRESENTATION DES TRAVAUX DE THESE D’ELIE ABDULLAH...168

V-2.1. Introduction...168

V-2.2. L’élément Plaque Epaisse Composite « PEC »...169

V-2.3. L’élément plaque type Belytschko-Lin-Tsay...171

V-2.4. La liaison PEC – Plaques...171

V-2.5. Méthode de passage de l’élément PEC à l’élément bi-plaque...172

V-2.5.1. Lois d’endommagement et de transfert fonction de la longueur de fissure ...173

V-2.6. Critère de délaminage au niveau local de l’élément...174

V-2.7. Applications numériques...179

V-3.LIMITATIONS DANS LE CODE MEF_EX...180

V-4.NOUVELLE APPROCHE DANS LA FORMULATION DE L’ELEMENT PEC...181

V-4.1. Dégradation aux points de Gauss...181

V-4.2. Validation des lois d’endommagement...187

V-4.3. Contact...191

V-5.NOUVELLE APPROCHE POUR LA MODELISATION DU DELAMINAGE...192

V-5.2. Validation de la méthode de modélisation...195

V-5.3. Validation du calcul de G en DCB...199

V-5.4. Validation du calcul de G en ELS...200

V-5.5. Étude de la performance de la nouvelle approche...202

V-6.ESSAIS EXPERIMENTAUX ET MODELES NUMERIQUES...205

V-6.1. Test DCB et modélisation...205

V-6.2. Test ELS et modélisation...208

V-6.3. Test ENF et modélisation...210

V-6.4. Test ADCB et modélisation...212

V-7.CONCLUSIONS...215

CONCLUSIONS GENERALES ET PERSPECTIVES ………..…………...217

CHAPITRE I

PRELIMINAIRES

I-1. Introduction

Dans le domaine des transports, la sécurité des passagers et la fiabilité des structures sont des aspects essentiels. En particulier dans le domaine de l’aéronautique, la demande des industriels pour des matériaux à la fois résistants et légers a été le moteur du développement des composites.

La course aux améliorations techniques est donc accompagnée, nécessairement, par une demande de sécurisation et d’augmentation de la fiabilité des structures de plus en plus exigeante de la part des utilisateurs et des organismes de certification.

Il est devenu courant de trouver sur des aéronefs civils et militaires des parties structurales en matériaux composites telles que les ailerons, dérives, voilures et pales de rotor. Les structures de certains aéronefs légers sont totalement réalisées en composites.

Cependant, plusieurs points faibles limitent encore leur expansion. Le premier point faible de ce type de matériaux reste généralement leurs coûts globaux. De plus, le comportement des composites aux chocs reste difficile à prédire. La nécessité de prendre en compte les cas d’impact dans le domaine aéronautique n’est pas nouvelle. Ainsi sont dimensionnés à l’impact les pare-brises d’avions (impact d’oiseaux), les moteurs (ingestion d’oiseaux),... mais la modélisation de ces phénomènes reste difficile, et souvent, l’essai remplace la prédiction, ce qui a évidemment un coût, surtout lorsque l’essai révèle un défaut de tenue à l’impact.

La diminution du nombre d’essais passe forcément par une compréhension fine de ces phénomènes physiques ainsi que par le développement de modèles éléments finis de l’endommagement. Cependant, la modélisation des endommagements des structures complexes reste à l’heure actuelle difficile à réaliser.

Les hélicoptères n’échappent pas à la règle. Durant la phase de vol, l’hélicoptère est susceptible de rentrer en contact avec des objets divers. Un point particulièrement sensible de la structure d’un hélicoptère est la pale. De nombreux incidents en vol ont fait prendre conscience aux constructeurs de la nécessité de se pencher sur la question de l’impact sur pale. On ne fera pas de différence entre les pales du rotor principal ou les pales du rotor anti-couple, dont la destruction totale ou partielle peut, dans les deux cas, rendre l’appareil incontrôlable, et causer sa perte.

Les incidents les plus fréquemment observés en vol, sont les impacts d’oiseaux, les branchages, les douilles pour les aéronefs à vocation militaire, et surtout l’impact de blocs de givre. En effet, il est fréquent d’observer la formation de givre sur les structures et matériels embarqués qui dépassent de la cellule, et lors de la descente le givre se détache par blocs qui peuvent impacter les pales du rotor anti-couple.

Pour améliorer les performances des aéronefs, la diminution du poids est nécessaire. Sur les pales, la chasse au poids se traduit par l’utilisation d’une technique sandwich : un longeron principal reprend les efforts centrifuges, une peau donne à la pale le profil aérodynamique voulu, et le tout est stabilisé par une âme, en mousse par exemple. Les composites sont connus pour être relativement endommageables à l’impact, et les ordres de grandeur des vitesses d’objets pouvant impacter une pale en rotation sont tels que les dégâts occasionnés peuvent diminuer très sensiblement la résistance des pales.

La problématique est de pouvoir prédire de manière réaliste l’effet d’un impact sur une pale, afin de dimensionner au mieux ces structures composites complexes. Il s’agit donc de pouvoir prédire l’endommagement des structures, leur tenue résiduelle, et d’intégrer ces calculs à la phase de conception pour éviter des essais coûteux, limiter le nombre de prototypes et raccourcir la durée de développement.

Le but de ce travail de thèse est d’appréhender le problème de l’impact sur pale d’hélicoptère du point de vue de la résistance de la structure. Il ne s’agit donc pas de modéliser les différents types d’objets susceptibles d’impacter une pale, mais de regarder le comportement d’une structure telle qu’une pale soumise à un impact. Un impact de type dur tel que l’impact d’un objet métallique sera donc envisagé.

Devant la complexité d’une telle structure et des phénomènes menant à son endommagement, il n’est pas non plus question de fournir une liste exhaustive de réponses à l’ensemble des problèmes soulevés par l’impact d’un corps métallique. Ce travail est une contribution à l’étude de l’impact. Il permettra de faire le point sur les problèmes rencontrés lors d’un tel impact et sur les phénomènes mis en jeu. Des modélisations de ces phénomènes seront alors proposées.

I-2. Présentation d’une pale

Initialement en métal léger, la pale d’aujourd’hui est formée essentiellement de matériaux composites. La pale d’hélicoptère a une fonction primordiale puisqu’elle assure la portance (rotor principal) ou la stabilisation de l’appareil (rotor anti-couple). L’utilisation des composites dans les pales a permis des gains de masse importants. La technique utilisée aujourd’hui est la technique sandwich : les différents constituants de la structure sont les suivants (Figure I.1), [GAY 1989] :

- la peau, qui définit le profil aérodynamique de la pale, et reprend les efforts de torsion dus aux efforts aérodynamiques. Elle est formée de composite hybride : carbone époxyde et verre-époxyde,

- le longeron principal, en verre-époxyde unidirectionnel, au niveau du bord d’attaque, qui assure un aspect massif permettant de résister au choc et qui reprend les efforts normaux dus à la force centrifuge entraînée par les efforts de portance et de traînée,

- un arêtier en verre-époxyde pour donner de la rigidité dans le plan,

- un matériau de remplissage, de type mousse ou Nida, pour stabiliser les peaux de densité environ 80kg /m3,

- une plaque métallique en titane ou acier inoxydable, recouvrant le bord d’attaque, et protégeant la pale d’une usure prématurée du bord d’attaque.

- Une ou deux nervures, éventuellement, pour aider le matériau de remplissage à stabiliser les peaux, et qui évitent la propagation des fissures en cas d’impact.

Figure I.1 : Coupe d’une pale d’hélicoptère

La conception de la pale doit assurer une durée de vie quasiment infinie. Elle subit des efforts de traction, de flexion, et de torsion, tant en statique qu’en dynamique. L’essentiel des efforts est repris par le longeron, et la peau n’est quasiment soumise qu’à des efforts de traction (sauf cas exception d’une rafale de vent sur une pale à l’arrêt, les zones intrados sont alors en compression), parce que la force centrifuge est prédominante.

I-3. Plan du rapport de thèse

Le rapport de thèse est divisé en 4 parties.

La première partie présente les codes éléments finis explicites ainsi qu’une recherche bibliographique sur les problèmes d’impact des structures composites. Les différents modes d’endommagement sont étudiés. Les différents critères de ruptures sont présentés ainsi que les modélisations éléments finis de différentes structures soumises à un impact. Enfin, la caractérisation du délaminage par l’étude de la propagation des fissures en mode I, II, et mode mixte (I+II).

Les essais d’impacts sur des tronçons de pales sont présentés dans la deuxième partie. Plusieurs niveaux d’énergie sont étudiés sur une pale de référence : ils permettent de mettre en place la chronologie de l’endommagement. De plus l’influence des paramètres comme le drapage des peaux, la nervure et le design du bord d’attaque sont également présentés.

La troisième partie présente une modélisation numérique globale sous RADIOSS représentative des différents phénomènes physiques rencontrés durant l’impact des tronçons de pale. Cette modélisation globale, basée sur une approche macroscopique permet de représenter correctement les phénomènes physiques observés.

Enfin dans la dernière partie, on s’intéressera au développement d’une approche locale globale dédiée à la modélisation du délaminage pour les différentes modes (I, II, mixte (I+II)), introduite au code MEF_EX (interne). Des applications numériques de poutres Double Cantilever Beam et ELS, et ENF et ADCB seront également présentées dans cette partie. Cette approche doit permettre à terme d’améliorer notre modèle global.

CHAPITRE II

ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

II-1. Introduction

Ce travail de thèse peut se diviser en trois grandes parties. Dans une première partie, on étudie l’impact sur des tronçons de pales. Dans une seconde partie, on s’attache à une modélisation globale de l’impact des tronçons de pale. Dans une troisième partie, on s’intéresse à la modélisation du délaminage et son contrôle à travers un critère de rupture et une loi d’endommagement en utilisant un élément volumique (interne) dédiée pour cette modélisation.

Dans cette optique, l’étude bibliographique porte sur deux grands axes : la théorie des éléments finis en dynamique et les différentes modélisations des endommagements des structures composites.

Dans une première partie, on analysera la méthode éléments finis en dynamique. On rappellera les bases théoriques de cette méthode qui ont servi d’une part à la formulation d’un nouvel élément et d’autre part au développement d’un code éléments finis explicite (interne). L’aperçu de la méthode des éléments finis présenté dans cette partie est basé sur de nombreux travaux existants parmi lesquels nous citerons [IMBERT (1984)], [BATHE (1982)], [ZIENKIEWICZ (1971)], [CRISFIELD (1991)] et [RADIOSS (2005)].

Dans la seconde partie, on décrira les principaux modes d’endommagement que subissent les structures composites et les critères de rupture les plus utilisés pour contrôler ces modes. On évoquera aussi les différentes modélisations existantes de ces modes. L’accent sera mis particulièrement sur la modélisation du délaminage et notamment sur la mécanique de la rupture qui constitue un point essentiel pour l’élaboration du critère de délaminage présenté au chapitre IV.

II-2. Les codes de calcul Eléments Finis en dynamique

II-2.1. Introduction

La répartition des déformations et des contraintes dans un milieu continu, ou bien encore la réponse d’une structure soumise à une sollicitation quelconque, sont des connaissances nécessaires pour l’ingénieur. Pour des structures simples (barres, poutres, plaques) on peut les déterminer grâce à leurs formulations théoriques. Cette solution analytique devient impossible à appliquer pour une structure complexe.

Les solutions actuelles sont les codes de calcul numériques où la structure est décomposée en plusieurs sous-domaines de formes géométriques simples qu’on appelle « éléments finis ». Ces sous-domaines sont interconnectés par des points situés aux frontières des éléments appelés « nœuds ».

Dans ces modèles numériques, les déplacements des nœuds sont les principaux paramètres inconnus à définir. Le champ de déplacement dans chaque élément doit donc être défini par un ensemble de fonctions d’interpolation généralement polynomiales. Celles-ci permettront également de définir le champ de déformations dans l’élément à partir des déplacements nodaux.

En tenant compte des propriétés des matériaux nous pouvons alors définir le champ de contraintes et calculer les forces internes à l’élément. Avec l’assemblage des caractéristiques élémentaires de chaque élément (masse, rigidité, forces internes) on peut alors déterminer la réponse globale de la structure, les accélérations et les déplacements nodaux par résolution des équations d’équilibre ou du mouvement en dynamique.

II-2.2. Les équations d’équilibre

Le point de départ consiste à résoudre les équations de l’équilibre local au sein d’un élément de volume V d’une structure soumise à des sollicitations transitoires. Considérons un solide Ω de volume V et de surface A soumis à des sollicitations fonctions du temps τ (t). Sur la surface A s’expriment les conditions aux limites : sur Au les déplacements ūi sont imposés

et les efforts surfaciques τidA sont inconnues, sur At ce sont les sollicitations externes qui sont

imposées et les déplacements sont inconnus. Dans le volume du solide, les forces de volume

Ω τ (t )dA G At dV b G ρ uG Au Figure II - 1 : Solide Ω

La solution du problème doit satisfaire aux équations d’équilibre du volume :

t v b x i i j ij ∂ ∂ = + ∂ ∂ ρ ρ σ (Eq. II - 1) (Eq. II - 2) T σ σ = Ainsi qu’aux conditions aux limites sur la surface At :

i ij i

nσ =τ (Eq. II - 3)

II-2.3. Formulation variationnelle :

La formulation variationnelle s’obtient en multipliant l’équation différentielle de l’équilibre local par un champ vectoriel virtuel δvi vérifiant les conditions aux limites et en

l’intégrant sur tout le volume :

0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∂ ∂

∫

b v dV x v V i i j ji i ρ ρ σ δ (Eq. II - 4)

En développant le produit dans l’intégrale et en intégrant par partie le terme en

j ji x ∂ ∂σ on obtient :

( )

_∫

( )

_∫

( )

_∫

( )

∫

+ − = ∂ ∂ − V i i V V i i j i ji A j i ji dV b v dV v vdV x v dA n v σ δ ρ δ δ ρ 0 δ σ (Eq. II - 5) E

( )

_{( )}

_{( )}

_{( )}

∫

∫

−

∫

−

∫

+ = ∂ ∂ V i i V V i i A i i j i ji dV v dA b v dV v vdV x v 0  ρ δ δ ρ τ δ δ σ (Eq. II - 6)

Physiquement, le premier terme de l’équation II – 6 correspond à l’énergie interne virtuelle (δWint), les deuxième et troisième termes correspondent au travail externe virtuel

(δWext) et le dernier terme représente l’énergie virtuelle d’inertie (δWinert). Cette équation peut

alors être écrite de la façon suivante

0

int − Wext + Winert =

W δ δ

δ (Eq. II - 7)

Le principe des travaux virtuels s’interprète alors de la façon suivante : un solide déformable est en équilibre si le travail virtuel extérieur est égal au travail virtuel intérieur pour tout champ de déplacement virtuel compatible.

II-2.4. La formulation éléments finis

La méthode des éléments finis consiste à réduire le solide Ω à une structure composée d’éléments discrets interconnectés par des nœuds (Figure II - 2). Les déplacements de ces noeuds, qui sont des paramètres inconnus, caractérisent le comportement de cette structure.

F(t)

u

G

x3

x1

x2

Figure II - 2 : Discrétisation du solide Ω

Le déplacement d’un point quelconque à l’intérieur d’un élément peut être défini par l’approximation suivante : ) ( ) ( ) , (X t N X u t ui = I iI (Eq. II - 8)

où X représente les coordonnées (x1, x2, x3) d’un point de la structure dans la configuration

initiale (t = 0), NI sont les fonctions d’interpolation et uiI les déplacements du nœud I.

en dérivant par rapport au temps, on déduit la vitesse en ce point :

( )

N

( ) ( )

X v t t t X u t X v i _{I iI} i _∂ = ∂ = ( , ) , (Eq. II - 9)

De même, l’accélération s’exprime :

( )

X t N

( ) ( )

X v t

v_i , = _I _iI (Eq. II - 10)

viI et viI étant respectivement la vitesse et l’accélération au nœud I.

En écrivant le champ de vitesse virtuelle de la même façon :

iI I

i X N X v

v δ

δ ( )= ( ) (Eq. II - 11)

le principe des travaux virtuels devient :

∫

∫

−

∫

−

∫

+ = ∂ ∂ V iI J I iI V V I i iI A i I iI j I ji iI dV v N dA v bN dV v N N v dV x N v σ δ τ δ ρ δ ρ 0 δ (Eq. II - 12)

Le premier terme de cette équation correspond à l’énergie interne virtuelle qui permet de définir les forces internes aux nœuds :

∫

∂_∂ = = V ji j I iI iI iI dV x N v f v W δ δ σ δ int int (Eq. II - 13) ce qui donne :

∫

∂_∂ = V ji j I iI dV x N fint σ (Eq. II - 14)

Les forces externes sont définies en utilisant le terme de l’énergie externe virtuelle :

(Eq. II - 15)

∫

∫

+ = = V i I iI A i I iI ext iI iI ext v f v N dV v N bdV W δ δ τ δ ρ δ d’où : (Eq. II - 16)

∫

∫

+ = V i I A i I ext iI N dV N bdV f τ ρ

De même, le dernier terme peut être réécrit en fonction des forces d’inertie aux nœuds :

(Eq. II - 17)

∫

= = V iI J I iI inert iI iI inert v f v N N v dV W δ δ ρ δ il en résulte : (Eq. II - 18)

∫

= V iI J I inert iI N N v dV f ρ

or, la matrice masse élémentaire est définie par : (Eq. II - 19)

∫

= V J I ijIJ N N dV M ρ

les forces d’inertie s’écrivent alors :

(Eq. II - 20) iI ijIJ inert iI M v f = 

Ceci permet d’exprimer le principe des travaux virtuels de la façon suivante, quel que soit le champ de vitesse virtuelle δviI :

(

_{ijIJ iI} + _iIint − _iIext

)

=0

iI M v f f

v 

δ (Eq. II - 21)

ce qui mène à l’équation d’équilibre sous forme matricielle : int f f dt dv M = ext − (Eq. II - 22)

II-2.5. Schémas d’intégration

Pour la résolution de problèmes éléments finis en dynamique, il existe deux algorithmes : explicite et implicite. Le premier est plutôt adapté pour des problèmes d’impact à grande vitesse et de propagation d’ondes, tandis que le second est utilisé dans des problèmes statiques, quasi statiques et dynamiques à basse fréquence.

En dynamique, la réponse d’une structure aux sollicitations externes évolue dans le temps, ce qui nécessite la discrétisation de la durée du problème [t0, tfin] en un certain nombre

d’intervalles de temps ∆t et la résolution de l’équation d’équilibre à chaque instant ti de

l’ensemble {t0, t1,…,tn-1, tn, tn+1,…,tfin} tel que ti = ti-1 + ∆t.

L’équation différentielle de type : peut se résoudre par intégration directe en utilisant le schéma de Newmark. Cette méthode consiste à écrire les déplacements, vitesses et accélérations à l’instant t

0 int − = + = ext f f u M R 

n+1 en fonction des mêmes grandeurs

obtenues au pas précédent tn tel que [CRISFIELD (1991)]:

1 2 2 1 2 1 + + ⎟∆ + ∆ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∆ + = n n n n n u tu t u t u u  β  β  (Eq. II - 23)

(

)

1 1 1 + + = n + − ∆ n + ∆ n n u tu tu u  γ  γ  (Eq. II - 24)

où β et γ sont les constantes de Newmark. En choisissant ces constantes, on peut obtenir soit

II-2.6. Schéma implicite

Dans le schéma implicite le vecteur déplacement au pas n+1 est fonction des caractéristiques du pas n et du pas n+1. Ce schéma se traduit en prenant β = ¼ et γ = ½ où l’on considère une accélération moyenne constante sur un pas de temps. Ces valeurs de β et γ assurent un schéma d’intégration inconditionnellement stable à grande précision.

Dans la résolution de l’équation de mouvement, l’accélération un+1 à l’instant tn+1 est exprimée en fonction de la vitesse et du déplacement. Toutes les informations étant connues au pas n, l’équation différentielle de second ordre se réduit à une équation différentielle d’ordre zéro avec un+1 comme seule inconnue. Le vecteur résidu devient une fonction

implicite de un+1 :

( )

4 4 4 1 0 int 1 2 1 2 1 ⎟+ − = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ∆ − ∆ − ∆ = _{+ + +} + n n n n n next n u u f f t u t M Mu t u R   (Eq. II - 25)

Cette équation est non-linéaire en un+1 à travers le terme des forces internes. La solution

est calculée avec une méthode itérative, Newton – Raphson par exemple, qui consiste à trouver une meilleure approximation (un+1 + ∆u) à partir d’une approximation initiale un+1 en

résolvant l’équation linéaire :

( )

1 2 4 + = ∆ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ∆ M Kt u R un t (Eq. II - 26) ou encore :

( )

+1 = ∆ n glob u Ru K (Eq. II - 27) avec : t glob M K t K + ∆ = 4₂ (Eq. II - 28)

Kt étant la matrice de rigidité tangente :

u f Kt ∂ ∂ = int (Eq. II - 29)

Pour les problèmes non-linéaires, cette méthode nécessite l’assemblage et l’inversion de la matrice Kglob à chaque pas de temps. Cette opération, peut devenir très coûteuse en temps de

calcul donc inapplicable à des structures industrielles complexes. De plus la caractéristique physique du schéma implicite ne permet pas le traitement de phénomènes locaux. En effet, la matrice inverse [Kglob]-1 est à priori une matrice pleine [BONINI (1995)] entraînant un

couplage entre les éléments, ce qui conduit à une réponse globale de la structure même si la sollicitation est locale. De ce fait, le schéma implicite est surtout utilisé pour des problèmes statiques, quasi statiques et dynamiques à basse fréquence.

II-2.7. Schéma explicite

Le schéma est dit explicite lorsque le vecteur déplacement du pas n+1 n’est fonction que des caractéristiques du pas n. Il s’obtient en choisissant les valeurs β = 0 et γ = ½ dans les formules de Newmark, ce qui donne :

n n n n u t u t u u   2 2 1 ∆ + ∆ + = + (Eq. II - 30)

(

1

)

1 2 + + + ∆ + = _{n n n} n u u t u u    (Eq. II - 31)

Connaissant toutes les informations au pas n, on peut calculer le déplacement un+1 ainsi

que les déformations, les contraintes et les forces internes au pas n+1. L’accélération ün+1 et

par suite la vitesse u_n+1 sont alors obtenues grâce à la résolution de l’équation de mouvement. Cependant la nécessité d’utiliser la vitesse pour le calcul des taux de déformations et de contraintes pour les comportements non-linéaires et à grandes déformations incite à calculer la vitesse au demi pas de temps n + ½ en fonction de l’accélération au pas n. Cela conduit la majorité des codes explicites à utiliser un schéma d’intégration quelque peu différent, de forme suivante [RADIOSS (2005)]:

1- Calcul de l’accélération au pas n :

[ ]

1

(

int

)

n ext n n M f f u = − − (Eq. II - 32)

Dans les codes explicites de calcul dynamique, la masse est supposée répartie sur les nœuds, ce qui rend la matrice masse [M] diagonale et son inversion triviale.

2- Calcul de la vitesse au demi pas de temps n + ½ :

n n n n u t u u   2 1 2 1 2 1 + − + = +∆ (Eq. II - 33) avec 2 1 2 1 + + ∆ + ∆ = ∆ n n n t t t (Eq. II - 34)

le pas de temps pouvant être variable pour des raisons de stabilité. 3- Calcul des déplacements au pas n + 1 :

2 1 1 1 + + + = +∆ n n n n u t u u  (Eq. II - 35)

II-2.8. Stabilité du schéma explicite

Le schéma d’intégration explicite est conditionnellement stable : le pas de temps ∆t ne doit pas dépasser une certaine valeur critique au delà de laquelle le calcul diverge. La condition de stabilité s’exprime sous la forme :

critique t t≤ =∆ ∆ max 2 ω (Eq. II - 36)

ou ωmax est la plus grande fréquence propre du système :

(Eq. II - 37) 0

) (K− 2M =

det ω

avec K la matrice de rigidité du modèle et M sa matrice masse.

En pratique, le pas de temps critique est calculé en fonction de la taille du plus petit élément et de la vitesse de propagation du son :

c l

tcritique =

∆ (Eq. II - 38)

l étant la longueur caractéristique de l’élément qui dépend de sa forme, et c la vitesse de

propagation du son dans le matériau.

II-2.9. Algorithme de calcul

On peut résumer la procédure numérique des méthodes de calcul éléments finis explicite à chaque pas de temps de la façon suivante [RADIOSS (2005)] :

1- Le vecteur des forces externes est établi pour un déplacement, une vitesse et une accélération à un certain pas de temps,.

2- Une boucle sur les éléments est effectuée où l’on calcule les forces internes et le prochain pas de temps. Les calculs suivants sont alors faits :

a. Calcul du taux de déformation dans les éléments :

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = iI j I jI i I ij u x N u x N    2 1 ε (Eq. II - 39)

b. Calcul du taux de contrainte :

(

loimateriau

)

f ij ε, σ =  (Eq. II - 40) R ij ij J ij σ σ σ =  − 

c. Calcul des contraintes de Cauchy dans les éléments par intégration explicite dans le temps :

(

t t

)

_ij

( )

t _ijJ t

ij +∆ =σ +σ ∆

σ  (Eq. II - 41)

d. Calcul des forces internes aux noeuds :

∫

∂_∂ = V ji j I iI dV x N fint σ (Eq. II -42)

3- Calcul du prochain pas de temps.

4- Les forces de contact entre les interfaces sont ensuite calculées et les forces internes sont assemblées aux noeuds.

5- Connaissant toutes les forces internes et externes, les nouvelles valeurs des accélérations sont ensuite calculées à chaque noeuds :

[ ]

1

(

int

)

iI ext iI iI M f f u = − − (Eq. II -43)

Finalement, les nouvelles valeurs des vitesses et déplacements des noeuds sont calculés par intégration explicite dans le temps.

II-2.10. Bilan

Les codes implicites permettent un calcul global à l’échelle de la structure. Ils sont adaptés à des problèmes statiques, quasi statiques et dynamiques à basse fréquence. En effet, le schéma implicite est inconditionnellement stable, donc il n’a pas de contrainte sur la taille du pas de temps et ne demande pas un grand nombre de cycles de calcul mais nécessite cependant l’assemblage et l’inversion de la matrice de rigidité.

Contrairement au schéma implicite, la stabilité du calcul explicite impose une limite sur la taille du pas de temps qui peut devenir très petit. Par conséquent un nombre élevé de cycles de calcul est demandé. Le nombre de cycles dans un calcul explicite est 100 à 10000 fois plus grand que dans un calcul implicite [HALLQUIST (1998)]. En revanche, le code explicite ne nécessite ni l’assemblage ni l’inversion de la matrice de rigidité, ce qui permet une robustesse de calcul et évite les problèmes de convergence ou d’inversion de matrice dus à des déplacements d’ensemble, ou à de trop grandes différences dans les rigidités des parties adjacentes du modèle, ou encore à un maillage trop allongé (rapport de dimensions supérieur à 10) [IMBERT (1984)].

D’une façon générale, la vitesse et la durée du chargement par rapport au temps nécessaire pour qu’une onde traverse la structure permet de caractériser le problème : si le temps de montée de la force et sa durée dépassent le temps de plusieurs aller-retour de l’onde, le problème peut être qualifié de quasi-statique.

Pour des vitesses de chargement très basses, la condition de stabilité est largement en dessous du pas de temps nécessaire pour suivre l’évolution de la contrainte et de la réponse de la structure. De ce fait, le schéma explicite n’est pas efficace pour ce genre d’application [BELYTSCHKO (1976)]. Une intégration implicite est alors, dans ce cas, parfaitement adaptée.

Pour des problèmes à grande vitesse de chargement, en particulier pour les matériaux « non linéaires » (matériaux élasto-plastiques), le pas de temps nécessaire pour suivre l’évolution de la contrainte est souvent du même ordre de grandeur que le pas de temps critique. Dans ces cas, la limitation due au pas de temps dans la méthode d’intégration explicite ne constitue pas un désavantage.

Dans les codes explicites, le calcul des forces internes aux nœuds se fait au niveau de chaque élément indépendamment du reste de la structure. Ceci permet de traiter les phénomènes locaux et les propagations d’ondes associés souvent à des problèmes de dynamique rapide comme les impacts et les crashs. Cette caractéristique permet également de traiter facilement les modèles éléments finis par un calcul parallélisé.

En règle générale, les codes éléments finis explicites s’avèrent être plus appropriés aux calculs de type impacts et crashs. Il subsiste cependant des limites à l’utilisation de ces codes, notamment pour la modélisation de l’endommagement des structures composites. D’autre part, la finesse du maillage et la taille des modèles restent un problème majeur puisqu’ils aboutissent à des temps de calcul très importants dans le cadre de la modélisation des structures industrielles telles que la pale d’hélicoptère.

II-3. Endommagements des stratifiés composites

II-3.1. Introduction

Dans cette partie, nous allons nous intéresser aux différents types d’endommagements des stratifiés composites. L’endommagement des composites fait apparaître trois phénomènes physiques distincts : la fissuration de la matrice, le délaminage et la rupture des fibres. Nous évoquerons aussi les principaux critères utilisés pour la modélisation.

Le système d’axes utilisé à travers ce rapport pour définir un pli est représenté dans la Figure II - 3. 1 sens fibre 2 3 sens travers normal au pli

Figure II - 3 : Définition d’un pli de stratifié

Nous rappellerons également les principaux travaux qui ont été réalisés dans le domaine du délaminage notamment les modèles basés sur la mécanique de la rupture, ainsi que les modèles basés sur la mécanique de l’endommagement.

Nous classerons les modèles traitant du délaminage des stratifiés composites selon deux catégories : les modèles n’utilisant pas d’éléments d’interface et les modèles avec éléments d’interface. Nous définissons un élément d’interface comme étant une entité assurant un lien rigide entre les plis adjacents et qui est capable de se dégrader jusqu’à rupture complète afin de libérer ces plis à l’apparition du délaminage. On inclus dans la catégorie d’éléments d’interface les modèles utilisant des efforts de liaison pour assurer la solidarité entre des nœuds doubles.

II-3.2. Modes d’endommagement avec un aperçu des principaux critères

de rupture existants

II-3.2.1. Fissuration matricielle

L’endommagement de la matrice qui se produit dans le sens transverse du stratifié est le premier mode de rupture induit par l'impact. Il prend généralement la forme de fissuration matricielle ou encore de décohésion entre la fibre et la matrice. Les fissurations sont dues à la différence de propriétés entre la matrice et les fibres et sont en général parallèles à la direction des fibres dans les plis unidirectionnels [RICHARDSON (1996)]. La figure II-4 montre les deux types de fissuration de la matrice dans le cas d’impact sur plaque composite : les fissurations dues à la flexion et les fissurations dues au cisaillement.

Les fissurations dues à la flexion apparaissent perpendiculairement sous la zone impactée et dans le pli le plus éloigné de l'impact. Ces fissures sont verticales et sont la conséquence d’importantes contraintes de traction dans le sens transverse du pli.

Les fissurations dues au cisaillement se produisent à l'intérieur d'un pli à une certaine distance de la zone impactée. Ces fissures sont inclinées d'environ 45° par rapport à l’axe de l’impact. Les contraintes de cisaillement transverses qui apparaissent sont liées à la force et à la surface de contact. 0 90 Fissuration due à la flexion 90 90 0 0 Fissurations dues au cisaillement x z y z

Figure II - 4 : Types de fissuration de la matrice

Le type de fissuration de la matrice est dépendant de la forme globale de la structure impactée [CANTWELL (1989)]. Les structures longues et minces sont susceptibles de subir des fissurations dues à la flexion à cause d’une flèche importante. En revanche, les structures épaisses qui sont plus rigides entraînent une force d’impact plus importante, ce qui induit des fissurations dues au cisaillement.

D’une manière générale, on peut considérer que la contrainte normale σ11 touche

principalement les fibres. Toutes les autres contraintes sollicitent la matrice, étant alors susceptibles de provoquer sa rupture.

Hashin [HASHIN (1980)] propose un critère qui tient donc compte de toutes ces contraintes sollicitant la résine. Il distingue également l’état de traction dans la matrice de l’état de compression.

En traction, et dans le sens transverse du pli, le critère s’écrit : 1 ) ( 2 2 13 2 12 2 33 22 2 23 2 2 33 22 + + − + + ≥ FS MS MNT σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (Eq. II -44)

Dans le cas de compression dans le sens transverse, le critère devient :

1 4 ) ( ) ( 1 2 2 2 13 2 12 2 33 22 2 23 2 2 33 22 33 22 2 ≥ + + − + + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ FS MS MS MNC MS MNC σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (Eq. II -45)

avec : σMNT : résistance de la matrice en traction

σMNC : résistance de la matrice en compression

σMS : résistance de la matrice en cisaillement

σFS : résistance de la fibre en cisaillement

Dans la même optique, Chang – Chang [CHANG (1987)] a proposé un critère qui fait intervenir les contraintes de membrane sollicitant la matrice (σ22 et σ12). Dans le cas de

traction dans le sens transverse (σ22 ≥ 0), le critère s’écrit :

1 2 12 12 2 22 2 _≥ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = S Y e T m σ σ (Eq. II -46)

YT étant la résistance à la traction dans le sens transverse, et S12 la résistance au cisaillement

dans le plan du pli.

Ce dernier critère ne considère pas la contribution de la contrainte de cisaillement σ23 qui

a un effet dominant dans le cas de fissuration due au cisaillement.

Hou et al. [HOU (2001)] proposent le progrès suivant en introduisant l’effet de la contrainte σ23 : (toujours dans le cas où σ22 ≥ 0)

1 2 23 23 2 12 12 2 22 2 ≥ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = m T m S S Y e σ σ σ (Eq. II -47)

où Sm23 représente la résistance au cisaillement de la matrice dans le plan transverse normal

aux fibres.

II-3.2.2. Délaminage

Le délaminage est l’un des modes d’endommagement principaux dans les structures composites. Il est caractérisé par un manque de liaison voire une séparation entre deux plis d’un stratifié composite. Il prend la forme d’une fissure qui se propage généralement dans une région riche en résine qui forme une interface entre deux plis adjacents. L'énergie due au choc passe alors dans l'ouverture d'une liaison moins forte : l'interface entre plis d'orientation différente [BONINI (1995)].

Selon Liu [LIU (1988)], lors d’un impact sur plaque composite, le délaminage est la différence entre les rigidités en flexion des plis adjacents : le long des fibres, la plaque a tendance à fléchir d'une façon différente que dans le sens transverse.

Pour résumer les différents types de fissurations de la matrice présentés précédemment, on peut dire que la fissuration inclinée, due au cisaillement dans le pli supérieur, est arrêtée par l'interface et le changement de direction des fibres du pli inférieur (figure II-5). En effet, ce délaminage est limité par les fissurations transverses du pli inférieur, tandis que le délaminage dans l'interface la plus basse est lui, provoqué par une fissuration verticale, due à la flexion.

0 90 0 90 0 90 Fissuration de la matrice Initiation du

délaminage Initiation du _délaminage Fissuration de la matrice

Propagation du délaminage _{Propagation du délaminage}

Figure II - 5 : Délaminage sous impact

Il existe de nombreux critères de forme quadratique permettant de détecter l’apparition du délaminage.

D’une manière générale, les auteurs proposent des critères faisant intervenir les contraintes dans le sens transverse, à savoir σ13, σ23 et σ33. Certains d’entre eux ne font pas la

distinction entre l’état de contrainte de compression et celui de la traction dans le sens normal du pli. Hashin [HASHIN (1980)], par exemple propose un critère où il ne prend pas en compte le signe de σ33. 1 2 2 13 2 23 2 33 + + ≥ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ DS DN σ σ σ σ σ (Eq. II -48)

σDN est la résistance du pli à un effort normal, et σDS résistance du pli au délaminage par

cisaillement.

Brewer & al [BREWER (1988)] et Chang & al [BANERJEE (1992)] proposent un critère très proche de celui de Hashin et ne tiennent pas compte, non plus, du signe de σ33.

1 2 31 2 31 2 23 2 23 2 33 + + ≥ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ S S Z_{T l} σ σ σ (Eq. II -49)

où S13 représente la résistance en cisaillement dans le plan 13, Sl13 la résistance au délaminage

en cisaillement dans le plan 23 et ZT la résistance en traction dans le sens de l'épaisseur.

Le critère autorise le délaminage sous faible compression et fort cisaillement. Ils distinguent ainsi trois cas de délaminage, selon l’état de contrainte dans le sens transverse du stratifié.

• Cas où σ₃₃ ≥0, favorisant l’apparition du délaminage :

(

)

1 2 13 2 13 2 23 2 33 ≥ + ⋅ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ δ σ σ σ fs ms T S d d Z (Eq. II -50) • Cas où 0 8 33 2 13 2 13 + ≤ <

− σ σ σ , ce qui signifie que pour un état de compression donné, il faut que le cisaillement soit important pour produire du délaminage :

(

8

)

1 2 13 2 33 2 13 2 23 ≥ + ⋅ − + δ σ σ σ fs msd d S (Eq. II -51)

• Enfin, le cas où 132 ₃₃ 2 13 8 σ σ σ > +

− : la compression est assez importante pour empêcher le glissement entre les plis et éviter ainsi le délaminage.

Dans ces expressions :

S13 est la résistance en cisaillement dans le plan 13, ZT est la résistance en traction dans le sens de l’épaisseur,

dms est un coefficient d'endommagement de la matrice qui varie de 0 à 1,

dfs est un coefficient d'endommagement en rupture de fibres qui varie de 0 à 1,

δ est le ratio entre le cisaillement interlaminaire avant et après l'apparition de dommages dans la matrice ou les fibres.

La figure II-6 illustre les différentes améliorations apportées au critère de délaminage proposé par Brewer et Lagace. Cette évolution se résume par :

• critère n°1 : où le signe de σ33 n’est pas pris en compte, par conséquent l'effet

bénéfique de la compression n’est pas considéré.

• critère n°2 : la compression dans le sens transverse empêche le délaminage.

• critère n°3 : où malgré la compression, un cisaillement important peut faire apparaître du délaminage.

Critère1 σ33 τ Critère2 σ33 τ Critère3 σ33 τ Délaminage Pas de délaminage

Figure II -6 : Evolution du critère de Brewer et Lagace

Zhang X. [ZHANG (1998)] utilise un critère plus simple qui consiste à comparer séparément les contraintes de cisaillement et les contraintes normales à des valeurs de contraintes critiques : ILSS ≥ + 2 23 2 13 σ σ ou σ₃₃ >T_zt (Eq. II -52)

ILSS est la résistance en cisaillement interlaminaire et Tzt la résistance dans le sens de

l'épaisseur.

L’inconvénient de ce critère est qu’il ne permet pas de prendre en compte le couplage entre le cisaillement et la traction hors plan, il reflète donc moins la réalité physique du phénomène que les critères cités précédemment.

II-3.2.3. Rupture de fibres

Au sein du processus d’endommagement, la rupture de fibres intervient généralement après la fissuration de la matrice et le délaminage. Elle est due à une importante contrainte normale ou bien au cisaillement.

Généralement, les critères de rupture de fibres font intervenir la contrainte normale σ11 et

les contraintes de cisaillement (σ12 et σ13) dans les plans contenant les fibres.

Chang – Chang [CHANG (1987)] proposent un critère proche du critère proposé pour piloter la rupture de la matrice tel que :

1 2 12 12 2 11 2 ≥ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = S X e T f σ σ (Eq. II -53)

XT étant la résistance à la traction dans le sens des fibres et S12 la résistance au cisaillement

dans le plan du pli.

Hou & al [HOU (2001)] proposent, quant à eux, une version modifiée de ce critère. Ils tiennent compte de la contrainte de cisaillement σ13,considérant qu'elle a le même effet que

σ12. Précisons que la résistance au cisaillement pour la rupture de fibres est considérée

indépendamment de celle de la matrice.

1 2 2 13 2 12 2 11 2 ≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = f T f S X e σ σ σ (Eq. II -54)

où Sf est la résistance au cisaillement de la fibre.

II-3.2.4. Critère global

Tsai – Wu [TSAI (1971)] proposent un critère global pour l’endommagement du pli sans différencier les divers modes de rupture. Toutes les contraintes interviennent ainsi dans ce critère qui est donné de la manière suivante :

(

)

1 ' 1 1 ' 1 1 ' ' ' ) ( ) ( ' ) ( ' 33 22 11 33 22 22 11 22 11 2 2 23 2 13 2 12 2 33 2 22 2 11 ≥ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + − + − + + + + + Y Y X X YY YY XX S YY XX σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (Eq. II -55)

avec : X : résistance à la traction dans la direction 1 X' : résistance à la compression dans la direction 1 Y : résistance à la traction dans la direction 2 Y' : résistance à la compression dans la direction 2

S : résistance au cisaillement (supposée la même dans toutes les directions)

II-3.3. Modèles sans éléments d’interface

Les modèles sans éléments d’interface permettent notamment l’étude des problèmes d’impact sur plaque composite : dans ce cas le délaminage reste confiné à l’intérieur du stratifié. Il est alors essentiellement causé par des contraintes de cisaillement transverse et se représente souvent par une dégradation des propriétés locales à l’endroit de la fissure.

Pour représenter les stratifiés composites en éléments finis, il existe deux façons principales. La première consiste à utiliser des éléments plaques multicouches : on attribue alors à chaque couche les propriétés du pli composite correspondant.

II-3.3.1. Modélisation par éléments plaques multicouches

L’utilisation des éléments plaques multicouches permet de réduire les temps de calcul, mais elle présente l’inconvénient de ne pas prendre en compte la contrainte σ33 dans l’étude

du délaminage. Il est donc impossible de modéliser le délaminage en mode I.

En effet, on attribue ici à chaque couche de l’élément les propriétés du pli correspondant. On réduit alors le nombre de degrés de liberté, ce qui permet de réduire également le temps de calcul par rapport aux modèles utilisant une couche d’éléments par pli.

Plaque à plusieurs plis composites une couche d’éléments plaques multicouches par stratifié

Figure II - 7 : Modélisations actuelles des plaques composites

L’utilisation des plaques multicouches ne permet cependant pas de modéliser le décollement ou les séparations des plis. L’étude du délaminage en mode II et III reste possible en dégradant les propriétés correspondantes, cependant, ce type de traitement du délaminage ne représente pas la réalité physique de façon complète.

En effet, si la dégradation tient uniquement sur les propriétés du matériau (E, G, ν) d’une couche de l’élément [WALRICK (1999)] [SPOSTSWOOD (2001)], ceci va affecter la rigidité de membrane sans influencer correctement la rigidité de flexion. Or, le délaminage se traduit par une réduction de la rigidité en flexion et de la résistance au flambage due essentiellement à une baisse locale du moment d'inertie, du fait de la subdivision locale du stratifié en plusieurs couches.

Ainsi, les auteurs qui utilisent les éléments multicouches négligent généralement l’effet du délaminage sur le comportement global de la structure. Seuls la rupture de fibre, la fissuration ou l’écrasement de la matrice sont alors considérés dans le cas d’impact sur plaque composite [MAJEED (1994)] [BELINGARDI (1998)]. La fissuration de la matrice se traduit en imposant E22 = G12 = ν12 = ν21 = 0 dans la couche en question, et la rupture de fibre en

imposant en plus E11= 0.

L’utilisation du modèle avec des éléments plaques multicouches a aussi été testé dans l’étude de crash de tube carré composite [FARUQUE (1995)]. Dans ce cas, l’endommagement de la structure est alors traité de façon globale et sans différenciation entre les divers modes d’endommagement.

McCarthy & al. [McCARTHY (2000)] utilisent des éléments plaques multicouches pour modéliser le crash de poutre sinus. Ils représentent le composite par une loi "bi-phase" ce qui permet d'attribuer des propriétés différentes aux fibres et à la matrice et de modéliser ainsi séparément leurs endommagements respectifs. La matrice d’élasticité du pli n’est autre que la somme des matrices d’élasticité de la fibre et de la matrice :

(Eq. II -56) m f pli C C C = +

Cf et Cm sont les matrices de d’élasticité des fibres et de la matrice à l’état courant qui s’écrivent en fonction de ces matrices à l’état initiale f m :

C C0 et 0 (Eq. II -57) ) 1 ( ) 1 ( 0 0 m m m f f f d C C d C C − × = − × =

où df et dm sont les paramètres d'endommagement des fibres et de la matrice (compris entre 0 et1).

L'endommagement total de la matrice est la somme de l'endommagement dû à la partie sphérique du tenseur des déformations, et de l'endommagement dû à la partie déviatorique. L'endommagement de la fibre est dû seulement à sa déformation unidirectionnelle.

Le code de calcul utilisé (PAM-CRASH) permet d'étalonner des courbes contrainte – déformation établies en définissant des valeurs de déformations εi, ε1, εu, et les valeurs des

paramètres d'endommagement correspondantes à ε1 et εu (d1, du) pour chaque type

d'endommagement (figure II-8). Pour éviter des instabilités numériques, et afin que la résistance ne chute pas brutalement, on choisi εu assez éloigné de ε1. Cette méthode permet de

définir une contrainte résiduelle σu.

d1 du 1 εu ε1 εi d ε E0 E1 Eu σu σi σ1 σ εu ε1 εi ε

Figure II - 8 : Loi d’évolution de l’endommagement dans PAM – CRASH

Cette méthode est rendue complexe par la quantité importante de paramètres à identifier [GAUTHIER (1996)] : paramètres en cisaillement, traction et compression pour la matrice, et paramètres en traction et compression pour les fibres. Au total, trente paramètres doivent être déterminés ce qui nécessite un nombre important d'essais.

II-3.3.2. Modélisation par une couche d’éléments volumes par pli composite

Cette méthode de modélisation permet de représenter les principaux modes d’endommagement. Cependant, sans l’utilisation d’éléments d’interface, elle reste limitée à des problèmes d’impact où il n’y a pas de grandes déformations et d’ouverture de fissure mises en jeu.

Plaque à plusieurs plis composites une couche d’éléments par pli composite

Figure II - 9 : Modélisation des structures composites par des éléments volumiques

Le nombre d’éléments dépend directement du nombre de plis du stratifié à modéliser. Cette méthode présente ainsi un temps de calcul important, surtout pour de grandes structures. Ajoutons aussi que l’épaisseur très faible des éléments dans ce type de maillage fait chuter le pas de temps de calcul dans les codes explicites de façon prohibitive.

Ce type de modélisation permet surtout une représentation qualitative du délaminage. Hou & al. [HOU (2000)] modélisent par exemple une plaque composite au moyen d'une couche d'éléments solides (8 nœuds) par pli. La modélisation du délaminage dû à l’impact se traduit en réduisant graduellement les contraintes σ33, σ13 et σ23 à zéro. Hou compare l'essai

numérique à l'essai expérimental en ne tenant compte que de la forme des délaminages dans la plaque. Les résultats numériques semblent bien corréler avec les essais, mais il ne fait aucune vérification des autres grandeurs telles le taux d'absorption d'énergie, la force d'impact, la déformée etc.…

Figure II - 10 : Comparaison des formes de délaminages expérimentales et numériques

Dans ce type de modélisation, le délaminage se traduit par une rupture dans le pli et non pas à l’interface. La rupture de la couche d’éléments représente alors la propagation de la fissure.

Cette méthode a aussi été appliquée pour modéliser la propagation de délaminage en mode I [BEISSEL (1998)] et mode II [TAY (2003)]. Leur méthode tient compte de la propagation de la fissure à l’intérieur de l’élément qui est alors partiellement détruit. Dans ce cas, seule une partie des contraintes dans l’élément contribue au calcul des forces aux nœuds. Quand la fissure traverse l’élément, celui-ci est complètement détruit. En effet, la rupture de l’élément permet ainsi de traiter la propagation de la fissure sans avoir à modéliser l’interface mécanique entre les plis. Cette méthode permet en outre la propagation du délaminage dans des directions arbitraires non définies a priori dans le modèle.

II-3.4. Modèles avec éléments d’interface

Dans ces modèles, on maille les plis indépendamment et on les relie par des liens rigides qui assurent une liaison mécanique entre les nœuds de chaque côté de l’interface susceptible de subir un délaminage. Quand un certain critère de délaminage est atteint, la liaison entre ces nœuds est alors supprimée. La connaissance a priori des zones d’apparition du délaminage est

On distingue trois types de modèles traitant de la rupture des liaisons et de l’apparition du délaminage : les modèles basés sur les forces de liaison entre les nœuds [BONINI (1995)] [KOHLGRUEBER (1998)] [FLEMING (1999)] [TAN (2003)], les modèles basés sur la mécanique de l’endommagement [ALLIX (1995)] [LADEVEZE (2000)] [CORIGLIANO (2001)] [JOHNSON (1999)] et les modèles basés sur la mécanique de la rupture [FLEMING (1999)] [ROUDOLFF (2002)] [EL SAYED 2001] [DE MORAIS (2003)] [SANKAR (1991)].

II-3.4.1. Modèles basés sur les forces de liaison

Les nœuds où l’on s’attend au délaminage de chaque côté de l’interface sont liés entre eux par divers éléments tel que des ressorts, des barres, ou tout autre condition de liaison. Lorsque la force produite dans ces éléments dépasse un certain critère, les nœuds sont alors relâchés.

Bonini [BONINI (1995)] relie les nœuds doubles de l'interface par une condition d'assemblage qui porte sur l'égalité des accélérations dans les trois directions de l'espace. Cette condition est assurée par une force de liaison calculée par la méthode de multiplicateur de Lagrange dans les trois directions de l'espace.

Force de liaison

Figure II -11 : Modélisation du délaminage par Bonini

Une perte de contact entre deux nœuds apparaît lorsque, d'une part, un élément du pli supérieur adjacent au nœud double est fissuré et que tous les éléments du pli inférieur, adjacents à ce nœuds, sont saturés en fissures, et d'autre part, lorsque la force de liaison dépasse une valeur critique au nœud double.

Fleming [FLEMI NG (1999)] a étudié différentes méthodes utilisées pour la représentation du délaminage par la séparation des nœuds de l'interface.

"Force based tied connections" : les nœuds de part et d'autre de l'interface sont liés entre eux soit par des éléments ressorts, soit par des barres rigides. Le critère de rupture utilisé est alors de la forme :